3 ( ) 208 2 3 7.5 A-D/D-A D-A/A-D A-D/D-A CCD D () ( ) A-D (ADC) D-A (DAC) LSI 7.5. - 7.4(a) n 2 n V S 2 n R ( ),, 2 n i i i V S /2 n MOS i V S /2 n 8 256 MOS 7.4(b) DA n R n 2 2R n MOS 2R R 2R 2R OP OP 2R A n k (H) 0(L) A n 3-
V s d d 2 d n d n 2 n R 2 n V s q n 2 n Output q 2 q Decoder 2 R 2 2R 2R 2R 2R A R R R 2R A A n A n 2R R f R (a) 0 (b) 7.4 D-A (a) (b) FET n H ON p H OFF 2R 2 R A n A n 2R A n A k A k A k 2R V S 2R V S /3R /2 /2 OP J out ( 0 0 0 0 n k ) = V S 3R ( ) n k = V S 2 6 2 n R 2k J out 2 {d i } (d i = 0 or, i =,, n) OP (2.5 ) V out ({d i }) = 3 2 n R f 2R V S AD (pulse width modulation, PWM) PWM n 2 k d k (7.) k= 7.5 PWM PWM DA t t 3-2
PWM 7.5 H PWM 7.5.2 - (sample and hold circuit) ( ) DA (successive approximation) アナログ sample and hold コンパレーター レジスタ MSB DA コンバーター LSB 7.6 AD (AD ) OP DAC OP () 0 DAC AD AD ADC DAC A A 00dB 0µV V TTL V th 0 3-3
sample &hold 2bit flush ADC 2bit data 2bit DAC amplifier G=2 st stage 2nd stage n-th stage 7.7 Data adder difference 2 ADC digital output 7.7 ( ) AD A ADC ON AD OP ( ) AD ( ) ADC ( ) ACD 7.5.3 PAM (pulse code modulation, PCM) PCM DAC PCM PCM (differential PCM, DPCM) DPCM PCM {x i } x i = ax i ϵ i = x i ax i PCM ( ) 7.6 (filter) (digital signal processing, DSP) 3-4
DSP (digital signal processor) 7.6. {x i } = (x 0, x, ) {y i } = (y 0, y, ) y n x n k x i k F x 0 x x 2 x 3 y 0 y y 2 y 3...... y n = F (x n k, x n k,, x n ) (7.2) x n a y n = ax z= x y x n T y x n y (a) (b) (c) x 7.8 (a) (b) (c) ( ) n= n x n T x n T x n 2 T x n 3 F (block diagram) 2 3 4 2x 3x 4x n 3 n n F 2 xn3xn 2 xn3xn 4xn 3 7.9 (7.3) 7.8 3 (a) (b) (c) y n = 2x n 3x n 4x n 3 (7.3) 7.6.2 z z ( )z 3-5
(7.3) z (6.83) X(z) = x n z n, Y (z) = y n z n (7.4) n=0 n=0 5.2 z 3 2 h n n τ k z k z Y (z) = 2X(z) 3z X(z) 4z 3 X(z) = (2 3z 4z 3 )X(z) (7.5) H(z) (6.89) H(z) = 2 3z 4z 3 (7.6) 4 t = 0 z F (7.2) k F (x n k, x n k,, x n ) = a j x n j (7.7) j=0 k H(z) = a i z j (7.8) j=0 7.6.3 X( z) Y( z) H( z) H2( z) z 2 H (z) H 2 (z) X(z) H W (z) H(z) = Y (z) = H (z)w (z) = H (z)(x(z) H 2 (z)y (z)), Y (z) = H (z) H (z)h 2 (z) H (z) H (z)h 2 (z) X(z). (7.9) (4.3) ( ) = ( ) ( ) (7.20) (7.2) 3-6
7.6.4 (7.2) (infinite impulse response, IIR) (finite impulse response, FIR) ( ) FIR (Low, High, Band) ( LPF HPF BPF) (band elimination filter, BEF) 7.6.5 FIR x n x n x n 2 x n k T T T x n k a 0 a a 2 a k a k 7.20 FIR y n (7.7) FIR (7.7) 7.20 (7.8) FIR (7.8) z = e iωτ H(e iωτ ) = k a j e ijωτ (7.2) j=0 F ± (x n, x n ) = (x n ± x n )/2 (7.22) ( ) H ± (e iωτ ) = e iωτ/2 cos(ωτ/2) i sin(ωτ/2) (7.23) ω [0, π/τ] H H ω FIR F d = [(x n x n ) (x n x n 2 )]/2 = [x n x n 2 ]/2 (7.24) H d = ( e 2iωτ )/2 = ie iωτ sin ωτ (7.25) 7.2(b) /2T 3-7
0.8 H H 0.8 0.6 0.6 H d 0.4 0.4 0.2 0 0 - arg( H ) arg( H ) 0.5.5 (2/ T) 0 (/ T) 2 3 0 0.5 (2/ T).5 (a) 0.2 0 - arg( H d ) 0 (/ T) 2 3 (b) 7.2 (a) ( ) ω 2/τ π/2 (b) (a) ω /τ 7.6.6 IIR FIR IIR y n 0 lim y n = 0, (7.26) n x n x n x n 2 x n k x n k y n y n 2 y n m T T T T T T y n m a 0 a a 2 a k a k b b 2 b m b m y n 7.22 IIR IIR 7.22 FIR y n = z k m a l x n l b j y n j (7.27) l=0 j= k m Y (z) = X(z) a l z l Y (z) b j z j (7.28) l=0 j= H(z) = Y (z) X(z) = k a l z l l=0 (7.29) m b j z j j= 3-8
IIR FIR (7.26) (7.29) z z z > 7.6.7 FIR Ramez Scilab ramez (window function method) LPF ( LPF ) LPF ω c G(e iωτ ) = {, ω ω c, 0, ω c < ω ω N (7.30) ω N = ω s /2 = π/τ (7.30) 5.3 [ ω N, ω N ] 2ω N = ω s G(e iωτ ) = ω c ω N n= ( nπ sinc n ω ) c e niωτ = γ c ω N n= nπ sinc(nγ c)z n (7.3) γ c ω c /γ N LPF n γ sinc sinc(nγ c ) G( i ) g n 7.23 (LPF) 0 c N 0 n ( ) n sinc(nω c/ω N) ( ) FIR LPF (7.3) sinc sinc(x) x /x 7.24(a) (a) (b) (c) 7.24 (a)(7.3) LPF n = 20 ω/ω N ω c/ω N = 0.5 (b) α = 7 L = 20 (7.32) (c) (a) (b) 3-9
sinc sin (window function) (Kaiser) ( I 0 α ) (n/l) 2 w n = n L, I 0 (α) 0 n > L (7.32) I 0 0 α L ω 7.24(b) (7.3) 7.24(c) (Butterworth) ( ) IIR n LPF Ξ(s) = N k=0 ω k s s k, [ { }] π (2k )π s k = r c exp i 2 2n (7.33) u H (t) τ = ( ) n ξ(t) = u H (t) w k exp(s k t) (7.34) k=0 n h n = h Hn w k e ns k, H(z) = k=0 n k=0 w k. (7.35) exp(s k )z (7.33) (s s k ) ( exp(s k )z ) (7.36) (7.36) IIR (impulse invariant method) z (bilinear z-transform) s z z (7.37) 7.25 4 H(z) = b 0 b z b 2 z 2 b 3 z 3 b 4 z 4 a z a 2 z 2 a 3 z 3 a 4 z 4 (7.38) 7.25 4 7.6.8 ω cos(ωt θ 0 ) exp[i(ωt θ 0 )] π/2 3-0
0 0 H (2 if ) 0.5 H (2 if ) 0-2 0-4.00 H (2 if ) 0-6 0.999 0 200 400 0 0-8 000 2000 3000 4000 5000 000 2000 3000 4000 5000 f (Hz) (a) f (Hz) (b) f (Hz) (c) coef. 0 2 3 4 a n 2.369530072-2.33988444.0546654059 -.8737949237 0 b n 4.8243433577 0 3.929737343 0 2 2.894606046 0 2.929737343 0 2 4.8243433577 0 3 7.25 z IIR-LPF (a) (b) 0 (c) (7.38) 0kHz, khz z sin i 7.26(a) π/2-7.26(b) arg H( i ) /2 (a) H( i ) ヒルベルト i (b) N /2 N 7.26 (a) (b) ω 2 7.27 (phase-locked loop, PLL) PLL IC 7.27(a) PLL PLL (voltage controlled oscillator, VCO) VCO ( ω 0 PLL VCO VCO ω 0 VCO ( ) 3-
ループフィルタ g 2 g z (a) (c) mod [, ] mod [, ] z 0 z (b) (d) 7.27 (a) (b) (c) (d) 7.26(a) (x (r) n, x n (i)) ϕ n = arctan x(i) n x (r) n (7.39) VCO φ n 7.27(b) ϕ n φ n [ π, π] 2π 7.27(c) IIR H(z) = g g 2 z (7.40) 2 ( z ) z PLL VCO ω v ω i ω v = ω i (7.26) VCO g 2 < 2g 4 (7.4) 7.27(d) VCO PLL VCO FM 7.6.9 -Σ A-D -Σ AD ( ) AD 2 7.28(a) 3-2
ターへ入力することを繰り返すと 出力が H になる頻度は 入力信号の大きさに比例するようになる 実際の出力 は 図 7.28(b) のように H や L の信号が続くことで結合し PWM に類似の波形となる コ ン パレ ータ ー! "# - $% & ' (a) (b) 図 7.28 (a) -Σ 型変調器の原理図 (b) アナログ入力 赤線) に対する -Σ 変調信号の例 付録 K A-D/D-A コンバータ選択 使用上の注意 現在の物理実験家が自ら A-D/D-A 回路を設計製作することはまず考えられないが 集積回路の形で用いる可能性 はある ディジタルオーディオの発展に伴って驚異的な多ビットの DAC などが二束三文で売られるようになり こ れらを上手に使用することで高速/高精度の実験測定系が安価 低労力で得られる可能性がある一方 絶対精度等に は注意が必要である 現在オーディオ用に 24 ビットの DA 変換 IC は極めて安価に手に入 る AD 変換も同様であり 中には 32 ビットのような高いビット数を 持つものもある これらはほとんど -Σ 型の AD 変換器を用いてお り 相対精度が非常に高くて便利である が 絶対精度はあまり当てに できないので 計測に用いる場合は精密機器による較正が必要である 実際に ADC/DAC を選択する場合 データシートをきちんと見る必 要がある まず どのような回路が使用されているのか把握し トラ ブルが生じた際に備える (回路形式が原因の可能性がある) これには ブロック図を見ておけば十分で データシートには大抵簡単なブロック 図が掲載してある 左図は AD7949 の場合であり 中に MUX と書かれた 8 チャンネルのマルチプレクサ (入力チャ ンネル切替器) が入っており ボード線図で 極 が１つだけある低域通過フィルター (LPF) が入れられているこ とがわかる その先は 4bit SAR ADC につながっていて この IC が 4 ビットの抵抗逐次比較型 (successive approximation resistor) の ADC であることがわかる 次に見なければならないのが specification table で 面倒でも定格電圧やノイズ 不確定性の最悪値などをチェッ クし 実験の用途に耐えるものかどうかを調べておく必要がある 最後に A-D 変換方式と分解能 変換速度の 分布図 をあげておく 3-3
K. AD7949 specification table K.2 A-D 3-4