07 金沢大学 ( 理系 前期日程問題 解答解説のページへ 次の問いに答えよ ( 6 z + 7 = 0 を満たす複素数 z をすべて求め, それらを表す点を複素数平面上に図 示せよ ( ( で求めた複素数 z を偏角が小さい方から順に z, z, とするとき, z, z と 積 zz を表す 点が複素数平面上で一直線上にあることを示せ ただし, 偏角は 0 以上 未満とする --
07 金沢大学 ( 理系 前期日程問題 解答解説のページへ 座標平面上の放物線 y = x 上に点 P(, ( > 0 をとる 原点 O(0, 0 を通り, 直線 OP に垂直な直線を l とする また, 0 < として, 点 A(0, をとる このと き, 次の問いに答えよ ( 直線 PA と l は交わることを示し, その交点 Q( u, v の座標を と を用いて表 せ ( がすべての正の実数値をとって変化するとき, ( で求めた点 Q( u, v の軌跡が (, - を通るとする このとき, 定数 の値を求め, 点 Q( u, v の軌跡を求め よ --
07 金沢大学 ( 理系 前期日程問題 解答解説のページへ 0< < とし, 0 x の範囲で つの関数 f ( x = -six, g( x = cos x を考える このとき, 次の問いに答えよ ( f ( x g ( x (0 x となる の値の範囲を求めよ ( つの曲線 C : y= f ( x とC : y= g( x が, ちょうど つの共有点をもつとき, 共有点の x 座標 x, x x x ( < と の値を求めよ また, そのときのC とC の概 形を同一座標平面上にかけ ( ( のとき, C とC で囲まれた図形の面積 S を求めよ --
07 金沢大学 ( 理系 前期日程問題 4 解答解説のページへ 数列 { } を =, 7 ( + = + ( =,,, で定める このとき, 次の問いに答えよ ( > 7 ( =,,, が成り立つことを示せ ( 数列 { b } を - 7 b = + 7 ( =,,, で定めるとき, b+ = b ( =,,, が成り立つことを示せ - ( lim と lim log( - 7 を求めよ -4-
07 金沢大学 ( 理系 前期日程解答解説 問題のページへ ( 6 z + 7 = 0 に対して, z = r( cos + isi ( r > 0, 0 < とおくと, すると, r 6 (cos6 + isi6 =- 7 6 r = - 7 = 7 より r = となり, r = + また, を整数として, 6 = rg( - 7 = ( + より = となり, 6 =,, 5 6 6, 7 6,, 6 よって, z = ( cos + isi = +, z ( cos isi 5 ( i 5 z = cos + si 7 ( i 7 i =- + i z = cos + si =- - i z = ( cos + isi =- i ( i z = cos + si = - i = + = i 図示すると, 右図の正六角形の 6 つの頂点となる z = cos + isi, z = ( cos + isi から, zz ( { cos ( isi ( } = cos + isi 6 6 ( ( = + + + ( すると, z = + i, z = i, z + zz zz =- + iより, z = よって, 点 z は点 z と点 zz を結ぶ線分の中点となるので, 点 z, z, zz は 一直線上にある y - O - - x [ 解説 ] 乗根と複素数平面を題材にした基本題です -- 電送数学舎 07
07 金沢大学 ( 理系 前期日程解答解説 問題のページへ ( P(, ( > 0 り OP に垂直な直線 l の方程式は, y =- x に対して, OP の傾きは より, O を通 A (0, (0< に対して, 直線 PA の方程式は, y - O x = x+ ここで, - =- とすると - + = 0 となるが, > 0, 0 < から成 立しない よって, 直線 PA と l は交わる そこで, を連立すると, - x + =- x より, x =-, y = - + - + との交点が Q( u, v より, u =-, v = - + - + ( 点 Q( u, v の軌跡が ( -, を通ることより, ( から, - =-, = 4 - + - + 4より - + = となり, に代入すると, = となるので, 4から, = ( + = このとき, ( から, u =- + 5, v = + 6 すると, v ¹ 0 から =- となり, 6に代入すると ( v u u v u v v + =, u + v = v, u + ( v- = + = から, v ここで, 5をu =- と変形すると, + から- u < 0 となり, + また 6 から, + > より 0< v < である A Q 以上より, 点 Q の軌跡は, 楕円 x + ( y- = の第 象限の部分である l y P [ 解説 ] パラメータ表示された点の軌跡の問題です ただ, 軌跡に限界が現れる点には注意が必要です -- 電送数学舎 07
07 金沢大学 ( 理系 前期日程解答解説 問題のページへ ( f ( x = -si x (0< <, f ( x g( x となる条件は, ここで, - six cos x, g( x = cos x に対して, 0 x の範囲で -six -si x = si x とおくと, 0 において, - -, + まず, = 0 のときははつねに成立し, また 0< のときは, から, + そこで, h( = + とおくと, h ( = - = - すると, 0 < のとき h( の増減は右表 のようになり, が成立する条件は 0< である よって, 0 x の範囲で f ( x g( x となる条件は, 0< である ( ( と同様にして, f ( x = g( x で, = si x とおくと, から + = となり, = 0 では不成立 s そこで, 0 < において, から + = となり, これより s= h( と s= のグラフは右図のようになる すると, 0< < のときは解なし, = のときの 解は = のみ, < < のときの解は 0< <に 個存 O 在する さらに, = si x (0 x のグラフは右図のようになり, 0 < のときは 個の に対して x は 個 の値が対応し, = のときは x = のみ, それ以外の O に対しては対応する x はない x よって, C : y= f ( x と C : y= g( x がちょうど y つの共有点をもつ条件, すなわち f ( x = g( x が つ C の実数解をもつ条件は, の解 が 0< <に 個だ けあることより = となり, このとき si x = C から x =, である すると, x =, x = よ 4 4 4 4 り, C とC の概形は右図のようになる O 4 4 x 0 h ( - 0 + h( -- 電送数学舎 07
( ( より, f ( x = - six, 07 金沢大学 ( 理系 前期日程解答解説 g( x = cos x = + cosxとなる すると, C とC で囲まれた図形の面積 S は, 直線 x = についての対称性から, ò 4 S = {- si x- (+ cos x} dx = (- six-cos x dx = é x cosx six ù ê + - ú 4 ò 4 ë û ( ( = - = 4 - + 4 - -(- 4 [ 解説 ] 微積分の総合問題です 三角関数の置き換えが絡んでいますので, 解の個数に注意が必要です なお, (( については, 定数分離の手法を利用しています -4- 電送数学舎 07
07 金沢大学 ( 理系 前期日程解答解説 4 問題のページへ ( =, 7 + = ( + で定義される数列 { } に対して, =,,, で > 7 であることを数学的帰納法を用いて示す (i = のとき = > 7 より成立している (ii = kのとき k > 7 と仮定すると, 7 k + 7-7k ( k - 7 k+ - 7 = ( k + - 7 = = > 0 k k k よって, k + > 7 となり, = k+ のときも成立する (i(ii より, =,,, で, > 7 である - 7 ( 7 ( b = で, ( から複号同順で, + 7 = なので, + 7 + - 7 ( - 7-7 b + = = ( = = b + + 7 ( + 7 + 7 - ( より, b > 0 なので logb+ = logbとなり, logb = logb - 7 ここで, よりb - 7 (- 7 = = = = 8-7となり, + 7 + 7 - log = log( 8-7 b すると, 0< 8-7 < なので log( 8-7 < 0 となり, のとき logb -, b + 0 より, b ( + 7 = - 7 となり, lim 7 = - = 7 - - 7 - また, より log = log( 8-7 なので, + 7 - - - - 7( b + = から, b - log( - 7 = {log( + 7 + log(8-7} - = log( 7 + + log( 8-7 - よって, lim = 7 から, lim log( - 7 = log( 8-7 となる [ 解説 ] 有名な漸化式を題材にした極限の問題です 誘導が丁寧なので, 方針に迷うことはありません -5- 電送数学舎 07