第 問 解答解説のページへ [] O を原点とする座標平面において, 点 P(, q) を中心とする円 C が, 方程式 y 4 x で表される直線 l に接しているとする () 円 C の半径 r を求めよう 点 P を通り直線 l に垂直な直線の方程式は, y - ア ( x- ) + qなので, P イ から l に引いた垂線と l の交点 Q の座標は ( ( ウ + エ q ), 4 ( ウ + エ q )) となる 求める C の半径 r は, P と l の距離 PQ に等しいので r オ - カ q である () 円 C が, x 軸に接し, 点 R(, ) を通る場合を考える このとき, >0, q>0 であ る C の方程式を求めよう C は x 軸に接するので, C の半径 r は q に等しい したがって, により, キ q である C は点 R を通るので, 求める C の方程式は または ( x - ク ) ( ( x - サ ) ( であることがわかる ただし, + y - ケ ) コ + y - シ ) ス コ < スとする () 方程式 の表す円の中心を S, 方程式 の表す円の中心を T とおくと, 直線 ST は原点 O を通り, 点 O は線分 ST をセする セに当てはまるものを, 次の 0 ~ のうちから つ選べ 0 : に内分 : に内分 : に内分 :に外分 4 :に外分 :に外分 [] 自然数 m, に対して, 不等式 log m + log 4を考える m, のとき, log 4を満たす m 4, のとき, log 4 を満たさない m log + ソであり, この m, の値の組は m log + タであり, この m, の値の組は --
不等式 4 を満たす自然数 m, の組の個数を調べよう 4 は log m+ チ log テ ツ と変形できる が自然数のとき, log のとり得る最小の値はトであるから, により, log m テでなければならない log m テにより, m ナまたは m ニでなければならない ただし, ヌ m ナの場合, は, log となり, ネ ナ < ニとする ノハと変形できる よって, m ナのとき, を満たす自然数 のとり得る値の範囲は, ヒである したがって, m ナの場合, 4 を満たす自然数 m, の組 の個数はヒである 同様にして, m ニの場合, 4 を満たす自然数 m, の組の個数はフで ある 以上のことから, 4を満たす自然数 m, の組の個数はヘである --
第 問 解答解説のページへ を実数とし, f ( x) x -xとする () 関数 f ( x ) が極値をもつための の条件を求めよう f ( x ) の導関数は, f ( x ) ア x - である したがって, f ( x ) が x a で極値をとるならば, ア a イ イ - ウが成り立つ さらに, x aの前後での f ( x ) の符号の変化 を考えることにより, が条件エを満たす場合は, f ( x ) は必ず極値をもつこと がわかる エに当てはまるものを, 次の 0 ~ 4 のうちから つ選べ 0 0 > 0 0 < 0 4 0 () 関数 f ( x ) が x で極値をとるとする また, 曲線 y f ( x ) を C とし, C 上の 点 (, f ( )) を A とする f ( x ) が x で極値をとることから, オであり, f ( x ) は x カキで 極大値をとり, x クで極小値をとる 曲線 C の接線で, 点 A を通り傾きが 0 でないものを l とする l の方程式を求めよう l と C の接点の x 座標を とすると, l は点 (, f ( )) における C の接線であ るから, l の方程式は を用いて, y ( ケ - コ )( x- ) + f ( ) と表す ことができる また, l は点 A を通るから, 方程式 サ - シ + 0を 得る この方程式を解くと, ス, セソ タ であるが, l の傾きが 0 でないこ とから, l の方程式は, y チツ x+ ト である テ ナ 点 A を頂点とし, 原点を通る放物線を D とする l と D で囲まれた図形のうち, 不等式 x 0 の表す領域に含まれる部分の面積 S を求めよう D の方程式は, y ニ x - ヌ x であるから, 定積分を計算することにより, S ネノ 4 となる --
第 問 数列 { a } の初項は 6 であり, { a } 解答解説のページへ の階差数列は初項が 9, 公差が 4 の等差数列であ る () a アイ, a ウエである 数列 { a } の一般項を求めよう { a } の階差数列の第 項がオ + カであるから, 数列 { a } の一般項は, a キ である + ケ + コ () 数列 { } は, 初項が で, 漸化式 + ク a a + - (,,, ) を満 サたすとする である 数列 { } の一般項と初項から第 項までの和シス S を求めよう,により, すべての自然数 に対して, + + + が成り立つことがわかる ここで, c ( セ + ソ ) 4とするとき, を c と c + を用いて変形すると, すべての自然数 に対して ( セ + チ ) ( c + セ + ツ ) c が成り立つことがわかる これにより, d ( セ + テ ) c とおく と, すべての自然数 に対して, d+ dが成り立つことがわかる d ト であるから, すべての自然数 に対して, により, 数列 { } の一般項は である また ト ( セ + ソ )( セ + テ ) ナニ - セ + ソセ + d トである したがって, 4と が成り立つことを利用すると, 数列 { } の初項から第 項までの和 S は, テ セ セ ソ タ S ネ ヌ + ノ であることがわかる -4-
第 4 問 解答解説のページへ 座標空間において, 立方体 OABC-DEFG の頂点を O( 0, 0, 0 ), A (, 0, 0 ), B(,, 0 ), C( 0,, 0 ), D( 0, 0, ), E(, 0, ), F(,, ), G( 0,, ) とし, OD を :に内分する点を K, OA を:に内分する点を L とする BF 上の点 M, FG 上の点 N および K, L の 4 点は同一平面上にあり, 四角形 KLMN は平行四辺形であるとする () 四角形 KLMN の面積を求めよう ベクトル LK を成分で表すと LK ( アイ, ウ, エ ) となり, 四角形 KLMN が平行四辺形であることより, LK オである オ に当てはまるものを, 次の 0 ~ のうちから つ選べ 0 ML LM NM MN ここで, M(,, s ), N( t,, ) と表すと, LK オであるので, s カ, t キとなり, N は FG を : クに内分することがわかる また, LK と LM について, LK LM ケ, LK コ, LM サシ となるので, 四角形 KLMN の面積は スセ である () 四角形 KLMN を含む平面を とし, 点 O を通り平面 と垂直に交わる直線を l, と l の交点を P とする OP と三角錐 OLMN の体積を求めよう P(, q, r) とおくと, OP は LK および LM と垂直であるから, OP LK OP LM チツソとなるので, タ r, q r であることテ がわかる OP と PL が垂直であることより r トナニ となり, OP を求めると, OP ヌ ネノ である OP は三角形 LMN を底面とする三角錐 ハヒ OLMN の高さであるから, 三角錐 OLMN の体積はフである --
第 問 [] () 点 P(, q) を通り直線 l : y 4 x aに垂直な 直線は, 傾きが- より, y - ( x- ) + q 4 4 aの交点 Q( x, y) は, 4 x - ( x- ) + qより, 4 x 9+ q, x ( + 4 q ) y 4 (+ 4 q) 4 (+ 4 q) 04 センター試験数学 Ⅱ 数学 B 解答解説 問題のページへ ここで, l に接する円 C の半径 r は距離 PQ に等しく, l : 4x- y 0 から, 4-q r PQ 4-q 4 + (-) () 円 C が x 軸に接し点 R(, ) を通るとき, >0, q>0 で q rである さらに, q< 4 なので, より, q (4 - q ), q C ここで, PR q より, ( - ) + ( q- ) q d Cdより, (q- ) + ( q- ) q となり, ( q-)( q- ) 0, q, これより, q のとき, 4q - q+ 8 0から, C :( x- ) + ( y- ) また, q のとき, C :( x- 4) + ( y- ) 4 () 方程式 の表す円の中心 S(, ), 方程式 の表す円の中心 T(4, ) なので, 線分 OT の中点が S となり, O は線分 ST を:に外分する [] ( m, ) (, ) のとき, logm + log log8 + log + 0 ( m, ) (4, ) のとき, logm + log log64 + log9 6+ 8 さて, m, を自然数とするとき, 不等式 m log + log 4に対し, logm+ log, log m+ log ここで, log log 0 から, により, log m となり, m, m のとき, は log となり, から 7, すなわち か ら ( m, ) の組は 個である また, m のとき, は log 0 となり, から ( m, ) の組は 個である 以上より, 4を満たす自然数 ( m, ) の組の個数は, + 6である y q O Q P x [ 解説 ] 昨年同様, 図形と式と指数 対数いう構成です 非常に丁寧な誘導つきです -- 電送数学舎 04
04 センター試験数学 Ⅱ 数学 B 解答解説 第 問 () f ( x) x -xに対し f ( x) x -となり, x aで極値をとるならば, 問題のページへ a - 0 さらに, x aの前後での f ( x ) の符号が変化することより, > 0 である () f ( x ) が x で極値をとることより, から, すると, > 0 から, である これより, f ( x) x -x となり, - + - f ( x) x ( x )( x ) 右表から, f ( x ) は x -で極大値をとり, x で極小値をとる - 0, 9 ここで, 曲線 C の接線で点 A (, -) を通り傾きが 0 でないものを l とする その接点の座標を (, f ( )) と おくと, f ( ) -より, l の方程式は, y ( -)( x- ) + f ( ) ( -)( x- ) + - ( -) x- A (, -) を通ることより, - + 0, - ( -)- から, ( - ) (+ ) 0 すると,, - となるが, f ( ) ¹ 0 から ¹ なので, - よって, より, y 9 ( - ) x+ - x+ 4 8 4 4-0 さて, 点 A を頂点とし, 原点を通る放物線 D : y k( x-) -とおくと, よって, 0 k( -) -, k y ( x-) - x - 4x x - f ( x ) + 0-0 + f ( x ) - すると, l と D で囲まれた図形のうち, 不等式 x 0 の表す領域の面積 S は, { } S 9 7 ò - x + -(x - 4 x ) dx ( x x ) dx 0 4 4 ò - + + 0 4 4 - + 7 + 8 4 4 l y - O x - A C [ 解説 ] 微積分の基本的な問題です 計算量は少なめです -- 電送数学舎 04
04 センター試験数学 Ⅱ 数学 B 解答解説 第 問 () { a } の階差数列を { } とおくと, 9 + 4( - ) 4+ となり, a a + 6+ 9, a a + + 6 + (9+ ) 8 において, - +å k k a a - å 6 + (4k + ) k 6 + 4 ( ) ( ) - + - + + 問題のページへ なお, この式は のときも成立している () 数列 { } は, a, + (,,, ) より, a+ - a 6 6 a - - より, + + (+ )( + ) + ( + ) + ( + ) ( + )( + ) + + c ここで, c ( + ) 4とおくと, となり, から, + c+ c + + + +, (+ ) c+ (+ ) c さらに, d (+ ) c とおくと, d+ dとなる すると, d c 6から, d 6 となり, 4より, c d 6 - + (+ )(+ ) (+ )(+ ) + + これより, 数列 { } の初項から第 項までの和 S は, S å( ) k+ - k+ k - + + + [ 解説 ] 漸化式の関係する 題です () は, 次試験によく出題されるタイプですが, 細かい誘導のため, 方針に迷う段階はないでしょう -- 電送数学舎 04
第 4 問 () 右図の 辺の長さが の立方体 OABC-DEFG に対して, OD を :に内分する点 K( 0, 0, ), OA を:に 内分する点 L(, 0, 0) とすると, LK (-, 0, ) 四角形 KLMN は平行四辺形なので, LK MN そこで, M(,, s ), N( t,, ) とおくと, より, (-, 0, ) ( t-, 0, -s) となり, t - -, - s 04 センター試験数学 Ⅱ 数学 B 解答解説 問題のページへ よって, t, s から, M(,, ), N(,, ) となり, N は FG を:に 内分する ここで, LM (,, ) から, LK LM (-) + 0 + 0 LK (- ) + 0 +, LM + + 4 すると, 四角形 KLMN は長方形となり, その面積 S は, S 4 70 () O から四角形 KLMN を含む平面 に引いた垂線と平面 の交点を P(, q, r) と おくと, OP LK OP LM 0 より, - + r 0, + q+ r 0 より rとなり, から q ( - r- r ) - r よって, OP ( r, - r, r), PL ( - r, r, -r) r(- r) - r - r 0 9 r ¹ 0 から, 8(- r) -r- 9r 0, 8-70r 0 より, すると, OP 9 (, -, ) となり, 9 ( ) OP + - + 9 70 70 9 これから, 三角錐 OLMN の体積 V は, V S OP 70 70 z K D O L A, OP PL 0 から, r 9 E x G C N F y M B [ 解説 ] 空間図形へのベクトルの応用です 過去には, 計算が難であるケースがありましたが, 本問は穏やかな設定です -4- 電送数学舎 04