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半剛節が部材上の任意点にある部材剛性方程式 米子高専 川端康洋 稲田祐二. ピン半剛節を有する部材の解析の歴史 ()940 二見秀雄材の途中にピン接合点を有するラーメン材の算式とその応用建築学会論文集 つのピン節を含む部材の撓角法基本式と荷重項ピン節を含む部材の撓角法基本式と荷重項が求められている 以降 固定モーメント法や異形ラーメンの解法への応用が研究された 戦後には 関連する論文は見当たらない (2)964 R.K. Livesley Matrix Methods of Structural Analysis Pergamon Press, England. マトリクス構造解析入門 ( 5.7 半剛性の節点 ) 山田嘉昭川井忠彦共訳直列に結合された要素で構成される部材の考え方を用いている この文献の方法を用いて 部材端部に半剛節がある場合の剛性行列部材端部に半剛節がある場合の剛性行列を求めている研究は 多い この他 ピン節点に於けるモーメントの条件から縮約を行う方法も 多く用いられている しかし 部材の途中にピン半剛節がある場合の研究は無い部材の途中にピン半剛節がある場合の研究は無い

. ピン半剛節を有する部材の解析の歴史 (3) 2000 ハイブリッド型応力法による半剛接ばね挿入梁柱要素の開発について稲田祐二 川端康洋 近藤一夫日本建築学会大会 近藤の提案する骨組解析に於けるハイブリッド型応力法の理論を用いて 部材上の任意点に任意数の 6 自由度に対応したバネを挿入した解析を行っている この手法は プログラム中でマトリクス演算によって要素剛性マトリクスや荷重項が求められるので 陽な形では要素剛性方程式は表されていない陽な形では要素剛性方程式は表されていない 初学者にとっては ハイブリッド応力法の変分原理がとっつき難く 簡単には応用することができない 2. 本研究の意義 半剛節が部材上の任意点にある場合の 剛性方程式は 陽形式で求められていない 2

要するに 半剛節がある場合の剛性方程式は () 部材端にある場合に限って 陽形式で表されていた (2) ハイブリッド型応力法では 陽形式に表せないし 初心者にはやや取っつき難い 良く知られている直接剛性法等で利用するためには 任意点に半剛節のある部材の剛性方程式を 陽形式で表すと便利 になるし 理解しやすく理解しやすくなる 3. 解法のアイディア () 部材の変形を (I) と (II) に分ける I. 弾性的な変形 : θ e II. 半剛節の折れ曲りによる剛体的な変形 : θ r Φ Φ 2 X h X h2 部材長 :L θ θ e + θ r 3

(2) 半剛節点の折れ曲り角 (Φ) と部材端の回転角 (θ r ) の関係 ( 適合条件 ) をみつける θ rj L + Φ 2 X h2 Φ X h θ ri Φ Φ 2 θ rj θ ri L + Φ (L- X h ) Φ 2 (L- X h2 ) X h X h2 部材長 :L ここで X h ξ L, X h2 ξ 2 L とおくと θ ri θ rj (-ξ ), (-ξ 2 ) ξ, ξ 2 Φ Φ 2 θ r H t Φ 適合行列 ( H t ) Φ は 折れ曲がり角 θ e θ H t Φ ( 弾性変形は は 全変形全変形から折れ曲がりによるから折れ曲がりによる剛体変形剛体変形を差し引く ) 4

半剛節点の曲げモーメント (M) と部材端のモーメント (m) M(x h ) M(x h2 ) m i X h 部材長 :L X h2 M(x h ) M(x h2 ) (-ξ ), ξ (-ξ 2 ), ξ 2 m i M H m 平衡行列 ( H ) 半剛節点の曲げモーメント ( M ) と折れ曲り角 (Φ) M(x h ) M(x h2 ) 4EI L k r, 0 0, k r2 Φ Φ 2 ( 半剛節点の回転バネ剛性を k r で与える ) M K r Φ 一方 M H m H m - K r Φ 0 半剛節点の平衡条件 5

部材端モーメント ( m ) と折れ曲り角 (Φ) H m - Kr Φ 0 部材端モーメント (m) と弾性変形 (θ e ) 半剛節点の平衡条件 m i 2EI L 2, - -, 2 θ ei θ ej { m } K 0 {θ H t Φ } この式から Φ を消去する H K 0 {θ H t Φ} K r Φ 展開して Φ について解くと Φ ( H K 0 H t + K r ) - H K 0 θ 6 式 Φ を消去する m K 0 (θ H t Φ) m K θ K K 0 ( I H t ( HK 0 H t + K r ) - HK 0 ) この行列演算は 2 行 2 列の加減乗除算で 容易に実行できる 6

m i 2EI L C B, B 2 B 2, B 22 i k r k r2 ξ 2 ξ 2 j B 6 ( k r ξ 2 2 + k r2 ξ 2 ) + 8k r k r2 B 2 6 { k r ξ 2 (ξ 2 -) + k r2 ξ (ξ -) } - 4k r k r2 B 2 B 2 B 22 6 { k r (ξ 2 -) 2 + k r2 (ξ -) 2 } + 8k r k r2 C 2 { k r ξ 2 (ξ 2 -) + k r2 ξ (ξ -) } + 3 (ξ 2 -ξ ) 2 + 4 ( k r +k r2 +k r k r2 ) 半剛節が両部材端にある場合 ξ 0 ξ 2 m i k r 2EI L C B, k r2 B 2 B 2, B 22 B 6 k r + 8 k r k r2, B 2-4 k r k r2 B 2 B 22 6 k r2 + 8 k r k r2 C 3 + 4 ( k r + k r2 + k r k r2 ) 各項を 4k r k r2 で割ると 7

R.K.Livesley の示した剛性行列に行列に一致一致する m i 2EI L C 3/(2 k r2 )+ 2, - -, 3/(2 k r ) + 2 C (3/4) / (k r k r2 ) + ( /k r + /k r2 ) + k r, k r2 が無限大の大きさになると の大きさになると 青色の数値青色の数値のみになりのみになり 半剛節の無い場合の剛性行列 K 0 に帰着する ξ 0 ξ 2 () ピン節が右端部にある場合 m i 3EI L m i k r k r2 3EI L 0, 0 0, (2) ピン節が右端部にある場合, 0 0, 0 k r k r2 0 k r 0 k r2 8

3. 荷重項 ( 等価部材端力 ) m 0i 等分布荷重 :w m 0j (4EI/L) k r (4EI/L) k r2 + 両端の固定条件より i j m 0i 0 - i j m 0j 0 i + i 柔性行列 j j m 0i θ ii j m 0j - i j - - k ii k ij - k ji k jj - 柔性行列の逆行列は 7 式で得た半剛節を有する剛性行列である 等価部材端モーメント (m) は m 0i 2EI m 0j L C B, B 2 B 2, B 22 - - m 0i 等分布荷重 :w m 0j 9

等分布荷重 :w θ ei + θ ri θ ej θ rj 弾性的な変形 θ ei + θ ej θ ei θ ej - wl 3 24EI (4EI/L) k r2 (4EI/L) k r2 θ ri θ rj Φ Φ 2 等分布荷重 :w : M(x h ) M(x h2 ) M(x h ) M(x h2 ) wl 2 2 ξ 2 ( ξ 2 ) ξ ( ξ ) θ ri - M(x h ) M(x h ) M(x h2 ) M(x h2 ) ( ξ ) ( ξ 2 ) wl2 2 {ξ (-ξ ( ξ ) ) (-ξ 2 ) + ξ 2 ( ξ 2 ) } (4EI/L)k r (4EI/L)k r2 0

θ rj - M(x h ) M(x h2 ) ξ M(x h ) M(x h2 ) wl2 2 {ξ ( ξ ) + ξ (4EI/L)k 2 ( ξ 2 ) } r (4EI/L)k r2 ξ ξ 2 ξ 2 半剛節の折れ曲りによる剛体的な変形 θ ri θ rj - wl 3 24EI 3ξ ( ξ ) 2 3ξ 2 ( ξ 2 ) 2 + k r k r2 3ξ 2 ( ξ ) 3ξ 2 2 ( ξ 2 ) + k r k r2 m 0i 等分布荷重 :w wl 3 + D - 24EI + D 2 + D 2 + D 22 2EI m oj L C B, B 2 B 2, B 22 θ ei θ ri + θ ej θ rj - - D D 2 D 2 D 22 3 X h ( X h ) 2 k r 3 X h2 ( X h2 ) 2 k r2 3 X h2 ( X h ) k r 3 X h22 ( X h2 ) k r2

等分布荷重 :w θ ei θ ri + θ ej θ rj m 0i wl2 m 2 oj C B ( + D + D 2 ), B 2 ( + D 2 + D 22 ) B 2 ( + D + D 2 ), B 22 ( + D 2 + D 22 ) () 半剛節が両部材端にある場合には D ij 0 となる (2) 半剛節が左部材端にある場合には D i 0 となる (3) 半剛節が右部材端にある場合には D i2 0 となる (4) 半剛節のバネ (k( r,k r2 ) が になると D ij 0 となる 部材端力と節点力の関係 ( 平衡条件式 H 0 ) m i i j M i i 部材長 :L j M j P yi P yi /L -/L M i 0 m i P yj -/L /L M j 0 - P yj H 0 2

半剛節を有する梁の剛性方程式 P yi M i P yj M j V i V j H 0 K H 0 t + H 0 m 0 + -wl/2 0 -wl/2 0 M i i 等分布荷重 :w j (4EI/L) k r (4EI/L) k r2 P yi v j 部材長 :L 半剛節を 2 つ含む部材の剛性行列 ( 6 x 6 ) 0. k ξ r k r2. ξ 2 半剛節の位置半剛節の剛性 I z 断面 2 次モーメント A 断面積 ξ 半剛節 ( ) の位置 ξ 2 半剛節 ( 2 ) の位置 k r 半剛節 ( ) のバネ剛性 k r2 半剛節 ( 2 ) のバネ剛性 L 部材長 E ヤング率 3

K ( i,6; j,6 ) 0 ---------- initialize K (, ) -K (, 4) -K (4, ) K (4, 4) (E*A) / L K (2, 2) K (2, 5) K (5, 2) K (5, 5) 2*E*I z / L 3 * {(k r +k r2 +4*k r *k r2 ) / c } K (2, 3) K (3, 2) -K (3, 5) -K (5, 3) 2*E*I z / L 2 * {(k r *ξ 2 +k r2 *ξ +2*k r *k r2 ) / c } c 4* [k r * {-3*ξ 2 * (-ξ 2 )}] + 4* [ k r2 * {-3* ξ * (-ξ )}] + 4*k r *k r2 + 3* (ξ 2 -ξ )* (ξ 2 -ξ ) K (2, 6) K (6, 2) -K (5, 6) -K (6, 5) 2*E*I z / L 2 * [{k r *(-ξ 2 )+k r2 *(-ξ )+2*k r *k r2 } / c ] K (3, 3) 4*E*I z / L *[{3*(k r *ξ 22 +k r2 *ξ 2 )+4*k r *k r2 } / c ] K (3, 6) K (6, 3) 4*E*I z / L * [3*{k r *ξ 2 *(-ξ 2 )+k r2 *ξ *(-ξ )}+2*k r *k r2 ] / c K (6, 6) 4*E *I z / L * [3{(k r *(-ξ 2 ) 2 + k r2 *(-ξ ) 2 }+4*k r *k r2 )] / c c 4* [k r * {-3*ξ 2 * (-ξ 2 )}] + 4* [ k r2 * {-3* ξ * (-ξ )}] + 4*k r *k r2 + 3* (ξ 2 -ξ )* (ξ 2 -ξ ) 4

等価節点力 ( 6 x ) F 0() F 0(2) 中間荷重 wx : 軸方向荷重 ( 分布荷重 ) Wy : 垂直方向 ( 等分布荷重 ) F 0 F 0(3) F 0(4) F 0(5) 半剛節の位置 半剛節の剛性 ξ 半剛節 ( ) の位置 ξ 2 半剛節 ( 2 ) の位置 k r 半剛節 ( ) のバネ剛性 k r2 半剛節 ( 2 ) のバネ剛性 F 0(6) ξ w y w x w x2 0. k r k r2. ξ 2 F 0 F 0() F 0(2) F 0(3) F 0(4) F 0(5) F 0(6) 中間荷重 半剛節の位置 半剛節の剛性 F () (2 * w x + w 2x ) * L / 6 B o b - b 2 - b 3 + b 4 wx : 軸方向荷重 ( 分布荷重 ) Wy : 垂直方向 ( 等分布荷重 ) ξ 半剛節 ( ) の位置 ξ 2 半剛節 ( 2 ) の位置 k r 半剛節 ( ) のバネ剛性 k r2 半剛節 ( 2 ) のバネ剛性 b 4 * (k r + k r2 + k r * k r2 ) b 2 2 * k r * ξ 2 * ( -ξ 2 ) b 3 2 * k r2 * ξ * ( -ξ ) b 4 3 * (ξ ξ 2 ) 2 5

F (2) (wy * L / 2) * A o / B o F 0 F 0() F 0(2) F 0(3) F 0(4) F 0(5) F 0(6) A o a - a 2 - a 3 + a 4 a 3 * (k r + k r2 ) + 4 * k r * k r2 a 2 2 * k r * ξ 2 * (2 + 3 * ξ 2-6 * ξ 2 * ξ 2 ) a 3 2 * k r2 * ξ * (2 + 3 * ξ - 6 * ξ * ξ 2 ) a 4 3 * (ξ ξ 2 ) 2 * (ξ + ξ 2 ) F (3) (wy * L 2 / 6) * A o / B o A o a + a 2 + a 3 + a 4 a 2 * k r * k r2 a 2 3 * k r * ξ 2 * (3-8 * ξ 2 + 6 * ξ 2 * ξ 2 ) a 3 3 * k r2 * ξ * (3-8 * ξ + 6 * ξ * ξ 2 ) a 4 9 * (ξ ξ 2 ) 2 * ξ * ξ 2 F (5) (wy * L / 2) * A o / B o F 0 F 0() F 0(2) F 0(3) F 0(4) F 0(5) F 0(6) A o a - a 2 - a 3 + a 4 a 5 * (k r + k r2 ) + 4 * k r * k r2 a 2 2 * k r * ξ 2 * (0-5 * ξ 2 + 6 * ξ 2 * ξ 2 ) a 3 2 * k r2 * ξ * (0-5 * ξ + 6 * ξ * ξ 2 ) a 4 3 * (ξ ξ 2 ) 2 * (2 -ξ -ξ 2 ) F (6) - (wy * L 2 / 6) * A o / B o A o a - a 2 - a 3 + a 4 a 3 * (k r + k r2 ) + 2 * k r * k r2 a 2 3 * k r * ξ 2 * (5-0 * ξ 2 + 6 * ξ 2 * ξ 2 ) a 3 3 * k r2 * ξ * (5-0 * ξ + 6 * ξ * ξ 2 ) a 4 9 * (ξ ξ 2 ) 2 * ( -ξ ) * ( -ξ 2 ) 6

剛性マトリクス [ K ] と等価節点力マトリクス { F 0 } は 下記のホームページからダウンロードできます lap.matrix.jp ご清聴有難うございました 7