o-1 P1. 変化量とグラフの関係 次の空白を埋めて問題に答えよ 時間と共にあらゆるものが変化をするので最もよく出てくる変化は時刻の変化である時間でこれをと表すが単にtと表すこともある 変化量 (Δ= - ) として V= = ア ) 位置を S[m], 時刻を t[s] とする 運動 A, について速さ V と加速度 を表す式と単位を示せ また その意味を理解するために V -t -t 平面での運動を図示せよ S A 解答 o-1 Δt 終わりの値はじめの値 Δ S/ Δt ΔV / Δt ア )A: 等速直線運動 S=vt イ ): 等加速度運動 S=1/2 t² ア ) イ ) V [m/s] 1)S A t [m/s 2 ] 1) A t S-t の傾きが V V-t の傾きが V が 0 なら t 2)S 2) S の接線は平行 イ ) 次の V-t グラフを S-t -t になおせ すべて原点から出発しているとする 1)V 2)V t t 3)S 3) 3)V 4)V 4)S 4) t t t t 公式 Point
o-2 M1. 微分 ア )f(x) f(x+ Δ x) を極限記号を用いて微分の定義を表せ イ ) 微分はグラフでいうとどういうことに対応しているか ウ ) 時間で微分することを頭に で表す 位置をxとして速度 加速度を微分記号で表せ エ ) y=x n をxで微分せよ M2. 微分の意味 S= 3t 2 +2t+3で運動する物体について答えよ ア ) この運動はどういう運動をしているか イ ) S をtで微分して V の式を求めよ ウ ) t=2~t=4までの平均の速さを求めよ エ )t=2での瞬間の速さを求めよ オ ) t=2での S-t グラフの接線の傾きを求めよ M3. 微分次をtで微分し V を求めよ さらに微分し を求めよア ) S= 2t 2 イ )S =5t 3 +2t 2 ウ ) x=t 3-2t 2 +3 エ )x= Cos(t) tはラジアン単位オ ) y= Sin(t) tはラジアン単位 P1. 速度 加速度水平方向にx 軸をとり この x 軸上の運動を記述したい ア ) 物体の運動を記述する 最低限の要素を記号と単位をつけて示せ イ ) 物体の位置ベクトルをxとした時 速度と加速度をxで表せ ただし 変化量をΔとし x をxのtによる微分とし xドットと読む 時間の微分 dy/dt =y (yドットと読む) 空間の微分 dy/dx =y (yダッシュと読む) 解答 o-2 M1 定義 ア ) f (x) = df (x) dx = lim f(x + x) f(x) x 0 x イ ) 接線の傾き ( これが微分する意味 ) ウ ) 微分の意味はイメージとしても理論としてしっかり理解する しかし結果としては位置を時間で 1 回微分すれば速度 2 回微分すれば加 速度になる 以下は物理学の基礎式 ( スタートの式になる ) v = x t t 0 v = dx v,= dt t t 0 = dv dt = d2 x dt 2 直線の傾きを接線の傾きに変えていく操作が微分になる エ )y =nx n -1 M2 微分の意味 ダッシュ は x で微分するという意味 ア )S 位置が t 時間の 2 次関数だから等加速度運動である イ )V= 6t+2 ウ )S[4] = 59 S[2] = 19 だから V=(59-19)/ 2=20 エ ) イの結果に t=2 を代入して 14 オ )14 M3 微分次を t で微分し V を求めよ さらに微分し を求めよ ア )V =4t イ )V= 15t 2 +4t =4 =30t+4 ウ )x = 3t 2 ー 4t x =6t-4 x は速さ x は加速度 エ )x =- Sin(t) x =- Cos(t) オ )y = Cos(t) y=- Sin(t) * エ オから三角関数はx=-x y=-y の関係があることがわかる P1 ア ) 位置ベクトルx [m] と速度ベクトル V[m/s] イ ) 速度 V =Δx / Δt =x ただし Δt 0の極限をとる ウ ) 加速度 =V =Δ V/ Δt=x ただし Δt 0の極限をとる
o-3 M1. 平均変化率次の空白を埋め 問題に答えよ ある値 X が変化した時 終りの値から始めの値を引いた値をといい で表す さらにxの関数で f(x) が与えられていればxが変化すれば f(x) も変化する この変化の割合はで表すことができ これをという ア ) 図のようにy= f(x) =x 2 の場合 xが2から4まで変化した時の y Δx Δyと平均変化率を求めよ イ ) 同様にxが1から4までの平均変化率を求めよ ウ )y 軸が距離 S, x 軸が時間 tに置き換える x と平均変化率は何を表しているか エ ) ウの平均変化率が一定な運動を何というか オ ) エの運動はどんな関数のグラフになるか 解答 o-3 M1. 平均変化率順に変化量 Δx Δf / Δx 平均変化率ア )Δx=4-2=2 Δy=4 2-2 2 =12 平均変化率 =Δy / Δx=6 イ )Δx=4-1=3 Δy=4 2-1 2 =15 平均変化率 =Δy / Δx=5 ウ ) ΔS / Δt=V つまり速さである エ ) 等速直線運動オ ) どこでも傾きが一定だからSはtの1 次関数である M2. 変化量ア ) 次の空白を埋め 問題に答えよ 平面上をある物体がA 点 (Ax,Ay) から 点 (x,y) に移動した 変位 ( ベクトル ) を図示し その大きさを求めよ またA 間に移動した距離を求めることを考えよ M2. 変化量 変位を出すのは単純に始めの点から終わりの点に向かって矢印をひけば いい その大きさは三平方の定理に従って計算する 大きさは絶対値記号をつけて A = ( x A x ) 2 +( y A y ) 2 A イ ) 速さV, 位置 Sの変化量を記号 Δで表せ これはベクトルかスカラーか? ただし この大きさはA 間に移動した距離を表すわけではない 実際の道のりはこの長さより大きい ではその道のりをどうしたら出せるか それにはA 間を細分し その後で足し合わせる方法をとる これは後の積分のところで紹介する 変位 ΔA * 変化量は左にΔ( デルタ ) をつけて表す 例えば速さの変化はΔV イ )ΔV,ΔS 共にベクトルである
o-4 M1 関数とグラフ S -tグラフ 縦軸を S( 距離 ) 横軸をt( 時間 ) のグラフを S-t グラフという このグラフで S=2t +5を図示し 次に答えよ 1. このグラフの傾きを求めよ また何を表しているか 2. このグラフで表される運動を何というか 3. この運動に力が働いているか 4.t=2からt=4までに運動した距離を求めよ また t=2からt=4までの平均の速さとt=2での瞬間の速さを求めよ 解答 o-4 M1 関数とグラフ S 1. 傾きは2これはΔ S/ Δtだから速さを表し 13 ている 9 2. 傾きが一定 つまり速さが一定なので等速運 動である 2 4 t 3. グラフが直線なので普通力は働いていいない しかし等速円運動のように速さが一定でも向きが変化すると力は働く 4.t=2で S= 9,=4 で S= 13だから求める距離はΔ S= 4 平均の速さはこれを経過時間 Δt=2で割ればよい よって V= 2 当然これはグラフの傾きに等しい また瞬間の速さもt=2でもどこで も一定で2である M2 関数とグラフ接線ある運動が S= 3t 2 +2となった S-t グラフを図示し 次に答えよ 1. この運動を何というか また 運動に力が働いているか 2.t=2からt=4までに運動した距離を求めよ また t=2からt=4までの平均の速さとt=2での瞬間の速さを求めよ M2 1. 傾きが一定の割合で増えてい 100 S るから等加速運動である グラフ 80 60 40 20 t が t の 2 次なら等加速 2. t=2で S=14 =4 で S=50 よってΔ S = 50-14 = 36 1 2 3 4 5 6 Δt=2だから よって平均の速さv= S/ t=18 瞬間の速さは接線の傾きを求 めることになる 計算上ではΔtを利用し 次のようにおこなう t=2での S1 =14だったからt=2+Δtでの距離 S2 とすると S2= 3( 2+Δt) 2 +2=14+ 12 Δt+3Δt 2 だから Δ S=S2-S1 = 12 Δ t+3 Δt 2 となる よってΔ S/ Δt= 12+3 Δt1 を得る t=2での速さはδt 0と考えることができるから1におい て後ろの項が落ち 瞬間の速さは 12 となる
o-5 M1 関数とグラフ変化率 先の運動を一般化し S=t 2 + b について次にこたえよ ただし 速さv=Δ S/ Δtとし 加速度 =Δv / Δtで定義する 1. この運動の変化の割合が一定であることを示せ 2. この運動のある時刻 tでの速さv (t) を求めよ 3. この運動のv-tグラフを描き 時刻が0からtまでのグラフと t 軸で囲まれた面積を求めよ また はじめの位置をbとして時刻が0からtまでに移動した距離を求めよ M2 関数とグラフ面積先の問題 3のv-tグラフを見て次にこたえよ 4. もう少し詳しくこの様子を理解しておこう 小さくしたΔtを少々大きくし その間を一定の速さ ( 傾きは水平 ) とみなす するとこのtからΔtの間に進んだ距離を求めよ 5. この長方形を i 番目とし 他の長方形も全部足せば全体の距離が出る ただし たくさんの長方形をつくらないと誤差が多い そこで0からtまでのn 等分してn 個の長方形を作成する V この時 Δtを求め すべての長方形の和を求めよ 2t Δt t 解答 o-5 M1 傾きの一般式は Δ S/ Δt である これが速さの定義でもあるから問題 2 を示せばよい t での S を S1=t 2 + b とし t2 での S を S2=(t+ Δ t) 2 + b とする v (t)= Δ S/ Δt= 2t+ Δt となるが Δt 0 とするので 2t となる よって v= 2 t これは傾き 2 の直線であるから等加速運動である * なぜ Δt=0 としないのか 極限の考え方 t 0 は限りなく 0 に近づけるが 0 とはしないという意味である 定義が Δ S/ Δt のように Δt に分母があると 0 で割ることができない ところが分子にちょうど Δt が 1 次でのって いればキャンセルし極限値が存在するという 2t M2 V 2t t V 2t Δ t Δt t V ー t グラフは次のような 1 次関数になる よって囲まれた面積は t 2 である これにはじ めの位置 b を加えると元の式にもどる 移動距離は S=t 2 + b である 1. 図の長方形の面積を求めればいから 2t Δt である 2.Δt=t / n1 となる i 番目での t の 値ははじめが 0 だから 0+ i Δ t, よってこの 時の v の値は 2i Δt 従って長方形の面積 は 2i Δt 2 である これに 1 を代入すると i 番目の面積は Si=2i(t/n) 2 を得る あとはこれを i=n まで足し合わせる 1+2+ +n=(1+n)n / 2 だから足し合わせた結果を S とすると S=2(n+n 2 )/2 (t/n) 2 = t 2 +t/n となる ここで n を非常 に大きくすることが Δt 0 とすることだから n と考えると答えは S=t 2 となる はじめの位置を b とすると最初の式 S=t 2 +b に一致する 公式 Point ここでは極限のイメージを式の操作と一致できるようにしておくとい い 難しい用語では 2 が微分 5 を積分といい物理数学 2 で取り扱う
o-6 M1 近似一般にxが1より非常に小さいなら次の関係が成り立つ (1+x) n 1+nx これはx 2 以上を無視して得られることを導け M2 次の値を求めよ ア ) (101) イ ) (99) ウ ) 101 2 エ ) 1/1005 オ ) (L 2 +x 2 ) ただし L >>x カ ) (L 2 +x 2 )- (L 2 -x 2 ) ただし L >>x P1. 運動方程式の意味 慣性力 次の空白を埋め 問題を答えよ 下の図左のように 3 つの力 F1,F2.F3 で質量 mの物体がつりあっている 次の瞬間に力 F1 を取り去るとつりあいがくずれ 同時に 向きに が生じる この時 水平方向に運動方程式がつくられ となる つまり物体のその後の運動は によって完全に決まる また この運動方程式は等式そのものをよく見ると物体に働く と 物体の加速度の向きと 方向に と の積を新たに F1 と すれば まったくはじめと同じつりあいの式である そこで加速度と反対向き に働く の式で表される力を という よって運動方程式は が一定の場合のつりあいの式を の存在 する場にも拡張した式である ア ) この時の物体は鉛直方向にはどういう運動をするか イ ) 慣性力の向きと大きさを図に書き込め F2 F1 θ 2 θ 1 F2 解答 o-6 M1 2 項定理から (1+x) n =1+ n C n-1 x+ n C n-2 x 2 よってx2 以上を小さいとして無視すれば (1+x) n 1+nxとなる M1 別解 M507 の微分の定義から極限記号を省略してΔxが小さいならば f(x+δx) f(x)+f (x)δx これは意味としては f'(x) が傾きであることを考えれば傾きにxの変化量をかければ f(x) の変化量 (f( x+δx ) ー f(x)) がでることから理解できる この関係は物理でもよく利用する 2 次の導関数までとればもっと正確な近似ができる つまり上の近似は曲線を直線で近似していることに等しい 2 次以上の近似については自分で考えて以下の結果と比べてみよう M2 は n =1/2として公式に代入する 1+( 小さい数 ) になるように変形するのがポイント でも微分が使えれば xの微分は 1/(2 x) 公式には1+x /2 を使えるように変形する ア ) (100 + 1) = 10 (1 + 0.01)= 10 +0.05= 10.05 イ ) (100-1) = 10 (1-0.01)= 10-0.05= 9.95 x 2 の微分は2x 公式には1+2xを使えるように変形する ウ )(100 +1) 2 = 10000(1 + 0.01) 2 = 10000+200=10200 エ )(1000 +5) ー 1 = (1 + 0.005) ー 1 /1000 = 9.95 10-4 文字式でもアと同じようにする オ )L ( 1+ (x/l) 2 )=L + x 2 /2L カ ) 上の結果を利用して x 2 /L P1 順に 右 加速度 m=f2cos θ 2 + F3Cos θ 3 合力と質量 合力 反対 質量 加速度 m 慣性力 速度 加速度ア ) 静止 または等速直線運動イ ) 右図 F=m=F2Cos θ 2 + F3Cos θ 3 θ 2 θ 1 F2 F3 F3 F3
o-7 P1 運動の法則 3kgw 2kg 2kgw 次の空白を埋め問題に答えよ が書いたによれば運動について次の 3つの法則にまとめることができる 1. 物体に が働かないか 働いていても いる ならば物体は または等速直線運動をする 2. 物体に が働く場合はその 向きに が生じ その大きさは に比例し に反比例する 3. 物体 A から に力が働く場合は必ず物体 から に同じ 大きさの力が働いている Q1 上記 1,2,3 の内容はそれぞれ何と呼ばれているか Q2 上の内容から力とは何かを答えよ Q3 ふりこを降らした時 両端では速度が0である ではこの時加速度は どうなっているか P2. 次元空白を埋め問題にこたえよ 物理量は次元によって区別できる 次元が異なると はできない また すると異なる次元になり 異なる物理量になる ほ とんどの物理量は質量を M 長さを L 時間を として [M x L y z ] という次元 表示で表現できる Q. 次を次元表示せよ ア ) 加速度 イ ) 力 ウ ) 圧力 P3. 摩擦のない運動方程式 運動方程式を立て 加速度を求めなさい ア ) イ ) 4 10 1. 加速度の向きを決める ( 斜面は斜面方向 ) 運動方程式 2. 力の図示をして 加速度と水平鉛直成分を出す の作り方 3.F を と同じ向きの合力ー反対向きの合力として m=f 4kg 解答 o-7 P1 ニュートン が書いた プリンキピア によれば運動について次 の3つの法則にまとめることができる 1. 物体に力が働かないか 働いていても つりあっている ならば物体は 静止または等速直線運動をする 2. 物体に 力 が働く場合はその 合力 向きに 加速度 が生じ その 大きさは合力の大きさに比例し 質量 に反比例する 3. 物体 A から に力が働く場合は必ず物体 から A に同じ大きさの 力が働いている Q1. 慣性の法則 2. 運動方程式 3. 作用反作用の法則 Q2. 力とは加速度と質量の積である * これはそのまま運動方程式を表す Q3. 振り子では両端での速度は0であるが加速度は最大である * m=f の F は合力で と同じ向きの力の和 - 反対向きの力の和 P2 順に足し算 引き算 かけ算 割り算 ア ) 単位 m/s 2 から考えて [M 0 L 1-2 ] イ ) 単位 = kg m/s 2 から考えて [M 1 L 1-2 ] ウ ) 単位 P = kg m/m 2 s 2 から考えて [M 1 L -1-2 ] 次元は DA の配列のように ML の指数があらゆる物理量を決める P3 ア ) 右を正として 2=2g+10-3g=0.2 =0.1m/s 2 イ ) 斜面上を正として 4=4 ー 4g Sin30 =1-4.9=-3.9 負ということは 斜面下方に 3.9m/s 2 の向きと鉛直方向の力は運動方程式には関 係ない と同じ向きー反対向きの合力が F 2g=19.6 3kgw 2kg 2kgw 10 力の単位は! 斜面は斜面方向に加速度をとりあえず向きを決めてとりその向きを基準に必要な力を考える 4kg Sin θ
o-8 P1. 運動方程式とつりあい 次のように物体 (5kg) をバネ定数 49/ mのバネにつける 次のように運動した時のバネの伸び縮みを求めよ ア )4[m/s] で引き上げる イ )4[m/s 2 ] で引き上げる ウ )4[m/s 2 ] で引き下げる P2. 運動方程式を立て 加速度を求めなさい ( 摩擦はない ) ア ) 2kgw 60 3 2kg 10 イ ) 水平よりθ 上方に初速 Vo で投げ上げる Vo θ ウ ) 物体の密度 ρ 体積 V 液体の密度はρ ρ >ρとする 沈めて放す 重力の加速度はgとして抵抗は考えない エ ) ウ ) 速度 vに比例する抵抗 f=kv がある時の運動方程式を立て 速度が一定になったときの値 ( この値を終端速度という ) を求めよ =0 ならつりあい 0なら運動方程式加速度が働けば力は釣り合わない Vo や V の速度は運動方程式に無関係 解答 o-8 P1 運動方程式は m= 加速度 と同じ向きの力の和ー反対向きの力の和 * 一定の速さだから静止と m = F ー 同じ釣り合いで解く 5 4= F ー 5 9. 8 F フックの法則より F F =20+49 kx= フックの法則より 49x=5 9,8 49x=69 x=1[m] x=1.4[m] m = ー F F 5 4=5 9. 8 ー F F =49 ー 20 フックの法則より 49x=29 x=0.59[m] P2 ア ) 力の図示を正確にして と水平方向の力の和を出す 2kgw 力の単位は に直す! 3 2kg 60 9.8 W はに変える 10 m = 9.8+10-3 2 = 16.8 = 8.4[m/s 2 ] イ )Vo は速さだから力の図示に関係ない よって働いている力は重力のみ Vo m = θ = g = 9.8[m/s 2 ] 鉛直下向き ウ ) 上向きの加速度を 体積 Vとする物体の質量はm=ρV 浮力は 単位でF=ρVg( ちなみに体積 V=4/3πr 3 ) エ ) 運動方程式は上向きに をとり m=f ー ー f ρv =ρ Vg ー ρvg ー kv から =0 とすれば F kv=vg(ρ ー ρ) v= Vg( ρ ー ρ)/ k *ρ=ρ なら静止する
o-9 P1 摩擦のない斜面 1 文字計算 V 0 図のように摩擦のないθの斜面の下端から質量 mkgの物体を初速 Vo[m/s] で上方に滑らす 重力加速度 gとする ア ) 運動方程式を立て 上り 下りの加速度を求めよ h イ ) 往復してもどってくるまでの時間を求めよ θ ウ ) 最高点の高さhを求めよ P2. 連結問題動滑車運動方程式を立て加速度と張力 A が を押す力を求めよ ( 摩擦はない ) ア ) 10 A 2kg 3kg イ ) 滑車に質量はない A 2kg 世界の教科書より UIVERSIY PHYSICS WIH MODER PHYSICS 2kg HUGH D. YOUG ROGER A. FREEDMA 運動方程式で加速度が出たら等加速運動の3 式を使え 1 V=Vo + t 2 S=Vot + 1/2 t 2 3 V 2 -Vo 2 =2S 四捨五入する前の分数 のままの正確値をチェックする 9.8=0.2 7 2 解答 o-9 P1 ア * 加速度は初速の上向きにとる 初速 Vo は力ではないことに注意する 斜面を上方をx 方向として摩擦がないので式はx 方向の式は V 0 Sin θ h θ Cos θ S x)m= ー Sin θ = ー g Sin θ 登りの加速度 1 下りの場合は明らかに を下向きにとれば = g Sin θ 下りの加速度 2 θ 90 なら Sin θ=1 よって =g イ ) 最高点では V=0 よって等加速運動の公式 V=Vo + tから登りの時間 tは0= Vo ー g Sin θ t t= Vo /g Sin θ 明らかに摩擦が無ければ運動は対称的だから帰りの時間も等しいよって往復の時間 t =2Vo /g Sin θとなる ウ ) 最高点までの距離を S とすると等加速運動の V 2 - Vo 2 =2S より最高点 V=0 としてア ) の1を代入し S=Vo 2 /2g Sin θ よって高さh= Ssin θだからh= Vo 2 / 2g P3 ア ) 斜面上を正として A が を押す力を R とすると 加速度も共通だから 下の物体 ) 2=10-2gSin-R 1 上の物体 ) 3=R-3gSin 2 1+2から5=10-5gSin =2-4.9=-2.9 斜面下方に 2.9m/s 2 2に代入すると R=3(+g/2) = 3 (4.9-2.9) = 6.0 A 2kg 2kg 2g 2g ' /2 A 2kg 3kg 斜面上向き イ ) つりあいで学んだように動滑車がある場合の基本は動滑車 と 2 つの物体について式を立てる A の加速度を とすると の加速度は半分になる 物体 A) 2=2g- 1 物体 ) 2/2='-2g 2 動滑車の質量を M とし 動滑車 )M/2=2-'-Mg 3 動滑車と は同じ加速度になる しかし この問題では動滑車に質量はないので M=0 から '= 2 4となる よって2は =2-2g 1 2を加えると 5=2g =2g/5=3.92m/s 2 1 =2(g-)=11.8 4より '=23.5
o-10 P1 連結物体 運動方程式を立て 加速度と張力を求めなさい ( 摩擦はない ) ア ) 10 イ ) 2kg 3kg 3kg `6kg ウ ) ゴンドラの質量 m 人の質量 M 人が でロープを引く 滑車の質量は無視エ ) ゴンドラの質量 m 人の質量は共に M 外の人が でロープを引く 滑車の質量は無視 θ 解答 o-10 P1 ア ) 斜面上を正として同じ糸は同じ力 とし 加速度も共通だから 下の物体 ) 2=-2gSin 1 上の物体 ) 3=10--3gSin 2 1+2から5=10-5gSin =2-4.9=-2.9 斜面下方に 2.9m/s 2 1に代入すると = - 5.8 + 9.8 = 4.0 P1 イ ) 同じ糸は同じ力 とし 加速度も向きのみ反対で大きさは共通だから 右の物体 ) 3=- 3g 1 左の物体 ) 6=6g- 2 1+2から9= 3g 3.3m/s 2 1に代入すると =4g =39.2 同じ m 2 g m 1 g ウ ) 2kg 3kg 同じ糸は 3kg `6kg 人 ゴンドラ 動滑車で式を立てる 動滑車 ) 2=' この結果はすぐ使え人について )M=+-Mg 1 '=2 ゴンドラ )m=2-- 2 1+2から (m+m)=3-(m+m)g =3/(m+M)-g Mg エ ) はθに関係なく動滑車のつりあいから2=' で ある よって ' を用いて人とゴンドラは一体化して 考えればよい '=2 (M+m)=2-(M+m)g =2/(M+m) ー (M+m)g 公式 Point 複数物体はそれぞれについて運動方程式 同じ糸であれば同じ 複数物体は 1 式と 2 式を足せば加速度が出る (M+m)g
o-11 P1 運動方程式基礎 3kgw 2kg 2kgw 10 4kg P3. 運動方程式を立て加速度と張力 A が を押す力を求めよ ( 摩擦はない ) ア ) イ ) 滑車に質量はない A 2kg 3kg 次の空白を埋め問題に答えよ ewton は物体に力が働く場合 その の向きに が生じ その加速度は質量をm 合力を F とすると = となること を示した これは力が ( ) と ( ) の積であると示した ことになる これによって力は特殊な階級の人たちだけのものでなく 人間 の思惑から独立し 自然に存在するものになった さらにつりあっていない 運動状態でも という を考えることによって 釣り合いの式がそのまま成立することを示した P2. 摩擦のない運動方程式 運動方程式を立て 加速度を求めなさい ( 摩擦や空気抵抗はない ) ア ) イ ) ウ ) 質量 2kg のボール 10 4 A 2kg 2kg 空中に投げ出された状態 2m/s P4. 液体の密度 1.2g/cc, 物体の密度 2.0g/cc 体積 500cm 3 ア ) 抵抗なし物体の加速度を求めよイ ) 水の抵抗は速度比例 R= kvとする運動方程式を立て 一定の速さになった時の速さ ( 終端速度 ) を求めよ k を用いてよい ウ ) この物体を糸でつるし 液体中に静止させた時の糸の張力を求めよ 運動方程式は 単位にする動滑車について式を立てる 質量が0なら '=2 等速と静止は同じ加速度 の向きを基準に m= と同じ向きの力の和ー反対向きの力の和 解答 o-11 P1 順に合力 加速度 F/ m 質量 加速度 m 慣性力 P2 ア ) 右を正として 2=2g+10-3g=0.2 =0.1m/s 2 イ ) 斜面上を正として 4=4 ー 4g Sin30 =1-4.9 斜面下方に 3.9m/s 2 ウ ) 力と速度は関係ない 働いている力は鉛直下向きに重力加速度のみだから 運動方程式は m= =g 下向きに 9.8m/s 2 P3 ア ) 斜面上を正として A が を押す力を R とすると 加速度も共通だから 下の物体 ) 2=10-2gSin-R 1 上の物体 ) 3=R-3gSin 2 1+2から5=10-5gSin =2-4.9=-2.9 斜面下方に 2.9m/s 2 2に代入すると R=3(+g/2) = 3 (4.9-2.9) = 6.0 A 2kg 2kg 2g 2g ' /2 A 2kg 3kg 斜面上向き イ ) つりあいで学んだように動滑車がある場合の基本は動滑車 と 2 つの物体について式を立てる A の加速度を とすると の加速度は半分になる 物体 A) 2=2g- 1 物体 ) 2/2='-2g 2 動滑車の質量を M とし 動滑車 )M/2=2-'-Mg 3 動滑車と は同じ加速度になる しかし この問題では動滑車に質量はないので M=0 から '= 2 4となる よって2は =2-2g 1 2を加えると 5=2g =2g/5=3.92m/s 2 1 =2(g-)=11.8 4より '=23.5 P4 図のように物体には力が働く 1g/cc=10 3 kg/m 3 1cm3 = 10-6 m 3 だから 浮力 F= ρ 外 Vg = 1.2 500 10-3 g=0.6g[] 同様にして物体の重力も 重力 = ρ 内 Vg=2 500 10-3 g=1g[] 1つまり物体の質量は 1kg 浮力 F ア ) 運動方程式は m= ρ V だから m= ρ 内 V=-F 1 =1g-0.6g=0.4g=3.92 3.92m/s 2 イ ) 図のように抵抗力 kv が上向きに働く kv 浮力 F 運動方程式は m=-f-kv である これは変数 v を含むので今のレベルでは解けないが一定の速さであれば釣り合う v ので =0 として1より kv = -F = 0.4g v=3.92/k[m/s] ウ ) 等速と静止は同じだから上から 0.4g = 3.92
o-12 P1. 次元空白を埋め問題にこたえよ 物理量は次元によって区別できる 次元が異なると はできない また すると異なる次元になり 異なる物理量になる ほとんど の物理量は質量を M 長さを L 時間を として [M x L y z ] という次元表示で 表現できる A. 次を次元表示せよ ア ) 加速度 イ ) 力 ウ ) 圧力 P2 慣性力 運動方程式は と同じ向きの合力を F, 質量をmとすれば簡単 に と表すことができる この m が と 向きに働く力 ( こ れを慣性力という ) とすると釣合の式として見ることもできる そこで電車の 中で質量 2kg の物体をつるす 電車が 20m/s の一定の速さで運動している時 A と速さが 0m/s で加速度が 4.9m/s 2 で運動している時 の糸の張力と糸が鉛直となす角度を慣性力を用いて求めよ A V=20m/s =4.9m/s 2 Q この 4.9m/s 2 で運動している電車の中で ある質量の物体を静かに離した この物体の加速度の向きと大きさを求めよ これからこの車内でのみかけの重力の向きと大きさを求めよ P3 運動方程式 加速度の分解 質量 4.9kg の物体が図のような一定の力を受ける はじめ原点で静止していた 2 秒後の位置 P はどこか座標で答えよ また2 秒後の物体の速度を求めよ 大きさは無視してよい 上 右を正とする ( 重力は考えない ) 6kgw 10 kgw 2 kgw 45 4 2kgw 加速度も必要であればベクトルx y 成分に分ける 運動方程式 m=f は m を加速度と反対と力と考えればつり合いの式になる この加速度と反対向きの力 m を慣性力という 解答 o-12 P1 順に足し算 引き算 かけ算 割り算 ア ) 単位 m/s 2 から考えて [L 1-2 ] イ ) 単位 = kg m/s 2 から考えて [M 1 L 1-2 ] ウ ) 単位 P = kg m/m 2 s 2 から考えて [M 1 L -1-2 ] P2 m=f 反対 P2 x) 方向 m=sin θ 1 A 加速度がないので釣合 =4.9m/s 2 y) 方向 = Cos θ 2 = より θ 1 / 2から = 19. 6 慣性力 m tn θ= /g = 0.5 を満たすθ また Cos θ=4/ 5 から2より = 2 9.8 2.2/4 = 11 Q 図のように反対向きに慣性力 m を考え 鉛直方向には なので図のθの向きに新しく加速度 =4.9m/s 2 g とおくと運動方程式は '= {(m) 2 +() 2 } よって g'= {(4.9) 2 +(2 4.9) 2 } θ g'=4.9 5 = 11m/s 2 向きは tn θ= 1/2 を満たすθ P3 単位に直すために9.8=gをかけること 6g x x 方向の加速度を x として y m x = (4 2Cos45 +2 ー 10)g 10 g 2g 0.5g x =-4g X = ー 8 1 45 4 2gCos45 y 方向 )m y = (6 ー 4 2Sin45)g 4 2gSin45 4 2g 0.5g y =2g y =4 2 1,2より等加速運動の式からX= 1/2 x t 2 = -= ー 4t 2 = -16m Y= 1/2 y t 2 =2t 2 = 8 m よって座標は P(- 16,8)m またV x = x t= - 16 V y = y t=8 tn θ= Vy/Vx =- 1/2 よってV= (Vx 2 +Vy 2 ) から ((-8 2) 2 +8 2 )=8 5=17.6 x 軸の負の向きから y 軸に tn θ= 1/2 を満たすθ 向きに 17.6m/s θ 図のように重心が運動していく 等加速運動なので何秒後に どこにいて その時の速度も正確に求まるが形を無視しているので回転の情報 はわかない モーメントが与えられれば回転の向きまで求まる
o-13 なし S1. 力の図示をして 運動方程式を立て 加速度を求めなさい ( 摩擦や空気抵抗はない 重力加速度は9.8[m/s²] とする ) ア ) イ ) ウ ) 質量 400g のボール 空中に投げ出され 3kgw 2kg 2kgw 10 10 A 2kg 3kg 4kg 4 た状態 2m/s さらに次のように押す ( 引く ) 場合 加速度と A が を押す力 張力を求めよ それぞれの物体に色分けをして力の図示をすること エ ) 下から斜面水平に 10 で押す オ ) 糸で連結し 10 で引く 3kg 2kg S2. 液体の密度 1.2g/cc, 液体の体積は 10 リットルで容器の質量は無視できる 容器と水を秤に載せる 秤はニュートン計とし 重力加速度は 9.80[m/s²] ア ) この時の秤の指示値を求めよ ( 有効数字 3 桁 ) 浮力 F イ ) 密度 2.0g/cc 体積 500cm 3 の物体を糸につるして入れ る この時の秤の指示値と糸の張力を求めよ ( 有効数字 3 桁 ) 糸を切ると物体は落下する ただし 液体中では速度 vに比 例した抵抗が働き kvが反対向きに働くとする (k は定数 ) 重力 Mg 浮力 F ウ ) 糸を切った直後 液体に働く力を図示し 物体の運動方 程式を立て 加速度と秤の指示値を求めよ エ ) 底につく前に抵抗により一定の速さ V になった 浮力 F この時のvと指示値を求めよ (k を用いてよい ) 抵抗 kv オ ) ウ ) とエ ) の中間では秤の指示値はどうなるか 浮力 F 重力 Mg この時の加速度 速さvを用いて図示せよ 運動方程式 抵抗 kv と液体の釣り合いの式を示し 液体に働く力も図示せよ 太い赤矢印は物体に働く力 10 60 解答 o-13 S1 ア ) 右を正として 単位を に統一する 2=2g+10-3g=0.2 =0.1 右向きに 0.1m/s 2 イ ) 斜面上を正として 4=4 ー 4g Sin30 =1-4.9 斜面下方に 3.9m/s 2 ウ ) 力と速度は関係ない 働いている力は鉛直下向きに重力加速度のみだから 運動方程式は m= =g 下向きに 9.8m/s 2 エ ) 斜面上を正として A が を押す力を R とすると 加速度も共通だから 下の物体 ) 2=10-2gSin-R 1 上の物体 ) 3=R-3gSin 2 1+2から5=10-5gSin =2-4.9=-2.9 斜面下方に 2.9m/s 2 2に代入すると R=3(+g/2) = 3 (4.9-2.9) = 6.0 A 2kg 3kg 斜面上向き オ ) 斜面上を正として同じ糸は同じ力 とし 加速度も共通だから下の物体 ) 2=-2gSin 1 上の物体 ) 3=10--3gSin 2 1+2から5=10-5gSin =2-4.9=-2.9 斜面下方に 2.9m/s 2 1に代入すると = - 5.8 + 9.8 = 4.0 S2 図のように物体には力が働く 1g/cc=10 3 kg/m 3 1cm 3 = 10-6 m 3 だからア )10 リットルは M= ρ V より 12kg よって Mg=12g = 117.6 118 イ ) 浮力 F= ρ 液 Vg = 1.2 500 10-3 g=0.6g[] よって液体の重さを加えて 12g+0.6g=12.6g=123.48 よって指示値は 123 物体の重力は =ρ 物 Vg=2 500 10-3 g=g よって釣り合いの式より +F= = ー F=g-0.6g = 0.4g = 3.92 3.92 ウ ) この時 vが 0 だから抵抗が働かない よって運動方程式は m= ρ V=1kg として m==-f =g-0.6g=0.4g 3.92m/s 2 液体の重 Mg 垂直抗力 とすると この時液体に浮力の反作用が働くから液体の釣り合いの式は =Mg + F = 12g+0.6g=12.6g=123.48 よって指示値は と等しく 123 エ ) 物体の運動方程式は m=-f-kv 1となる 一定の速さなら =0 だから kv= ー F=0.4g v=3.92/k[m/s] 1より =F+kV 2となる 液体に注目し =Mg +F+kV となるが2を代入し Mg+=13g 127( 両方の重さ ) オ ) 物体の運動方程式は m=-f-kv 3 液体の釣り合いの式は =Mg+F+kv 秤の指示値は に等しい 3より =Mg+-m=13g- 指示値 =127-[] よって下向きの加速度 があるとその分軽くなる
o-14 S3 連結問題滑車と動滑車 1 滑車に質量なし 解答 o-14 P1 ア ) 同じ糸は同じ力 とし 力の図示を物体 動滑車 それぞれ示して 運動方程式を立て A, の加速度 加速度も向きのみ反対で大きさは共通だから と張力を求めよ また 動き始めてから図にある変位だけおもりが運動するの 右の物体 ) 2=-2g 1 左の物体 ) 4=4g- 2 にかかる時間を求めよ g=9.8[m/s²] とせよ ( 14 = 3.74 とせよ ) ア ) 定滑車 * イ ) 動滑車の質量は 1kg 1+2から 6=2g =g/3 3が正確値であることをチェックし = 3.3m/s 2 1に代入するとチェックから =2+2g=8g/3 = 26 `4kg 2kg 加速度が出たら落時は初速 0 なので S=1/2 t 2 よりチェック ( 正確値 ) を使って 0.98 = 9.8/6 t 2 t 2 = 6/10=3/5 よって t= 3/ 5 = 0.8[s] A 4kg 2kg `4kg 170cm 98cm 2kg ウ ) イ ) の動滑車について重り A が地面に着く直前の A と の速さを求めよ また A が地面についた時 は はじめの位置から何 cm 上昇しているか S4 連結問題摩擦なし運動方程式を立て 加速度を求め次の問題に答えなさい 抵抗 摩擦は考えない. が床に着く時間 (は最初高さ 49 cmの位置 ) を求めよ g=9.8[m/s²] とせよ 90c m 4kg 120cm 49c m 運動方程式で加速度が出たら 等加速運動の3 式を使え 1 V=Vo + t 2 S=Vot + 1/2 t 2 3 V 2 -Vo 2 =2S 四捨五入する前の分数 のままの正確値をチェックする 9.8=0.2 7 2 A5kg イ ) つりあいで学んだように動滑車がある場合の基本は動滑車 と 2 つの物体につ いて式を立てる A が 2m 下がると は 1m 上がる A の加速度を とすると の加 速度は半分 /2 になる 物体 A) 4=4g- 1 物体 ) 2/2='-2g 2 A 4kg 2kg 4g 2g ' 動滑車 ) /2=2-'-g 3 動滑車と は同じ加速度 1 2 +2より 9=6g-2+' これから3を引くと 17/2=7g =14g/17 この値をチェック の加速度は 8.1m/s 2 の加速度は 4.0m/s 2 初速 0だから /2 S=1/2 t² より 1.7=7g/17 t ² g=0.2 7² から 10 倍してt ²=17²/(2 7³) t= (17/7)/ 14 = 0.65[s] ウ )v=t だからAは V A =t=14g/17 (17/7)/ 14=5.24 5.2[m/s] 下向き はこの半分で 2.6[m/s] 上向き A が 170cm 降下しているので は半分の 65cm 上がる P2 連結物体はそれぞれについて運動方程式糸がたるまなければ は同じ 90c m 4kg Mg 49c m 120cm A5kg A)5 = ー 5g sin θ 1 )4 =4g- 2 図より Sin θは3/5よってa+より 9 =4g-3g =9.8/9=1.1[m/s 2 ] 加速度が出たら等加速の3 式をつかう 次に S=1/2t 2 より 0.49=4.9/9t 2 t>0よりt= (9/10) =3/(2.23 1.4) t=0.97[s]
o-15 P1. 連結問題 滑車と動滑車 1 滑車に質量あり 図 1のように質量の無視できる軽い定滑車と摩擦のない 10kg の動滑車を組 み合わせ 質量 30kgのゴンドラにつなげる この中に質量 60kgの A 君が入 り ロープの端を引く ロープの他端は天井に固定されている 重力加速度は 9.8[m/s²] とする 図 1 図 2 ア )A 君が引く力を増やし ある力 F でひく と ゴンドラは地面から離れた この時 の力 F を求めよ イ ) 次に A 君は自分で引くよりロープにお もりをつければゴンドラが上昇するだろう と考えた 図 2 のように 80kgのおもりを つけた時のゴンドラの加速度を求めよ ウ ) 動き始める前 おもりは A 君の目の高さにあった 2 秒後 A 君の目の 位置とおもりの間の高さは何 mになるか おもりの大きさは考えない エ )2 秒後 A 君から見たおもりの速さを求めよ 解答 o-15 P1 ア ) 加速度が0だからつり合いでとく 地面から離れたのでゴンドラに働く垂直抗力が0とみな せる 引く力を 人が床を押す力 とすると 10g 動滑車のつりあいから2 = '+10g これからゴンドラについては '=2-10g=30g + 1 人については +=60g 2 1 + 2より 30 g 3=100g g =9.8 を代入し 327 60g イ ) 加速度が0ではないから運動方程式でとく 動滑車に質量があるので動滑車についても運動方程式を立てる 図のようにゴンドラと人は一体化して考える ゴンドラと動滑車の加速度を とするとおもりの加速度は 2 になるから 10g 動滑車について 10=2-'-10g 1 ゴンドラと人 )90='-90g 2 おもり )2 80=80g- 3 1より '=2-10-10g 2に代入し 90=2-10-100g 100=2-100g 4 4+3 2より 420=60g =g/7=1.4[m/s²] 5 ' 90g 2 78g ウ ) 先の結果から A 君は 1.4[m/s²] で上昇するから S1=1/2t 2 =2.8m おもりは 2.8[m/s²] で下降するから S2=1/2t 2 =5.6m だけ下がる よって両者の高さの差は 2.8+5.6=8.4[m] エ ) 5から下向きを正として A は 2 秒後に V A =-t=-2g/7 おもりは として V =t=4g/7 A 君から見たおもりは V A =4g/7+2g/7=6g/7 = 8.4[m/s] 下向き 公式 Point 動滑車側の加速度は半分になる 動滑車に質量がある時 動滑車についても運動方程式を立てる
o-16 P 1. 摩擦力 空白を埋め問題に答えよ 水平面に質量 m [kg] の物体を置き 水平に力 f [] の力で物体を右に押す そ れでも物体が動かないのは が 向きに働くからと考える これは 摩擦力と の合力である が に傾いたからと考えることもでき る P m kg Q1 この時の物体に働く力に図示せよ また この時の摩擦力 Fを求めよ f Q 抗力 R を用いた図示もすること まだ物体は十分動かないとすればこの時の摩擦力 Fを という さらに押す力 fを大きくしていくと摩擦力は最大値 Fo になる この摩擦力を 力といい この値は押す力 fに関係な く床との摩擦係数できまる この摩擦係数を 係数と いい μで表すと重要な関係式 がこの時成立する Q1 先の Q1 の図に加え このとき物体に働く力を抗力 R を用いて図示せよ Q2 この物体を動かすのに最低必要な力 fをμ m gで表せ また 押す 力 fを斜め右下 水平 右上に加えるとき 物体が動き出しやすいのはど の方向か ところがいったん物体が動くと押す力 fは小さくても物体は運動する これ は運動しているときの が最大静止摩擦力より小さいためであ る また この運動摩擦力は物体の速さに関係なく なので運動摩擦 係数をμ とすると という関係がここでも成立する Q3 運動している時の押す力を一定のfとし 速度を V とする 加速度を求 めよ さらに物体が等速運動をするためのfをμ m gで表せ Q4 fを0から動き出す直前まで大きくすると垂直抗力の作用点はどう変化 するか Q5 fを変化させた時の摩擦力の変化をグラフで示せ Q6 次に物体の回転を考慮してみよう つまり物体を と考える 物体は高さ b, 上面 底面とも 1 辺 の直方体である 押す力 fがちょうど 角のP 点に来た時 物体はQ 点を中心にして滑ることなく回転した この時物体に働く力を図示し fをm g bで表せ また 滑らずに回転する条件を示せ また 回転直前の抗力 R を用いた物体の力の図示をせよ 解答 o-16 p1 順に摩擦力左垂直抗力抗力左 Q1) このときの摩擦力は静止摩擦力で図より F=f f [] 順に静止摩擦力最大静止摩擦力最大静止摩擦 Fo =μ Q2 水平方向のつりあいから f= Fo 1 鉛直方向のつりあいから = 2 さらに摩擦の式は Fo= μ 3 1 2 3 より Fo= μ 摩擦力を小さくするには垂直抗力を減らせばいいので右上に力を加える 順に運動摩擦力一定 F' =μ Q3) 水平方向は運動方程式から m=f-f' 1 鉛直方向のつりあいから = 2 さらに摩擦の式は F= μ ' 3 1 2 3 より =f/m ー μ ' g 4 等速であるということは =0 だから 4 から f=μ Q5) F Fo F Q6) 剛体 f P f F m kg Q おす力 f があるで垂直抗力 の作用点は中心より右に ずれる 摩擦力の作用点も 同じようにずれる P m kg P m kg Q b f F /2 Q b P f m kg R f Q 摩擦力と垂直抗力を合わせ たのが抗力 R である 物 体には f,,r が働くがそ の作用線は 1 点で交わる Q6) 垂直抗力も摩擦力も作用点は Q 点に ある Q 点まわりのモーメントを求める ずらし法からモーメントの釣合は fb= /2 よって f= /2b 回転するためにはこの f が最大摩擦力より小さ ければいいから Q2) から f<μ 1 より /2b< μ P m kg R f 剛体の作用線は一点で交わるので図のように物 体には重力と f と抗力 R が働く Q f が大きくなるので摩擦力は最 大になるが垂直抗力に変化はな い 同じように作用線は 1 点 で交わるので R は最も傾く Q4) f が増えると垂直抗力の作用点は右にずれ ていく f = 0 なら中点 最大摩擦の時は Q 点 側にずれる 回転の直前であれば Q 点になる 1
o-17 P1 抗力 次の空白を埋め 問題に答えよ との合成を抗力をいう Q1. 図のように引く力 fを変化させ 水平面で物体を引いても動かなかった 抗力 R として力の図示をせよ また この時の抗力を求めよ 質量は全て mとし 重力加速度はgとする f f Q2. 次に摩擦ある面で同じ物体を引き 動かしている場合を考える 左のほうが速さがおそく 右が速いとする 抗力を R として図示せよ また この抗力を求めよ ただし 動摩擦係数をμ とする v V f f 解答 o-17 P1) 摩擦力 F と垂直抗力 垂直抗力の値が一定だから抗力の高さは変化しない 水平成分がfと等しい R R 摩擦力 F は F=f f f 抗力 R の大きさは 3 平方の定理から R= (()² +f ²) Q2) 動摩擦力は速さに関係なく一定なので抗力のベクトルは同じになる 動摩擦力は F'= μ R R f f 抗力 R の大きさは 3 平方の定理から R= (()² + ( μ ')²)= (1+ μ ²) P2 斜面摩擦と抗力次のように の斜面に質量 4kgの物体を置くと静止した 4 kg 4 kg ア ) 物体に働く力を抗力 R を用いて図示せよ イ ) 抗力 R を求めよ 次にこの物体を斜面の下から斜面に沿って上向き に初速 7[m/s] で滑らせた 動摩擦係数は0.5 とする 7[m/s] ウ ) 物体に働く力を抗力 R を用いて図示せよ エ ) 抗力 R を求めよ オ ) 加速度と最高点までの時間を求めよ カ ) さらに最高点を過ぎ下降中の物体に働く力 を抗力 R を用いて図示せよ 抗力は垂直抗力と摩擦力の合力抗力と重力の合力の向きは加速度の向きになる P2 ア ) 図左イ ) 重力とつりあうから R=Mg=39.2 ウ ) 図中カ ) 図右 4 kg R R 4 kg Mg: 重力 Mg: 重力 Mg: 重力 P2 エ ) 抗力は摩擦力と垂直抗力のベクトル和だから y 方向のつりあいから =Cos= 19.6 3 R R よって動摩擦力は F'= μ = 9.8 3= 16.7 3 R= {(9.8 2 3)² + (9.8 3)²}=9.8 3 3=50 オ ) 斜面方向の運動方程式は 3より 垂直抗力は変化しない 4=-4gsin30-16.7=36.3 =9.1 [m/s²] 摩擦の向きは入れ替わる v=v 0 +t より 上図のよにRは上昇 0=7-9.1t t=0.7[s] 下降で変化する R 4 kg
o-18 P1. 摩擦ある面上に質量 10kg の物体を置き 次のように水平に力 fで引く ただし 静止摩擦係数は 0.5 運動摩擦係数は 0.1 とする ア )f が5 の時はまだ物体は動かなかった この時の摩擦力の大きさと種類をいえ 10kg f イ ) fがある値になったら物体は動き始めた この値と摩擦力の種類をいえ ウ ) 動き出した後にfを 20 の一定な力で引く この時の摩擦力の種類と加速度を求めよ エ ) 動き出した後にfを 20 の一定な力で A 君が引く A 君は最速 10m/s で走ることができる A 君が一定の速さで引けなくなるのは走り出してから何秒後か P2 斜面と抗力摩擦ある斜面上にある次の物体に働く力を抗力 R を用いて図示せよ ( 押したり 引いたりはしていない ) 1) 図のように物体が斜面上でつりあい 静止している時 2) 斜面上を上向きに加速度をもって上昇している時 3) 最高点に達した瞬間 4) 斜面上を下向きに加速度をもって下降してい M θ F=μ F' =μ る時 5) 斜面上を下向きに一定の速さで下降している時抗力 = 摩擦力 + 垂直抗力摩擦力の種類は静止摩擦力 最大摩擦力 運動摩擦力このうち最大摩擦力 運動摩擦力は垂直抗力のみに依存する 運動方程式は必ず 単位! 最大摩擦は力の釣り合い加速度が出たら等加速運動の式を使う 力を解くときには抗力ではなく 垂直抗力と摩擦力にわける 解答 o-18 P1 ア ) 動かないということは静止摩擦力でつりで解く 摩擦力を F とすると水平方向の釣り合いの式から F= f=5 10kg f よって静止摩擦力 5 F イ )* 動きはじめたその瞬間だけは最大摩擦力の式が成り立つ したがって式は3つ! 最大摩擦力を Fo にすると x 方向 ) 最大摩擦はつりあいだから Fo =f 1 y 方向 ) 鉛直方向もつりあいで = 2 摩擦の式 ) 公式から Fo= μ 3 3 2より を消去し 1に代入すればf=μより f=0.5 10 9.8=49[] ウ ) 動いている時は運動摩擦力の式が成り立つ 動くと動摩擦力は一定になる したがって式は3つ! 運動摩擦力を F にすると x 方向 ) 運動方程式から右向きを+として m=f-f' 1 y 方向 ) 鉛直方向は変わらず釣り合いで = 2 摩擦の式 ) 公式から F = μ 3 3 2より を消去し 1に代入すれば m=20 ー μ = 20 ー 0.1 10 9.8 =2-0.98=1.02[m/s 2 ] エ ) 等加速運動の V=t より 求める時間をtとすると 10 = 1.02 t t= 9.8 秒後 P2 加速度がない時は重力とつりあうので1,5 は下の左図 加速度は下向きなので合力もこの向き 2,3,4 は下の右図 1)R: 抗力 ( 重力とつりあ 2)R: 抗力 ( 斜面垂直方向の成分は一定 ) M Mg: 重力 Mg: 重力 M
o-19 P1 摩擦力と運動方程式 物体の質量を M[kg] 面の動摩擦係数はμ 静止摩擦係数はμとする ア ) 水平面上に M を置き水平にfの力を加えたら まだ物体は動かなかった この時の摩擦力 F の種類と大きさを求めよ イ ) 引く力をf 0 にしたら物体は動き始めた この f 0 と摩擦力の種類を求めよ ウ ) 動き始めた後 引く力を f' にした 加速度を求めよ また一定の速さになるための f' を求めよ 次に同じように面に物体を置き 面を少しずつから傾けていく 角度がθ 0 になったら物体は滑りだした エ ) 最大静止摩擦係数 μを求めよ 滑り出してからの面の傾きは一定 (θ=θ 0 ) とする オ ) 滑り出した後の加速度を求めよ また 一定の速さになる条件を求めよ P2 摩擦力とエネルギー保存則 ( 水平面 ) 物体の質量を M[kg] 面の動摩擦係数はμ 重力加速度はgとする 水平面上を初速 V 0 で滑らす 距離 Sだけ滑ったら速さがVになった この時 摩擦力の仕事と物体が摩擦力に抗してした仕事を求めよ また距離 Sと摩擦により発生した熱 Qを求めよ V 0 V S 水平面の動摩擦力 F'= μ 摩擦角の式 μ= tn θ 斜面の 動摩擦力 F'= μ Cos θ 解答 o-19 P1 ア ) このときの摩擦力は静止摩擦力でつりあいの関係にある よって F=f である この時 F= μ は成り立たないので注意する イ ) 動きはじめたという文があったら直前とし最大摩擦力でつりあいで解く この時は x y 方向と摩擦の公式の3つを使う x)f 0 =f 0 これらから f 0 =μ Mg y)=mg 公式 )F 0 =μ ウ ) 動いた後は摩擦力は速さに関係なく一定動いている時は加速度のある なしで異なることに注意する 加速度があれば水平方向は運動方程式 x) M=f' - F' これらから =f'/m- μ g y) =Mg 公式 )F' =μ エ ) 滑りだした時なので最大摩擦力としてつりあいで解く 斜面をx 軸にとり 最大摩擦力 F 0 として x)f 0 = MgSin θ y)=cos θ これを F 0 =μ f F f 0 F 0 f F θ 0 Mg Mg Mg に代入し μ= tn θ 0 オ ) 斜面下方を正として x)m=mgsin θ ー F' 1 y)=mgcos θだから摩擦の公式 )F' =μ = μ MgCos θ を1に代入して =g(sin θ ー μ Cos θ)2となる 摩擦があると上りと下りで加速度が異なることに注意する =0 で等速になりこの時 μ =tnθである P2 摩擦力の仕事は負だが 摩擦に抗してした仕事は正になる V 0 V 摩擦力の仕事は F と S が反対なので W マ = ー F'S =-μ S =-μ MgS S よって摩擦に逆らう仕事 W 物 = -W マだから F W 物 =μ MgS で正の値になる 熱はこれ Mg に等しく 正の値になり Q= μ MgS となる エネルギー保存則より 1/2 MV 2 0 =1/2 MV 2 +μ MgS よって S=(V 2 0 -V 2 )/(2 μ g )
o-20 P 1. 斜面の摩擦力 空白を埋め問題に答えよ 2009 定期試験 摩擦ある斜面に質量 m [kg] の物体を置き 斜面を少しずつ傾けていくとある角度 θ 0 で物体は滑りはじめる この時の角度をといい 滑る直前の摩擦力は摩擦力である Q1. この時の力を図示し 摩擦角 θ 0 を最大摩擦係数 μで表せ θ o Q2. 上図右のようにこの斜面 ( 角度 θ) で物体を上向きに動かすの必要な力 を求めよ Q3. この物体を斜面の下から初速 V o で斜面上方に滑らしたら最高点の高さの位置で元に戻ってきた 動摩擦係数をμ として元にもどるまでの時間を求めよ また最高点の高さhを求めよ Vo h θ θ 解答 o-20 p1 順に摩擦角 最大静止摩擦力 Q1) 斜面方向のつりあい Sin θ o = Fo 1 斜面鉛直方向 Cosθo=2 最大摩擦の式から Fo =μ 3 1 2 3から μ= tn θ o Q2) 斜面をx 軸にとる 最大摩擦力が働くと考えつりあいでとく 斜面方向 )= Sin θ+ Fo 1 y 方向 ) = Cos θ 2 と斜面の交摩擦の式 ) Fo =μ 3 2 3を1に 点が摩擦と垂直代入すると = (Sin θ+μ Cos θ) Fo θ 抗力の作用点 Q3) 斜面をx 軸にとる 動摩擦力は運動と反対向きに働く 1) 上昇中の加速度 ( 斜面上向きを正 ) 斜面方向 )m=- Sin θ ー F' 1 y 方向 ) = Cos θ 2 摩擦の式 )F' =μ ' 3 2 3を1に代入すると = ー g(sin θ+μ 'Cos θ) 最高点までの時間 t 1 は V=Vo + t から 0= Vo ー g(sin θ+μ 'Cos θ)t 1 t 1 = Vo/{ g(sin θ+μ 'Cos θ)} 4 よってこの時の変位を S とし S=Vot 1-1/2 g(sin θ+μ 'Cos θ)t 2 1 を用いるが Vot 1 の半分から S=Vo 2 /{2g(Sin θ+μ 'Cos θ)} よって 5 h= S Sin θ= Sin θ Vo 2 /{2 g(sin θ+μ 'Cos θ)} 公式 Point 摩擦角 θ 0 μ= tn θ 摩擦力 水平面は μ 斜面は μ Cos θ 斜面方向の重力はつねに Sin θ と斜面の交点が摩擦と垂直抗力の作用点 2) 下降中の加速度 ( 斜面下向きを正 ) 斜面方向 )m= Sin θ- F' 1 y 方向 ) = Cos θ 2 摩擦の式 )F' =μ ' 3 2 3 を 1 に代入すると = g(sin θ-μ 'Cos θ) 5 式の距離 S を初速 0 で下ればいいからこの時間を t 2 とすると S= 1/2 t 2 から Vo 2 /{2 g(sin θ+μ 'Cos θ)} =g(sin θ-μ 'Cos θ)t 2 /2 t 2 >0からt 2 = Vo/g {Sin 2 θ μ ' 2 Cos 2 θ } よって往復では V 0 t 1 + t 2 = g(sinθ + µ cosθ) + V 0 g sin 2 θ µ 2 cos 2 θ
o-21 P1 斜面と摩擦 4 kg 図のように の斜面に 4kgの物体をおいて斜面上向きに の力で引く 物体に働く力を図示して次に答えよ ア ) まさつはないとして がいくつなら釣り合うか θ = ウ ) 動摩擦係数が 1/(2 3) の摩擦があるとして =30 の力で引いたときの加速度を求めよ 以後 同じ動摩擦係数があるとする エ ) 一定の速さで引き上げるための を求めよ オ ) 一定の速さを3 倍にして引き上げたときの動摩擦力を求めよ カ ) 次に引くのをやめて物体を斜面にそっと置く より少しでも傾きをおおきくすると物体は滑りだした 斜面の摩擦力と静止摩擦係数を求めよ また この時働いている摩擦力は何というか キ ) カの最大摩擦力は斜面の角度を大きくするとどうなるか また 物体の質量を大きくするとどうなるか 動摩擦係数と静止摩擦係数はどちらが大きいか ク ) 斜面上に物体が静止している時 角度を変えることなく 物体を斜面上方に滑らすために最小限の力を加えたい どの向きに加えればよいか 理由と共に加える力を図示しなさい P2. 複数物体運動方程式を立てる摩擦あり 動摩擦係数をμ とする力の図示をし A, について運動方程式を立てよ A が を押す力は R 張力は, 垂直抗力は とせよ 加速度を出すのに必要ならy 方向等の式も書くこと ア ) 糸で連結 Mkg A mkg θ イ ) まさつなないとして =27.6 で引いた時の加速度を求めよ イ )A, 間のみ摩擦あり A の加速度 f はα の加速度はβとせよ A m kg f Mkg 解答 o-21 P1 ア ) 斜面方向の力のつりあいから =Sin=4 9.8/2=19.6 イ ) 斜面方向の運動方程式から m=-sin 4=8 : : 垂直抗力 Mgsin30 F : 動摩擦力 θ = Mg: 重力力の図示 P2. 別々に図示する 糸がたるま A α 物体に働く力を作なければ A A 用反作用や張力は Aの加速 F' F β 同じ記号で別々に Mg F'A θ 度は同じ A Mg 図示する ア )A)m=-Sin θ ー F' A (F' A =μ A =μ Cos θ) A mkg M Mkg =2[m/s²] ウ ) 斜面をx 方向として x)m=-f'-sin30 y)=cos 摩擦の公式は動摩擦力が働いているので F'= μ よって m=- μ 'Cos30-Sin30 1 4=30-9.8-19.6=0.6 =0.15[m/s²] エ )1より =0 とすると =29.4 オ ) かわらず F'= μ 'Cos30 = 9.8 カ ) 引く力がなくなり 斜面 x 方向には最大静止摩擦力が働きつりあう x) F₀= μ Sin y)=cos 摩擦の式 )F₀ =μ 以上からμ= tn= 1/ 3 F₀ =μ Cos30 = 19.6 キ ) 角度を大きくしても滑り出す時の最大静止摩擦力は変わらない 質量を大きくすると比例して摩擦力は大きくなる 静止摩擦係数のほうが大きい ク ) 垂直抗力を小さくすればよいので垂直抗力と同じ向きの成分を持つ斜面上方の力を加えればよい F MgCos30 θ = 運動方程式を立てる時は加速度を物体の外に図示し 加速度の向きを基準に分解する )M =f ー MgSin θ ー F' ー (F' =μ =μ MgCos θ イ )A)m α =f-f F' =μ A =μ )M β=μ M m kg θ
o-22 P1. 連結物体摩擦り 動摩擦係数 0.2 の机に図のような物体を置く 加速度と糸の張力を求めよ 3kg A 2kg P2. ななめ引き上げ次のように質量 10kg の物体を摩擦ある面に置き 水平と 45 度上方に力 f で引く ( 摩擦あり ) ただし 静止摩擦係数は 0.5 運動摩擦係数は 0.1 とする f ア ) fが5 の時はまだ物体は動かなかった 10kg 45 この時の摩擦力の大きさと種類をいえ イ ) fがある値になったら物体は動き始めた この値と摩擦力の種類をいえ また もっと簡単に動き出すのはfが1 水平 2 水平より上 3 水平より下の場合のどれか 記号で答えよ ウ ) 動き出した後にfを 20 の一定な力で引く この時の摩擦力の種類と加速度を求めよ 斜め引き上げの時は垂直抗力は重力ではない 垂直抗力がカギ 解答 o-22 ア ) 力の図示をして それぞれ加速度の向きを決める 3kg A 同じ糸は同じ記号 F Mg 途中式は分数で! 2kg * A は摩擦があるから式は3つ! 運動摩擦力を F にすると x 方向 ) 運動方程式から右向きを+として M= ー F' 1 y 方向 ) 鉛直方向は釣り合いで =M g2 摩擦の式 ) 公式から F = μ 3 2より F'= μ Mg 4 については加速度は下向きになるから m= ー 5 1に45を代入し M= ー m ー μ Mg = 1.4g/5 6 張力は5より = - m に6を代入 = 2g ( 1-1.4/5) =14 加速度は6より2.7[m/s 2 ] P2 ア ) f 静止摩擦力が働いているから つり合いで解く 摩擦力を F とすると水平方向の釣り合いの式か 10kg 45 ら F= f Cos45= 3.5 fcos45 F イ ) 最大摩擦力を Fo にするとこの時は加速度はない よって釣り合いの式は x 方向 ) 最大摩擦はつりあいだから Fo =f Cos45 1 y 方向 ) 鉛直方向はfが斜めだから fsin45 + = 2 摩擦の式 ) 公式から Fo= μ 3 3 2より を消去し 1に代入してf (Cos45 +μ SIn45) =μ f=47[] 最大静止摩擦力 2 式からfの上向きの成分があれば が小 さくなるので最大摩擦力も小さくなる よって2 ウ ) 加速度を右にとると運動摩擦力を F とし x 方向 ) 運動方程式から右向きを+として m=fcos45 ー F 1 y 方向 ) 鉛直方向は釣り合いだから fsin45 + =2 摩擦の式 ) 公式から F =μ 3 1 2 3より 10 = 10 2-0.1(98-10 2) 加速度は 0.56[m/s 2 ]
o-23 P1 動滑車と摩擦力 センター追試改 次の図まさつある机上の点 O に質量 mの物体 A を置き 滑車を通し 物体 をつるす をつるしてある滑車は動滑車で一端はスタンドに固定してある はじめは静止するために物体 A を手で押さえている この時物体 の床までの高さがh= 30cm であった 各滑車は十分小さく 軽いとする 机の静止摩擦係数はμ 運動摩擦係数はμ とする A O h =30cm ア ) がある質量 M の時 A をはなしても は動かなかった この時の A に働く摩擦力を求めよ イ ) の質量をさらに M に変化させたら物体は動き出した M' を求めよ ウ ) 動いている時 物体 A の加速度 を求めよ 以下ではμ=0.5 μ =0.25とせよエ ) が床に落ちるまでの時間と落ちる直前の速さ V を求めよ オ ) が床に落ちる瞬間の A の速さと落ちるまでに A が動いた距離を求めよ 解答 o-23 P1 ア ) 摩擦力は最大ではないの であくまでつりあいで解く A Simple is First! でまず動滑車に注目 すると2 = Mg から =Mg/2 F 次に A の水平方向のつりあいから Mg 摩擦力を F として F==Mg/2 1 イ ) 動き出した時はつりあいで最大摩擦力 Fo で考えるので式は3つ! A について x 方向 )=Fo y 方向 )= 摩擦の式 )Fo =μ これから = μ 1より M'g/2== μだから M'= 2μm1 ウ )A は摩擦があると式は3つ! A の加速度を 運動摩擦力を F にすると x 方向 ) 運動方程式から右向きを+として m= ー F' 2 y 方向 ) 鉛直方向は釣り合いで =m g3 摩擦の式 ) F = μ 4 234より m=- μ ' 2 動滑車と は一体で動くので質量 M' の1つの物体とみなすと の加速度は A が1m 移動したとき は半分の 50 cm 落ちるので半分の /2 になる 加速度は下向きになるから M'/2=M'g ー 2 5 2 2 +5と1 よりm (2+ μ )= 2μm g ー 2μ m g (2 +μ)= 2g( μ ー μ ) =2g( μ ー μ )/(2+ μ ) エ ) ウ ) から = 0.5/2.5 g= g/5 よって の加速度はこの半分の g/10 等加速運動の式から単位を標準単位のmになおし h=0.3 初速はないのでy= 1/2 t 2 t>0よりt= (2h/)= (0.6 10/g) ここでg= 0.2 7 2 を思い出して t= 30 /7( チェック ) 6/9.8 0.78[s] 直前の速さは V = t=g/10 30/7 = 0.14 30 = 0.77m/s 公式 Point 動滑車は力半分 距離 2 倍 速さも半分 答えは小数 途中計算は分数のままで! g=0.2 7 2 オ )A の距離は 2 倍の 0.6m その時の速さは 2 倍の 1.5m/s である もちろん A の加速度が g/5 なので v= t=g/5 30/7=1.4 30/5 = 1.5m/s としても良い
o-24 P1. 連結物体摩擦有り 運動方程式を立て 加速度を求め次の問題に答えなさい は床まで 49cm ア ) 静止摩擦係数を 0.5 とする の質量をいくつにすれば 5kg の A は 90c m 49c m 120cm P 2 動滑車 A5kg 動き出すか イ ) 動摩擦係数が 0.3 の時 アの結果の質量を用いてが床に着く時間を求めよ 次の図のように点 P まではまさつのない机上の点 O に質量 mの物体 A を置き 滑車を通し 質量 mの物体 をつるす をつるしてある滑車は動滑車で一端はスタンドに固定してある はじめは静止するために物体 A を手で押さえている この時物体 の床までの高さがhであった P 点から先のみ摩擦があり 運動摩擦係数はμとする 滑車の質量は無視できる ア ) 物体が動かないために A に加えて A いる力はどちらにどれだけか O P イ ) 手を放した時 物体 A と物体 の加速度を求めよ ウ ) が床に落ちる瞬間の速さとその時 h の物体 A の速さを求めよ 以後この速さをv, v A としてよい エ ) が床に到着した時 ちょうど物体 A は点 P 上であった OP の長さを求めよ (hで表せ) オ ) その後物体 A は滑車にぶつかる手前で静止した この点を Q とすると PQ の長さXを求めよ カ )PQ 間に摩擦力と 重力のした仕事を求めよ キ ) 物体 A の O から Q にいたるまでの V-t グラフをえがけ 動滑車は力半分 距離 2 倍 速さも半分 糸はたるむと張力 0 水平の摩擦あり加速は =- μ g 解答 o-24 P 1 ア) まずつりあいで =0, の質量を M として釣合の式は A Mg θ A の x 方向 )= 5g sin θ +Fo 1 A の y 方向 )= 5gCos θ2 摩擦式 Fo= μ 3 Fo 4kg )M g= 4 49c m 図より Sin θ =3/5,Cos θ =4/5 だから よって Mg=5g 3/5+0.5 5g 4/5 = 3g + 2g = 5g よって M= 5kg イ )A, 共に質量は 5kg だから運動方程式をたてると動摩擦力 F' に変えて Ax)5 = ー 5g sin θ -F' Ay)=Cos θ F' =μ ' より F' =μ Cos θを1にいれ 先の4を使う A) 5 = -5g 3/5-0.3 5g 4/5 =-3g-1.2g=-4.2g 1 ) 5 = 5 g- 2 1 +2 より 10= 0.8g =8g/10 2 =0.784m/s 2 加速度が出たら等加速の3 式をつかう S=1/2t 2 より g=0.2 7 2 だったから0.49= 4 0.2 7 2 t 2 /100 49=4 0.2 7 2 t 2 t 2 = 5/4 t>0 よりt= 1.1 s P2ア ) A 2 /2 A F' Aを引いている張力をよするとの動滑車には次のようにつりあいの式が成り立つ 2= =/ 2よってこの力を A に左に加える イ ) 摩擦はないので A の加速度を とすると は /2 の加 速度になる を上に引く張力は滑車に質量がないので2 になる A については m= 1 については m /2=-2 2 1 2+2より 5m/2= A の加速度 :=2g/5 の加速度 g/5 ウ ) の加速度は =g/5 なので v 2 -vo 2 = 2s より初速は 0 だから V 2 =2gh/ 5 よって V = (2gh/5), V A は 2 倍の 2 (2gh/5) エ ) がhだけ下がるには A は 2h 動く必要があるから 2h オ )P からは A には上図のように動摩擦力が働くから F =μ = μ ' また m=- μ から加速度は =- μ 'g v 2 -vo 2 = 2s より初速が V A だから 8gh/5=2 μ g X X=4h/5μ
o-25 P1 相対加速度 亀の子問題 1 2009 定期試験 図のようにまさつない面上に質量 M の物体 Aを置き その上に質量 mの物体 をのせた Aとの間には摩擦がある 物体 Aには糸をつけこれをfで引く Aとの間の静止摩擦係数をμ 動摩擦係数 L m をμ 重力加速度をgとする A M f ア )f がある力の時 はAの上を滑り出した この時のfの大きさを求めよ イ ) その後 fを一定にし はAの上を滑っている がすべり始めてから A の端までの距離を L とし この距離 L を が滑る 距離 L をすべる時間を求めよ 解答 o-25 P1 ア )A と の力の図示を正確にする 摩擦力 Fo は A には左 には右に働 くアは最大摩擦が働くと考える 動く直前 つまり A も も同じ加速度 をもっ ている A, についてこの場合はつりあっていないが最大摩擦力が働くから A)M=f-Fo 1 m )m=fo 2 Fo Fo = 3 A M f Fo= μ 4 Mg 1 2を足して (M+m)=f 5さらに 2 3 4から m= μ = μ g を5に代入すればf= (M+m) μ g イ ) 距離 L をすべる時間は A の上に乗ってみないといけない 外から見ると が A の上を滑っている時は A と は同じ運動をしていないので A の動いた 距離と の動いた距離を両方出さないと L だけ滑る時間は得られないので ある 普通の物理量は全て地球に対して静止した場所 ( 静止系 ) から観測し た値が基準である 相対速度を考える時は基準の向きをしっかりとること 公式 Point 亀の子問題滑る時間は相対加速度で上に乗って見る ( 慣性力 ) 未知な速度はとりあえず正の向きに記号を決める そこで静止系からみて共に右向きに A の加速度を α の加速度を β とおく ここで大切なのは上の物体 は左に運動するかもしれないがはっきりしない 時はとりあえず正の向きに速度の記号を決める 摩擦力が F' に変わっているからそれぞれの式は A)M α =f ー F 1 )m β =F 2 = 3 Fo= μ 4 2 3 4 から m β = μ β=μ g6 を 2 に代入すれば 1 は M α=f-μ α= ( f-μ )/M 7 よって A から を見た加速度 は = β ー α= ( μ g(m +m ) -f)/m 滑り初めは初速 0 なので等加速運動の式から S=1/2 t 2 だから S=L ではなく L は反対向きなのでー L=1/2 t 2 となる これを t について解いて 2LM t = f µ g(m + m) 別解 )A から見た の加速度を γ とする には慣性力が働くから についての式は次のようになる 慣性力 m α が左向きに働くから m γ=μ '-m α 1 を代入し γ=μ g - (f- μ )/M = ( μ 'g(m+m)-f)/m これは 8 に等しい
o-26 P1 相対加速度亀の子問題 2 図のようにまさつない面上に質量 2m の物体 Aを置き その上に質量 mの物体 をのせる Aとの間の静止摩擦係数をμ 動摩擦係数をμ とする 物体 A を一定の力 fで図右側に引く 重力加速度はgとする ア )fがある力の時 はAの上を滑り出した m f この時 物体 A, に働く力を図示せよ A 2m イ )fがある力の時 はAの上を滑り出した この時のfの大きさを求めよ ウ ) その後 fを一定にし はAの上を滑っている Aから見たの加速度を求めよ 物体 が物体 A の上を滑り出した時の物体 A の速さを V とし この時の時刻を t=0 とする また引く力 f =2 運動摩擦係数 μ = 1/2 とする 時刻 t=t 1 で引く力 fを0にした 時刻 t=t 2 で は A の上で静止し A から床に落ちることはなかった エ )t₁ での A の速度 V A の速度 V を求めよ (V,g,t₁ を用いて答えよ ) オ )t 2 を求めよ (t₁ で表せ ) カ )t=0 から t=t₂ までの A と の V-t グラフを描け ただし 同じ座標軸上に 2 つのグラフを描くこと A と の違いがわかるようにすること キ )t=0 から t₂ までに物体 が物体 A の上を滑った距離 S を求めよ (t 1,g で表せ ) 解答 o-26 ア ) F₀ ' f A F₀ 2 イ ) A も も同じ加速度 をもっている A, について A)2m=f-Fo 1 )m=fo 2 = 3 Fo= μ 4 1 2を足して (2m+m)=f 5さらに 2 3 4から m= μ = μ g を5に代入すればf=3mμg ウ ) A の加速度をα の加速度をβとおく 図の摩擦力は動摩擦力 F に変わる A)2m α =f-f 1 )m β =F 2 = 3 F = μ 4 2 3 4から mβ=μ β=μ g6を2に代入すれば1は 2m α=f-μ α= ( f-μ )/2m 7 よって A から を見た加速度 は = β ー α= (3m μ g -f)/2m 8 * A にのって の運動方程式を立てると慣性力が右にmα 働くので m=f'-m α = μ '-( f-μ )/2 これから求まる は8に等しい エ ) t=0 では共に初速として V の速さだから6 7よりv=v ₀ + t を用いて V A = V+( f-μ )t₁/2m=v+3gt 1 /4 V =V+μ gt₁=v+gt₁/2 公式 Point 相対加速度の式は 慣性力が出てくる 相対運動の距離は V-t グラフの囲まれた面積 オ ) カ ) V V エ )f=0 としてから A から見た の加速度は 8 から 3g/4 t=t₁ では A から見た の速度は V A =-gt 1 /4 よって等加速運動の式から A から見た の速度が 0 になる時間 は 0=-gt₁/4+3g/4 より =t 1 /3 よって t ₂=t₁ + = 4t₁/3 V+3gt 1 /4 V+2gt 1 /3 A t 0 t₁ t₂ キ ) Aに乗って見ると初速が-gt₁/4 加速度 は 3g/4 だから v₀²=2s より g²t₁²=6gs S=gt₁²/6 これは図の 3 角形の面積に等しい が上で静止した時の速さはオから V+2gt₁/3 よって 面積 - 面積の和は 4t ₁/ 3 3/4 gt₁ ー gt₁²/2 {1/12 1/3+2/3 4/3 + 3/4}=gt₁²/6
o-27 P1 運動方程式と等加速運動 Aは4kg は5kg ではじめ物体 の下面は床から92.4cmのところにある バネ定数は490/m である ア ) はじめ A を押さえて静止させている バネの伸びを求めよ A イ ) A の押さえを放した の加速度を求めよ またバネの伸びを求めよ ウ ) 床に落ちるまでの時間と直前での物体 A と物体 の速さを求めなさい P 2. 終端速度速度抵抗がある運動空白を埋め 問題に答えよ 運動の第 1 法則は物体に働く力がか又はならば物体はまたはをする 第 2 法則は物体に力が働く場合はそのの向きにが生じ その大きさはに比例し に反比例する 例えば空気中で物体を自由落下させるととがつりあったところで運動になる この時の速度がである Q. 速度 vの状態に -kv の抵抗が働く時運動方程式を立て終端速度を求めよ また V-t S-tグラフを抵抗がない場合と重ねて描け ア ) 高さhから自由落下させる v イ ) 密度 ρ 体積 V のボールを深さhまで沈めて放す v 液体の密度はρ 重力の加速度はgとしてよい (ρ<ρ ) 速度抵抗がある時終端速度は =0 速度抵抗がある時終端速度は =0 m=f のFが変化したら等加速運動ではない 運動方程式で加速度がでたら等加速運動の3 式をつかう 解答 o-27 P1 ア ) バネは下向きに5gで引かれているからkx=5gからx=0.1m イ )A について )4= 1 について )5=5g-F 2 F= なので 1 + 2 より 9=5g =5g/9=5.4m/s 2 1 から落下中は F==20g/9 =kx だから x=4.4cm だけ伸びる 落下中は加速 運動だからバ ネの長さが変 化する ウ ) つりあっている時はイ ) から物体 1 は 10cm の伸びであったのが運動後 は 4.4cm の伸びになったのだから結局 ` 10 ー 4.4=5.6cm だけ落下距離が伸び ることになる よって落下距離は 92.4 + 5.6 = 98 cm S=1/2 t 2 から 0.98= 1/2 5g/9 t 2 よって A も も v= t=3.2m/s A F =kx t 2 = 9/25 t=0.6[s] P 2 順に働かない つりあっている 静止 等速直線運動 合力 加速度 合力 質量 重力 空気抵抗 等速直線運動 終端速度 速さ v は運動方程式に関係ない あくまで力の図示から式をたてること グラフはアもイもおなじである ア )m=-kv =0 とすると v= / k V ー t 速度抵抗がある時 kv イ ) 浮力 F= ρ Vg m=ρ V だから m= ρ Vg--kv =0 とすると v=(ρ ー ρ)vg/k S ー t ρ V= ρ Vg- ρ Vg- kv 速度抵抗があ る時 t が大き いと直線 F 浮力 kv
o-28 P1. バネの運動の台秤 図の 1 の状態は質量 m [kg] のバネを台秤の上に載せてある 2 はバネの上端から高さhの所から質量 M [kg] の物体を自由落下させ 上端と接触する直前 その後バネと物体は一体となり倒れることなく縮んだ 3 が最も縮んだ時である 4 は物体がバネから離れた直後で 5 が物体が最高点に達した時である 空気抵抗やバネの発熱等は考えない バネ定数はk [/m] でバネの自然の長さはL [m] とする 次に答えよ 下きを正とする h h L 1 2 3 4 5 ア )1から5までの台秤の指示値を 単位で答えよ イ )2の時の物体の速さvを求めよ ウ )4の時のバネの長さを求めよ エ ) 釣合の位置での運動方程式を立て 加速度とバネの長さを求めよ オ )5の時の台秤からの最高点の高さh を求めよ カ ) 3 の位置から釣合の位置までの指示値 - 時間のグラフをつくれ キ )3 の位置では物体の速度は 0 である では加速度を求めよ 解答 o-28 P1 ア ) 台秤がその上の物体から下向きに受ける力の総和を考えればよい 1) ではバネの重さだけだから指示値 = [] 2) バネは自然の長さにあるのでバネの弾性力 kx=0 よって [] 3) バネが釣合の位置まで縮んだ長さを x とすると釣合の位置ではフックの 法則から F=kx=Mg が成り立つ 最大縮んだ位置ではその 2 倍 2x 縮むので フックの法則から F=2kx=2Mg の力が働き台秤にはこの力が下向きに加わる ので指示値 = +2Mg[] である 4) 物体がバネから離れるのは物体とバネの接点の力が 0 になるところだか ら自然の長さの位置である よって 2) と変わらず [] 5) 物体は放れてしまっているのでバネの振動を無視すれば 1 と同じ [] イ ) 等加速運動の式から自由落下では v 2 = 2gh v= (2gh)[m/s] ウ ) 自然の長さで離れるので長さは L[m] エ ) 縮みは釣合の式から kx=mg より x= Mg/k 1 よって L-Mg/k[m] 運動方程式は下向きを正にして M=Mg-kx 1 より =0[m/s 2 ] オ ) エネルギーは保存されるのではじめの高さに等しく h' = L + h[m] カ ) ここまでの結果から 3 では +2Mg つりあいでは kx = Mg だから +Mg +2Mg この間は等加速運動ではなく単振動 ( 三角関数 ) のグラフ 1/4 周期分になる +Mg 3 釣合 t カ ) 最下点では最も上向きの力が強く働くので加速度も最大で上向きになる 運動方程式は下向きを正とすると 1 より M=Mg-kx ただし 3 から kx= 2Mg なので M= ー Mg となり 加速度は上向きに g[m/s 2 ] 秤の指示値は垂直抗力の反作用 バネの場合は重さ+ 弾性力 バネの弾性力は F= kx xは自然の長さが基準 バネと物体が離れるのは自然の長さ
o-29 P1. 力の図示 浮力と抵抗 秤の目盛 2010 実力テスト 水中で抵抗は速度に比例し F=c vとおける (c は定数 小文字のvは速さ ) とする 物体の密度はρ 体積は V, 液体の密度はρ 0 体積は V 0 とし 容器 やバネの質量や大きさは無視する 液体を入れた容器を秤の上にのせる ア ) 次の1から5の場合について物体と液体に別々に注目し 力の図示をして式をつくれ イ ) 次の1から5の場合について秤の指示値 ( めもり ) を 単位で求めよ 1) 密度 ρ 0, 体積 V 0 の液体のみ 2) 物体をバネ定数 kのバネに接続し 液体に沈める xだけ伸びた 3) バネから離れ 下向きに加速度 で落下中 * 指示値が液体の重さのみになる時の加速度 を求めよ 4) 一定の速さvになって落下中 *v も求めよ 5) 下まで落ちて静止 物体に注目して図示 v 1 2 3 4 5 液体に注目して図示 v 液体には浮力の反作用が働く 加速度により重さは変化する 秤の指示値は垂直抗力の反作用 解答 o-29 液体の重さは 物体に注目して図示 cv 1 ρ 0 V 0 g である 2 kx 3 vは変数 ρ 0 V 0 g ρ 0 Vg 1) 秤の目盛は液体が 容器を押す力 だか ら の反作用で = ρ 0 V 0 g 明らかにこれは水の 重さに等しい 2) 液体には浮力の反作 用が加わる 秤の目盛 は の反作用 = ρ 0 (V+V 0 )g 水の重さと浮力の合 力になる 4 cv ρ 0 Vg v ρ Vg 下向きの赤い は 容器が秤を押す力 これが目盛になる 4) 運動していても一定の速さで あるからつりあいで解く 重力 が浮力と速度抵抗につりあう ρ V g=ρ 0 Vg + cv v= Vg( ρ ー ρ 0 )/ c2 物体に注目して図示 ρ Vg 2) 物体についてつりあいは バネの力 + 浮力 = 重力 kx+ρ 0 Vg=ρVg 2 液体に注目して図示 = ρ 0 (V+V 0 )g + cv 2 のを代入し cv を 消すと ρ 0 Vg ρ 0 V 0 g =g(ρ 0 V 0 +ρv) これは単純に液体の 重さと物体の重さ 液体に注目して図示 cv v ρ 0 Vg ρ 0 V 0 g ρ 0 Vg ρ Vg 3) 下向きに運動しているので速度抵 抗 cv は上向き浮力と重力が働くから m=ρvg-ρ 0 Vg-cv ρv=ρvg-ρ 0 Vg-cv 1 つりあっていないことに注意 3 ρ 0 Vg ρ Vg cv ρ 0 Vg ρ 0 V 0 g 液体には速度抵抗の反作用が上向き 浮力の反作用が下向きに加わる = ρ 0 (V+V 0 )g+cv1 より cv を消す = ρ V(g-)+ ρ 0 V 0 g これから下向きの加速度が重力と等しい 時 g= では液体の重さだけになる 5 物体については接触するので容器か ら ' を受ける 重力を ρ Vg として ' +ρ 0 Vg =ρ Vg 3 液体と容器を一緒に考えて液体と容 器の垂直抗力 として = ρ 0 (V+V 0 )g + ' 3 より =g(ρ 0 V 0 +ρ V) 4 と変わらない ρ 0 V 0 g ρ 0 Vg
o-30 P1 秤の指示値 バネと運動方程式 図のようにはかりをおき その上にバネ定数 k [/m] 質量の無視できるバネを置く バネの上端のところから質量 m [kg] のおもりを静かに放す バネ k から落ちることなく運動し おもりは再び元の位置に戻った 空気抵抗は考えない バネははじめは自然の長さであった 自然の長さを原点に下向きにx 軸の正の向きをとり 重力加速度はgとする 台ばかりの指示値は で答えよ ア ) はじめに台はかりを0に調整する おもりを放した瞬間の 0 おもりの加速度と台はかりの指示値を求めよ x イ ) おもりが最大に縮んだ時おもりの加速度との台はかりの指示値を求めよ ウ ) おもりが位置 xにある場合の運動方程式をかけ また この時の加速度 としてはかりの指示値を求めよ さらに指示値が再び0になった時の加速度を求めよ エ ) おもりを放した時を t=0 とし 再び原点に戻るまでの台はかりの指示値と時間 t 指示値と位置 x のグラフを描け 縦軸の必要な値は自ら入れること P2 秤の指示値浮力と運動方程式次に同じ台はかりの上に十分大きな液体の入った容器を乗せる 液体の密度をρ ₀[kg/m 3 ] とする 台はかりの目盛りは容器と液体をのせた時に0に調整した 次に軽い糸で図のように体積 V[m 3 ] 密度 ρ [kg/m 3 ] の物体を容器の底面に固定した ( ρ<ρ ₀) 液体には粘性抵抗があり 物体の速さがv [m/s] の場合 運動と反対向きに kv[](k は定数 ) の抵抗が働く 液体の表面張力 空気抵抗は無視し 重力加速度はgとしてよい 指示値は 単位で答えよ ア ) 糸の張力と この時の指示値を求めよ イ ) 糸を切った瞬間の加速度と この時の指示値を求めよ ウ ) 加速度を として速さがvになった時の運動方程式を示せ この時の指示値を を用いて表わせ (kv は用いないこと ) エ ) 物体は液体中で一定の速さ v' になった この速さ v' を求めよ また この時の指示値を求めよ (kv' は用いないこと ) オ ) さらに液体を飛び出し 最高点に達した時の物体の加速度を求めよ また 最高点の液面からの高さをエの v' を用いて示せ カ ) 糸につけてから切り 最高点に達するまでの指示値と時間のグラフを描け 解答 o-30 P1 ア ) 離した瞬間ではバネは縮まないので0 加速度は下向きにg [m/s²] イ ) 自然の長さから放しているから釣り合いの位置では =kx 0 が成り立つ 1 振動の中心がつり合いだから最大に縮んだ状態は 2x 0 だけ縮んでいる この時 1から F=k(2x 0 )=2 となりこの反作用が目盛になるから2[] 最下点での運動方程式は下向きを正とし m=-k(2x 0 )=- =-g[m/s²] ウ ) 運動方程式は m=-kx 指示値はバネの弾性力の反作用になるから kx = ー m[] エ ) 指示値 [] 指示値 [] 最下点がxの最大値 2 2 その後は原点に戻る 先にはいけない 0 t[s] x[m] 0 最下点最下点 P2 ア力のつり合いから ) ρ ₀Vg = +ρ Vg =Vg( ρ ₀ -ρ)[] 液体が秤を押す力は浮力の反作用が下向き また張力が上向きに働くので はかりの目盛り=ρ ₀Vg - =ρ Vg[] つまり物体の重さに等しい イ ) m= ρ V から放した瞬間抵抗はないので運動方程式は ρ V= ρ ₀Vg -ρ Vg =( ρ ₀/ ρ-1) g [m/s²] で上向き 液体の浮力の反作用のみがはかりを押すから指示値はρ ₀Vg ウ ) ρv=ρ₀vg-ρvg ー kv 1この時指示値は 浮力の反作用が下向き 抵抗の反作用が上向きに働くので1から指示値 = ρ ₀Vg-kv= ρ V+ ρ Vg[] エ ) 1から =0 として v =Vg( ρ ₀ -ρ )/k 浮力の反作用が下向き 抵抗の反作用 が上向きに働くので1から指示値 = ρ ₀Vg-kv'= ρ Vg[] アと同じになる オ ) 液体から出れば重力しか働かないので カ ) 指示値 [] 加速度は下向きにg ρ ₀Vg 投げ上げの式から ρ Vg 高さをhとして v ²=2gh h=v'²/2g 0 t[s] 水面 最高点
o-31 P1 浮力とはかりのグラフ 抵抗あり 図のように秤の上に密度 ρ 0 の液体を入れた体積 V 0 の容器がある ( 容器の質量は無視できる ) 秤の目盛りは kg を表すようになっている 容器の断面積は S で大気圧は Po である バネの質量は無視できる ア ) 秤の目盛りはいくつか イ ) 次に体積 V 質量 m の物体をばね定数 kのバネにつけ この液体の中に入れ 図のように完全に沈ませた 液体と物体に働く力をそれぞれ図示せよ ( 物体には圧力も図示せよ ) ウ ) この時のはかりの目盛り M 0 とバネののびを求めよ エ ) 次にバネから物体を静かにはなすとある位置から秤の目盛りは一定になった 離れた時を t=0 とし底につくまでの目盛り M-t と物体の速さ v-t グラフを同一グラフ上に描け 一定になった v,m を求め縦軸の目盛りを記すこと ただし 速さvの時の液体抵抗を cv 重力加速度はgとせよ オ ) もし 液体の抵抗がなかった場合おもりが落下中に示す秤の目盛りを求めよ カ ) 液体中でバネを自然の長さ L よりxだけ縮めて 物体をのせ 放す 抵抗を無視した時 バネが物体から離れるxの条件を求めよ また より大きな長さだけ縮めて放したら空中に飛び出した 最高点での物体の加速度を求めよ 解答 o-31 P1 ア ) 質量計なので M= ρ 0 V 0 [kg] ウ ) 浮力が F1= ρ 0 Vg 働くので弾性力 F= kxとすると つりあいの式は F= ー F1 よって x=g(m ー ρ 0 V)/k 1 この時 液体は下向きに浮力の反作用に力をうける よって目盛り M 0 = M+F1= ρ 0 (V+V 0 ) 物体の重力は無関係である エ ) M v m+ρ 0 V 0 M 0 (m ー ρ 0 V)g/c 0 cv 運動方程式は m=- ρ 0 Vg-cv 2となるが =0 になると目盛りが一定になるのでこの時の速さは t v=(m ー ρ 0 V)g/c この時 2から浮力は ρ 0 Vg=-cv となる 液体に注目すると秤 cv の力で液体は押される v は終端の目盛りを示す垂直抗力 は抵抗が上向き速度で一定なる この時静止と同じに働くので = ρ 0 Vg+ ρ 0 V 0 g-cv 2を代入し gで割ると目盛り M= m+ρ 0 V 0 オ ) 空気抵抗がない場合は c=0 となるので物体の運動方程式は m=- ρ 0 Vg 3で は一定である この時液体には秤の目盛りを示す垂直抗力 が向き 下向きに重力と浮力の反作用が働くから = ρ 0 Vg+ ρ 0 V 0 g 目盛り M はgで割ると M= ρ 0 (V+V 0 ) つまり はじめから変化がおこらない カ ) 浮力が働いていても自然の長さで離れるので釣り合いの位置から自然の長さまでの距離以上に縮めればよい ちょうど1の 2 倍で 1からx>2g(m ー ρ 0 V)/k 最高点での加速度は下向きにg 公式 Point 液体には浮力の反作用が働く 加速度により重さは変化する 秤の指示値は垂直抗力の反作用