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1 計算力学技術者 級 ( 熱流体力学分野の解析技術者 ) 認定試験対策講習会 - 3 章 1 熱力学 伝熱学の基礎 -

2 認定レベル 認定を取得した技術者は, 基本的な流体力学, 熱力学 ( 伝熱学を含む ) の問題に対して, 単相の非圧縮性流 / 圧縮性流 / 層流 / 乱流の範囲において正しく解析問題を設定することができ, 解析方法の内容を理解しており, さらに解析結果の信頼性を自分自身で検証することができる. よって, いずれかの信頼のおける CAE ソフトウエアを用いて適切な解析機能を選択しながら, 基本的な熱流体問題を大はずれを出すことなく解けるものと期待できる.

3 1.3( 熱力学 ) の代表的なキーワード 熱量 仕事 理想気体 状態方程式 熱力学の第 1 法則 熱力学の第 法則 内部エネルギー エンタルピー エントロピー 熱機関 熱効率 断熱変化 比熱比 音速 等温変化 サイクル -V 線図

4 問 3-1 1kcal( キロカロリー ) は kj( キロジュール ) 単位で表すとどれだけか kj 3 4. kj 8.3 kj kj

5 カロリーとジュール 1kcal 水 1kg の温度を 1 上昇させるのに要する熱量 1N ( ニュートン ) 国際単位系 SI 質量 1kg の物体を 1m/s で加速する場合の力 1J (=N m) ( ジュール ) 国際単位系 SI 物体に 1N の力を加えてその向きに 1m 動かしたときの仕事 1 kj = 1000 J

6 熱の仕事当量 :Joule の実験 Joule の実験 Joule は図のような装置を用いて, おもりの重力仕事による水の温度上昇を測定し, 系のエネルギーは, 熱だけでなく, 仕事によっても変化することを示し, 従来の単位 (kcal) で表した熱の仕事当量を求めた. 熱の仕事当量 1 kcal = kj

7 答 3-1 1kcal( キロカロリー ) は kj( キロジュール ) 単位で表すとどれだけか kj 3 4. kj 8.3 kj kj 暗記するしかない! SIでは J に統一されている!

8 問 3- 理想気体の状態方程式は次のうちどれか. ここで, は圧力, は密度,R は気体定数, T は温度である. 1 = RT/ 3 = T/R = R/T 4 = RT

9 理想気体の状態方程式 状態方程式 : -V-T 間の関係式 V = nrt n: モル数,R : 普遍気体定数 (R = 8.314J/mol K) V = mrt m: 気体質量,R : 気体定数 ( =R / M) M: 気体のモル質量 ( 分子量 ) V = nrt = nmrt = mrt v = RT v: 比体積 ( =V / m) = RT 密度 ( =m / V)

10 理想気体の状態状態式について 温度一定で気体を圧縮すると圧力が上昇する ( 自転車の空気入れ ) V = const. 圧力一定で気体の温度を下げると体積は小さくなる V T これらのことを考慮すると V = (const.) T の形, つまり = (const.) T と考えられる

11 答 3- 理想気体の状態方程式は次のうちどれか. は圧力, は密度,R は気体定数,T は温度である. 1 = RT/ 3 = T/R = R/T 4 = RT

12 問 3-3 閉じた系に対して加えた熱量 Q が外部になす仕事 W と内部エネルギーの増加 U に変換されることを表す熱力学の法則 Q= W+ U を何と呼ぶか. 1 熱力学の第 0 法則 3 熱力学の第 法則 熱力学の第 1 法則 4 熱力学の第 3 法則

13 熱力学第 0 法則 熱平衡 系 1 と系 3 が熱平衡 系 と系 3 が熱平衡 系 1 と系 は熱平衡 温度計 ( 系 3) の存在

14 熱力学第 1 法則 エネルギー保存則 系に加えられるエネルギー 系から取り出されるエネルギー + 系に蓄えられるエネルギー Q = W + U 微小変化では δq =δw + du 系 Q U W

15 Q W U 熱力学第 1 法則 ( ピストン シリンダー系 ) シリンダー x dv =Adx 熱 Q ピストン 機械的仕事 W 内部エネルギー U 1 U U U U 1 W dv 1

16 答 3-3 閉じた系に対して加えた熱量 Q が外部になす仕事 W と内部エネルギーの増加 U に変換されることを表す熱力学の法則 Q= W+ U を何と呼ぶか. 1 熱力学の第 0 法則 3 熱力学の第 法則 熱力学の第 1 法則 4 熱力学の第 3 法則

17 問 3-5 エンタルピー H の定義は次のうちのどれか. ここで,U は内部エネルギー, は圧力,V は体積,T は温度,S はエントロピーである. 1 H = U + T H = U + V 3 H = U + TV 4 H = U + TS

18 開いた系のエネルギー保存 1 流動系で質量と共に流入する全エネルギー 1 m u v w gz 比内部エネルギ u, 系の温度に関係,du=c v dt 流動仕事, 流動エネルギ,v 流体を系に押込む 押出すために必要な仕事 物質に貯蔵されるエネルギではない. 比エンタルピ h [kj/kg] h=u+v, dh=c dt 理想気体の場合 理想気体の場合 Q 工業仕事 W t m 開い 1,v 1, たw 1,u 1 系,v, w,u z 1 z

19 開いた系のエネルギー保存 流動系のエネルギー保存 Qm h h w w g z z W 運動 位置エネルギを無視できる場合 Q H H W 1 Q 工業仕事 W t m 開い 1,v 1, たw 1,u 1 系,v, w,u 熱力学の第 1 法則 δq = du + dv = dh - Vd 入熱量 内部エネルギ増分 閉じた系 絶対仕事 1 1 開いた系 エンタルピ増分 z 1 z 工業仕事 W dv W vd vd 1 t1 1

20 答 3-5 エンタルピー H の定義は次のうちのどれか. U は内部エネルギー, は圧力,V は体積, T は温度,S はエントロピーである. 1 H = U + T 3 H = U + TV H = U + V 4 H = U + TS

21 問 3-4 閉じた系に対して, 温度 T 一定の下で, 熱量 Q を与えたときのエントロピーの変化を表す法則 S Q / T を何と呼ぶか. 1 熱力学の第 0 法則 3 熱力学の第 法則 熱力学の第 1 法則 4 熱力学の第 3 法則

22 熱力学第 法則 系の変化の方向を示す 熱は温度の高い方から温度の低い方に伝わる エントロピーの法則 ds = δq rev / T ds δq/ T 可逆変化の場合 不可逆変化の場合 ( 等号は可逆変化の時 ) ds = (δq/ T ) + ds gen ds gen 0 熱の出入りによるエントロピー輸送 不可逆性によるエントロピー生成

23 熱力学第 法則から導かれる式 可逆変化の時 ds = δq rev / T 可逆断熱変化では ds = 0 温度 T で 熱量 δq rev が系に流入した時 系のエントロピーが ds だけ増減する 変形すると δq rev = TdS 可逆変化が自明の時 rev を省略 δq= TdS, δq= Tds 熱力学の第 法則から導かれるエントロピーの式

24 エントロピーとは? 可逆過程 マクロな熱力学によるエントロピーの定義 S Q T 可逆 ミクロな統計力学 S k lnw Q T ミクロな状態の数 W Q TdS 1 S1 S S S S 1 可逆なカルノーサイクル Q1 Q 0 T T 1

25 エントロピーとは? 不可逆過程 温度の異なる つの物体 A と B を接触させると ( 仕事をさせずに ), S A Q T A 0 T A A と B の熱容量が等しい時 T C T A T B Q S B Q T B 0 T B 平衡状態へ T C T A T B TA T B のとき S S A S B Q T A Q T B 0 S 0 ( 最大 )

26 答 3-4 閉じた系に対して温度 T 一定の下で熱量 Q を与えたときのエントロピーの変化を表す法則 S Q / T を何と呼ぶか. 1 熱力学の第 0 法則 3 熱力学の第 法則 熱力学の第 1 法則 4 熱力学の第 3 法則

27 熱力学第 3 法則 絶対零度でエントロピーはゼロになる 絶対エントロピー 系のエントロピーに関しては, 相対値ではなく絶対値を求めることができる.

28 状態量 熱力学的平衡状態にある系の状態を記述する物理量温度 T 圧力 体積 V 密度 内部エネルギー U エンタルピー H エントロピー S 等

29 示量性状態量と示強性状態量 示量性状態量 体積 V 内部エネルギー U エンタルピー H エントロピー S 系 A V A, T A 系 A V A, T A 示強性状態量 温度 T 圧力 密度 系 A V A = V A +V A T A =T A

30 ペアになる状態量 圧力 と体積 V 温度 T とエントロピー S V or dv TS or TdS V, TS ともにエネルギーの単位 ( 示強性状態量 ) ( 示量性状態量 ) 熱力学の第 法則 熱力学の第 1 法則 ( 微小変化 ) δq = du +δw TdS = du + dv = dh - Vd

31 問 3-6 図に示すように, 高温熱源 1から熱量 Q 1 をもらい低温熱源 に熱量 Q を捨てて外部に仕事 W するサイクル ( 熱機関 ) がある. このサイクルの効率 は次のどれか. 1 = Q 1 / W = Q / W Q 1 熱源 1 3 = W / Q 1 4 = W / Q Q W 熱源

32 熱機関の熱効率 サイクル ( 熱機関 ) は系に熱を加えて, 仕事を取り出すことを目的としていることが多い. 加えた熱量に対して, どのくらい多くの仕事を取り出せたか がサイクル ( 熱機関 ) の性能評価と考えられる. 高温熱源 1 Q 1 Q 低温熱源 W = W / Q 1 = (Q 1 - Q )/Q 1 = 1- Q /Q 1 ( エネルギー保存則 :Q 1 = W + Q )

33 冷凍サイクルの成績係数 冷凍サイクルは系に仕事を加えて, 熱源 ( 冷蔵庫 ) から熱を奪い取ることを目的としている. 加えた仕事に対して, どのくらい多くの熱量を奪い取ることができたか が冷凍サイクルの性能評価と考えられる. 成績係数 高温熱源 1 Q 1 Q 低温熱源 W COP = Q / W (Q 1 = W + Q )

34 答 3-6 図に示すように, 高温熱源 1から熱量 Q 1 をもらい低温熱源 に熱量 Q を捨てて外部に仕事 W するサイクル ( 熱機関 ) がある. このサイクルの効率 は次のどれか. 1 = Q 1 / W = Q / W 高温熱源 1 Q 1 3 = W / Q 1 4 = W / Q Q 低温熱源 W

35 熱機関の原理 ( 永久機関とは?) 熱機関 高温熱源 T 1 ヒートポンプ 冷凍機 高温熱源 T 1 系 Q 1 Q 低温熱源 T W Q 1 Q 1 Q 1 機械的仕事 熱力学の第 1 法則 : エネルギーの保存 熱力学の第 法則 : 効率の限界 熱効率 W W Q 1 Q T ( 1 T 1 T 1 Q T1 1 系 低温熱源 T 第 1 種の永久機関矛盾第 種の永久機関 カルノーサイクル) Q 1 Q

36 S 1 S 熱機関とエントロピー 可逆サイクル 不可逆サイクル 高温熱源 T 1 高温熱源 T 1 Q 1 Q S 1 W S ' Q 1 S gen 低温熱源 T 低温熱源 T W' Q ' 熱機関では熱量とエントロピーを高温熱源から受取り, 低温熱源へ排出し, 仕事を取出す. 不可逆現象が生じると系内でエントロピ生成 (S gen >0) があるが, 系のエントロピ変化は 0 なので, このエントロピ生成分を排出するために廃熱が増え, その分仕事が減る. 系内のエントロピ変化は 0 であり, 不可逆過程を含むと熱源を含む全系のエントロピは増加する. 第 1 法則 :Q 1 =W+Q 第 法則 : 系では S=Q 1 /T 1 -Q /T =0, 全系では S total =-Q 1 /T 1 + S + Q /T = 0 高温熱源サイクル内低温熱源 第 1 法則 :Q 1 =W'+Q ' 第 法則 : 系では S=Q 1 /T 1 +S gen -Q '/T =0, 全系では S total =-Q 1 /T 1 +S+Q '/T = S gen =(Q '-Q )/T =(W-W')/T > 0

37 問 3-7 理想気体が断熱変化するとき状態変化を表す式は次のどれか. は圧力, は密度,R は気体定数, は比熱比,T は温度である. 1 / = const. T = const. 1 3 / -1 = const. 4 T = const.

38 可逆変化における状態量変化 du = q - w du=tds dv 熱力学の第 法則のエントロピーの式 h = u + v dh = du + d(v) = Tds - dv + dv + vd dh = Tds + vd 理想気体の場合 c v dt=tds dv (du =c v dt) 理想気体の場合 c dt=tds + vd (dh = c dt)

39 状態変化のまとめ ( 単位質量当たり ) 熱力学の第 1 法則 ( 微小変化 )+ 第 法則 δq = du +δw Tds = du + dv = dh - vd du = Tds - dv, dh = Tds + vd 理想気体の場合 du = c v dt u = c v T dh = c dt h = c T c -c v = R, c =γr/(γ-1), c v =R/(γ-1) dh = du + d (v) =du + RdT c dt = c v dt+rdt (dt を消去すれば上式 ) は比熱比

40 可逆断熱変化 ( 等エントロピー変化 ) 理想気体の場合 ds = 0 du=c v dt=tds dv dh=c dt=tds + vd c v dt= - dv (ds=0) c dt= vd (ds=0) c / c v = c = c v c v dt= -dv)= vd dv+ vd = 0 d/ + dv/v = 0 log + log v = const. log v = const. v = const. / = const. = RT T 1 = const.

41 別の導出方法 可逆断熱変化 ( 等エントロピー変化 ) 可逆断熱変化では ds = 0 なので du = Tds - dv 理想気体の場合 c v c T c v v dt dt lnt Tv v R dv v R ln v 1 dv const. const. RT v ( c dv c v )ln v ( c c c v v ) 1

42 答 3-7 理想気体が断熱変化するとき状態変化を表す式は次のどれか. は圧力, は密度,R は気体定数, は比熱比,T は温度である. 1 / = const. T = const. 1 3 / -1 = const. 4 T = const.

43 問 3-8 理想気体の断熱音速 a を表す式は次のうちどれか. は圧力,R は気体定数, は比熱比,T は温度である. 1 3 a RT a RT 1 a ( 1)RT 4 a RT

44 音速 微小圧力じょう乱の伝播速度 微小変化であることから, 等エントロピー変化 ( 可逆断熱変化 ) と考えることができる v C C C const. 音速 a の定義式 a ( ) s RT では, =1.4, R=87 [J/(kg K)] a = 347. m/s

45 音速の導出 1 次元的な微小擾乱波面が速度 a で進行 波面に固定した座標系 連続の式 a 0 運動量保存の式 a 0 a ad dw d da d a dw a ad dw ddw d da adw ( dw) d a da adw adw 二つの式から dw を消去して整理すると a 速度 a 圧力 密度 エントロヒ s a ad dw 波面 a + dw + d + d s + ds 音波の波面を通る流れ d da dw 0 d da a( ad) d da dw/a 1, 微小擾乱 a d d

46 音速の導出 音波を通過する時のエントロピー変化 s ds s c ln 1 c ln 1 0 音速 a の定義式 v d a ( ) s d d/ 1, d/ 1 理想気体の等エントロピ変化では v a C const. C S C 1 RT ( RT ) C

47 答 3-8 理想気体の断熱音速 a を表す式は次のうちどれか. は圧力,R は気体定数, は比熱比,T は温度である. 1 3 a RT a RT 1 a ( 1)RT 4 a RT

48 問 3-9 V 線図上で理想気体の等温変化はどのように図示されるか. 1 V V 3 4 V V

49 可逆変化 ( 理想気体 ) 等温変化 (dt=0) 等圧変化 (d=0) v v du w RT or const. c dt q v q RT w 0 v RT or RT dh du d( v) q vd q 加えた熱量 = 取り出す仕事

50 答 3-9 V 線図上で理想気体の等温変化はどのように図示されるか. 1 V V 3 4 T: 大 V=const. 双曲線 V V

51 問 3-10 図に示すサイクルのなす仕事を表す図はどれか. 1 V V V 3 4 V V

52 仕事 準静的過程 ( 可逆過程 ) = ext ext W ext dv dv W 1 a a dv 図の青色部の面積が仕事を表す. 仕事は状態量ではない! a W 1--> a v

53 仕事 1 a 過程 a(1 ) W a W a dv 1 過程 b( 1) 1 b v W dv b W b 1 サイクルの仕事 W W 1 a W b W a dv W b 1 b W b W W b a v v

54 答 3-10 図に示すサイクルのなす仕事を表す図はどれか. 1 V V V 3 4 V V