第 6 章実験モード解析 6. 実験モード解析とは 6. 有限自由度系の実験モード解析 6.3 連続体の実験モード解析
6. 実験モード解析とは 実験モード解析とは加振実験によって測定された外力と応答を用いてモードパラメータ ( 固有振動数, モード減衰比, 正規固有モードなど ) を求める ( 同定する ) 方法である. 力計 試験体 変位計 / 加速度計
実験モード解析の概念 時間領域データを利用する方法 ( ) ρ ν 周波数領域データを利用する方法 f xt, σij, j u xt, + fi xt, ui xt,, x Ω u xt, p xt, σ u xt, p xt,, x Γ ij j i ( ) F x, σ, U x, + F x, ρu x,, x Ω U x, ij j i i P x, σ U x, ν P x,, x Γ ij j i
6. 有限自由度系の実験モード解 析 自由度ばね質点系の伝達関数 X X G G G G F F m x f G ij X F i j, i, j, 伝達関数行列 m x G ij G ji Maxwell の相反定理 f
伝達関数行列 周波数領域データを利用する方法では測定データから伝達関数を評価し, 理論式と比較する. ( r) ( rt ) U U 非減衰 X ( ) F r r 伝達関数行列 比例粘性減衰 X ( ) U ( r) U rt F ( r ) r r r + j 一般粘性減衰 X ( ) ( r) ( rt ) r rt Z Z Z Z + ( ) r j d + σ j + + σ F( ) ( ) d r r r r
伝達関数行列とモードパラメータ 比例粘性減衰の場合 ( ) ( ) ( ) X G F G U ( r) U rt ( r) ( r) ( r) + j r 伝達関数行列 ( 対称行列 ) 正規固有モード ( r) ( r) ( r) ( r) ( r) ( r) U U U U U U ( r) ( r) ( r) ( r) ( r) ( r) U U U U U U ( r) ( r) ( r) r + j 固有振動数モード減衰比 U U U U U U ( r) ( r) ( r) ( r) ( r) ( r)
伝達関数行列の種類 コンフ ライアンス (ompliae ) 動剛性 (dyami stiffess) ( ) ( ) ( ) G ( ) X ( ) F( ) X G F モヒ リティー (mobility) 機械インヒ ータ ンス (mehaial impedae) jx jg F アクセレランス (aelerae) ( jg( ) ) jx ( ) F( ) 動質量 (dyami mass) X ( ) G( ) F( ) ( G ) ( ) X ( ) F( )
比例粘性減衰を仮定して伝達関数行列を示せ. 例題 ( 例 4..4): 比例粘性減衰系 + + + m m, x x x x x x m m r r r r 3 0 0 0 0 0 β α β α β モード減衰比 x x m m
例題 : 比例粘性減衰系 (ot.) 前出の伝達関数行列の式に代入する. 3 + + + + + + γ γ γ β γβ β γ β β,,, m, m, F F j j F F j m j m F F G G G G X X 比例粘性減衰パラメータではない
例題 : 比例粘性減衰系 (ot) ( ) 伝達関数行列要素の振幅線図 0. 0, G G ( ) ( ) G G ( ) ( )
例題 : 比例粘性減衰 (ot.) ( ) 伝達関数行列要素の位相線図 0. 0, G G ( ) ( ) G G ( ) ( )
例題 : 比例粘性減衰系 (ot.) ( ) 伝達関数行列要素の実部線図 0. 0, Re[ G ] Re[ G ] ( ) Re[ G ] Re[ G ] ( ) ( ) ( )
例題 : 比例粘性減衰系 (ot.) ( ) 伝達関数行列要素の虚部線図 0. 0, Im[ G ] Im[ G ] Im[ G ] ( ) Im[ G ] ( ) ( ) ( )
例題 : 比例粘性減衰系 (ot.) 伝達関数行列要素のベクトル線図 ( ) 0. 0, Im[ G ] Re[ G ] Im[ G ] Re[ G ] 次のモード円 次のモード円 Im[ G ] Im[ G ] Re[ G ] Re[ G ]
例題 : 比例粘性減衰系 (ot.) 伝達関数行列要素のベクトル線図 ( ) 0., Im[ G ] Im[ G ] Re[ G ] Re[ G ] Im[ G ] Im[ G ] Re[ G ] Re[ G ]
自由度法 モード円の区別が明確な場合に適用できる. ( ) 0. 0, ( ) 0., 適用可 適用不可 ( r) rt U U ( ) ( G G ( ) G ) r ( ) r r + j r r ( ) r r r
固有振動数の同定 モード円が現れた ( 応答の測定点がモードの節になっていない ) 任意の伝達関数について Im[ G ] Im[ G ] ( ) ( ) ( ) Re[ G ] ( ) ( )
モード減衰比の同定 モード円が現れた ( 応答の測定点がモードの節になっていない ) 任意の伝達関数について ( ) ( ) + ( ) ( ) Im[ G ] Im[ G ] ( ) ( ) 3dB bad ( ) ( ) + Re[ G ] ( ) ( ) ( )
モード減衰比の同定 (ot.) 3dB bad (r) を計測してモード減衰比 (r) を計算する. ( ) + << 必要があれば, 比例粘性減衰パラメータ α, β に変換する. r r r r r r r r r r A, A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α + β α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α + β ( ) β + ( ) ( ) A 4 ( r)
正規固有モードの同定 加振点固定あるいは応答点固定の 個の伝達関数についてモード円の大きさ A ij (j,,,) を測定する. Im[ G ] [ ] ( ) A ( ) ( ) U U ( ) ( ) Im G ( ) A ( ) ( ) U U ( ) ( ) ( ) A ( ) ( ) U U ( ) ( ) ( ) A ( ) ( ) U U ( ) ( ) Re[ G ] Re[ G ]
正規固有モードの同定 (ot.) モード円の大きさ A ij (j,,,) から正規固有モードを計算する. U A U A ( ) ( ) ( ) U A U A ( ) ( ) ( ) ( ) A U U U ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A U U A A ( ) ( ) ( ) A U U ( ) ( ) U A ( ) ( ) ( ) ( ) A ( ) U ( ) ( ) ( ) ( ) U A A
多自由度法 時間応答あるいは伝達関数を計測して, モードパラメータ ( 固有振動数, モード減衰比, 正規固有モードなど ) を設計変数にした. 二乗誤差 実験データ - 理論値 の最小化問題を解く. 時間応答あるいは伝達関数
6.3 連続体の実験モード解析 実際の構造物は連続体である. 連続体の伝達関数作用素 ( r ) ( x) Φ ( r U( x, ) ) ( z) F( z, ) d z z P z, d r Φ + Ω Φ Γ Γ r 物体力の Fourier 変換境界力の Fourier 変換 ( ( r ) ) 変位の Fourier 変換 正規固有振動モード関数 伝達関数作用素 点 (xx j Γ ) 加振の伝達関数作用素 F x, 0 Φ U( x, ) x ( r) j P P( x, ) Pj( ) δγ ( x xj) Φ r ( r ) ( x) ( r ) ( ) j
連続体の伝達関数作用素 点 (xx, x,, x Γ ) 加振 点応答の場合 F x, 0 P x P x x (, ) j( ) δγ ( j) ( ) ( ) ( r ) ( x ) ( r ) ( xj ), U x, U, i, j,,, U G G G P U G G G P U G G G P 自由度系の伝達関数行列と形式的に一致する. G ij Φ i Φ ( r) r i i