構造物のトポロジー最適化について東京大学藤井大地

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やすはるひろもり
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1 構造物のトポロジー最適化について東京大学藤井大地

2 講演内容力学教育, 設計教育に用いることを目的として開発した骨組, 連続体の位相最適化ツールについて位相最適化における問題点とその解決法について位相最適化に関するその他の研究について

3 本日の発表資料は下記に掲載書き物の中にあります

4 力学系科目の衰退構造力学系の科目の削減構造力学構造解析学骨組, トラスの解法有限要素法なぜ構造力学が衰退したか? 解析ソフトの発達で手計算で問題を解く必要がなくなった学生にとって魅力ある講義が行われていない

5 建築学科の現状建築士の試験があるので, 他の学科に比較すると構造力学教育に力を入れているしかし, 全体から見ると, 構造系は, 計画系, 環境系に押されて縮小されてきている学生の人気は計画系, 環境系に傾き, 構造系への志望学生が年々減少している力学の講義は一般に難しいと思われて敬遠される

6 魅力ある力学教育の必要性コンピュータによる解析は万能ではない! 結果が正しいかどうかの判断は人間が下す必要があるそのためには, 力学的センスを身につけることが重要学生に自然に興味を抱かせるような魅力ある力学教育が必要

7 力学教育のツール簡単な実験理解しやすい実験機材にコストがかかる教える側の準備がかなり大変コンピュータソフト教える側の負担は少ない学生も興味をもつ力学を教えることのできる簡単なソフトは少ない意外にコストがかかる

8 本研究の目的力学とデザインを結びつけるようなソフト学生の興味を引きつけるようなソフト大学の講義演習等で使えるソフトやってみたいと思い立ったらすぐに使えるソフトそういうソフトの開発!

9 本研究の開発ソフト骨組構造の位相最適化ソフト (Otto) 2 次元連続体の位相最適化ソフト (Isler) 3 次元連続体の位相最適化ソフト (Gaud)

10 Otto の位相最適化手法 - グランドストラクチャー法 - 節点配置グランドストラクチャー最適位相

11 Isler の位相最適化手法 - 均質化設計法 - マクロ構造ミクロ構造 x 2 a b x 1 y 2 1 y 1 θ Unt cell

12 Gaud の位相最適化手法 - 密度法ー Element ρ = 1.0 ρ = 0 ρ = 0.5

13 位相を求める問題から入る以下の設計領域, 荷重, 境界条件が与えられたとき, 重量以下で, より変形の小さい構造物を作れ?

14 最初は思考錯誤例えば, 最初は骨組構造で考える

15 解析ソフトで設計の良否を検討変位を比較して互いに競争させる変位図 (Otto)

16 応力の概念も武器に使わせる軸力図曲げモーメント図 Otto による結果表示

17 さらに最適化ツールを使う Otto の解析結果

18 本当にそうなのか確かめる変位図

19 応力の観点からも考察する軸力図曲げモーメント図

20 連続体への拡張でデザインへデザインのセンスも身に付く? Isler の解析例

21 キャドを使ってデザイン Power Pont でもこの程度はできる

22 光造形システムを使って実験も

23 3 次元だともっと面白いデザイン? Gaud の解析結果

24 建築デザインにも応用可能門形ラーメンの最適なカタチは? w 0.2w 50cm b Desgn doman 50cm fxed fxed c 50cm

25 こんな形なんだ! Gaud による解析結果

26 こんなラーメン構造もあり?

27 こんなラーメンもありえる Gaud による解析結果

28 Gaud のような建築家が育つ? グエル公園内の立体道路 ( ガウディー ) 柱は傾いている!

29 連続体の位相最適化手法

30 位相最適化とは??

31 材料の ON/OFF 問題

32 位相最適化の手法連続緩和法 ( 整数条件の緩和 ) 均質化設計法 ( ミクロ的な材料のON/OFF) 密度法 ( 材料定数が密度のべき乗に比例 ) グランドストラクチャー法離散最適化問題として解く方法遺伝的アルゴリズムを利用した方法セルオートマトンを利用した方法 ESO 法 (Evolutonary Structural Optmzaton)

33 連続緩和法の利点と欠点過去の優れた最適化問題の解法を利用することができる局所最適解の可能性はあるが必ず最適解が求まる大規模問題も容易に解くことができる数学的知識が必要で, 学生がとっつきにくい多峰性の問題への適用が難しい

34 離散最適化法の利点と欠点ヒューリスティックな方法は, ルールが単純で, 数学がわからなくてもよい自然にあるものが最適形態をもっているとすれば, 生命科学にヒントを得たアルゴリズムを適用することは自然である感度計算の必要がなく, 多峰性の問題に適用可能である最適解かどうかの理論的保証がない大規模問題への適用が難しい

35 なぜ連続緩和法か? ヒューリスティックな方向に流れすぎているのではないか? ヒューリスティックな方法は結局膨大な時間がかかる? ヒューリスティックな方法は, 理論的な保証がないため論文になりにくい?

36 連続緩和法の問題点連続緩和したために, 材料のON/OFFだけでなく,ONとOFFの中間的な材料が最適解に現れる低自由度の要素を用いた場合, チェッカーボード状の密度分布が求まるフィルタリング法の導入

37 均質化設計法 (HDM) マクロ構造ミクロ構造 x 2 a b x 1 y 2 1 y 1 θ Unt cell 質量制約条件下で歪みエネルギーの最小化

38 均質化設計法の解グレースケールチェッカーボード

39 密度法 Element ρ =1.0 K e ρ = ρ K ( ) 2 e ρ = 0 ρ = 0.5 質量制約条件下で歪みエネルギーの最小化

40 密度法の解チェッカーボード

41 フィルタリングの効果 (HDM)

42 フィルタリングの効果 ( 密度法 )

43 重力制御関数 N N N m N ( ρ ρ ρ ρ ) G = g m = + m j j = 1 = 1 = 1 j= 1 = 1 ρ = 1 ab, ρ = 1 ρ, 0< G 1 m = 4 g = 4 g = 3 g = 2 g = 1 g = 0 g = 0.25 g = 0.5 g = 0.75 g = 1 g = 1 g = 1 g = 1 g = 1 g = 1 g = g = 0.75 g = g = 0.5 g = 0 g = 1 g = 2 g = 3 g = 4 g = , 0.5, 1gravty control g g = 2.5 g = 1.75 g = 1

44 フィルタリングの導入法 (HDM) = 1 ( α ) = UKU α = { } mn C α a1, a2,, an, b1, b2,, b subject to : N ( ) W = 1 ab W, 0 α 1, = 1,,2N N G G 制約条件として加えるただし, G m N ( α) = ρρ + ( 1 ρ)( 1 ρ ) j j = 1 j= 1 = 1 N m

45 最適化問題の解法最適性規準法 (OC) 設計変数の数に依らず収束が速い目的関数によっては収束解が得られない場合がある制約条件の扱いが煩雑逐次線形計画法 (SLP) 局所解を見つけやすい対称解析でも対称な解が得られない制約条件の扱いが簡単で, 収束に関するロバスト性が高い汎用サブルーチンを利用できる CONLIN 設計変数と設計変数の逆数でテーラー展開した問題を双対法を用いて解く方法であり, 収束が速く, 汎用性がある現在導入を検討中

46 最適性規準法による解法ラグラジアンの定義 N L C ab W g G G = 1 ( α ) = ( α ) Λ ( 1 ) Λ ( α ) 歪みエネルギーの 2 倍 ( 平均コンフライアンス ) 質量制約条件 ( ) 重力制御関数制約条件 α= { a, a,, a, b, b,, b } 1 2 N 1 2 N a b : 各要素のミクロ構造ユニットセルの穴の大きさ穴の角度 θ は要素中心の応力の主軸方向 1 θ

47 最適性規準から得られる更新式ラグラジアン最小化の条件 ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) N N N C G C G δl( α ) = + bλ+ Λgδa + + aλ+ Λgδb ( 1 ab ) WδΛ ( G G( α )) δλg = 0 = 1 a a = 1 b b = 1 a G ( k ) ( α ) ( k) ( k ) ( k) b Λ + Λ ( k ) g ( k+ 1) a ( k) = a C b ( k ) ( α ) a ( k ) ( k+ ) β G ( k ) ( α ) ( k) ( k ) ( k) a Λ + Λ ( k ) g 1 b ( k) = b C ( k ) ( α ) b ( k ) Λ ( k+ 1) ( k) ( k) ( k) ( ) β N 1 = 1 a W = 1 b Λ g β ( k+ 1) Λ G = ( k ) G( α ) β Λ g ( k)

48 更新式の導出法 ( ) ( ) 0 g C G b a a Λ Λ + + = α α α α α α α α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) k k k k g k k k k k G b a a a C a β Λ Λ + + = α α ( ) ( ) ( ) ( ) 1 g k k G b a C a Λ Λ + = α α ( ) ( ) ( ) ( ) g k k G b a a a C a β Λ Λ + = α α β: 更新幅を制御するべき乗係数

49 変数制約条件の考慮 ( ) 0 a 1, 0 b 1 = 1,, N, Λ 0, Λ 0 g a b Λ Λ { } ( k + 1 ) ( k ) = { sa } mn max 0,, 1 { } ( k + 1 ) ( k ) = { sb } mn max 0,, 1 N 1 = mn 0, 1 a ms = 1 ( k+ 1) ( k) ( k) ( k) ( ) g ( k+ 1) β G ( k) = mn 0, Λ ( k ) g G( α ) b β Λ ただし, s s ( k ) a ( k ) b b = a = ( k) ( k ) Λ G + a C ( k ) ( α ) ( k) ( k ) ( α ) a ( k ) G ( k ) ( α ) ( k ) ( α ) Λ ( k) ( k ) ( k) Λ + Λ ( k ) g b C b ( k ) g β β a ( k ) b ( k )

50 設計変数のムーブリミット a ( k+ 1) ( k) sa b ( k ) {( ζ ) a } max 1,0 = mn 1 +,1 ( k+ 1) ( k) sb ( k ) {( ζ ) a } ( k ) {( ζ ) b } max 1,0 = mn 1 +,1 ( k ) {( ζ ) b } k {( ζ ) a } {( ζ ) } ( + ζ ) ( k) ( k) {( + ζ ) a } sa ( k) ( ) a f s max 1,0 { } ( k) ( k) ( k) a f max 1 a,0 s mn 1 a,1 f mn 1,1 k {( ζ ) b } {( ζ ) } ( + ζ ) ( k) ( k) {( + ζ ) b } sb ( k) ( ) b f s max 1,0 { } ( k) ( k) ( k) b f max 1 b,0 s mn 1 b,1 f mn 1,1 ζ : 設計変数の変動幅を制約するムーブリミット

51 各ステップ内での更新 s s ( k+ 1) a ( k+ 1) b b = = a ( k) ( k + 1) ( ( k ) α ) ( k 1) G Λ + Λ + g a C ( k ) ( ( k ) α ) a ( k ) G ( ( k ) α ) ( k) ( k+ 1) ( k 1) Λ + Λ + ( k ) g b C ( ( k ) α ) b ( k ) 制約条件をアクティブにするただし, 感度係数は更新しない β β a b ( k ) ( k )

52 最適性規準法のパラメータ更新式のべき乗係数 β 設計変数のムーブリミット ζ 設計変数, ラグランジェ乗数の更新回数感度係数を更新する外側ループの繰返し数感度係数を更新しない内側ループの繰返し数 β = 0.25, ζ = 0.1 外側ループの繰返し数 40 回内側ループの繰返し数 Λ に関しては100 回 Λ g に関しては5 回

53 解析例 (MBB はり ) L /6 L /150 L

54 フィルタリングの効果 (HDM) (a) G = 0, G = 0.73 (c) G = 0.85, G = 0.89, C/ C = (b) G = 0.8, G = 0.87, C/ C = (d) G = 0.90, G = 0.90, C/ C =

55 (a) m = 0.3, G = 0.85, G = 0.85, C/ C = 1.05 S 0 (b) m = 0.4, G = 0.85, G = 0.87, C/ C = 1.08 S 0 (c) m = 0.5, G = 0.85, G = 0.89, C/ C = 1.08 S 0 (d) m = 0.6, G = 0.8, G = 0.89, C/ C = 1.03 S 0

56 フィルタリングの効果 ( 密度法 ) (a) G = 0, G = 0.61, m = 0.50 (b) G = 0.75, G = 0.84, m = 0.50, C/ C0 = 1.04 (c) G = 0.8, G = 0.88, m = 0.50, C/ C =

57 (a) m = 0.3, m= 0.30, G = 0.9, G = 0.89, C/ C = 1.49 S 0 (b) m = 0.4, m= 0.40, G = 0.80, G = 0.86, C/ C = 1.10 S 0 (c) m = 0.5, m= 0.50, G = 0.75, G = 0.84, C/ C = 1.04 S 0 (d) m = 0.6, m= 0.60, G = 0.75, G = 0.84, C/ C = 1.02 S 0

58 弾性変形機構の位相最適化ツール

59 弾性変形機構とは? 弾性変形機構は, 従来の剛性を最大化する構造とは逆に, 変形を生み出す構造形態であり, 柔軟性が要求される構造を設計する上で重要となる現在, マイクロ構造のメカニズムの設計等にニーズがある

60 絶対変位の最大化と相対変位の最大化 Extend desgn doman Ω A B (a) (c) (b) (d)

61 位相最適化のための境界条件と荷重条件 F A A Extend desgn doman Ω Extend desgn doman Ω B B 1 CASE 1 CASE 2 F A A Extend desgn doman Ω B Extend desgn doman Ω B 1 CASE 3 CASE 4

62 目的関数 Maxmze L L ( u ) L ( u ) ( u ) + L ( u ) (A 点から入力する仕事量と B 点から出力される仕事量の比 ) ( ) G ε ( ) ( ) G ε ( ) ε ( ) G ε ( ) ( ) G ε { } L( u ) = F u = ε u D u dω ( A) Ω L ( u ) = 1 u = ε u D u dω ( B) Ω L ( u ) = F u = u D u dω ( A) Ω ( ) L ( u ) = 1 u = ε u D u dω ( B) Ω

63 最適化問題の定式化 Maxmze C X = X ( X) ( u ( X) ) L u ( X) u ( X) + L u X ( ) ( ) ( ( )) = { a,, a, b,, b, θ,, θ } 1 N 1 N 1 N ( X) ( ) subject to W = 1 ab W L L N = , ( = 1,, ) a b N

64 均質化設計法の適用 Extend desgn doman Ω A B x 2 a b x 1 y 2 1 θ y 1 Unt cell

65 解析例 1 F =1 A Extend desgn doman Ω B

66 解析例 2 60 Extend desgn doman Ω 30 CASE 1 CASE 2 B CASE 3 F =1 A 30 Case1 Case2 Case3

67 解析例 3 F = Extend desgn doman Ω B A CASE 4 Case2 CASE 1 CASE 3 CASE 2 Case3 Case1 Case4

68 材料の内部構造の位相最適化ツール

69 研究の背景光造形法等により製造技術の革命的進歩が起こっている将来このような製造技術を用いて様々な新しい複合材料を開発できる可能性がある

70 光造形システム

71 複合材板のミクロ構造の設計 x 2 x 1 A macrostructure y 2 1 y 1 1 Desgn doman (Unt cell) Phase A materal Phase B materal Phase C materal Perodc mcrostructures

72 複合材板の材料最適設計 t=0.01m 1kN/m t=0.01m 1m 1m 1m E (GPa) ν Gray Materal Cast Epoxy resn Black Materal E-Glass Fber Whte Materal Vod

73 2 種材料の最適位相

74 3 種材料の最適位相

75 応用の可能性環境に優しい材料の開発剛性を落とさずにリサイクル不可能材を吸収熱による変形が生じない材料

76 まとめ力学, 設計教育に利用することを目的とした位相最適化ツールの開発について紹介した連続体の位相最適化における問題点とフィルタリング法を用いる解決法について示した位相最適化に関する他の研究として弾性変形機構, および材料の内部構造の位相を求める方法を示した Otto, Isler, Gaud については Web で公開中

位相最適化?

均質化設計法藤井大地 ( 東京大学 ) 位相最適化? 従来の考え方境界形状を変化させて最適な形状位相を求める Γ t Ω b Γ D 境界形状を変化させる問題点解析が進むにつれて, 有限要素メッシュが異形になり, 再メッシュが必要になる位相が変化する問題への適応が難しい Γ Γ t t Ω b Ω b Γ D Γ D 領域の拡張と特性関数の導入 χ Ω ( x) = f 0 f x Ω x

構造物のトポロジー最適化 について 東京大学藤井大地

構造物のトポロジー最適化について東京大学藤井大地