制御工学 4 5. ボード線図 キーワード : ボード線図, ゲイン曲線, 曲線 周波数 に対し 5. ボード線図 j の変化を表すゲイン曲線 j の変化を表す曲線 5.4 ボード線図の性質 キーワード : ボード線図の利点 6 横軸 : 周波数 を対数目盛り 縦軸 : ゲイン曲線 lg j 曲線 ( 度 ( デカード (dec デシベル値 ( 絶対値 j. デシベル値 6 4 7 積分系 j j ゲイン ( デシベル値 lg j lg j lg lg. lg. ( 4 4 9 /dec 重積分系 ( j ( j ゲイン ( デシベル値 lg lg ( j (lg lg 4lg 4 4 9 4/dec lg lg j j 9 9 8 7 8 j ( 8 9 8 7 9 図 5. 6 積分系のボード線図 次系 j j ゲイン ( デシベル値 lg j lg ( j ( j ta ( << j >> j j << lg lg lg lg 45 >> lg lg 9 /dec 4 9 9 45 9 8 図 5. 7 次系のボード線図 折れ線近似 ( ゲイン と /dec の 本の直線 ( 5 5 で で 9 線図 : / での接線が / 5 と 5 / に交点を持つことの補足資料 http://csl.agakaut.ac.jp/curse/ ctrl7/4/bde.pdf 4 9 9 折点周波数 8 図 5. 7 次系のボード線図
制御工学 4 が変化しても ( 形を変えず 横軸方向に平行移動. 4 9. 9 ゲイン K 倍しても ( 形を変えず 縦軸方向に平行移動 ( ゲインのみ K j ( j 8 8 図 5.8 種々の時定数に対する 次系のボード線図 4 9 9 K K K. K.,,, K 次系 ( K s ζs 周波数伝達関数 j ( j ζj j ζ j Ω ( jω ζωj Ω ζωj ゲイン j ( Ω ( ζω ζω j ([ Ω ] j[ζω] ta Ω 4 次系 j ( j ζ ( j ( Ω ζωj Ω ゲイン ( デシベル値 lg j lg ( Ω (ζω j (( Ω j(ζω Ω << j Ω >> j Ω Ω << lg lg Ω lg lg ζ 9 Ω >> lg 4lg Ω 8 4 ζ. ζ. ζ. ζ.5 4 ζ.7 ζ.9 4/dec 6 / 9 ζ. ζ. 9 ζ. ζ.5 8 8 ζ.7 ζ.9 7 / 5 Ω Ω Ω 終点 8 ζ ζ.7 ζ.4 (, ζ 図 5.5 次系のベクトル軌跡 ( 9 8 Im 出発点 (, Re ζ. 振動的 4 ζ. ζ. ζ. ζ.5 4 ζ.7 ζ.9 4/dec 6 / 9 ζ. ζ. 9 ζ. ζ.5 8 ζ.7 ζ.9 7 / 8 6 むだ時間要素 e j L e sl Im L Re が遅れる 4 6 7
制御工学 4 Hedrk W. Bde (95-98 5. ボード線図 キーワード : ボード線図, ゲイン曲線, 曲線 5.4 ボード線図の性質 キーワード : ボード線図の利点 8 9 古代の水時計 F A C B D E F A C B A F B D C E ワットの調速器 (gverer 788 中立状態 蒸気エンジン 一定 軸高速回転状態 低下 フライトホイール 蒸気が少なくなる低速回転状態 蒸気スロットル 閉まる James Watt (76~89 D E クテシビオスの水時計 上昇 ( 紀元前 世紀 蒸気が多くなる 開く Harld Stephe Black(898~98 97 年ベル研究所への出勤途中のハドソン川の渡河フェリー上で, 増幅器におけるegatve feedbackの着想を得て 書き込むものが無いのでニューヨークタイムズ紙にメモをした. Bde Prze 6 5 4 he New Yrk mes August, 97 の紙面に描いた Black のメモ Iput μ β Output Output Iput A F μ βμ β μβ 負フィードバック増幅器のブロック線図と式 Arthur J. Kreer http://www.math.ucdavs.edu /research/prfles/kreer Prav Varaya http://paleale.eecs.berkeley.edu/~varaya/ amer Basar http://decs.csl.uuc.edu /~tbasar/
制御工学 4 まとめ 次系 /dec 4 9 9 j j 45 9 8 図 5. 7 次系のボード線図 次系 s ζs 4 ζ. ζ. ζ. ζ.5 4 ζ.7 ζ.9 4/dec 6 / 9 ζ. ζ. 9 ζ. ζ.5 8 8 ζ.7 7 ζ.9 / 図 次系のボード線図 4 ζ.5 次系 u, s 5s s s 4 4 ζ. ζ. y y ζ. ζ.5 4 ζ.7 u - ζ.9 4/dec - u 6 - / - (a 5 ゲイン線図 t 5 t 9 Im ζ. (, Re ζ. u 9 ζ. j ζ.5 8 y 8 ζ.7 - ζ.9 7 ζ.5 - / t (, ζ y 5 次系 (, s j ta [ ] < 45 [ ] 9 [ ] > [ ] 5 5 9 [ ] 5 ta 6 [ ] ta 45 [ ] ta 84 [ ] [ ] - -4 - - - [rad/s] -45-9 - - - [rad/s] 6 5. ボード線図 キーワード : ボード線図, ゲイン曲線, 曲線 5.4 ボード線図の性質 キーワード : ボード線図の利点 7 5.4. ボード線図の利点 伝達関数表現のメリット ( 微分方程式表現の問題点 pp./, 例.5,.6 ( 直列結合の表現 [ アイデア ] ゲイン : 対数スケール : 線形スケール lg j j [ 例.5 ] システムの結合 ( 微分方程式 d y d y du y u y y ( ( ( 直列結合の表現が容易 微分方程式 y ( t y ( t 微分方程式 y ( t u ( t 8 連立微分方程式 9 4
制御工学 4 d y d y du y u y y [ 例.6 ] システムの結合 ( 伝達関数 s y( u( s y( y( s s s s ( ( ( ( 直列結合 ( s 極形式で表示 ( j re ( ~ jθ jθ ( j re y ( s s s y ( s y ( s s s u ( s re jθ jθ ( jθ jθ j θ θ θ ( r e ( re ( re r rr e r r r r θ θ θ θ s s y ( u ( s s s s 伝達関数の積 4 4 ( j re jθ r r r e j( θ θ θ lg ( j lg r lg( r rr j θ θ θ θ lg r r θ lg r lg r lg j lg j 直列結合のとき, ゲインとを単純に加えあわせればよい 4 ( ( 逆システム のボード線図 ゲイン lg (lg lg j lg j j j j j 逆システムでは, ゲインとの符号を反転 4 K s s s s s ζs 表 5. 基本要素のボード線図ゲイン曲線曲線 lg K / dec / dec / dec / / / dec 9 9 9 9 8. / 5 /. / 5 / 44 K が変化しても ( 形を変えず 縦軸方向に平行移動 ( ゲインのみ K j ( j 4 [] ( K. K K [] ( K K K. 4 9 K.,,, 9 8 K 45 5
制御工学 4 ga [] [ 例 5. ] ゲイン線図の重ね合わせ ( s ( ( ( 4( s( s ( s s.s 6 4 4 ( ga [] ( ( - - - ( - - - 図 5. 各要素のゲイン線図 図 5. のゲイン線図 ( 折れ線近似 46 ( 折れ線近似と実際の曲線 6 4 phase [deg] [ 例 5. ] 線図の重ね合わせ ( s ( ( ( 4( s( s ( s s.s 9 9 45 4 ( 45 ( -45 ( -45-9 ( -9 - - - - 図 5. 各要素の線図 図 5. の線図 ( 折れ線近似 47 ( 折れ線近似と実際の曲線 phase [deg] ボード線図の利点 システムを直列結合したもののボード線図は各システムのボード線図を単に加え合わせるだけで得られる. 折れ線近似が容易で, システムの概略特性を簡単に精度よく把握できる. 広い周波数帯域を 枚の図面で扱える. 5. ボード線図キーワード : ボード線図, ゲイン曲線, 曲線 5.4 ボード線図の性質キーワード : ボード線図の利点 実験データからボード線図を描くことも容易である. 48 49 第 6 章 : フィードバック制御系の安定性 6. フィードバック系の内部安定性 キーワード : 内部安定性, 特性多項式 次回 6. ナイキストの安定判別法 キーワード : ナイキストの安定判別法 学習目標 : フィードバック制御系の内部安定性について理解する. ナイキストの安定判別法を理解し, フィードバック制御系の安定性を判定できる 5 ようになる. 6