Opmzo o rs prory he rsporo ewor usg deomposo mehodology. esh,. Srv,. Ouveys, G. Curre Trsporo Reserh Pr C, Vol. 9 (), pp. 363-373, (). 468 社会基盤学専攻交通研伊藤篤志
概要 バス専用レーンの最適配置手法の提案 総旅行時間最小化 計算において, 分解法を導入 例題と結果 hp://r.seoul.go.r/les///ed-us-le3.jpg
ベンダースの分解原理 数理計画法の定式化の中に, 構造を異にした 種類の変数が同居例 ) [ 実数変数 ]+[ 整数変数 ] [ 線形変数 ]+[ 非線形変数 ] [ ネットワーク型変数 ]+[ 非ネットワーク型変数 ] 刀根 (7) ) それぞれの問題に分解, それを持ち寄って混合問題を解決する 分解原理 m {z(, y)=+dy, y +y,, R p, y Y R q } 双対問題 m{w(y, u)=dy+u(-y) u, u } 開始 双対問題定式化, w 最小化 u 固定, y について解く, 最大化 y 固定, u について解く, w 最小化 w Yes 終了 No
ベンダースの分解原理 3 問題 実数 二値 - m {z(, y)=+dy, y +y,, R p, y Y R q } 手順 y Y をひとつ選び, 固定 双対問題 m{dy+u(-y) u, u } を解く () m z=3 +5 +y +4y - +3 +3y - y 5-4 + - y + y 8 - + y - y 4,, y, y {, } - - y =, y = とする 4 u u u 5u dy+u(-y) 8u 4u 3 3 5 3 8 4 緩和問題 と に場合分け. () が最適解 u をもつ u を頂点集合 V に入れる. () は下に無界で, μ, μ なる方向 μ がみつかる μ を端線集合 W に入れる m w=5u +8u +4u 3 - u - 4u + u 3 3 3u + u - u 3 5 u, u, u 3 最適解 (u,u,u 3,w )=(4,,7,48) この解を頂点集合 Vに入れる V={(4,,7)} 双対問題の下界
ベンダースの分解原理 4 手順 V, W により定まる次の, y に関する計画問題を解く ( は十分大なる正数 ) dy+u(-y) 4 4 7 7y y y 6y 48 5 3 8 4 y y m{ dy+u(-y) μ(-y) y Y, } ( u V), ( μ W), () m -7y +6y +48 y, y {, } () が不能 原問題も不能, 終了 else ^ ^ () の最適解を (, y) とする 最適解 (y ^, y ^, ^ )=(,,74) 不能 : 可能解が存在しない線形計画問題
ベンダースの分解原理 5 ^ 手順 3 yにより定まる, 次のuに関する線形問題を解く m{dy+u(-y) u, ^ ^ u } を解く () 4 u u u 4 7u dy+u(-y) ^ ^ 7u 5u 3 3 5 3 8 4 とに場合分け. () が下に下界 その方向 μをみつけ, 集合 Wに加えて手順 へ. () が最適解 u^ をもつ dy+u(-y) ^ が成立するかどうかを調べる 成立 yとは原問題の最適解 ( 終了 ) ^ ^ ^ else ^ >dy+u(-y) uを集合 Vに加えて手順 へ m w=4+7u +7u +5u 3 - u - 4u + u 3 3 3u + u - u 3 5 u, u, u 3 最適解 (u^,u^,u^ 3,w^ )=(4,,7,74) ^ () が最適解 uをもつ ^ ^ ^ ^ dy+u(-y)=w =74= ^ が成立, 最適解に達した. (^, ^ )=(5/, 3/)
既往研究 6 RS(Rod Spe lloo): 道路空間再配分 Lol level 幹線リンクへの導入を検討 専用レーンが幹線の交通に与える影響 評価手法を提案 旅行時間, 分散, 初期費用維持費用などの包括的費用 ly e l.(978) l(99) Curre e l.(7) ネットワーク全体を通した最適な道路空間再配分の提示に至っていない Newor level ネットワーク中のあらゆるリンクへの導入を検討. 現存のバスネットワークを保持, 自家用車とバスの間で道路空間を再配分 本研究の対象. バスネットワークの改変も含めた公共交通デザイン問題 (TNDP) 公共交通網の再構築は実現性に劣る 自家用車とバスが相互に与える交通量配分を考えていない
新規性 7 ネットワークレベルで, バスレーン導入の最適組み合わせを見つける手法を提案 包括的目的関数の導入 最適値計算手法の導入
モデル記述 8 モデルの概要 ネットワークデザイン問題 (NDP) として扱う Selerg 問題 Leder: 交通ネットワーク管理者 Follower: 交通ネットワーク利用者 管理者が専用レーンの位置を決定 利用者が旅行時間を最小化する経路を選択 Lel(975) 仮定. OD は一定, 施策の影響を受けない. ネットワーク利用者は自家用車とバスの つに限定 3. レイアウト, リンク情報, コスト関数, 操作詳細は既知 4. バス経路, 頻度, バス停位置は一定 5. 専用レーンの導入に伴い, バスの旅行時間は減るバス停の容量は無限, つのレーンに制限されない
定式化 - 上位問題 9 目的関数 m Z 自家用車 O l mp s バス mp 停車時間 W 総旅行時間 社会的コスト α, β, γ, η( ): 重みづけ, 単位変換, 相対的重要度 = : ネットワーク集合 : 専用レーン導入不可リンク集合 : 専用レーン導入可能リンク集合 ( 導入済 ) : 専用レーン導入可能リンク集合 ( 未導入 ) : バス経路 ( 徒歩リンク, 乗り換えリンク含む ) +/- : リンクの集合 (rom/o ode ) / : リンク の交通量 (): 旅行時間 -, / (): リンク の旅行時間 w : ノード での待ち時間 : バス停の集合 mp / : 社会的コスト ( 排出, 騒音, 事故, 信頼性 ) O : 車利用の平均占有率 l : リンク の長さ (=Σ p L p ξ p, ): リンク 上のバス頻度の合計 L: バス路線の集合 p : バス路線 p の頻度 ξ p, : バス路線リンク行列 s : リンク のバス旅行時間
定式化 - 上位問題 制約条件 s.. E dg or 導入費用 道路管理者が意思決定する要素 リンク にバスレーンを導入するか否か dg: 予算 E : リンク () での専用レーンの導入費用 Φ : ダミー変数 (: リンク混合状態 )
定式化 - 下位問題 OD 表は既与 各リンク交通量 / および旅行時間 / () は四段階推定法により算出 上位問題の制約に従う 3 交通手段分担モデル P U / / ep / epu U epu * X / * X / 自家用車 バス,,, : 説明変数 ( 旅行時間, 費用など ),,, : 係数
4 リンク配分モデル d Y m rs : rs 間経路 上交通量 q rs : rs 間交通割合 δ, rs : リンク が経路 上にあれば 旅行時間 待ち時間最小化 rs 間交通量非負制約専用レーン有リンク専用レーン無リンク定式化 - 下位問題 s r s r q rs rs rs rs rs rs,,,, w q, w mw 目的関数制約条件自家用車 バス 非負制約 q : ノード でのバス利用需要
一般化ベンダース分解の適用 3 制約には二値関数 Φ を含みながら, 上位問題目的関数はフロー関数 で構成されている Φ の固定 つの問題に分枝 二段階問題 Z と下位問題 ( リンク配分モデル ) タスク : サブ問題の双対問題の構築上位問題目的関数に代替する
一般化ベンダース分解の適用 4 d Y m s r s r q rs rs rs rs rs rs,,,, Z と 4 リンク配分モデル ( 自家用車 ) ラグランジュ関数 Y を定義 d Y ω,ω : ラグランジュ乗数 : 繰り返し回数目的関数制約条件 d d d Y Z d d d d 上位問題目的関数 Z の第 項 Z Z mp s mp l O W Z m Z, 式より
一般化ベンダース分解の適用 5 Z と 4 リンク配分モデル ( バス ) ラグランジュ関数 W を定義 w W μ, μ : ラグランジュ乗数 : 繰り返し回数目的関数制約条件上位問題目的関数 Z の第 項 Z w W Z w q, w mw W W Z mp s mp l O W Z m Z 3 4 3, 4 式より
一般化ベンダース分解の適用 6 Z 3 と Z 4 Z Z l mp Z 3 4 O Z =Z +Z +Z 3 +Z 4 : 原問題の上界 s mp 緩和問題 v m v v Z,,,,, E dg v: 原問題の緩和問題, 下界を与える
最適化アルゴリズム 7 Sep 初期値の設定 上界 = 下界 =- 初期解 {Φ } = ε: 収束定数 Sep Φ を固定 下位問題を解き, /, ω, ω, μ, μ, Z (=Z +Z +Z 3 +Z 4 ) を算出 上界 =m( 下界, Z ) Sep /, ω, ω, μ, μ, Z (=Z +Z +Z 3 +Z 4 ) を固定 緩和問題を解き, Φ と v を算出 下界 =v 上界 - 下界 v ε 終了 else =+, Sep に戻る
数値計算例 8 ノード数 : 38 リンク数 : 49 組 (98 方向 ) 各 OD 間で /h の交通量 OD ノードはネットワーク周囲と 6, 7 の右のノード ( 青の四角 ) ペア, 38,/h の交通量 9 バス路線 /5m( 路線 -7), /m( 路線 8,9) 各リンク長 : 4m 各リンク 車線 速度制限 5m/h 予算制約より, 専用レーンは最大 3 組 3 交通手段分担モデルパラメータ (,,, )=(, 6,.9,.) 上位問題目的関数パラメータ (α, β, γ, η)=(.5,.5, 5, ) 専用レーン導入候補
数値計算例 9,,,,,,,,,,, 3, 3 Cp Cp Cp Cp : 自由流でのリンク通過時間 Cp -, : リンク の交通容量 : 専用レーンなし, Cp, =,8 veh/h : 専用レーン有り, Cp, =, veh/h コスト関数 ( 専用レーン ): コスト関数 ( 普通車線 ): 最適値 9/ 回の計算で最適組み合わせを発見
まとめ ネットワークレベルで, バス専用レーンの最適導入の新しい手法を提言 一般化ベンダース分解を適用, 効率的に最適値に収束
本研究の使い道 最適化の計算手法 混合整数計画 専用レーンの導入問題最適化 地震後に緊急車両レーンを設ける, とか
数式 = : ネットワーク集合 : 優先レーン導入不可のリンク集合 : 優先レーン ( 専用レーン ) のリンク集合 : 混合交通リンクの集合 ( 専用レーンなし ) : バス経路, 徒歩リンク, 乗り換えリンク含む +/- : リンクの集合 (rom/o ode ) L: バス路線の集合 : バス停の集合 (=Σ p L p ξ p, ): リンク 上のバス頻度の合計 p : バス路線 p の頻度 ξ p, : バス路線リンク行列 (): 旅行時間 l : リンク () の長さ s : リンク のバス旅行時間 -, / (): リンク () の旅行時間, : 自家用車, : バス, 交通量の関数 : 専用レーンあり, : 専用レーンなし / : リンク の交通量 w : ノード での待ち時間 α, β, γ, η( ): 重みづけ, 単位変換, 相対的重要度
3 下位問題 3 rd model w q s,.. q : ノード でのバス利用需要旅行時間 + 待ち時間最小化 rs 間交通量非負リンク の自家用車交通量ノーマルか対のリンクを流れる制約定式化 - 下位問題 w mw
書式の間 4 開始 双対問題定式化, w 最小化 u 固定, y について解く, 最大化 y 固定, u について解く, w 最小化 w Yes 終了 No ナップサック問題 (KP)