科目名学科 学年 組学籍番号氏名採点結果 016 年度材料力学 Ⅲ 問題 1 1 3 次元的に外力負荷を受ける物体を考える際にデカルト直交座標 - を採る 物体 内のある点 を取り囲む微小六面体上に働く応力 が v =- 40, = 60 =- 30 v = 0 = 10 v = 60 である 図 1 の 面上にこれらの応力 の作用方向を矢印で記入し その脇にその矢印が示す応力成分を記入しなさい 図 1 問題 1 3 次元的に外力負荷を受ける物体を考える際にデカルト直交座標 - を採る この座標系に関する応力成分とひずみ成分の間には 縦弾性係数を せん断弾性係数を G ポアソン比をνで表すとき 一般に以下の関係式が成立する _ v = "] 1- f g + f ] + f g, ] 1 + g] 1 - g v = "] 1- f g + f ] + f g, ] 1 + g] 1 - g v = "] 1- f g + f ] + f g, ` -----------------------------(1) ] 1 + g] 1 - g = Gc = Gc = Gc (1) 平面内で平面応力状態にあるとき その値が 0 と考えて良い応力成分は何か列挙しなさい () 前問 (1) で挙げたことを利用し f をf およびf を用いて表しなさい (3) 前問 () を用いて v v をf およびf を用いて表しなさい 解答 σ τ τ 問題 1 1 応力成分を表す つの指標のうち 最初の文字でその応力成分が作用する面を 番目の文字でその応力成分が作用する方向を示す 一方 値の正負でその応力の作用方向を示す τ σ τ τ τ σ そのルールは 応力が作用する面に外向き法線 ( 物体の外に向かう法線 ) を立てた時 その法線が ( 作用面を示す ) 座標軸の正 ( 負 ) の方向と一致する時 ( 作用方向を示す ) 座標 図 1 軸の正 ( 負 ) の方向に作用する また = = = であることを考慮すれば 図 1 に示すようになる -1-
問題 1 (1) 平面内で平面応力状態ということであるから 軸方向に作用する応力成分の値は全て 0 である したがって v= ] = g= ] = g = 0 ------------------------------------() である () v = 0であるから これを式 (1) に代入すれば =- ] f + f g --------------------------------------------(3) 1 - f (3) 式 (3) の関係を式 (1) の最初および 番目の式に代入すれば = "] 1- f g + f ] + f g, ] 1 + g] 1 - g v = < ] 1- f g + ( f- ( f+ f) ] 1 + g] 1 - g 1 - = < (] 1-g- f+ d1- nf ] 1 + g ] 1 - g 1-1 - = 1 + 1 - ] f + ] g] g f g 同様に = 1 + 1 - ] f + ] g] g f g v --
科目名学科 学年 組学籍番号氏名採点結果 016 年度材料力学 Ⅲ l θ θ G H J I l 図 1 図 図 3 図 4 問題 図 1に示すように 長さ l に比して幅 厚さ t が小さい薄板 (l H t) がある こ の薄板の上下端に引張りの外力 が作用している 座標系 -( 軸は板厚方向 ) を図に示 すように採る この薄板の 軸に垂直な断面積を 0 とする (1) 軸に垂直な断面に作用する垂直応力 v 0を求めよ () 図 に 軸に垂直な断面を反時計回りに角 θ 回転した断面 で仮想切断して出来る下側 部分を示してある この断面 の断面積 を 0 および θ を用いて表しなさい (3) 図 に示す断面 上に作用する垂直応力 v およびせん断応力 をv 0およびθを用いて 表しなさい (4) 図 3 に図 の断面 をさらに反時計方向に 90 回転した断面 で仮想切断して 出来る上側部分を示してある この断面 の断面積 を 0 および θ を用いて表しなさい (5) 図 3に示す断面 上に作用する垂直応力 v およびせん断応力 をv 0およびθを用いて 表しなさい (6) i = 30c v 0 = 00 のとき v 捨五入し 有効数字 3 桁で求めよ v -1- および を求めよ ただし 有効数字 4 桁目を四 (7) 図 4 に断面 に平行な つの面および断面 に平行な つの面で作られる微小四角形 GHIJ が示してある この微小四角形に作用する応力を前問 (6) の結果を利用して 次ページの 図 5に示しなさい ただし 応力の作用方向は矢印で その脇にその応力の大きさ ( 絶対値 ) を記入しなさい (8) 前問 (7) で描いた図を参考に 次ページの図 6にこの応力状態を示す Mhr の応力円を描きなさい ただし 半径や角度の計算当たって 数値は有効数字 4 桁目を四捨五入し 有効数字 3 桁で示すこと また 面 GH(JI) や面 HI(GJ) の応力状態を示す点 その点の縦横座標値 主応力 v 1 ている面とのなす角を示すこと v および最大せん断応力 m 最小せん断応力 min 面 GH(JI) と主応力 v 1が作用し (9) 主応力 v 1およびv が作用する面は 面あるいは 面とどのような関係にあるか (10) 最大せん断応力 m および最小せん断応力 minが作用する面は 面あるいは 面とどのような
科目名 学科 学年 組 学籍番号 氏名 採点結果 016 年度材料力学 Ⅲ 関係にあるか G H I 図 5 J σ(m) τ(μ) 図 6 解答 (1) 軸に垂直な断面の断面積は 0 この面に作用する内力は であるから v 0 = 0 sinθ θ csθ θ 0 sinθ 図 0 θ θ csθ 図 3 () 図 を参考にすれば と 0 の関係は cs i = 0 であるから は次のようになる 0 = cs i (3) 図 を参考にすれば v cs i cs i = = = cs i= v0 cs i 0 0 cs i sin i sin i = = = sinics i 0 0 cs i -(1) 1 = v0sinics i= v0sin i -------------() (4) 図 3 を参考にすれば と 0 の関係は sin i = 0 であるから は次のようになる 0 = sin i --
(5) 図 3 を参考にすれば v sin i sin i = = = sin i= v0 sin i 0 0 sin i cs i cs i 1 = = = sinics i= v0sinics i= v0sin i 0 0 sin i -------------------------(3) ---------(4) (6) 前問 (3) および (5) で得られた式 (1) (4) を用いれば 3 v = 00 [ ] # cs 30c = 00 [ ] # = 150 4 1 = # 00[ ] # sin] # 30cg= 50 3 [ ]. 86. 60 Y g[ ] = 86. 6[ ] v = 00 [ ] # sin 30c = 50. 0 [ ] 1 = # 00[ ] # sin] # 30cg= 50 3 [ ]. 86. 60 Y g[ ] = 86. 6[ ] (7) (8) は 下の図 5 および図 6 に示す通りである Mhr 円の半径 r r = ] 150-100g + ] 86. 6g. 999978. Y g = 100. 0 Mhr の応力円上で面 GH(JH) と主応力 v 1が作用する面とのなす角 i i = tn 86. 6 tn 17. 3. 59. 999g 60. 0c 150-100 = = - 1-1 Y 150M H 50.0M 86.6M 86.6M G J I 150M 86.6M 50.0M -100-50 -86.6 σ 50 τmin 60 GH(JI) σ1 100 150 00 σ(m) 86.6M 50 図 5 86.6 100 HI(GJ) τm τ(μ) 図 6 (9) 図 6 から 主応力 v 1が作用する面は 面 GH を時計回りに 30 回転した面 すなわち 面である 主応力 v が作用する面は これと直交する 面である (10) 最大せん断応力 mの作用する面は 図 6 から 面を時計回りに 45 回転した面である 最小せん断応力 minが作用する面は 面を反時計回りに 45 回転した面である -3-
科目名 学科 学年 組 学籍番号 氏名 採点結果 016 年度材料力学 Ⅲ 問題 3 直径 d が 50mm 長さ l が 1m の丸軸 がある 以下の各問に答えなさい 397N 397N φ d=50mm 0.5m 1m 図 3 1 0 図 3 1 1 図 3 1 736Nm 0.5m 736Nm φ d=50mm 1m 図 3 0 図 3 1 図 3 (1) 図 3 1 0に示すように 丸軸 が水平に左端 および右端 で単純支持されている の中点 に 397N の力が鉛直下向きに作用している 左端 からの距離が 点と同じであるが 下端に位置する点を とする この時 点および 点に生ずる曲げ応力 v ] g v ] gを求めよ ただし 有効数字 4 桁目を四捨五入し 有効数字 3 桁で求めよ () 図 3 1 1および図 3 1 は つの 平面と つの 平面で 点および 点を囲む微小四角形を示した 図 3 1 1は 点を真上から見下ろした図であり 図 3 1 は 点を真下から見上げた図である これらの図に 前問 (1) で求めた応力が微小四角形に作用している方向を矢印で示し そのわきに応力の大きさ ( 絶対値 ) を記入しなさい ただし 曲げ変形により生ずるせん断応力は 無視出来るものとする (3) 図 3 0は 丸軸の左端 および右端 に 736Nm のトルクが負荷され 丸軸 が捩られていることを示してい る この時丸軸の表面に生ずるせん断応力 ] gを求めよ ただし 有効数字 4 桁目を四捨五入し 有効数字 3 桁で求めよ (4) 図 3 1および図 3 は つの 平面と つの 平面で 点および 点を囲む微小四角形を示した 図 3 1は 点を真上から見下ろした図であり 図 3 は 点を真下から見上げた図である これらの図に 前問 (3) で求めたせん断応力が微小四角形に作用している方向を矢印で示し そのわきに応力の大きさ ( 絶対値 ) を記入しなさい -1-
736Nm 0.5m 397N 397N 736Nm 1m 図 3 3 0 φ d=50mm 図 3 3 1 図 3 3 σ(m) τ(m) 図 3 4 1 点の応力状態 (5) 次ページの図 3 3 0 に 丸 軸 が前問 (1) の曲げ変形と 前問 (3) の捩り変形を同時に受 ける場合を示している 図 3 3 1および図 3 3 は つの 平面と つの 平面で 点および 点を囲む微小四角形を示した 図 3 3 1は 点を真上から見下ろした図であり 図 3 3 は 点を真下から見上げた図である これらの図の微小四角形に作用している応力の方向を矢印で示し そのわきに応力の大きさ ( 絶対値 ) を記入しなさい (6) 図 3 4 1および図 3 4 に 点および 点の応力状態を表す Mhr の応力円を示しなさい ただし プロットした点の座標および座標面 主応力 v 1 v を表す点とその横座標 最大せん断応力 mおよび最小せん断応力 min を示す点とその縦座標 円の中心の横座標を必ず示すこと 角度を計算する場合は 有効数字 4 桁目を四捨五入し 有効数字 3 桁で示すこと σ(m) τ(m) 図 3 4 点の応力状態 --
解答 (1) はりに作用する鉛直下向きの荷重を とすれば この荷重ははり の中点 に負荷されているから 両支点 の支持力は鉛直上向きに である はりの長さを l とすれば 左端 から () 点までの距離はl であるから () 点における曲げモーメントは l 4で与えられる 点 4 の 座標は- d 点の 座標はd であること 断面 次モーメント I はrd 64で計算されることに注意すれば 点および 点に生ずる曲げ応力 v ] g v ] gは次のように計算される v l d # d- n 4 8l 8# 397 [ N] # 1 [ ] 8# 397 = =- =- - =- [ ] rd rd r] 50# 10 [ ] g 15r 64 c 4 3 3 3.- 80. 00018 Y g[ ] =-80. 0 [ ] 同様に計算すると v = 80. 00018 Y g[ ] = 800. [ ] () はりの曲げ応力 v は はりの軸方向 ( 軸方向 ) の垂直応力であり 前問 (1) の計算結果から 点では圧縮応力 点では引張応力であるから その作用方向は下図のようになる 80.0M 80.0M 80.0M 80.0M 図 3 1 1 図 3 1 (3) 直径 d の丸軸がトルク T で捩られる時 丸軸の中心軸から半径方向に ρ 離れた点に生ずるせん断 応力 t ]gは 断面 次極モーメントを I p で表せば Tt t ]g= I p 4 で与えられる 軸 の表面は ρがd であること また I p はrd 3で計算されるから 求め るせん断応力 ] gは次のようになる T # d d n 16T 16# 736 [ ] 16# 736 = 4 = [ ] d d 3 = -3 3 = r r r] 50# 10 [ ] g 15r 3. 9. 9873 Y g[ ] = 300. [ ] (4) 隣り合う面が直交する ( 例えば ここの例のように ) 場合 そこに作用するせん断応力 τは 矢印の矢じりが向かい合うか あるいは矢羽根が向かい合うように作用する また その大きさは互いに等しいことを考慮すれば () 点を取り囲む微小四角形に作用するせん断応力 τは 次ページの図 3 1 および図 3 に示すようになる -3-
30.0M 30.0M 30.0M 30.0M 30.0M 30.0M 30.0M 30.0M 図 3 1 図 3 (5) 曲げと捩りを同時に受けた場合の応力状態は それそれの応力状態の重ね合わせで求められる したがって 点の応力状態は 図 3 1 1 と図 3 1 に示す応力状態の和で示され 同様に 点の応力状態は 図 3 1 と図 3 に示す応力状態の和で示される したがって 点および 点の応力状態は 下の図に示すようになる 30.0M 30.0M 80.0M 30.0M 30.0M 80.0M 80.0M 30.0M 30.0M 80.0M 30.0M 30.0M 図 3 3 1 図 3 3 (6) 図 3 3 1 および図 3 3 を参照し 点および 点の応力状態を Mhr の応力円 で表すと以下のようになる τmin -50-40 -30-50 -40-30 τmin -0-0 σ 36.9-90 -100-80 -60-40 -0 σ1 10 σ(m) σ -10-0 0 40 36.9 60 80 σ1 90 σ(m) τm 0 0 30 30 40 40 50 τ(m) τ(m) 図 3 4 1 点の応力状態図 3 4 点の応力状態 τm -4-