数学 領域別及び評価評価の観点別観点別の平均通過率 1 領域別 数学 A 問題 (%) 年度 平成 3 年度 平成 年度 科目 中学校での内容 数と式図形数量関係 数学基礎 38.3 9.3 3.6 数学 Ⅰ 8.9 71.8 51.6 数学基礎 33.6 31.9 0.9 数学 Ⅰ 76.5 79.6 60.6 数学と人間の 活動 高等学校での内容 社会生活における数理的な考察 身近な統計 64.5 4.0 67.7 方程式と不等式二次関数 75. 61.4 数学と人間の 活動 社会生活における数理的な考察 身近な統計 5. 6.3 68.0 方程式と不等式二次関数 77.0 58. 数学 B 問題 (%) 年度 平成 3 年度 平成 年度 評価の観点別 科目 中学校での内容 数と式図形数量関係 数学基礎 37.7 4.6 3.0 数学 Ⅰ 89.3 56.5 73.7 数学基礎 38.8 57.1 6. 数学 Ⅰ 89.9 85.1 84.1 数学と人間の 活動 高等学校での内容 社会生活における数理的な考察 身近な統計 58.7 51.8 57.3 方程式と不等式二次関数図形と計量 70.4 64.8 64.4 数学と人間の 活動 社会生活における数理的な考察 身近な統計 64.4 43.9 65.7 方程式と不等式二次関数図形と計量 71.6 71.6 57.1 数学 A 問題 (%) 年度科目関心 意欲 態度表現 処理知識 理解 平成 3 年度 平成 年度 数学基礎 61.0 8.9 39.1 4.4 数学 Ⅰ 71.9 68.0 73.6 64.3 数学基礎 51.9 8.0 44.9 9.1 数学 Ⅰ 63.7 70.1 76.3 70.4 数学 B 問題 (%) 年度科目関心 意欲 態度表現 処理知識 理解 平成 3 年度 平成 年度 数学基礎 57.5 46.4 41.0 6. 数学 Ⅰ 76. 61.7 70.0 70.4 数学基礎 64.0 61.6 4.7 30.6 数学 Ⅰ 8.5 68.9 78. 67.6 34
設問ごとのごとの通過率等一覧 1 数学 A 問題 数学基礎数学基礎 (%) 大問 小問 学習指導要領の内容項目等 出題のねらい 評価の観点 通過率 正答率準正答率 誤答率無答率 中 1 数と式 正の数と負の数の四則計算の意味を理解し, その計算ができる 表現 処理 66.6 66.6 3.6 9.8 中 数と式 簡単な連立二元一次方程式を解くことができる 表現 処理 9.8 9.8 8.9 41.3 1 中 3 数と式平方根を含む式の計算ができる 表現 処理.0.0 44. 33.8 (i) (ii) 中 1 数と式 中 1 数と式 条件を満たすマッチ棒の本数を調べようとする マッチ棒の並びを考察し, 文字式を活用することができる 関心 意欲 態度 56.4 56.4 30.8 1.8 16.7 13.1 3.6 37.4 45.9 中 1 図形 立方体において, 頂点を結んでできる平面図形を考察することができる 43.0 43.0 41.6 15.4 中 図形 円周角と中心角の関係を利用して, 角の大きさを考察することができる 19.7 19.7 4.3 38.0 中 3 図形中点連結定理について, 理解している 知識 理解 37.1 37.1 18.0 44.9 中 3 図形 三平方の定理を用いて, 辺の長さを求めることができる 表現 処理 17.7 17.7 56.7 5.6 中 1 数量関係反比例の関係について理解している 知識 理解 5.6 5.6 45.5 8.9 中 数量関係 一次関数のグラフを用いて値を考察することができる 8.9 8.9 43.9 47. 3 中 数量関係 条件にしたがって変わる つの数量関係のグラフを考察することができる 6. 6. 41.3 3.5 中 数量関係起こり得る場合の数を整理しようとする 関心 意欲 態度 44.9 44.9 3.5.6 (5) 中 3 数量関係 一次関数のグラフの特徴を理解し, 値域 ( の変域 ) を求めることができる 表現 処理 1.5 7.3 5. 15.7 71.8 4 数学基礎数学と人間の活動 数学基礎数学と人間の活動 数学基礎社会生活における数理的な考察 数学基礎社会生活における数理的な考察 倍数の判定の方法について関心をもち,3 の倍数かどうかを見分けようとする 表現 処理 59.5 59.5 7.3 13. 図形の面積の求め方を理解している 知識 理解 69.4 69.4 1. 18.4 線対称の考え方を用いて, 折り紙を切り数学的な見方や取ったときの形状について考察することがで考え方きる 社会生活の仕組みに関心をもち, 消費税を計算することができる 6.8 6.8 60.6 1.6 表現 処理 57. 57. 0.0.8 (5) 数学基礎身近な統計 与えられた資料を整理し, 度数を求めることができる 関心 意欲 態度 60.8 60.8 19.6 19.6 (6) 数学基礎身近な統計 アンケートの結果をグラフから読み取ろうとする 表現 処理 74.6 74.6 10.5 14.9 35
数学 A 問題 数学 Ⅰ (%) 大問 小問 学習指導要領の内容項目等 出題のねらい 評価の観点 通過率 正答率準正答率 誤答率 無答率 中 1 数と式 正の数と負の数の四則計算の意味を理解し, その計算ができる 表現 処理 93. 93. 6. 0.6 中 数と式 簡単な連立二元一次方程式を解くことができる 表現 処理 8.7 8.7 13.5 3.8 1 中 3 数と式平方根を含む式の計算ができる 表現 処理 85.0 85.0 13.0.0 (i) (ii) 中 1 数と式 中 1 数と式 条件を満たすマッチ棒の本数を調べようとする マッチ棒の並びを考察し, 文字式を活用することができる 関心 意欲 態度 89.3 89.3 9.3 1.4 64. 58.0 6. 6.7 9.1 中 1 図形 立方体において, 頂点を結んでできる平面図形を考察することができる 78.8 78.8 19.9 1.3 中 図形 円周角と中心角の関係を利用して, 角の大きさを考察することができる 73.6 73.6.6 3.8 中 3 図形中点連結定理について, 理解している 知識 理解 80.6 80.6 11.4 8.0 中 3 図形 三平方の定理を用いて, 辺の長さを求めることができる 表現 処理 54.3 54.3 43.3.4 中 1 数量関係反比例の関係について理解している 知識 理解 50.3 50.3 46.8.9 中 数量関係 一次関数のグラフを用いて値を考察することができる 43.5 43.5 47.8 8.7 3 中 数量関係 条件にしたがって変わる つの数量関係のグラフを考察することができる 58. 58. 37.8 4.0 中 数量関係起こり得る場合の数を整理しようとする 関心 意欲 態度 54.6 54.6 41.6 3.8 (5) 中 3 数量関係 二次関数のグラフの特徴を理解し, 値域 ( の変域 ) を求めることができる 表現 処理 51. 48.1 3.1 38.0 10.8 数学 Ⅰ 方程式と不等式簡単な因数分解をすることができる 表現 処理 71.9 71.9 15.7 1.4 数学 Ⅰ 方程式と不等式分母を有理化する方法を理解している 知識 理解 87. 87. 6. 6.6 数学 Ⅰ 方程式と不等式一次不等式を解くことができる 表現 処理 71.6 71.6 1.0 7.4 4 数学 Ⅰ 方程式と不等式 二次方程式の解の公式について理解している 知識 理解 70. 70. 11.9 17.9 (5) 数学 Ⅰ 二次関数二次関数の 切片について理解している 知識 理解 59.9 59.9 19.6 0.5 (6) 数学 Ⅰ 二次関数放物線の対称性について理解している 知識 理解 6.9 43.6 19.3 7.9 9. 36
3 数学 B 問題 数学基礎数学基礎 (%) 大問 小問 学習指導要領の内容項目等 出題のねらい 評価の観点 通過率 正答率準正答率 誤答率無答率 中 1 数と式 正の数と負の数の四則計算の意味を理解し, その計算ができる 表現 処理 49. 49. 4.6 6. 中 数と式 簡単な連立二元一次方程式を解くことができる 表現 処理 6.3 6.3 31.1 4.6 中 3 図形三平方の定理について理解している 知識 理解 7.9 7.9 47.5 4.6 1 中 1 図形 立方体において頂点を結んでできる平面図形を考察しようとする 関心 意欲 態度 1.3 1.3 57.4 1.3 (5) 中 数量関係 一次関数のグラフを用いて値を考察することができる 14.8 14.8 59.0 6. (6) 中 数量関係場合の数を求めるようとする 関心 意欲 態度 49. 49. 6. 4.6 数学基礎数学と人間の活動 倍数の判定の方法について関心をもち,3 の倍数かどうかを見分けようとする 表現 処理 49. 49. 7.8 3.0 数学基礎数学と人間の活動 図形の面積の求め方を理解している 知識 理解 7.1 7.1 11.5 16.4 数学基礎数学と人間の活動 正六角形の内角の和を求めることができる 44.7 44.7 31.6 3.7 数学基礎数学と人間の活動 与えられた条件から必要な正方形の数を求めることができる 関心 意欲 態度 68.9 68.9 14.7 16.4 (5) 数学基礎社会生活における数理的な考察 立方体の展開図において, つの面の位置関係を考察することができる 51.1 51.1 33.3 15.6 (6) (7) 数学基礎社会生活における数理的な考察 数学基礎社会生活における数理的な考察 社の給与について比較し, 考察することができる 線対称の考え方を用いて, 折り紙を切り数学的な見方や取ったときの形状について考察することがで考え方きる 表現 処理 77.8 77.8. 0.0 36.1 36.1 47.5 16.4 (8) 数学基礎社会生活における数理的な考察 社会生活の仕組みに関心をもち, 割引金額を計算することができる 表現 処理 4.3 4.3 46. 11.5 (9) 数学基礎身近な統計 実験結果から, どちらの画びょうが上向きになりやすいかについて考察することができる 50.0 50.0 5.0 5.0 (10) 数学基礎身近な統計 与えられた資料を整理し, 度数を求めることができる 関心 意欲 態度 58.7 58.7 17. 4.1 (11) 数学基礎身近な統計 条件やグラフから分かることを読み取ろうとする 表現 処理 51.9 51.9 3.1 5.0 (1) 数学基礎身近な統計 アンケートの結果をグラフから読み取ろうとする 表現 処理 68.9 68.9 13.1 18.0 37
4 数学 B 問題 数学 Ⅰ (%) 大問 小問 学習指導要領の内容項目等 出題のねらい 評価の観点 通過率 正答率準正答率 誤答率 無答率 中 1 数と式 正の数と負の数の四則計算の意味を理解し, その計算ができる 表現 処理 91.0 91.0 8.3 0.7 中 数と式 簡単な連立二元一次方程式を解くことができる 表現 処理 87.6 87.6 9. 3. 中 3 図形三平方の定理について理解している 知識 理解 70. 70. 8.7 1.1 1 中 1 図形 立方体において頂点を結んでできる平面図形を考察しようとする 43.0 43.0 56. 0.8 (5) 中 数量関係 一次関数のグラフを用いて値を考察することができる 65.1 65.1 33.8 1.1 (6) 中 数量関係 確率の意味を理解し, 簡単な場合について確率を求めるようとする 関心 意欲 態度 8. 8. 16.5 1.3 数学 Ⅰ 方程式と不等式指数法則を理解している 知識 理解 68.5 68.5 8.1 3.4 数学 Ⅰ 方程式と不等式簡単な因数分解をすることができる 表現 処理 73.4 73.4 14.6 1.0 数学 Ⅰ 方程式と不等式分母の有理化をする方法を理解している 知識 理解 65.9 65.9 6.7 7.4 数学 Ⅰ 方程式と不等式 不等式の性質を用いて, 一元一次不等式を解くことができる 表現 処理 83.6 83.6 9.3 7.1 (5) 数学 Ⅰ 方程式と不等式 解の公式を活用して, 二次方程式を解くことができる 表現 処理 61.0 61.0 18.5 0.5 数学 Ⅰ 二次関数二次関数の 切片を求めることができる 表現 処理 63.3 63.3 18.0 18.7 数学 Ⅰ 二次関数 二次関数の式とグラフの関係について理解している 知識 理解 67.3 67.3 9.9.8 3 数学 Ⅰ 二次関数放物線の対称性について理解している 知識 理解 66.5 55.9 10.6 6.9 6.6 数学 Ⅰ 二次関数 二次関数のグラフを用いて, 最大値, 最小値を考察することができる 6.4 6.4 34.6 3.0 (5) 数学 Ⅰ 二次関数 二次関数のグラフと 軸との位置関係から, 二次不等式の解を求めることができる 64.5 64.5 3.4 3.1 数学 Ⅰ 図形と計量三角比の定義について理解している 知識 理解 71.9 71.9 14.5 13.6 4 数学 Ⅰ 図形と計量 数学 Ⅰ 図形と計量 三角比の相互関係を用いて, 三角比の値を求めることができる 三角形の面積の公式の成り立つ理由を考えて, 三角形の面積を求めることができる 表現 処理 67.1 6.7 4.4 11.9 1.0 50.6 50.6 6.8.6 数学 Ⅰ 図形と計量 相似な図形の体積の比について理解している 知識 理解 68.4 68.4 9.4. 38
具体的な設問の分析昨年度の課題 1 継続課題 解の公式を用いた二次方程式の解き方についての理解が不十分であり, 無答率も高い 三角比を用いた計量の考え方に課題があり, 無答率も高い 今年度の出題のねらい 解の公式を活用して, 二次方程式を解くことができる A 問題数学 Ⅰ4,B 問題数学 Ⅰ(5) A 問題数学 Ⅰ4,B 問題数学 Ⅰ(5) 二次方程式 + 5 + 1 = 0 を解きなさい 解答状況及び誤答分析 転記番号 正答 準正答 誤答 無解答 - 解答類型 A 問題反応 (%) B 問題反応 (%) 1 5 ± 1 と解答しているもの 70. 61.0 5 ± 1 と解答しているもの 0.8 1. 3 と解答しているもの 0. 0.3 5 ± 9 4 5 ± 9 と解答しているもの 0.1 0.1 9 上記以外の解答 10.7 17.0 0 - 無答 17.9 0.5 関連する過去の問題 1 平成 年度 B 問題数学 Ⅰ(5) 二次方程式 + 3 + 1 = 0 を解きなさい ( 通過率 60.1%, 無答率 19.7%) 平成 1 年度 B 問題数学 Ⅰ(5) 二次方程式 + 5 + 3 = 0 を解きなさい ( 通過率 60.0%, 無答率.5%) 改善状況と課題 : 改善, 定着 : 課題 A 問題では, 昨年度まで解の公式を誘導に従って導き出す問題を継続して出題しており, 昨年度の通過率は 71.0%, 今年度の通過率は 70.% と大きな変化は見られない このことから解の公式の活用は定着していると考えられる 今年度も,B 問題では解の公式の定着度を追跡するために, 平成 1, 年度とほぼ同一の問題を出題した 依然として通過率が 60% 程度にとどまり, 誤答率, 無答率はともに 0% 前後と高く, 改善には至っていない B 問題の通過率が,A 問題より 10% 程度低いことは, 年次になって様々な単元で解の公式を想起 適用する場面が少なくなったためと考えられる そのため, 解の公式の学習後も様々な場面でそれを活用する課題に取り組ませることが必要である 今年度の出題のねらい 39
今年度の出題のねらい 三角形の面積の公式が成り立つ理由を考えて, 三角形の面積を求めることができる B 問題数学 Ⅰ4 B 問題数学 Ⅰ4 下の図は,AB=4,AC=5, BAC=30 の三角形 ABC です このとき, 三角形 ABC の 面積を求めなさい 4 B A 30, 5 C 解答状況及び誤答分析 転記 番号 正答 準正答 誤答 無解答 - 解答類型 反応率 (%) 1 5 と解答しているもの 50.6 5 3 と解答しているもの.5 3 10 と解答しているもの 3.7 4 6 と解答しているもの 3.6 9 上記以外の解答 17.1 0 - 無答.6 解答類型の割合をみると, 無答率が.6% と高く, 三角形の面積の公式を活用することができていな い 主な誤答として, 単に 辺の長さをかけて ( 4 5) = 10 とした生徒が 3.7%,3:4:5 の直角三 角形と勘違いして 6とした生徒が 3.6%, 三角形の面積の公式を間違えて cos 30 としている, また 3 は, sin 30 の値をとしているため 5 3 とした生徒が.5% いる 関連する過去の問題 平成 年度 B 問題数学 Ⅰ4 類似 下の図の平行四辺形 ABCD において,AB=,BC=3, B=30 です このとき, 平行四辺形 ABCD の面積を求めなさい A D B 30, 3 C ( 通過率 50.9%, 誤答率 6.9%, 無答率.%) 40
平成 1 年度 B 問題数学 Ⅰ4 平成 年度と同一問題 ( 通過率 45.7%, 誤答率 8.%, 無答率 6.1%) 平成 0 年度 B 問題数学 Ⅰ4 平成 1 年度とほぼ同一問題 ( 通過率 47.8%, 誤答率 8.7%, 無答率 3.5%) 平成 19 年度 B 問題数学 Ⅰ4 平成 0 年度と同一問題 ( 通過率 48.1%, 誤答率 6.0%, 無答率 5.9%) 改善状況と課題 : 改善, 定着 : 課題 ここ数年課題があり改善が求められていた問題である 平成 19 年度から平成 年度までは, 平行四辺形の面積を求める問題であったが, 課題を明らかにするため今年度は三角形の面積を求める問題を設定した しかし, 通過率, 無答率ともに昨年度とほとんど変化はない したがって, 定理や公式を理解して活用することに課題があるのではなく, 定理や公式の理解そのものに課題がある 学校における教科の指導と設問の通過率との関連 指導数学科では, 解の公式を用いた二次方程式の解き方の指導において, 反復練習等により習熟させ る指導を行っている H H3 あまり まったくあてはまらない よく ややあてはまる 県全体 通過率の変化 (%)(H3-H) B 問題 (5) 7.1 0.9 平成 年度調査で あてはまらない と解答し, 平成 3 年度調査で あてあまる と回答した学校の生徒の通過率の変化は 7.1 ポイント上昇し, 県全体の通過率の上昇の 0.9 ポイントより高くなっている 指導数学科では, 三角形の面積を求める指導において, 三角比を用いて高さを表すことを意識した指 導を行っている よく ややあてはまる あまり まったくあてはまらない 通過率 (%) B 問題 4 51.8 39.3 あてはまる と回答した学校の生徒の通過率は, あてはまらない と回答した学校の生徒との通 過率の 1.5% 上回っており, このような指導が通過率の上昇に大きく関係していると考えられる 41
指導改善のポイント 公式や定理について, 数値を代入することなどの素地的な学習を取り入れるとともに, 反復練習等により習熟させる取組みが必要である 特に, 解の公式については, 様々な単元で解の公式を想起 適用するような課題に取り組ませるなどして, 理解の広がりや深まりなど学習の進歩を感じるような指導が必要である p57 A 例題 1 右の図の ABC は, = 36 BC ABCの二等分線と辺 ACとの交点を Dとするとき, 次の問に答えなさい A の二等辺三角形で, = 1である ABC BCD であることを利用して, 線分 CD の 長さを として の二次方程式で表しなさい で求めた二次方程式を解き, 線分 CD の長さを求めなさい B 36, 1 D C 三角比を用いた定理のよさを認識させるために, これまで学習したことに関連させた課題を設けたり, 三角比の考え方を用いて考察させたりする学習活動を行う必要がある p58 例題 ABC について, 次の問いに答えなさい 右の ABC において, どこの角の大きさが分かれば, 辺 BCの長さが求められるだろうか? A A=60 のとき, 辺 BC の長さを求めなさい ( 三平方の定理を用いて考察させる ) AB=c,AC=b, A=A のとき, 辺 BC を b,c,a を用いて表せ ( の考え方を用いて余弦定理を証明させ, そのことから分かることを説明さ せる ) B 5 8 C 4
昨年度の課題 継続課題 二次関数の 切片を求めることが不十分 二次関数のグラフを用いて, 最大値, 最小値を考察することや二次不等式の解を求 めることに課題 今年度の出題のねらい 二次関数の 切片について理解している A 問題数学 Ⅰ4(5) A 問題数学 Ⅰ4(5) 下の図は, 二次関数 = 4 + 5 のグラフです このグラフと 軸との共有点の 座標を求めなさい O 解答状況及び誤答分析 転記 番号 正答 準正答 誤答 無解答 - 解答類型 反応率 (%) 1 5 と解答しているもの 59.9-4 と解答しているもの 0.4 3 1 と解答しているもの 3. 4 と解答しているもの 1.3 9 上記以外の解答 14.7 0 - 無答 0.5 解答類型の割合をみると, 無答の生徒が 0.5%, 誤答の生徒の割合が 19.6% である 関連する過去の問題 平成 年度 A 問題数学 Ⅰ4(5) 二次関数 = + 4 + 5 のグラフと 軸との共有点の 座標を求めなさい ( 今年度と同様 に図あり )( 通過率 58.7%) 改善状況と課題 : 改善, 定着 : 課題 今年度は昨年度と同様に図を示した形で出題し, 通過率にあまり変化が見られなかった 無答の生 徒の割合が二次関数のグラフを用いて 0.5%, 誤答の生徒の割合が, 最大値 最小値を考察することができる 19.6% と高く, 二次関数のグラフの読み取りが不十分なためグラフと 軸との共有点を求める方法が理解できていない 43
今年度の出題のねらい 二次関数のグラフを用いて, 最大値, 最小値を考察することができる B 問題数学 Ⅰ 3 B 問題数学 Ⅰ 3 右の図は, 二次関数のグラフです このグラフについて述べた下の 1~4 のうち, 正しいものはどれですか その番号をすべ て書きなさい ただし,の定義域はすべての実数とします 1 最大値はない 3 最小値は 最大値はある 4 最小値は より小さい O 1 解答状況及び誤答分析 転記 番号 正答 準正答 誤答 無回答 - 解答類型 反応率 (%) 1 1,4 と解答しているもの 6.4 4 と解答しているもの 9.1 3 1,3 と解答しているもの.4 4,4 と解答しているもの 5.0 5,3 と解答しているもの 0.9 6 1 と解答しているもの 8.3 9 上記以外の解答 8.9 0 無答 3.0 グラフから最大値 最小値を考察する問題である 昨年度までの上に凸のグラフから変更するとともに, 選択肢の数を 5 個から 4 個に減じた 通過率は 4.0 ポイント減少した 4 のみを解答した生徒が 9.1% お り, 限りなく大きくなることを 最大値なし と答えることが身に付いていない 76.5%( 転記番号 1++4) の生徒は, 下に凸のグラフを用いて最小値を判断できている 関連する過去の問題 平成 年度 B 問題数学 Ⅰ 3 ( 通過率 66.4%) 右の図は二次関数のグラフです このグラフについて述べた下の 1~5 のうち, 正しいものはどれですか その番号をすべて書きなさい ただし, の定義域はすべての実数とします 1 最小値はない 最小値はある 3 最大値は 1 4 最大値は 5 最大値は より大きい O 1 44
改善状況と課題 : 改善, 定着 : 課題 二次関数のグラフを用いた最大値 最小値の考察について, 平成 年度共通学力テスト B 問題からグラフと選択肢の数を変えた形で出題したところ, 通過率は 4.0 ポイント下回っている 選択肢 4 を解答した生徒の割合が 9.1%,,4 を解答した生徒の割合が 5.0%,,3 を解答した生徒の割合が 0.9%, 上記以外を解答した生徒の割合が 8.9% であり, それらを合わせた約 5% の生徒は, 最大値が限りなく大きくなることを 最大値なし と答えることが身に付いていない 今年度の出題のねらい 二次関数のグラフを用いて, 二次不等式の解を求めることができる B 問題数学 Ⅰ3(5) B 問題数学 Ⅰ3(5) 次の文章は,Aさんが, 二次不等式 + < 0 を解いたときの解き方について説明したも のです 文章中のアにあてはまる式は, 下の 1~4 のうちどれですか その番号を書きなさい 二次関数 = + のグラフは, 異なる 点で 軸と交わり, 右の図のようになります したがって, = + のグラフを利用して, 二次不等式 - O 1 1 + < 0 の解を求めると, アとなります, 1 <, 1 < 3 1 4 < < 1 解答状況及誤答分析 転記番号 正答 準正答 誤答 無解答 - 解答類型 反応率 (%) 1 1 と解答しているもの 4.0 と解答しているもの 15.0 3 3 と解答しているもの 13.3 4 4 と解答しているもの 64.5 9 上記以外の解答 0. 0 - 無答 3.1 通過率 64.5%, 誤答率 3.4%, 無答率 3.1% で昨年度とほぼ同じであり,35.5% の生徒は二次関数の グラフと 軸の位置関係から二次不等式の解を求めることについてのの定着 が不十分である 45
関連する過去の問題 平成 年度 B 問題数学 Ⅰ3(5) ( 通過率 65.8%) 次の文章は,Aさんが, 二次不等式 < 0 を解いたときの解き方について説明したものです 文章中のアにあてはまる式は, 下の 1~4 のうちどれですか その番号を書きなさい 1 二次関数 = のグラフは右の図のようになり, 異なる 点で 軸と交わります したがって, = のグラフを利用して, 二次不等式 < 0 の解を求めると, アとなります 1, < 1, < 3 1 4 1 < < - 1 O 改善状況と課題 : 改善, 定着 : 課題 平成 年度 B 問題 3(5) とほぼ同一の問題を出題したところ, 通過率は 65.8% から 64.5% にやや減少した 解答類型に着目してみると,3 と解答している生徒の割合は昨年度 13.6%, 今年度が 13.3% であり, 不等号の意味を理解していない生徒の割合に変化はない また,1 もしくは と解答している生徒の割合は 19.0% であり, 二次関数のグラフを用いて, 二次不等式を考察することができていない生徒も多く, 二次不等式の解を求めることは引き続き課題である 学校における教科の指導と設問の通過率との関連 指導数学科では, 二次関数のグラフと 軸との共有点を求める指導において, 切片や共有点といっ た用語の意味を正確に理解させる指導を行っている よく ややあてはまる あまり まったくあてはまらない 通過率 (%) A 問題 4(5) 60.6 46.5 あてはまる と回答した学校の生徒の通過率は 60.6% であり, 用語の意味についても丁寧な指導を行 うことで効果があると考えられる 指導数学科では, 二次関数の最大値, 最小値を考察する指導において, 定義域によって, 最大値, 最 小値が変化することをグラフを積極的に用いてとらえさせるなどの指導を行っている よく ややあてはまる あまり まったくあてはまらない 通過率 (%) B 問題 3 63.8 44.4 学習場面においてグラフを積極的に活用することで通過率は高くなっている 指導数学科では, 二次不等式の解を求める指導において, グラフから読み取れることを発表させるな どグラフを積極的に活用する指導を行っている よく ややあてはまる あまり まったくあてはまらない 通過率 (%) B 問題 3(5) 65.4 54.6 グラフから読み取れることを発表させるなどグラフを積極的に活用することで, 通過率は高くなって いる 46
指導改善のポイント グラフから関数の性質を考察させたり, グラフを用いて考察したことを発表させるな ど, グラフを積極的に活用させる学習活動を取り入れることが必要 p56 例題次の ~ の二次関数のグラフから読み取れることをすべて書きなさい = 1 = 1 ( 0 3) - O 1-1 - O 1 3 = + + 1 = + + 1 ( 1 ) O 1 1 O 1-47
昨年度の課題 3 継続課題 つの数量関係のグラフを考察することに課題 今年度の出題のねらい 条件にしたがって変わる つの数量関係のグラフを考察することができる A 問題数学 Ⅰ3 A 問題数学 Ⅰ3 AB=6 cm,bc=5 cm,cd=3 cm,da=4 cm, BAD=90,AB//DC の台形 ABCD があります 点 Pが点 Aを出発し, 辺 AB 上と辺 BC 上を毎秒 1 cm の速さで移動し, 点 Cまで動くものとします 点 Pが点 Aを出発して 秒後の ADP の面積を cm とするとき, と の関係を表したグラフは, 下の 1~4 のうちどれですか その番号を書きなさい D 3cm C 4cm 5cm A 6cm P B 解答状況及び誤答分析 転記番号 正答 準正答 誤答 無解答 - 解答類型 反応率 (%) 1 1 と解答しているもの 6.0 と解答しているもの 58. 3 3 と解答しているもの 16. 4 4 と解答しているもの 15.3 9 上記以外の解答 0.3 0 - 無答 4.0 誤答として, 点 Pが頂点 Bに到達した以降, ADP の面積について,AD を底辺としてとらえるという見方ができず, 面積は変わらない ( 転記番号 3), または, 増加する ( 転記番号 4) と間違えた生徒が合わせて 31.5% いた 関連する過去の問題 平成 年度 A 問題数学 Ⅰ3 今年度と同一 ( 通過率 56.7%) 誤答として, 点 P が頂点 B に到達した以降, AEP の面積について,AE を底辺としてとらえ るという見方ができず, 面積は変わらない, または, 増加すると間違えた生徒が合わせて 31.7% いた 48
改善状況と課題 : 改善, 定着 : 課題 平成 年度と同一問題であり, 通過率は 1.5 ポイント上がったが, 誤答率も含めて全体的にあまり変化が見られなかった 解答類型の割合を見ると, 面積は変わらない, または, 増加すると間違えた生徒が合わせて 31.5% おり, 点 Pが頂点 Bに到達した以降, ADP の面積の変化を考察することができていない これらのことから, 中学校までに学習する数量関係など基礎的 基本的な学習内容の理解について引き続き課題である 学校における教科の指導と設問の通過率との関連 指導数学科では, つの数量関係のグラフを考察する指導において, 中学校で学習した内容につ いて復習を行い, 基礎的 基本的事項を定着させるようなスパイラルな指導を行っている あてはまる と回答した学校の割合が, 平成 年度は 69.1% で, 平成 3 年度は 7.% で あり,3.1 ポイント増加した その結果,A 問題数学 Ⅰ3 の通過率が, 平成 年度は 56.7% で, 平成 3 年度は 58.% であり,1.5 ポイント上昇した 指導改善のポイント 必要に応じて中学校で学習した内容についての復習を行い, 基礎的 基本的事項を定 着させるよう繰り返し学習を行うことが必要 p55 例題 面積が 0cm である三角形において, 底辺を cm, 高さを cm としたとき, と の 関係を表したグラフは, 下の 1~4 のうちどれですか またその理由を説明しなさい 1 3 4 O O O O 49
昨年度の改善状況 < 中学校までに学習する内容について > 一次関数 ( グラフを活用して値を考察することができる ) 二次関数 ( 値域を求めることできる ) 課題 今年度の出題のねらい 一次関数のグラフを活用して値を考察することができる A 問題数学 Ⅰ3 下のグラフは, 一次関数のグラフです この一次関数において, = 1のときの の値を求めなさい A 問題数学 Ⅰ3 6 O 3 解答状況及び誤答分析 転記番号 正答 準正答 誤答 無解答 - 解答類型 反応率 (%) 1 4 と解答しているもの 43.5 と解答しているもの 3.7 3 3 と解答しているもの 3.8 4 5 と解答しているもの 1.8 9 上記以外の解答 18.5 0 - 無答 8.7 誤答率 47.8%, 無答率 8.7% を合わせた 56.5% の生徒が, グラフから の値に対する の値 を正確に読みとることができていない 関連する過去の問題 平成 年度 A 問題数学 Ⅰ3 下のグラフは, 一次関数のグラフです この一次関数において, = 1のときの の値を求めなさい 4 正答 = ( 通過率 67.%) O 改善状況と課題 : 定着 : 課題 今年度も,A 問題において平成 年度共通学力テストとほぼ同一の問題を出題したところ, 通過率は 43.5% で, 平成 年度の通過率 67.% に比べ,3.7 ポイント下がっており, 一次関数のグラフを活用して値を考察することが定着していないことが分かった 50
今年度の出題のねらい 二次関数のグラフの特徴を理解し, 値域 ( の変域 ) を求めることができる A 問題数学 Ⅰ3(5) A 問題数学 Ⅰ3(5) 下の図は, 関数 = のグラフです このグラフで - 3 に対応する部分を解答用紙の図に実線で 示し, 定義域 ( の変域 ) が - 3 のときの 値域 ( の変域 ) を求めなさい 解答状況及び誤答分析 転記 番号 正答 準正答 誤答 無解答 - 解答類型 反応率 (%) 1 グラフの該当部分を正しく示し,0 9 と解答しているもの 48.1 グラフの該当部分は正しく示していないが,0 9 と解答しているもの 3.1 3 グラフの該当部分を正しく示しているが,4 9 と解答しているもの.7 4 グラフの該当部分を正しく示していない上に,4 9 と解答しているもの 5.6 5 グラフの該当部分を正しく示しているが,-4 9 と解答しているもの 0.5 6 グラフの該当部分を正しく示していない上に,-4 9 と解答しているも の 0.4 9 上記以外の解答 8.8 0 - 無答 10.8 値域の意味を正確に理解していないため, 一次関数と同様に定義域における両端の の値を関数 の式に代入し, 誤答として,4 9 と答えた生徒 ( 転記番号 3+4) が 8.3% いる 関連する過去の問題 平成 年度 A 問題数学 Ⅰ3(5) 下の図は, 関数 = のグラフです このグラフで - に対応する部分を解答用紙の図に実線で 示し, 定義域 ( の変域 ) が - のときの 値域 ( の変域 ) を求めなさい ( 通過率 67.6%) 改善状況と課題 : 改善, 定着 : 課題 二次関数の値域を求めることについて, 平成 年度共通学力テスト A 問題とほぼ同一の問題を出題したところ, 通過率は 16.4 ポイント下がっており, このことについて課題がみられる 解答類型の割合をみると, グラフは正しく示しているが, 値域を読み取ることができず,4 9と答えた生徒が 8.3% おり, グラフの読み取りに課題がある 51
学校における教科の指導と設問の通過率との関連 指導数学科では, 一次関数のグラフを用いて値を考察する指導において, 中学校で学習した内容について復習を行い, 基礎的 基本的事項を定着させるようなスパイラルな指導を行っている 誤答として, と解答している生徒が 3.7% いる これは, グラフ上に与えられている条件である 切片 6と 切片 3を用いて,6 3= を計算し, 解答していると考えられる また, この計算から,ずつ変化していることに気付き, そのまま と解答していると考えられる これらのことから, 一次関数のグラフを考察することや, 中学校で学習した内容について定着させるような指導が必要である 指導数学科では, 二次関数の値域を求める指導において, 定義域によって, 値域が定まることを グラフを用いて実感的にとらえさせるなどの指導を行っている よく ややあてはまる あまり まったくあてはまらない 通過率 (%) A 問題 3(5) 5.7 3.0 あてはまる と回答した学校の生徒の通過率は 5.7% で, あてはまらない と回答した学校の生徒 の通過率は 3.0% であり,9.7 ポイント上回っている グラフを用いて実感的にとらえさせるなどの 指導を行うことで効果があると考えられる 指導改善のポイント グラフから関数の性質を考察させたり, グラフを用いて考察したことを発表させるな ど, グラフを積極的に活用させる学習活動を取り入れることが必要 p56 5
昨年度の課題 改善 規則的に並んでいるものを考察し, その規則性について文字式を活用して表すことは 改善 今年度の出題のねらい マッチ棒の並びを考察し, 文字式を活用することができる A 問題数学 Ⅰ1(ⅱ) A 問題数学 Ⅰ1(ⅱ) 正三角形と正方形をそれぞれ n 個作るには, マッチ棒は全部で何本必要ですか n を用いた式で表しなさい 解答状況及び誤答分析 転記 番号 正答 準正答 誤答 無解答 - 解答類型 反応率 (%) 1 5 n + 1 と解答しているもの 58.0 ( 1) 6 + 5 n のように式を変形すると 5 n + 1 となる式を解 答しているもの ( 準正答 ) 6. 3 6 n と解答しているもの 1.7 4 6n と解答しているもの 0.3 5 5 n と解答しているもの.0 9 上記以外の解答.6 0 - 無答 9.1 通過率 64.%( 正答率 58.0%, 準正答率 6.%) 解答類型の割合を見ると, 正答の生徒の割合 58.0% で, 昨年度に比べ,17.1 ポイント上昇した 53
関連する過去の問題 平成 年度 A 問題数学 Ⅰ1(ⅱ) 類似 n 段目には, 正三角形は全部で何個ありますか n を用いた式で表しなさい 1 段目 段目 正答 n 1 準正答 1+ ( n 1) のように変形すると 3 段目 n 1 になるもの ( 通過率 48.8% 正答率 40.9% 準正答率 7.9% ) n と解答している生徒の割合が 13.1% と高く, 無答の生徒の割合は 11.6% である 改善状況と課題 : 改善, 定着 : 課題 平成 年度共通学力テストと類似な問題で規則的に並んでいるものを文字式を活用して表す問 題を出題したところ, 通過率は 15.4 ポイント上回り, 改善が見られた 今年度も昨年度と同様に具体的な事象を考察し,n 番目を n を用いた式で表す問題である 昨年 度は,n 段目までの総和を求め, n と解答した生徒が 13.1% いた これは, 出題のねらいであ る, 事象を考察し文字式を活用することと併せて, 題意を読み取ることも課題であったと考えら れる 今年度は, 通過率が 64.% で, 事象を考察し文字式を活用することと併せて, 題意を読み 取ることについて, 改善が見られた 次年度以降, 定着を図るためには, 授業等で生徒に考察さ せる場面において, 生徒実態に応じた適切な課題の提示や, どのように課題を考察させるかなど の指導の工夫を継続して行っていくことが大切である 54
課題の改善改善に効果的効果的な指導方法ア 必要に応じて中学校で学習した内容についての復習し, 基礎的 基本的事項を定着させるよう繰り返し学習を行うこと の具体的な事例 四則計算四則計算 について, フラッシュ型教材型教材を活用活用したした反復練習反復練習を取り入れ, 計算力を定着定着させるさせる指導 ( 県立加計高等学校 ) 中学校における既習事項を含む基礎的 基本的な学習内容の理解や処理が不十分な状況に改善が見られた 数学 A 問題において, 数と式 の通過率が, 県全体の変化に比べ 13.6 ポイント高い 数学 A 問題において, 関心 意欲 態度 の通過率が, 県全体の変化に比べ 11.8 ポイント高い 中学校数と式 計算問題において, 発問に対してすぐに答えさせるという展開で実施 ( フラッシュ型教材等を活用した展開を参考 ) 具体例 3 + の因数分解を考える場合 質問 : 足して -3, かけて になる数は何と何?(5 秒ほど空けて ) では くん くん : -1と - 計算問題の小テストを繰り返し実施し, 計算力の向上を図る その際, 基本的な四則計算の力を向上させることに主眼を置き, 難易度の高くないものを 何度もする できる ことにより, 小テスト no.04 ( ) 番名前 ( ) 学習意欲の向上もねら 問題次の式を展開しなさい いとする ( + 5) ( 5 ) ( 7 + 4)(7 4) ( + )( + 3) (5) ( + 8)( 10) (6) ( 7)( 4) (7) ( 5 + 3)( + 7) (8) ( 4 + 1)(3 ) (9) ( 5)(3 + 4) 3 (10) ( + ) 指導改善のポイント 基礎的 基本的な学習内容の理解や処理に関わる計算力を定着 させるために, 四則計算 の繰り返し学習を行う 55
イ グラフから関数の性質を考察させたり, グラフを用いて考察したことを発表させるなど, グラフを積極的に活用させる学習活動を取り入れること の具体的な事例 二次関数の最大値最大値 最小値最小値について, 積極的にグラフグラフを活用活用し, 考察することをすることを取り入れた指導 ( 県立五日市高等学校 ) 二次関数において, グラフから考察することや, グラフの読み取りが不十分な状況が改善された A 問題において, 二次関数 の通過率が, 県全体の変化に比べ 11.1 ポイント高い A 問題において, 関心 意欲 態度 の通過率が, 県全体の変化に比べ 11.4 ポイント高い 二次関数の最大値 最小値 指導過程 問 1 関数 = 4 + 1 の定義域として次の範囲をとるとき, 各場合について, 最大値と最小値を求めよ 1 1 3 3 4 指導上の留意点定義域の違いによって, 値域が変化することに気付かせるため, 同一の関数を扱う 平方完成し, 関数のグラフをかく = ( ) 3 ~ について, 最大値と最小値を考察する グラフの対称性に着目させ, 最大値や最小値が定義域によって変わることに気付かせる 1つのグラフに ~ の定義域を書き込ませ, グラフを用いて最大値や最小値を考察させる 関数 = + 4 1 を取り上げ, その最大値と最小値を, 定義域が ~ の場合について考察する 問 1 と 軸対称のグラフで, 上に凸の場合を考えさせるこ とにより, 理解の定着を図る 指導改善のポイント グラフを活用することの重要性を認識させるために, 同じ関数 のグラフにおいて, 定義域を変化させ考察させる指導を行う 56
ウ 学習の基盤となる素地的な学習を取り入れるとともに, 反復練習により習熟を図る また, 様々な単元で解の公式を想起 適用するような課題に取り組ませること の具体的な事例 解の公式公式を定着定着させるため, 反復練習を繰り返して行うとともに, 解の公式公式を活用活用するする単元単元ごとにごとに丁寧丁寧に復習復習し, 理解の広がりやがりや深まりなど学習学習の進歩進歩を感じさせるじさせる指導 ( 県立西城紫水高等学校 ) 解の公式の定着状況に改善が見られた B 問題において, 方程式と不等式 の通過率が, 県全体の変化に比べ 9. ポイント高い 解の公式に数値を代入することの定着を図る指導 3 導入 ( + 3),(1 + ) など展開公式に数値を代入する場面において, 事前に公式への数値代入について重点的に指導する まず, 数値を代入することの定着を図る 展開 すべての問題において, 係数, 定数項 a, b, c の値をそれぞれ確認して代入させる 反復練習を取り入れた指導 毎時, 下記のように解の公式を記入してから利用するという形式で小テストを実施 解の公式 a + b + c = 0 の解は = 次の 次方程式を解け + 5 + 1 = 0 毎時, 確認の小テストを実施し, 達成感 成就感を味わわせる 理解の広がりや深まりなど学習 他の単元において, 学習の進歩を感じさせる指導 の進歩を感じさせる 数学 Ⅱ 高次方程式 の授業において, 次のような指導を行う 1 数学 Ⅰで扱った解の公式を丁寧に復習する 数を複素数に拡張した場合において, 解の公式を活用する 3 解の判別及び解と係数の関係を理解させる際, 解の公式を活用して説明する 指導改善のポイント 素地的な学習を取り入れるととも, 解の公式について反復練習等により習熟させるとともに, 学習の進歩を感じさせる指導を行う 57
エ 三角比を用いた定理のよさを認識させるために, 身近な事象と関連付けた課題を設け, 三角比の考え方を用いて考察させる学習を取り入れた指導 の具体的な事例 三角比を用いたいた考え方の有用性有用性を実感実感させるさせるために, 実測し考察考察させる学習学習を取り入れてれて定理定理を導かせるかせる指導 ( 県立湯来南高等学校 ) 事象を考察することや数学の有用性を認識できていない状況に改善が見られた 図形と計量 / 正弦定理 指導例 正弦定理を学ぶ前に, 実測によって正弦定理を予測させる ( ワークシート 1,) 1 円に内接する三角形 ABC をかこう 三角形の各辺の長さ a,b,c と, 角 A,B, Cの大きさを求めよう 3 三角比の表を用いて sin A,sin B, sin C の値を求めよう 4 電卓を使って a, sin A b B sin を求めよう 5 気付いたことを書いてみよう 6 気付いたことを発表してみよう 正弦定理を証明する 7 正弦定理の証明を理解しよう ワークシート 1 B 問題において, 図形と計量 の通過率が, 県全体の変化に比べ 10.5 ポイント高い sin c C の値 1 から 5 の流れにより, 三角比を辺の長さの間にある関係を気付かせる ワークシート 三角比の値と辺の長さの関係を考察させた上で, 定理の証明を行う 指導改善のポイント 三角比を用いた定理のよさを実感させるために, 三角比を含む値を実測し考察させる主体的な学習活動を取り入れた指導を行う 58