教室 : 4- NOVEMBER 6 画像工学 7 年度版 Imging Scinc nd Tchnolog 画像工学 7 年度版 5 慶応義塾大学理工学部 教授 中島真人
3. 画像のスペクトラム 3-. 画像のフーリエ変換と空間周波数の概念 3-. 簡単な図形のフーリエ変換 3-3. フーリエ変換の重要な性質 3-4. MTF と画像の評価 今週と来週は あまり面白くない. でも 後の講義を理解するために, 重要です. 耐えてください! 3-. 画像のフーリエ変換と空間周波数の概念 時間空間上 画像空間軸上 信号の形 f ( ),g ( )... f (, ),g (, )... 周波数 ν (Hz: 回 / 秒 ) 空間周波数 ξ,η (lin/mm: 本 /mm) 角周波数 =πν (rd) 角空間周波数 =πξ (rd) =πη (rd)
時間軸上での波形 () = sin f 周波数軸上の波形 ν = (Hz: 回 / 秒 ) T T : 角周波数 ( = πν ) F ( ) = f ( ) d - = πν 画像空間での周波数 ( 空間周波数 ) + Sil Frqnc... f (,) - + - f π T (, ) = sin = sin : 角空間周波数 T 3
画像を回転してみよう T,T : 周期 ξ,η: 空間周波数 T T,: 角空間周波数 π = πξ = T = πη = π T ( ) π π f (, ) = sin, = sin, T T 画像を回転してみよう T,T : 周期 空間周波数 T ξ,η: 空間周波数 単位長さ当たりの,: 角空間周波数 濃淡変動の回数 π = πξ = ただし 方向性がある! ただし 方向性がある T! ( ) π π f (, ) = sin, = sin, T T T = πη = π T 4
頭を柔らかく! 画像は, 縞の合成 とも言えるのでは ペン画例 これより 画像を定量的に取り扱っていくために必要な 数学的知識を身につけていただく! 5
3-. 簡単な図形のフーリエ変換形 ( ) デルタ関数 : :δ ( ),δ (, ) [ 時間関数の場合 ] δ ( ) δ ( ) d = δ j ( ) d δ ( ) = δ ( ) F [δ ( ) ] δ (, ) : 次元のデルタ関数 il 数学的には 大きさ 小 明るさ 大の光の点. 画像工学的には 大きさil 明るさの点とする. δ (, ) dd = δ ( + ) j (, ) dd δ (, ) = δ (, ) F [δ (, ) ] = or consn. 6
( )rc 関数 :rc: ( ),rc (, ) [ 時間関数の場合 ] rc sinc ( ) rc j d = sinc ( ) = sin sin = rc sinc ( ) ジンク関数 : () sinc = sin rc, b b rc, b j +, b ( ) dd = b sinc (, b ) rc b sinc (,b ) rc, sinc (, b ) b 7
rc, b b rc, b j +, b ( ) dd = b sinc (, b ) rc b sinc (,b ) rc, sinc (, b ) b 元画像 スペクトラム rc, b ちょっと一言 b 画像 f (, ) は, 普通 rl & non-ngi その Forir 変換たる ( 振幅 ) スペクトラム F (, ) は, 普通 coml j + rc, dd = b sinc, b b すなわち, 図に描けない! ( ) ( ) そこで, 以降, 本講義で図示されるスペクトラムは, 全て rc パワー スペクトラム, F ( b, sinc ) (,b ) b であると思っていただきたい. rc, sinc (, b ) b 因みに, 原点対象図形の ( 振幅 ) スペクトラム F (, ) は Rl である. (non-ngi ではない ) 元画像 スペクトラム 8
( 3 )circl 関数 :circl: circl( r ) r 次元特有の関数 ( 次元では rc 関数に同じ ) ( ) J ( ρ ) r j + circl dd = ρ r = + ここで ρ = + circl r J ( ρ ) ρ circl J ( ) r J ( ρ ) ρ 3 4 5 6 7 8 9 9
circl J ( ) r J ( ρ ) ρ 3 4 5 6 7 8 9 circl r J ( ρ ) ρ circl r
circl r J ( ρ ) ρ circl r ちょっと, コメント circl r J ( ρ ) ρ モアレ縞 が出ている! circl r モアレ縞 とは何か?
ちょっと, コメント ちょっと, コメント ピッチの近い縞が浅い角度で重なると, 元画像にはない 新たな縞模様 が見えてしまう現象を, モアレ現象 という. デジタル画像は, モアレ縞を取り除くのが, けっこう難しい! 例えば, ディスプレイの画素ピッチと 表示画像の縞模様の間でモアレ縞が発生する.
( 4 )gss 関数 : [ 時間関数の場合 ] j d = ガウス関数は フーリエ変換してもガウス関数となとなるる. 3
( + b ) ( ) ( ) + + b j + b dd = b ( + b ) ( + ) b b ( + b ) ( + b ) ( + ) b b 4
( + b ) ( + b ) ( + ) b b ( 5 )comb 関数 : comb ( ) [ 時間関数の場合 ] comb ( ) comb () = comb = δ( i ) comb( ) i= comb j d = comb / ( ) comb comb ( ) Comb 関数も フーリエ変換しても comb 関数である. 5
q comb, q / q / q comb (,q) q comb, q j +, q ( ) dd = qcomb (, q ) comb q comb (,q) q comb, q / q / q comb (,q) q, q comb q comb (,q) q /q / 6
f (, ) comb, q 画像のサンプリング については, また後で じっくり学びます! q f (, ) comb, F (, ) q comb (, q ) ( 6 ) 双曲関数 : [ 時間関数の場合 ] j d = 双曲関数も フーリエ変換しても双曲関数である. 7
ここで r r = + ρ ρ = + r j ( + ) dd = ρ r ρ ここで r r = + ρ ρ = + r ρ 8
( 7 ) 正弦波関数 : sin cos [ 時間関数の場合 ] cos ( ) + δ ( ) δ + - cos j d = δ ( ) + δ ( + ) δ ( ) + δ ( + ) cos ただし 画像では 負は生じない. ( 7 ) 正弦波関数 : sin cos [ 時間関数の場合 ] cos cos + c δ ( ) + δ ( ) δ + ( ) ( ) + cδ ( ) + δ + - 直流分 cos j d cos = δ ( ) + δ ( + ) - δ ( ) + δ ( + ) ただし 画像では 負は生じない. 9
(, ) c cos + T + T j ( [ cos (, ) c ] ) + dd + δ (, ) + ( +, + ) = δ T = π / T = π / (, ) cos δ (, ) + δ ( +, + ) 今日は ここまで 7 年度 画像工学 第 5 回講義 おわり