数 Ⅱ 平面ベクトル ( 黄色チャート ) () () ~ () " 図 # () () () - - () - () - - () % から %- から - -,- 略 () 求めるベクトルを とする S であるから,k となる実数 k がある このとき k k, であるから k すなわち k$, 求めるベクトルは --,- - -7- - -, から また ',' 7 (),,-,, -, -, 6 () -,,-7, とする %- から,-7,,, から -,,-,-,,- とする % から 6 - から 6-6 - 6 6,, 7, -, 7, -,-6,-' -, --,--,-' -, - - -, 6 () () - - - - - したがって S ( ア ) - ( イ ) ( ウ ) この正六角形の対角線,E,F の交点を とすると F と - が平行であるための条件は,k- となる実数 k が存在する ことである 6, -k-,- 6k-,--k から k このとき, から t 6, -',--,-' であるから () 略 略 F- ア - E E S - 6% ---% - --- () - したがって - S-S S--SSS したがって SS SS t S-S S--SS- -S したがって SS SS () ( ア ) - ( イ ), - () - -- --6 --6 ( ア ) -- から ---- -- - ( イ ),- とする 6 - E F - - F イ ウ F (), ( ア ) - ( イ ) () から,7,, -,-,-7 これを解いて, vt とすると,7, -t,7t,-t 7t,-t これを解いて -,t したがって v ア - イ,; 隣り合う 辺の長さは U,U ; 対角線の長さは U,U7 四角形 が平行四辺形であるための条件は ここで --,-,- 7-6,6-,,- これを解いて また, U 66--7 - U 7 U U U, 隣り合う 辺の長さは U,U 対角線の長さは, である U 67--7 6- U U U -6 - U -6 - U7 したがって, 対角線の長さは U,U7, -, 7,6 6, --
t のとき は最小値 t, t-,-t, t -t t t -t > t - t? - t-,t のとき は最小値 をとる ) であるから,t のとき は最小値 をとる この等式において,右辺 > であるから 左辺 > <p< このとき, の両辺を 乗して整理すると これを解いて p$u <p< であるから p-u () - q, -,-, () であるための条件は ここで - %% - p -p 6 (), を代入して 6% -%%%oh - -oh oh,(h(, であるから h6, - - - - -%%%oh -6oh - U より, - であるから -6o h oh -,(h(, であるから h, () t t () - () -,,, から 6,,U () と のなす角は 6, であるから o6, %% 図のように となる点 をとる と のなす角 と のなす角 は, であるから o, %% - - t - - o6, -%% - () 図のように E となる点 E をとる と のなす角 E と のなす角 は, であ るから o, U %U %-- t - - - () - () p-u () --,-, -, -7,-7,7, - - -7 -%%--, 6,, 6, U, U U E q, とする p q であるから pq であるから p q [] のとき ' であるから, より, から $ [] ' のとき から - に代入して整理すると $ したがって, から のとき -,- のとき [],[] から q, -,-, () U U7 () - ) であるから U - - - -, U, - であるから したがって ここで -, U, であるから - U - - - - % -%% U 7 - ) であるから - U7 () h, h6, () h, 7 () - - - - - - - 6 であるから - 6 - t から t すなわち t から - t% t - - - - - % - - であるから - -t から -t すなわち から t -t -t -t % -t% -- U,- U, - U, U U - U から oh,inh と表される このとき,, とすると,--U, -U,U --U, -U %-U %-U () oh -% % - U - U -,(h(, であるから h, - U () o6, から -pu %U p % - 6 であるから - 6 -p U p したがって 6 - - --
oh$,,inh$, と表される ただし, 複号同順である このとき, すべて複号同順として oh$, oho, inhin, U oh inh inh$, inh o, $o hin, U inh$ oh ここで,oh -,inh であるから したがって U - - U U $ -U -- U -,- U, - U, U () S U - S () h,<h<, とすると oh また inh > S inh U-o h ] - %U - U - -, とすると,,, - - - -,() から S U - t のとき最小値 U t から t t,, - であるから t%- t % -6tt > t - t? - t- - h, S, したがって, は,t のとき最小値 U をとる () 略 略 () または のとき,, であるから ',' のとき, と のなす角を h とすると oh,-(oh( oh (, ( が成り立つ t,,, とすると - - ( - ), ) であるから () から - ) ( - ( ), ) であるから - ) - ( において, を, を - とすると - ( - ( - (, から t から - ( ( t t ) であるから ) ) から - t t - ) がすべての実数 t に対して成り立つ条件は かつ または > かつ t の 次方程式 t t の判別式 について ( から から ' かつ したがって, 求める と の間の関係式は () U oh 最大値は U, 最小値は -U G () U U, から U oh を満たす, に対して, を原点,, とし,, とする, のなす角を h,(h(, とすると,() から U oh -(oh( であるから の最大値は U, 最小値は -U t k とおく この式と から を消去して -k k - は実数であるから, の判別式 について ) -,-U (k(u から最大値は U, 最小値は -U t, oh,inh,(h<6, と表されるから oh inh U inh ただし,in U,o U inh ( から -U ((U 最大値は U, 最小値は -U () - 6 6 () 点,N の位置ベクトルを, それぞれ m,n とする m であるから n m >? 点,G の位置ベクトルを, それぞれ,g とする g であるから - g - 略 n m h - N > -? - 6 6, 6 点,,,,E,F の位置ベクトルを, それぞれ,,,,e,f とすると, e, f EF- e- f- - - -,t のとき は最小値 をとる ) であるから, が最小となるとき, も最小となる --
t EE- - FF- - EF - - F E 7 線分 LN の中点の位置ベクトルは l n 線分 ST の中点の位置ベクトルは t () の結果より, つの線分 K,LN,ST の中点の位置ベクトルが一致するから, つの線分は 点 ( つの線分のそれぞれの中点 ) で交わる 略 更に HH-G- - HH-G- - H - - H - - H',H' であるから H,H したがって H,H () ( ア ) ( イ ) 略 略 6 () 線分 を : に内分する点を としたとき, 線分 を : に内分す る点 :: () 等式から -- - % ここで, とおくと, 点 は線分 を : に内分する点であり ::, 点 は, 線分 を : に内分する点を としたとき, 線分 を : に内分する点である の面積を S とすると () S, S S, S : : S: S: S:: 線分 LN の中点の位置ベクトルは, 線分 ST の中点の位置ベクトルは, 証明略 () 線分 K の中点を とし, 点 K,, の位置 ベクトルを, それぞれ k,m,p とすると k,m,p k m p L S K T N, とすると L であるから N, から N L したがって, 点,L,N は一直線上にある 7 7 ::-,:t:-t とすると - - -tt t -t, から - t -t ',',T であるから - t, -t 6 7,t 7 略,, とする は の外心であるから N L 7 7 G は の重心であるから G HH- G- - -t - t G H % % () ( ア ) ( イ ), とすると - - - 6 6 - (), の直角三角形 正三角形 () から - - - であるから すなわち - したがって, は, の直角三角形である から - - すなわち また, から, 上と同様にして, から したがって, は正三角形である H - - 点 L,N,S,T の位置ベクトルを, それぞれ l,n,,t とする すなわち H したがって H --
t から - ここで, 辺 の中点を とすると は辺 の垂直二等分線 同様に, から, は正三角形である これを解いて k S 7 7 7 (), " 図 # は境界線を含む () - - 6 () k-, 7 () () H,t とすると H-,t Hkn とすると -k,t-k k,t-k- また -t これに, を代入して整理すると k () p -tt p - t t したがって k- 直線上の任意の点を p,t を媒介変数とする (), 求める直線のベクトル方程式は p-tt -tt --, 求める直線のベクトル方程式は ptt - - t t () S 7 7 () とする t p p - - () t から t t t ここで, -, t t-,-, - とおくと --t--,-t-,-),t-), 点 が描く図形は線分 -- " 図 # t( から t( t t ここで,-,tt-, -, - とおくと --t--,-t-(,-),t-), 点 が描く図形は -- の周および内部 " 図 # () - 6, - - - - () 求める直線は, 点 を通り,,6 に垂直な直線であるから, 直線上の点を 7 k- のとき, から,t 7 H, 7 () H - n から H H U - () 線分 の中点を中心とする半径 の円 線分 を直径とする円 () - を変形すると - すなわち -, 線分 の中点を中心とする半径 の円を 表す を変形すると - - すなわち または または, 線分 を直径とする円を表す であるから 点 は直線 上にあるから, とすると,- であるから 6- () 略 - であるから 点 は直線 上にあるから, を解いて, したがって 点,,S が一直線上にあるから,Sk となる実数 k が存在する () から Sk k k 点 S は直線 上にあるから k k すなわち - 直線, の法線ベクトルは, それぞれ m, -U,nU, とおける m と n のなす角を h,(h(, とすると oh m n m n - U % U -,(h(, であるから h, したがって,-h6, U - n h m () -,---,7 --,-7, -%77% ', ' であるから すなわち, したがって, 点 は円 上の点である 円の中心を とすると -, - における円 の接線上の任意の点, に対して --,--,, -,- であるから, より --
-- したがって, 点 における円 の接線の方程式は - 辺 の中点を とすると, 点 は線分 を : に内分する点を中心とする 半径が の円周上の点である () t - t - から, は, の直角三角形である 条件の等式から - - - - より, であるから - - - - t, とおくと,, であるから,t を成分で表す と,,t,t, t > t t これを,t について解くと 整理すると - - - ここで, 辺 の中点を とすると, であるから - - -,t- F( - ( () (- ( > ( -( 6 (- (, 求める図形は図の斜線部分 ただし境界線を含む " 図 # - したがって, 辺 の中点を とすると, 点 は線分 を : に内分する点を中心とする半径が の円周上の点である F( ( ( ( 6 - ) -) - ) F- ), 求める図形は図の斜線部分 ただし境界線を含む " 図 # (), " 図 # 境界線を含む () t - t - () - -6 - - - - 6 6 () k として固定するとき,k,k とおくと, は図の線 分 上を動く 更に,k を (k( の範囲で動かすと, は図の線分 - 上を動く, 求める図形は図の斜線部分 ただし, 境界線を含む " 図 # tk として固定する このとき, k t であるから,k, k k とおいて k t k, k t k, k ), t k ), は図の線分 上を動く 更に,k を (k( の範囲で動かすと, は図の線分 - 上を動く, 求める図形は図の斜線部分 ただし, 境界線を含む " 図 # -6-