4 1 平面上のベクトル 1 ベクトルとその演算 例題 1 ベクトルの相等 次の問いに答えよ. ⑴ 右の図 1 は平行四辺形 である., と等しいベクトルをいえ. ⑵ 右の図 2 の中で互いに等しいベクトルをいえ. ただし, すべてのマス目は正方形である. 解 ⑴,= より, =,= より, = ⑵ 大きさと向きの等しいものを調べる. a =d, c = f d e f 1 右の図の長方形 において, 対角線, の交点を とするとき, 次のベクトルの中で等しいものはどれとどれか.,,,,,,,, 2 右の図は正六角形 EF である. F を始点または終点にもつベクトルで,,E と等しいベクトルをいえ. E F 3 右の図は 1 目盛りが 1 の正方形の方眼である. 次の問いに答えよ. d ⑴ 互いに等しいベクトルの組をすべて書け. e ⑵ b と同じ向きのベクトルはどれか. f h ⑶ h の逆ベクトルはどれか. ⑷ 単位ベクトルはどれか. ⑸ a, c の大きさをそれぞれ求めよ. i m n j k l ポイント 1 = ( 同じ向き ) で,= 2 a と同じ大きさで反対向きのベクトルを a の逆ベクトルといい, a で表す. 3 大きさが 1 のベクトルを単位ベクトルという. また, ベクトル a の大きさを で表す.
1 ベクトルとその演算 5 例題 2 ベクトルの加減 実数倍 1 右の図で, = a, = b とするとき, 2 a, 3 b, a + b, a b を作図せよ. 解 '=2a a b '=-3b b a+b a-b b 4 右の図の長方形 において, = a, = b とするとき, a + b, b a を長方形の内部に作図せよ. a 5 ベクトル a, b, c を右の図のように定めるとき, 次のベクトルを作図せよ. ⑴ 1 2 a ⑵ 2 a + c ⑶ 2 b 3 a ⑷ a + b + c 6 右の図の五角形で, a, b, c,d を図のように定めるとき, 次のベクトルを a, b, c,d を用いて表せ. ⑴ ⑵ ⑶ E ⑷ ⑸ E E d 7 において,,, の中点をそれぞれ,,E,F とし, = a, = b とおくとき,, +E +F を a, b を用いて表せ. F E 8 次の等式が成り立つことを証明せよ. ⑴ = ⑵ + = + ⑶ + + =0 ポイント 1 a+b a-b b-a a+b b 2 + =, = ( は同じ文字 ) 3 4 k0 a b=ka k0 b=ka を大きさが 0 のベクトルと考え, 零ベクトルといい,0 で表す.a +( a )= 0,a +0 =a a
6 第 1 章 / 平面上のベクトル 例題 3 ベクトルの加減 実数倍 2 次の式を計算せよ. ⑴ 5 a b 3 a +2 b ⑵ ( a +2 b )+( 2 a 5 b ) ⑶ 4( 2 a + b ) 3(a 3 b ) ⑷ 2(a 3 b +2 c ) ( 2 a +2 b ) c 解 ⑴ 5 a b 3 a +2 b =(5 3) a +(2 1) b =2a +b ⑵ ⑶ ⑷ ( a +2 b )+( 2 a 5 b )=(1 2) a +(2 5) b = a 3b 4( 2 a + b ) 3(a 3 b )= 8 a +4 b 3 a +9 b =( 8 3) a +(4+9) b = 11a +13b 2(a 3 b +2 c ) ( 2 a +2 b ) c =2 a 6 b +4 c +2 a 2 b c =4a 8b +3 c 9 次の式を計算せよ. ⑴ 4 a 2 b 3 a b ⑵ (5 a +3 b )+( 3 a +2 b ) ⑶ 6( a + b ) 3(a +5 b ) ⑷ 3(a + b ) c ( a + b +2 c ) 10 ベクトル が次の等式を満たすとき, を a, b で表せ. ⑴ 2 a +3( + b )= + a ⑵ 2(2a +3 b )=5(a ) 3b 11 ベクトル, が次の等式を満たすとき,, を a, b で表せ. 3 ⑴ +2 = a = a b + = b ⑵ 3 5 = 2 a + b 例題 4 ベクトルの平行 右の図の平行四辺形 において, 辺, の中点をそれぞれ E,F とし, 対角線の交点を とする. = b, =d とするとき,E,F, を b,d で表せ. d F 解 E,E= 1 2 より,E = 1 2 b E 同様にして,F = 1 2 d 四角形 EF は平行四辺形であるから, =E +F = 1 2 b + 1 2 d 12 長方形 において, 対角線の交点を とし, 辺, の中点をそれぞれ E,F とする. = a, = b とするとき,,F,F を a, b で表せ. ポイント 1 a +b =b +a ( 交換法則 ),(a +b )+c =a +(b + c ) ( 結合法則 ) 2 k(la )=(kl)a,(k+l)a =ka +la,k(a +b )=ka +kb (k,l は実数 ) 3 a b a =kb となる実数 k (k0) が存在する.( a 0, b 0 )
1 ベクトルとその演算 7 13 一辺の長さが 3 の正六角形 EF がある. = a,f = b とするとき, 次のベクトルと平行な単位ベクトルを a, b で表せ. ⑴ ⑵ E ⑶ F E 14 a + b と (t+2) a +t が平行となるような t の値を求めよ. ただし, a 0, b 0, a とする. 例題 5 ベクトルの分解次の各図において,c を a,b の実数倍 ma と nb の和となるように作図し,m,n の符号をいえ. ⑴ ⑵ ⑶ a a 解 c の終点を通り a,b に平行な直線を引き, その直線に対し,a,b を延長, または縮小し た線を引く. ⑴ ⑵ ⑶ ma nb nb ma nb a b c ma m>0,n>0 m<0,n>0 m<0,n<0 15 次の各図において, c を ma +nb となるように作図し,m,n の符号をいえ. ⑴ ⑵ ⑶ a ポイント 1 2 a と平行な単位ベクトルは ± a の形で表せる. と同じ向きの単位ベクトルは a a 0,b 0,a のとき, 任意のベクトル c は,c =ma +nb (m,n は実数 ) の形で表 せる. また,pa +qb =p' a +q' b ならば,p=p',q=q',pa +qb =0 ならば,p=q=0 となる.
8 第 1 章 / 平面上のベクトル 例題 6 ベクトルの成分 右の座標平面上のベクトル a,b,c の成分と大きさを求めよ. ただし, 方眼の 1 目盛りは 1 とする. 解 ベクトルの成分は,( 終点の座標 始点の座標 ) を計算して求 e める. ベクトルの成分が u =(u,u ) のとき, ベクトルの大きさは u = u +u である. d a =(3,2), = 3 +2 =13 b =( 2,0), =2 f c =(2, 2), =2 2 16 上の例題 6 のベクトル d, e, f の成分と大きさを求めよ. 17 座標平面上の基本ベクトル i =(1,0), j =(0,1) を用いて, 上の例題 6 のベクトル a f を mi +nj の形で表せ. 18 次の問いに答えよ. ⑴ (2,4),( 1,2) のとき, の成分と を求めよ. ⑵ a =(3, 2) のとき, a の逆ベクトルの成分を求めよ. ⑶ =(3, 1) で (2, 5) のとき, の座標を求めよ. ⑷ =(0,5) で (3,4) のとき, の座標を求めよ. 例題 7 成分と演算 1 a =(1, 2), b =(3,0) のとき, 次の問いに答えよ. ⑴ 2 a 3 b の成分と大きさを求めよ. ⑵ 2 a 3 = b を満たす の成分を求めよ. 解 ⑴ 2 a 3 b =2(1, 2) 3(3,0)=(2, 4) (9,0)=(2 9, 4 0)=( 7, 4) 2a 3 b = ( 7) +( 4) =65 ⑵ 2 a 3 = b より, = 1 3 (2 a b ) よって, = 1 3 {2(1, 2) (3,0)}= 1 3 ( 1, 4)= 1 3, 4 3 ポイント 1 始点が原点のベクトルの成分は, 終点の座標と一致する. 2 (, ),(, ) のとき, =( 2 1, 2 1),= ( 2 1) 2 +( 2 1) 2 3 基本ベクトルを i =(1,0), j =(0,1) とすれば,a =(a 1,a 2) は a =a 1 i +a 2 j と表される. 4 a =(a,a ), b =(b,b )ka =(ka 1,ka 2),a ±b =(a 1±b 1,a 2±b 2) ( 複号同順 ) 5 2 つのベクトル a =(a,a ), b =(b,b ) が等しいための条件を, 成分を用いて表すと, (a 1,a 2)=(b 1,b 2) a 1=b 1,a 2=b 2
19 a =( 1,3), b =(4,2) のとき, 次のベクトルの成分と大きさを求めよ. ⑴ 2 a ⑵ 3 b ⑶ a + b ⑷ 3 a b ⑸ 3(a +2 b )+(a 4 b ) ⑹ (a b ) 2(2a + b ) 1 ベクトルとその演算 9 20 a =( 3,5), b =(4, 2) のとき, 次の等式を満たす, の成分を求めよ. ⑴ 3 2 b = a ⑵ a =3 +2 b ⑶ 3 +2 =3 a + b かつ = a +2 b 21 2 つのベクトル a, b において, 次の等式を満たす a, b の成分を求めよ. ⑴ a + b =(3,4), a b =(5,2) ⑵ 3 a +4 b =(14, 5),2 a +3 b =(11, 4) ⑶ 2 a 5 b =( 16,32),2 a +3 b =0 例題 8 成分と演算 2 a =(2, 3),b =(1,2) のとき,c =( 4,13) を c =ma +nb (m,n は実数 ) の形で表せ. 解 c =ma +nb より, ( 4,13)=m(2, 3)+n(1,2) =(2m, 3m)+(n,2n) =(2m+n, 3m+2n) 2m+n= 4 よって, 3m+2n=13 m= 3 n=2 ゆえに, c = 3a +2b -3a c=-3a+2b 2b =(1,2) =(2,-3) 注 本問は,p.7 の例題 5 で学んだベクトルの分解の成分による具体的な計算の演習である. 図形的な意味を考えて計算結果との関連を理解しておくことが重要である. 22 次の問いに答えよ. ⑴ a =( 4,1), b =(2,0) のとき, c =( 10,4) を c =ma +nb の形で表せ. ⑵ p =(3, 1), q =(4, 2) のとき, r =( 5,3) を r =sp +tq の形で表せ. ⑶ a =(1,4), b =( 2,1), c =(1, 1) に対し,pa +qb +rc =0 が成り立つとき, p:q:r を最も簡単な整数比で表せ. ただし,pqr0 とする. 23 座標平面上に 4 点 (0,0),(3,1),(2,4),P 4 3, 14 9 がある. P =t +k と表すとき, 実数 t,k の値を求めよ. ポイント 1 c =ma +nb で表されるとき, c は ma と nb でつくられる平行四辺形の対角線である.
10 第 1 章 / 平面上のベクトル 例題 9 単位ベクトルと成分 次の問いに答えよ. ⑴ a =(3, 2) のとき, a と同じ向きの単位ベクトルを求めよ. ⑵ b =(+1,) が単位ベクトルのとき, の値を求めよ. 解 ⑴ = 3 +( 2) = 13 だから, 求める単位ベクトルは, ⑵ a = a 13 = 3 13, 2 13 = 3 13 2 13, 13 13 = (+1) + = 2 +2+1 より, 2 +2+1=1,2 +2=0 よって,=0, 1 24 次のベクトルと同じ向きの単位ベクトルを求めよ. ⑴ a =( 1, 2) ⑵ b =( 5,2) ⑶ c = 1 2, 1 3 25 次のベクトルが単位ベクトルのとき, の値を求めよ. ⑴ a =(,2) ⑵ b =(+2, 1) ⑶ c =(, +1) 26 2 つのベクトル, について, + =(1,2) が成り立ち, は単位ベクトル, は大きさ が 2 2 のベクトルである. このとき,, の成分を求めよ. 例題 10 ベクトルと平行四辺形 座標平面上の 3 点 (2,6),(3,2),(6,3) について, 次の問いに答えよ. ⑴ ベクトル の成分と大きさを求めよ. ⑵ 四角形 が平行四辺形になるとき, 第 4 の頂点 の座標を求めよ. 解 ⑴ =(3 2,2 6)=(1, 4) = 1 +( 4) =17 ⑵ 四角形 が平行四辺形になるとき, = である. 頂点 の座標を (,) とおくと, =(6,3 ) で, =(1, 4) より, 6 =1 1 3 = 4 2 1,2より,=5,=7 よって,(5,7) ポイント 1 a =(, ) のとき, a と同じ向きの単位ベクトルは, a = a 12 + である. 2 1 2 (, ),(, ) のとき, =( 2 1, 2 1),= ( 2 1) 2 +( 2 1) 2
1 ベクトルとその演算 11 27 3 点 (0, 1),(2,1),(1,4) が与えられているとき, 次の問いに答えよ. ⑴, の成分と大きさをそれぞれ求めよ. ⑵ ベクトル 2 の成分と大きさを求めよ. ⑶ =3 となる点 の座標を求めよ. 28 次の問いに答えよ. ⑴ 4 点 ( 2,3),(5,4),( 3,1), を頂点とする平行四辺形 の頂点 の座標を求めよ. ⑵ 4 点 (1,3),( 2,5),(0, 1),(3, 3) を頂点とする四角形 は平行四辺形であることを証明せよ. ⑶ 4 点 (1,2),(2,0),(3,2),(2,4) を頂点とする四角形 はどのような四角形か. 例題 11 成分とベクトルの平行 1 次の問いに答えよ. ⑴ a =( 2,3), b =(4,) のとき, a と b が平行であるように の値を定めよ. ⑵ 3 点 (1,2),( 2,3),( 3,a) が同一直線上にあるように, 定数 a の値を定めよ. 解 ⑴ a と b が平行であるためには, b =ka となる実数 k が存在するように成分を定めれ ばよい. b =ka とおくと,(4,)=k( 2,3), これより,(4,)=( 2k,3k) 4= 2k よって, これを解いて,k= 2,= 6 =3k 注 k<0 であるから, a と b は反対向きに平行である. ⑵ 3 点,, が同一直線上にあるためには,k = などが成り立てばよい. k( 2 1,3 2)=( 3 ( 2),a 3) とおくと,k( 3,1)=( 1,a 3) 3k= 1 よって,k= 1 k=a 3 3,a= 10 3 29 次の 2 つのベクトル a と b が平行であるように の値を定めよ. ⑴ a =(5,6), b =(7,) ⑵ a =(, 6), b =( 2,4) 30 a =( 2,6),b =(3, 2),c =(4, 4) のとき,a +tb が c と平行になるように, 定数 t の値を定めよ. 31 異なる 3 点 ( 1,2),( a,2a+3),(3,4) が同一直線上にあるように, 定数 a の値を定めよ. ポイント 1 a b b =ka となる実数 k が存在する.( a 0, b 0 ) 2,, が同一直線上にある =k, =l, =m などが成り立つ. (k,l,m は実数 )
12 第 1 章 / 平面上のベクトル 例題 12 成分とベクトルの平行 2 次の問いに答えよ. ⑴ a =(a,a ),b =(b,b )(a0 かつ b 0 ) のとき,a b であるための必要十分条件 は,a b a b =0 であることを証明せよ. ⑵ ⑴を利用して,a =(, 4),b =( 1,2) のとき,a と b が平行となるように の値を 定めよ. 解 ⑴ a b のとき, a =kb (k0) と表せるから,a =kb,a =kb より, a b a b =kb b kb b =0 逆に,a b a b =0 1 とすると, b 0 かつ b 0 ならば,1 と a 0 より, a b = a b 0 だから, a b = a b =k (k0) とおける. よって,a =kb,a =kb より,a =kb だから,a b 0 かつ b =0 ならば,1より, a b =0,a =0 a 0 より, a =(a,0) (a 0) ここで, b =(b,0) (b 0) より, a b =0 かつ b 0 のときも同様にして,a =(0,a )(a 0),b =(0,b )(b 0) より, a b. 以上より, a b a b a b =0 ⑵ a b であるとき, 2 ( 4) ( 1)=0 よって,=± 2 32 次の 2 つのベクトル a と b が平行となるように の値を定めよ. ⑴ a =( 2,+1), b =(, 3) ⑵ a =(,2 3), b =( 2,15) 33 a =( 3,2), b =(2,1) のとき, a +tb と ta +2 b が平行となるような t の値を定めよ. 例題 13 ベクトルの大きさの最小値 a =(2, 1),b =(4,2) と実数 t に対し,c = a +tb とおくとき, の最小値とそのとき の t の値を求めよ. 解 = (4t+2) +(2t 1) = 20t +12t+5= 20 t+ 3 10 + 16 5 より, t= 3 10 で, 16 の最小値は 5 = 4 5 5 34 a =( 4,6),b =(1,1) と実数 t に対し,c = a +tb とおくとき, の最小値とそのときの t の値を求めよ. 35 ベクトル が a =(2,2),b =(5,1) に対し,( b ) a を満たしているとき, + b の最小値を求めよ. ポイント 1 2 次関数の最小値は平方完成して求める.
混合問題 混合問題 13 1 平行四辺形 の辺, の中点をそれぞれ M,N とし, b = a, = b,m = p,n = q とするとき, a, b を p q N p, q で表せ. M 2 a =(2, 1), b =(0,3), c =(3, 2) について, 次の問いに答えよ. ⑴ 2 a b と同じ向きの単位ベクトルを求めよ. ⑵ c を a, b で表せ. ⑶ a +tb と c が平行となるとき,t の値を求めよ. ⑷ +tb の最小値とそのときの t の値を求めよ. 3 次の問いに答えよ. ⑴ 3 点 (1,2),( 2,1),(0, 2) を頂点とする平行四辺形 の残りの頂点 の座標を求めよ. ⑵ 平行四辺形 に対し, =(3,6), =(5, 2) のとき,, の成分を求めよ. 4 1 辺の長さが 3 の正六角形 EF において, = a,e = b とする. このとき, 次の問いに答えよ. ⑴,F を a, b で表せ. b ⑵ と同じ向きの単位ベクトルを a, b で表せ. F E 5 座標平面上に定点 (2,5),(5, 1) と 軸上の動点 P がある. このとき, 次の問いに答えよ. ⑴ P +2P の大きさの最小値と, そのときの P の座標を求めよ. ⑵ P が を底辺とする二等辺三角形になるとき,P の座標を求めよ. 6 a =(2, 1), b =( 2,3) に対し,ta + b 4 を満たす実数 t の値の範囲を求めよ. ヒント 4,E の交点を とすると, + = a,f + = b, = +F である. 5 軸上の動点 P の座標は P(0,t) とおける. 6 a 0,b 0 のとき,a b a b
32 第 1 章 / 平面上のベクトル 章末問題 1 四角形 の辺, の中点をそれぞれ M,N とするとき, + =2MN であることを証明せよ. M N 2 a =(2,3), b =(5,1) のとき, 次の条件を同時に満たす の成分を求めよ. ( b ) a, + b =13 3 = a, = b, = c が, 等式 =2 a (b c ) を満たすとき, の形状を調べよ. 4 座標平面上に 3 点 (0,0),(2,3),(6,1) がある. 点 P が P =s +t,2s+3t 1, s 0,t 0 (s,t は実数 ) で表されているとき, 点 P の存在範囲を図示せよ. 5 次の問いに答えよ. ⑴ =,ta + b = tb (t0) のとき, a, b のなす角 θ (0 θ 90 ) を求めよ. ⑵ a =(0,3) となす角が 60 で大きさが 2 のベクトルを b とする.2 つのベクトル ta b と a tb が直交するとき, 実数 t の値を求めよ. 6,, は一直線上にないとする. =2, =3 となるように点, をとり,, の交点を E とする. このとき, 次の問いに答えよ. ⑴ = a, = b として,E を a, b で表せ. ⑵ E,, のそれぞれの中点 P,Q,R は一直線上にあることを示せ. 7 において, 辺 を 1:2 に内分する点を, 辺 を 3:1 に内分する点を E とする. また,2 つの線分 と E の交点を P とし, 直線 P と辺 の交点を Q とする. このとき, P:PE,P:P,P:PQ を求めよ.
章末問題 1 平行四辺形でない四角形 の辺,,, 上にそれぞれ点 P,Q,R,S を P:=R:=α:1, Q:=S:=β:1 となるようにとるとき, 次の問いに答えよ. ⑴ PQ を と で表せ. ⑵ 四角形 PQRS が平行四辺形になるための条件を α,β で表せ. P Q 章末問題 33 S R 2 次の問いに答えよ. ⑴ 平面上の点 (1, 1) を通り,u =(2,1) を方向ベクトルとする直線 l の方程式を, を用いて表せ. ⑵ ⑴の直線 l と直交し, 点 ( 4,2) からの距離が 1 である直線の方程式を, を用いて表せ. 3 = 3,= 5,= 6 の の外心を P とする. = a, = b として,P を a, b で表せ. 4 =4,=5,=6 の の重心を G,G から辺 に下ろした垂線の足を H とする. このとき, H の値を求めよ. 5 3 定点,, に対し, 次の等式を満たす点 P の軌跡を求めよ. P P +P P +P P =0 6 平面上に 4 点,,, があり, + + =0,=1,=2,= 2 のとき, の面積を求めよ. 7 の辺 上に点 があり, 次の等式が成り立っているとき, 点 はどのような点か. + =2 + +