B.3 費用最小化問題 生産要素価格 生産量所与生産量所与 生産費用を最小化する生産要素投入量の決定 利潤最大化問題より まずは費用最小化問題 1 利潤最大化の必要条件 2 利潤最大化問題 = 生産財価格の受容者としての 利潤最大化問題 収穫一定 規模の経済の下で不適 1
B.3.1. 生産費用の概念 定義 B.26 固定費用 -fied cost 生産計画期間中に投入量変更不可な生産要素費用 1 埋没費用 -sunk cost 動学的費用 2 減価償却費 -depreciation d i cost 3 維持費用 -maintenance cost 静学的費用 4 経営管理費 -management cost etc. 定義 B.27 可変費用 -variable cost 生産計画期間中に投入量可変な生産要素費用 定義 B.28 限界費用 -marginal cost 産出量の限界的増加に伴う総生産費用の増分増分 2
第 1 生産要素以外を固定要素とする 固定生産費用 n C f f, f j 2 j j B.14 総生産費用 fied C ; 1, f, f C v ; 1, f C f f, f variable B.15 投入量は最適化された状態 3
定義 B.29 制約付要素需要関数 -constrained factor demand function h 1 1 ; f f 1 ; f 費用関数 : C ; 1, f, f 1 h 1 ; f C f f, f B.16 平均可変費用 -average variable cost: AVC C v ; 1, f / 平均固定費用 -average fied cost: AFC C f f, f / 平均費用 -average cost: AC AVC AFC 限界費用 -marginal cost: MC C ; 1, f, f 4
5
B.3.2 費用最小化問題と費用関数の導出 min k k i i n i i v R k s.t. i 1 i k 1 f v; f f B.18 min v R k k i 1 i i s. t. f v ; f B.19 費用最小化問題 k min i i v R k v R i 1 s. t. f v ; f 0 不等号制約 6
等号制約付最大化 / 最小化問題 ma h R k min h k R s. t. g s. t. g ラグランジュ未定乗数法 ラグランジュ関数の設定 L, h g ラグランジュ乗数 : 最適において 制約の限界的な変化分 目的関数の変化分? 産出量の 1 単位増加 生産費用の増分? 7
最小化 1 階条件 {i L, i 0 i L, i 0 {ii L, 0 L, 0 L, i 内点解 h i g i 端点解 L, 制約が有効 g 0 0 0 0 i 0 i 0 0 0 8
費用最小化問題 k L v, i 1 i i f v ; f B.15 最適の 1 階条件 -first-order condition FOC 内点解 : 端点解 : i f v ; f if i 0, i i f v ; i f if i 0 B.16 B.17 生産制約 : f v ; f B.18 9
費用最小化の 1 階条件図解 内点解の場合 等量曲線上 + 最下方の等費用直線上 1 2 TRS 12 v,; f 要素 i を増加して産出量を 1 単位増加するための費用 i i f v ; f 最適における限界費用 10
費用最小化の 1 階条件図解 端点解の場合 要素 1 を増加して産出量を 1 単位増加するための費用 1 f v ; f f 1 最適における限界費用 等量曲線上 + 最下方の等費用直線上 2 * = * f v ; f 2 要素 1 の価格が高い 1 2 TRS 12 v,; f 11
費用最小化の 2 階条件図解 内点解の場合 1 階条件 2 階条件 : 生産関数の垂直断面の形状 12
テーラー展開 2 変数の場合 f + Δ, + Δ = 1 k = 0 k! Δ + Δ k f 2 次までの近似 : f Δ,, Δ f, f, Δ f, Δ 1 2 f, Δ 2 2 2 f, ΔΔ 2 f, Δ 2 2 2 2 13
生産関数の最適解近傍でのテイラー展開 f 1 1, 2 2 f 1, 2 1 2 f 1 1 f 2 2 2 f 2 1 2 2 2 f 1 1 1 2 2 f 2 2 2 2 2 f 1, 2 f 1, f 2 1 2 1 2 f 11 f 12 1, 2 1 f 21 f 2 22 f が上に凸 1 階条件 : f 1 1 f 2 2 0 1, 2 f 11 f 12 1 2 0 s. t. f 1,f 2 1 2 0 f 21 f 22 D v 2 f v ; f が半負値定符号 14
費用最小化の 2 階条件図解 端点解の場合 15
定義 B30 B.30 代替の弾力性 所与の産出量の下で 同一等量曲線上で 生産要素価格比 i / j の変化 費用最小化投入量比 i / j の変化 変化率の比 = 代替の弾力性 i / j d i / j i / j ij d i / j ij h ; v, f B.31 16
代替の弾力性の解釈 d i i j j i j d i j i j d 1 i/ j d i / j i d i 要素間の i / j d i / j j j 費用分配比 i 1 i j d j i j σ>1 弾力性高 価格上昇 < 需要減少 費用シェア σ<1 弾力性低 σ=11 価格上昇 > 需要減少 費用シェア 価格上昇 = 需要減少 費用シェア : 一定 17
B.3.3 長期 短期費用の関係 長期費用最小化問題 最適解 min v R n n i 11 i i s. t. f h ; h 1 ;,,h n ; n C ; i 1 i h i ; 最適解 C ; min f C ; v, f, f h f ; f 短期費用 k 1,, n C ; C ; v, f, h f ; 18
長期 短期限界費用 C ; C ; C ; v, f, h f ; B.43 0 C ; v, f, h f ; C ; v, f, n f, f i k 1 i = C ; v v,, f f,, f h i ; i 固定要素投入量の最適化を通した費用の増分 C ; C ; v, f, f B.45 19
長期費用曲線 = 短期費用曲線の下側包絡線 平均費用曲線についても同じ 図 B21 B.21 図 B22 B.22 20
B.3.4 費用関数の性質事実 B.16 費用関数と産出量 ' > C '; C ; 非減 { : V } > 0 C ; = inf > C; ; ie i.e., :V の支持関数 ' > V ' V ' > C '; C ; NOTE:C が微分可能 C ; 0 ラグランジュ乗数 21
事実 B17 費用関数は要素価格に関して非減少 事実 B.17 費用関数は要素価格に関して非減少 ; ' ; ' C C 費用最小化 ' ; ; ; h h C = ' ; ' ; ' ; ; ; C h h h C = ' 22
事実 B.18 費用関数は要素価格に関する 1 次同次 C ; t tc ; t 0 費用関数の定義により C ; t t h,t t h, もし強い不等号が成立するならば t h, t t h, t で割る h, t h, : 費用最小化に矛盾 23
事実 B.19 費用関数の凹性 要素価格フロンティアの凸性 1 0 1 証明 C ; C ; 1 C ; C ; i i i 1 n C ; i i n i 11 n C ; i i i 1 事実 B.20 費用関数は要素価格に関して連続 凹関数 連続関数 24
双対性による幾何学的解説 : 等量曲線と要素価格フロンティア 定義 B.31 要素価格フロンティア -factor price frontier v 1,, k R k C v ; v, f C v 産出量 + 生産費用所与 費用最小化と整合する要素価格ベクトルの集合 25
要素価格フロンティアの描き方 Step 1. 投入量象限上 要素価格象限上の等費用線 3 第 2 要素のみ用いた場合の等費用価格投入曲線を描く C v / 2 1 1 2 2 C v 1 1 2 2 C v 4 投入ベクトル A を所与とした等費用線を描く C v / 1 1 等量曲線を描く 2 第 1 要素のみ用いた場合の等費用価格投入量曲線を描く 26
Step.2. 要素価格フロンティアの構成 * C v / 2 C v * / 1 図 B6 B.6 27
費用関数の要素価格に関する 1 次同次性 t 倍 C v * / 2 C v * / 2 t : 1 1: t 不動 C v * / 1 28
k min k i i 双対問題 ma v R k i 1 s. t. f v ; f i i v C v ; v, f k s. t. i i C v i 11 B.44 双対性 要素投入量に関する 要素価格に関する 準凹生産関数 凹費用関数 29
事実 B.21 シェパードの補題 -Shephard s lemma C が * で微分可能 証明 : i h i ; ; C ; n i 1 i i 0 i C ; h i ; : 要素価格の 1 次同次関数 30
FOC: i ; i C ; i 0 事実 B.22 要素価格フロンティアの勾配 - 双対問題 1 階条件 n i 1 i C v ; n d i i 1 i d i 0 d i d j dc 0 d 0 d l 0, l i,j j i 0 31
32
事実 B.23i 制約付要素需要関数の要素価格に関する 0 次同次 h i ; v, f h i ;t v, f t 0 33
事実 B.23 ii 費用関数の要素価格に関する凹性 + 2 階微分可能性 半負値定符号 対称 シェパードの補題 要素価格に関して非増 h i i ; 0 D C ; h, 交叉効果の対称性 j h i ; i h j ; dh D 2 C ; d 制約付要素需要逓減の法則 : d dh d D 2 C ; d 0 34
補足 : シェパードの補題と双対定理定義 : 支持関数 -support function - 非空の閉集合 : R m V R 任意のについての V の支持関数 : m m μ = inf{ : V} 2 μ 2 2 1 / 2 μ2 1 1 35
観察 1 V が凸 } : { m m m R R V = μ V が非凸 } { m m R R V 凸包 } : { m m m R R V の凸包 = μ 36
観察 2 一次同次 凸関数 ' ' = α + 1 α ' α [0,1] V V s. t. μm '' = ' ' μ '' = α + 1 α ' m αμ + 1 α μ ' m m 37
双対定理 -The dualit theorem V: 非空閉集合 μm : V の支持関数 唯一の V s. t. = μm μ m が m において微分可能 μ = m = 38
レオンチェフ型生産関数 2 2 μ μ 2 1, 2 1 = 1,2 2 1 μ2 = 2 =1,2 2 1 2 μ + 2 = 2 1 2 39
事実 B.24 収穫一定技術と費用関数 生産関数 f が収穫一定 C ;,h i ; も収穫一定 h ; : CRS in C ; : CRS in C ; = h ; i.e., h ; h ; を示せばよい Step 1 Step 2 ' s. t. f ' ' h ; h ; i.e., を 倍した投入ベクトルが 最小費用で産出量 を実現できる h ; h ; 40
h ; とする m ' R+ 任意のについて : f ' 1 f ' f が収穫一定 : f 1 f 1 ' ' h ; = 1 f ' 1 ' 41
' 1 ' 両辺 かける ' f = i.e., を 倍した投入ベクトルが f ' ; h 1 と置き換え投最小費用で産出量 を実現できる ; h ; h ; ; h h ; ; h h h h 42 ; ; h h =
事実 B.25 収穫逓減技術と費用関数 が凹 は に関して凸 C ; f ' f '; ' ; h h f + 0,1 ' 1 ; ' ' 1 '; 1 ; C C + = + 費用関数定義 1 f C = + 費用関数定義費用関数定義 '; 1 ; C f C + f f f の凹性 費用関数定義 43 ' 1 f f f +
事実 B26 B.26 制約付需要関数の凸性 V: 凸 h;: 凸 { n R : = C ; } h ; = V 123 + 144 44 24444 3 凸 h ; : 凸 凸 44
V: 強凸 h;: 単一要素 仮定, ' h ; ' " V ' + 1 ' h ; h の凸性 '' V s. t. + 1 ' > > '' V の強い凸性 矛盾 { + 1 ' } > ' ' h は単一要素 45
V が弱凸の場合 46
V が角を持つ場合 47
V が非凸の場合 48
事実 B.27 要素価格フロンティア FPF の相似性 費用関数の1 次同次性 FPFは原点に関して相似 費用関数はホモセティック 事実 B.28 制約付要素需要の価格弾力性要 要素間の代替性 / 補完性 ij h / c ; h i ; / j h i ; / j n j 1 c ij 0 生産要素が 2 種類 これらは代替的な要素となる 49
定義 B.32 費用関数の産出量弾力性 C ; C ; C ; 事実 B.29 制約付要素需要関数と費用関数の産出量弾力性 c i h i ; / h i ; / i ; n C i 1 i c i 各要素の費用シェア : ih i ; i i ; n i 1 i 1 Cv ; 全ての要素が同時に 下級生産要素 になることはない 50
産出量の変化に伴う最適点の軌跡 この区間の産出量について第 1 要素は下級生産要素 51