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1 3. 対流熱伝達の概要 対流熱伝達 (concti hat transfr 流体の移動により熱エネルギーが移動する熱輸送様式 第 3 章対流熱伝達 3.. 対流熱伝達の分類流れ場の幾何形状による分類外部流れ (trnal flo 内部流れ (intrnal flo 外部流れ ( 翼周りの流れ 内部流れ ( 管内流 図 3. 流れの駆動力による分類強制対流 (forc conction 機械的手段により強制的に発生させられた対流 自由対流 (fr conction or 自然対流 (natral conction 温度差による浮力で発生する対流 流れの様式による分類層流 (laminar flo 整然とした流れ分子拡散による熱移動が支配的乱流 (trblnt flo 流速が不規則変動流体塊の混合が支配的 共存対流 (mi conction o 両方の影響を受ける対流 層流から乱流への遷移 図 流速 : 小 流速 : 大 3 4

2 3.. 対流熱伝達率と境界層 ニュートンの冷却法則 (Nton s la of cooling 対流と熱伝導の関係 伝熱面表面での熱の移動 h ( f (3. h (W/(m K : 熱伝達率 (hat transfr cofficint : 伝熱面温度 ( 表面温度 f : 流体温度 熱伝達のよさを表す係数どこの温度? 定義 何のために? どう使う? を考えて全体の性能? それとも部分 ( 局所 の性能現象を代表する温度 固体 固体と接してい 内部の 表面 る流体粒子 流体 熱伝導 熱伝導と流体の運動 伝熱面表面では熱伝導のみ h( f 壁面での流体内の温度勾配が決まれば熱伝達率が決まる. 流体の温度分布は, 流体の熱物性, 流動条件, 伝熱面形状に依存する. 熱伝達率も同様. 5 6 境界層 (bonar lar 速度や温度が急激に変化する固体面近傍の薄い層 ( 領域 速度境界層 (locit bonar lar 温度境界層 (thrmal bonar lar 熱伝達率と境界層の関係 h f f f (3.a f t : 温度境界層厚さ t f 図 3.4 f 境界層厚さの定義速度境界層厚さ の位置までの厚さ 温度境界層厚さ f.99 の位置までの厚さ 7 8

3 局所熱伝達率と平均熱伝達率 熱伝達率の分布 h / は流れ方向に増加 は物体形状や流れの条件に依存 h は位置 ( 場所 の関数 局所熱伝達率 (local hat transfr cofficint 局所熱流束 h 局所温度差 f 平均熱伝達率 (arag hat transfr cofficint i h 平均熱流束 平均温度差 Q f 平均熱伝達率 Q h h がわかると Q の関係がわかる設計できる 温度差が場所によらず一定の場合 : f h f f h h h (3.a 注意 : この定義は = 一定の場合にしか使えない 9 3. 対流熱伝達の基礎方程式 基礎方程式の概要目的流体内の温度分布を求めて伝熱量を見積もる. 求める量 ( 未知数 < 非圧縮性の場合 > 速度 (,,, 圧力 (, 温度 ( 基礎方程式 (gorning g g ations 質量保存則連続の式運動量保存則ナビエ ストークスの式 (,, z 方向 : 計 3つ エネルギー保存則エネルギーの式 変数の数 : 計 5 つ 式の数 : 計 5 つ 解ける 3.. 連続の式 質量保存則 ( 次元の場合 m m m m m m m t in ot t 3 4 両辺を で割って 4 m t m m, の極限をとると m t + 連続の式 (ation of continit it m 3

4 3..3 運動量保存則 デカルト座標系の連続の式 (ation of continit t z ベクトル表示 : t (3.5 i j z 非圧縮 ( 密度一定 の場合 z ベクトル表示 : 運動量の保存 t m F m m in 運動量の時間変化検査体積にかかる力流入する運動量流出する運動量 次元 方向の運動量保存則 mf mm t in ot 運動量 m m m 3 m 4 ot 4 m m m 3 m 3 4 力 軸に垂直な面に作用する 方向の垂直応力 軸に垂直な面に作用する 方向のせん断応力 9 X 体積力 ( 重力, 磁力, クーロン力 保存則 t 5 8 X 9 7 m 6 X t X, の極限をとると X t ナビエ ストークスの式 (Nair-Stos ation ニュートン流体 3 5 6

5 ナビエ ストークスの式 ( デカルト座標系 方向 t z z 方向 z z Y t z z z 方向 z z zz Z t z z z X ニュートン流体, 一定, 一定の場合 方向 X t z z 方向 Y t z z z 方向 Z t z z z 7 8 実質微分 (sbstantial riati t 時間の変化 (,, z, t (+, +, z+z, t+t (,,, (,,, lim z z t t z t t t t (,, zz, tt (,, zz, t lim t t tt (,, zz, t (,, zz, t t (,, zzt, (,, zzt, ( rr, tt t z (,, z z, t (,, z, t t z z (, r t D : 実質微分 Dt t z t (sbstantial riati 対流項 (conction trm デカルト座標系 D Dt 3 g (3.a z z D Dt 3 z z g (3.b D Dt z z z 3 z z g (3.c z 9

6 3..4 エネルギー保存則 内部エネルギーと運動エネルギー V m V m 垂直応力による仕事 V 4 m V m + 3 伝熱量 5 9 内部発熱 8 G せん断応力による仕事 エネルギーの保存 V m m m i t 内部エネルギーの時間変化仕事内部エネルギーの収支伝熱量 運動エネルギーの収支 V m 次元系の場合 内部エネルギー + 運動エネルギー ( 方向 Ea, Ea, i j j 伝導熱量 (( 方向 E con, E con, 仕事 ( 方向 W nt, g 体積力による仕事エネルギー保存則 表面力による仕事 t g g 運動量の式を用いると t 粘性による消散 ( 発熱 ここに 3 エンタルピ h / を用いて整理すると h h h t t 3 4

7 熱力学関係式 h c (3.4 ここに : 体膨張係数 (3.6 次元系のエネルギーの式 高速な流れ以外では粘性散逸項は c t t 熱流動現象は = の場合が多いので通常は 3..5 非圧縮性流体の基礎方程式非圧縮, 物性値一定, 発熱なし連続の式 (3.7 ナビエ ストークスの式 D g (3.8 Dt エネルギーの式重力 ( 体積力 D (3.9 Dt ここに c (m / s (m /s (3.3a 3a : 動粘度 (inmatic iscosit (3.3b : 熱拡散率 (thrmal iffsiit 5 6 デカルト座標系 ( 非圧縮 連続の式 z ナビエ ストークスの式 D Dt z g D Dt z g D Dt z z g エネルギーの式 D z (3.3 3 (3.3a (3.3b (3.3c 33 Dt z (3.33 円筒座標系 ( 非圧縮 ( r + + = r r r (3.35 æ æ ö ö = - + n + r + g t r r r r r r + çè ç è ø r ø (3.36a 36a t r r r æ ö n æ r ö =- + gr 36b + - r r r r r + r - r + ç è ç è ø ø (3.36b t r r r æ æ ö ö =- + n + r g + rr èç r r èç r ø r r r ø (3.36c æ æ ö ö = a + r + (3.37 t r r ç r rç è r ø è r ø 7 8

8 次元定常流れの基礎式連続の式 (3.38 運動量の式 (3.39a (3.39b エネルギーの式 (3.4 無次元の基礎式 連続の式 運動量の式 R R エネルギーの式 R P P 境界層近似 (bonar lar aroimation 物体表面に沿う 次元定常流れ境界層近似 (bonar lar aroimation,, Flo ( ( ( ( ( Orr stimation: となるように を選ぶ 連続の式 : ( ;,,,,,, 方向運動量式 : R :のオーダー / / のとき粘性項と慣性項が同じオーダー 方向運動量式 : R :のオーダー 3 3

9 境界層方程式 (bonar lar ations 連続の式 (3.4 運動量の式 (3.4 = エネルギーの式 (3.43 境界層方程式 (3.4 (3.4 常微分 ( が予めわかっていないと解けない (3.43 境界層外縁の値 境界条件 :, (3.44a :, const. (3.44b ベルヌーイの定理 ( より算出 無次元化 無次元数 = / = / = / ( r = / = / = ( - ( - 境界層方程式と境界条件 式係物 (3.46 と数 境=/R が界同 状 条じ (3.47 件で はあ 一れで致ば (3.48, 支無=/P 配 方 :, (3.49a 程 :, (3.49b 体形が相似,この次元重要な無次元数 レイノルズ数 (Rnols nmbr R (3.5 : 慣性力と粘性力の比 プラントル数 (Prantl nmbr c c Pr (3.5 : 運動量拡散と熱拡散の比 速度境界層と温度境界層の厚さに関連ペクレ数 (Pclt nmbr c 流体の持ち去る熱量 P = RPr (3.5 : と伝導伝熱量の比ヌセルト数 (Nsslt nmbr h N (3.57 : 熱伝達率の無次元数 物体の代表長さが温度境界層の厚さの何倍か : 代表寸法 35 36

10 3.3 管内流と平行平板間の強制対流 管内流の層流から乱流への遷移遷移レイノルズ数 (critical Rnols nmbr B 4m Rcr, 3 R 3: 層流 (3.6 R 3: 乱流 流れと温度場の流れ方向変化助走区間十分に発達する B 粘性境界層 助走区間 ( r (, r 十分に発達した流れ 管内流の助走区間速度助走区間 (hronamic ntranc rgion: 長さ /.5 R : 層流 ( R 3 (3.6a (3.6b / : 乱流 ( R 3 : 十分に発達した流れ (fll-lo flo 温度助走区間 (thrmal l ntranc rgion: 長さ /.5 RPr.5 P : 層流 ( R 3 (3.63a / : 乱流 ( R 3 (3.63b : 十分に発達した温度場 (fll-lo tmratr fil B 粘性境界層 助走区間 ( r (, r 十分に発達した流れ 十分発達した流れ平行平板間の流れ 方向運動量の式 (3.65, (3.64 境界条件 : : (3.66 速度分布 3 B (3.67 断面平均速度 (man locit: B 3 (3.68 円管内の流れ ( ハーゲン ポアズイユ流れ 方向運動量の式 r r r r r (3.7 R 境界条件 : r :, r R: r 速度分布 r R r B 4 (3.7 R 断面平均速度 (man locit: R R B r r R 8 (

11 3.3. 十分発達した温度場 ( 平行平板 適当な参照温度差で無次元化した無次元温度分布が, 下流において軸座標に依存しない温度場通常は B 混合平均温度 (bl man tmratr B c c B 物性値一定の場合 流路断 を 定時間に通過する流体を, 断熱的に混合した温度 (3.74 合同 (a 等熱流束壁 相似 (b 等温壁図 3.3 十分発達した温度場の温度分布 : 無次元温度分布 (3.75 B 無次元変数 ( 座標 : (3.76 h B B B B (3.77 に関する常微分 h N (3.78' ヌセルト数 ( 熱伝達率 がに依存しない エンタルピーの合計を熱容量で割ったもの 等熱流束加熱と等温加熱十分発達した温度場では, 式 (3.75 から B (3.79 等熱流束壁の場合 : B = ( h + ( - ( h ( - B = - ( h, h 一定だから ( - B 一定 B (3.8 等温壁の場合 : B (3.95 温度助走区間 (, ( B ( 十分に発達した温度場 一定 = const. (a 等熱流束壁条件 温度助走区間 ( (, B ( 十分に発達した温度場 = const. (b 等温壁条件 図 3.4 等熱流束加熱平行平板エネルギーの式 境界層方程式 (3.43 で c c (3.8 上半分 =~に渡って積分対称 æ ö æ ö 右辺 : ò = - = = ç è ø ç è = = ø = 中辺 : ( r c = ( rc ò B B rc ò rc 混合平均温度 : B ( º = rc rc B ò ò c B B (3.8a 43 44

12 B c エネルギーの式 (38 (3.8 に代入 B B (3.8b B 等熱流束では 速度分布式 (3.67 を代入し, 無次元化無次元表示定義 3 (3.83 N B 境界条件 : (3.84a h : (3.84b N 温度分布 式 (3.83 を積分 N B 混合平均温度 ( 平行平板 無次元化 B B B N B 8 35 h N h N または h 7 水力直径 : 4 h 円管 ( - W / ( B - W 図 (3.86 ( 十分発達した層流熱伝達のまとめ 表 3. ヌセルト数の漸近値 ( 代表寸法 : 水力直径 加熱条件平行平板円管 等熱流束 等温 物体まわりの強制対流熱伝達水平平板からの強制対流層流熱伝達 層流の条件 : 5 R 5 主流の流速 : 支配方程式 主流の温度 : (3. 壁温 ( 一定 : (3. 一定 (3.3 境界条件 :, :, (3.4a,b 図

13 相似変数の導入による常微分方程式化変数変換 ( 偏微分方程式常微分方程式 f (3.5 : 流れ関数 (stram fnction 定義 : (3.9 連続の式を満足 基礎式 f f f (3.6 最初にこの式を解く f Pr f (3.7 次にこの式を解く 境界条件解析解もあるが, : f f, (3.8a 一般には数値的に解く : f, (3.8b 速度分布 f R / f f 速度境界層厚さ 速度が主流速度の 99% となる位置 (3.a (3.b / f ' = 5 5 / (3. / R R / 局所レイノルズ数摩擦係数 f.664 C f (3.3 / / R R C f.38 (3.4 / R 図 3.9 無次元速度分布 49 5 温度分布局所ヌセルト数 / N R Prの関数 (3.6 近似式 N.33 R Pr (.5 Pr 5 平均ヌセルト数 / /3 (3.8 = ( - / ( Pr= Pr=.. Pr= 図 3. 無次元温度分布 h / /3 N.664 R Pr (.5 Pr 5 境界層厚さの関係 ( 乱流の概略 乱流工業上, 出現する流れのほとんど 乱流の特徴速度の不規則変動 ( 時間的 空間的 数学的には取り扱いにくい流体が渦塊 (is として運動流体塊間の運動量の混合 ( 乱流混合 速度分布が平坦 層流 乱流 低温 高温 高速 低速 Pr /3 (3 3 (3.3 図 3.8 図

14 乱流混合の効果 圧力損失熱伝達率増大鈍頭物体の流動抵抗 摩擦抵抗 (friction rag 圧力抵抗 (rssr rag 流れのはく離が原因 はく離点 : 速度勾配が 逆流開始点 鈍頭物体の場合はこれが大きい log D 3 はく離を抑えはく離点を後方に形成すれば流動抵抗が低減 R logh 4 3 図 3.3 管内流の場合 速度境界層 前方よどみ点 圧力抵抗 4 R 後方よどみ点 図 3.3 乱流混合による抵抗低減表面の凹凸の効果 乱流混合により粘性境界層内の運動量低下を遅らせるはく離点が後方へ摩擦抵抗は増加するが, 全抵抗の大部分を占める圧力抵抗が低減 層流 乱流 図 3.3 表面の凹凸の効果 例 ゴルフボール C D ボルテックス ジェネレータ 4 抗力係数 (rag cofficint CD FD/ P / ( 乱流境界層出現 4 6 R = n 図 3.33 円柱の抗力係数 強制対流乱流熱伝達 滑らかな平面上の乱流境界層粘性底層 (iscos sblar 層流の線形速度分布遷移層 (bffr lar 中間領域完全乱流域 (fll-trblnt lar 対数速度分布 ( t / r / 完全乱流域 遷移層 粘性底層 / 後流域 ln B / 粘性底層遷移層完全乱流域 / (3.5.4, B 5.5 (3.53 壁法則 (la of th all ln B / 3 / 図 円管内乱流強制対流 管摩擦係数プラントル (Prantl の式壁法則を管断面で積分し, 若干修正. log R.8 (3.54 f f ブラジウス (Blasis の式.364 R f /4 3 5 (3 <R < (3.55 f C f 4C ホワイト (Whit の式 : 5.5 f. log R ( (3 <R < - r / = 遷移域 3 層流域 : 64 R -3 Blasis Whit R 図 3.36

15 熱伝達整理式 (corrlation 熱伝達率の実験データを表す相関式 Ditts-Boltrの式 : 最もポピュラーな式.8 n 3 7 N.3R Pr R (3.57a 物性値は混合平均温度における値を用いる Sir-atの式 : 物性値の温度依存性が無視できない場合.4.8 n N.3R Pr (3.57b : 壁温における粘度ここで n.4 : 流体を加熱する場合 (3.58a n.3 : 流体を冷却する場合 (3.58b 3.6. 平板からの乱流強制対流 流れ方向変化 R 5 では層流, R > 5 では乱流として取り扱う 速度境界層厚さ h / 層流 : 5 R (3. /5 乱流 :.38R (3.59 局所ヌセルト数 h / - 4/5 /3 N 3.3 R Pr (3.6 (.7 Pr tr 平均ヌセルト数 ( 層流域が無視できる場合 N.37 R Pr (3.64 4/5 /3 h µ -/5 ( 乱流 µ ( 層流 図 3.37 平板上の熱伝達率の変化 自然対流熱伝達 (natral concti hat transfr 自然対流 (natral conction 温度差による浮力 (boanc が流れの駆動力速度場と温度場が影響を及ぼしあう ベナール セル 人の体からの自然対流 煙草の煙 鉛直平板からの自然対流 水平円柱からの自然対流 シリコンオイル液層の下面加熱による自然対流 59 6

16 垂直平板からの自然対流 密度 流体の単位体積あたりの浮力 g g (3.74 (3.75 上昇流 ここで (3.76 体膨張係数 (/K 気体の場合 (3.77 図 3.39 C 73 g 浮力とは 静止流体中にある物体に働く力 g g 静止流体の力のバランス g g g 以上より g g ( g 浮力 境界層静止境界層方程式 ( 重力を考慮, 式 (3.4 参照 g g g g g ( 6 6 基礎方程式ブシネ近似 (Bossins aroimation 温度による密度の変化を, 運動方程式の体積力項にのみ考慮し, 他の項では無視する ( 慣性項では無視 g (3.79 (3.8 (3.78 上昇流 g 自然対流で重要な無次元数 グラスホフ数 (Grashof h f nmbr 局所 3 Gr g (3.8 平均 3 Gr g 浮力と粘性力の比 レイリー数 (Raligh nmbr 局所 3 Ra GrPr g (3.83 平均 3 Ra GrPr g 乱流への遷移 Ra ~

17 65 垂直平板からの自然対流熱伝達の整理式 層流局所ヌセルト数 /4 /4 Pr N 6.6Ra (3.9.5 Pr.33Pr 平均ヌセルト数 /4 /4 Pr N 8.8Ra ( Pr.33Pr /4 4 9 N.59 Ra ( Ra, Pr.7 (3.94 乱流局所ヌセルト数 /5.4 Pr /5 N Gr /3 /5 ( Pr N Ra Ra /3 9.3 ( 平均ヌセルト数 ( 層流から乱流まで /6.387 Ra N.85 (3.a 9/6.49 / Pr 8/7 Ra と Pr の関数 物性値はすべて ( + /に基づく 膜温度 (3. h は に無関係