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1 統合自然科学科 量子力学 I - まとめと図表 - 教養学部統合自然科学科 ( 物質基礎科学コース ) 前田京剛 (MED tsutaka) 科目番号 :08E1015/1109/ 年冬学期月曜 3 限 109 教室 前田研究室 HP:

2 電子の世界 - 荷電粒子としての電子 - (Photo: Wkpeda) (Photo: Wkpeda) 電子の発見 Sr Joseph John Thomson (England) ( ) 電場 磁場によって曲げられる エーテルではない 比電荷がわかる e m 11 C/kg e m Robert Mllkan (merca) ( ) C kg 電気素量の決定 電荷は不連続 (Pcture: Wkpeda) (Photo: Wkpeda) (R. Mllkan: Phys. Rev. (1913) 109 bd. ser. 1 3 (1911) 349.)

3 光の世界 - 電磁波としての光 - (Photo: Wkpeda) Thomas Young (England) ( ) 光は干渉する (1805 頃 ) 光は波動である James Clerk Maxwell (Scotland) ( ) (Cambrdge Unv 初代実験物理学教授 ) 光は電磁波である 1864 Maxwell が予言 1888 Herz が実験で確認 Henrch Rudolf Herz (Gernmany) ( )

4 黒体放射 Wkpeda: プランクの法則

5 黒体放射の解釈をめぐって (Photo: Wkpeda) エネルギー量子の発見 h John Wllam Strutt Lord Laylegh (England) ( ) Sr James Hopwood Jeans (England) ( ) 8 c T d k Td 3 B Wlhelm Carl Werter Otto Frtz Franz Wen (Germany) ( ) c d k e / T T B d Max Karl Ernst Ludwg Planck (Germany) ( ) 8 3 c T d d / k T e hv B hv 1 純粋に波純粋に粒子波と粒子の 折衷 h Js

6 光電効果と光量子仮説 (Photo: Wkpeda) Lenard 詳細な実験研究 Ensten Mllkan 光量子仮説 (1905) E h P Phlpp Eduard nton von Lenard ( )(Hungary-Germany) lbert Ensten ( ) 年に及ぶ光量子仮説の検証実験 プランク定数の決定 (1916) h Js R. Mllkan: Phys. Rev. 7 (1916) 18 bd 光の粒子性が直接示された

7 コンプトン効果 c. H. Compton: Phys. Rev. 1 (193) cos h mc c 0.04 : Compton wavelength rthur Holly Compton (merca) ( ) (Photo: Wkpeda) p E c 光はこの運動量を持つことを実証 光の粒子性を確固たるものにした

8 物質 ( 粒子 ) の波動性 de Brogle の予言 (194) 電子線の回折現象の発見 菊池正士 (Photo: Wkpeda) h p 粒子 p k E C. Davsson and L. Germer (197) N 単結晶 G. P. Thomson (198) 多結晶 (198) 雲母 C. Davsson and L. H. Germer: Phys. Rev. 30 (197) 705. 波 h / k 1 Lous-Vctor Perre Raymond 7e duc de Brogle (France) ( ) 菊池パターン Clnton Joseph Davsson (merca) ( ) Lester Halbert Germer (merca) ( ) George Paget Thomson (England) 菊池正士 ( 日本 ) ( ) ( )

9 原子のスペクトル (Photo: Wkpeda) Lne spectra of hydrogen Vsble: Balmer seres (1885) Johann Jakob Balmer (Swtzerland) ( ) 9 5 f 16 1 f 5 1 f 36 3 f f n n 4 f n 3 456

10 原子のスペクトルと前期量子論 (Photo: Wkpeda) Rydberg-Rtz combnaton rule (1890) R m n Interpretaton by Old quantum theory (N. Bohr) (1913) 定常波が生き残る条件 pqd q nh h E W n W m W n 1 n hcr n : 量子数 Johannes Rydberg (Sweden) ( ) Nels Henrk Davd Bohr (Denmark) ( ) a H h 4 me 0.58 ボーア半径

11 波動性と粒子性 不確定性と相補性 (Photo: Wkpeda) Ensten de Brogle relaton 粒子波 p k E h / k 1 Uncertanty prncple (W. Hesenberg) (197) 正準共役な物理量の両方の値を 正確かつ同時に決定する事は不可能である Werner Karl Hesenberg (Germany) ( ) x p J x x t E 位置と運動量 角度と角運動量 時間エネルギー Complementary prncple (N. Bohr) (198) 原子スケールの現象は古典力学で要求される完全さで記述することはできない (ex) 二重スリットの実験 量子の世界を波束で表現 r t 波動関数 (Photo: Tonomura Group)

12 波束 (wave packet) 現実の波 : 時間的 空間的な広がりは有限 u(x) x 波束は 無限個の正弦波 ( 三角関数 ) の重ね合わせで表現できる (Fourer 積分 ) u x c k ) kx kx ( ) ( e dk c( k) u( x) e dx x : 実空間での波束の拡がり 1 (Fourer 級数の 非周期関数への拡張 ) 十分滑らかな関数 u( x) u( ) u( ) 0) x k k : 波数空間での拡がり 1 振動と波動 ( 吉岡大二郎 )( 東大出版会 ) t : 実時間での波束の拡がり 1 t : 周波数空間での拡がり (( 古典的 ) 不確定性 ) 両辺にプランク定数 をかければ 量子論の不確定性関係 波束は 群速度で伝わる ( 情報も然り ) 群速度 : 位相速度 : d v g dk v k

13 Schroednger 方程式 p E V r m t E p k r t の満たすべき微分方程式 E. Schroednger: nn. Physk 79 (196) (196) 109. 要請 : 線型 係数には普遍定数のみを含む f (krt ) r t e r k t (Photo: Wkpeda) ハミルトニアン H V r m H t t r t r t ( 時間に依存する ) Schroednger 方程式 Erwn Schroednger (ustra) ( ) 波動関数の解釈 (M. Born) (196) M. Born:. Physk 37 (196) 863 Nature 119 (197) 354. * t : 確率密度 P r 規格化 3 r t d r 1 Max Born (Germany - UK) ( )

14 定常状態ポテンシャルが時間に依らなければ Et / H m エネルギー固有値 エネルギー固有関数 E V (r) r 与えられた H に対して H r r t E r r t e r t E r t ( 時間に依存しない ) Schroednger 方程式 で表わされる状態 : 定常状態 ( 確率密度が時間に依らない ) E を求める : 固有値問題 定常状態の簡単な例 (1): 剛体壁ではさまれた電子 ( 壁の間隔 a) 量子数 n 固有関数 エネルギー固有値 n a x / a 1/ sn x E n m a n 定在波型 離散的 定常状態の簡単な例 (): 自由電子 量子数 k 固有関数エネルギー固有値 x E kx Ne m k k 進行波型 連続的

15 量子力学の基本的前提 前提 I 前提 II 前提 III 前提 IV 微視的実体の状態は 一般に 複素の波動関数で完全に記述される 微視的実体が時刻 tに空間の点 rの近傍の体積要素 dv 中に粒子を見出す 確率をPdVとすると * P r t * * 確率流密度 : S m 連続の式 : Pr t dvsr t 0 t 力学量には演算子が対応し それは線型演算子である 測定結果は一般には確率的であるため 期待値で表わされる F * 3 r tf r td r 前提 V 定理 I 定理 II 粒子的記述での力学量 F が特定の値 a をとりうるような状態にあるとき この力学量の期待値は a と一致する 波動関数で記述される状態にある微視的実体について 力学量 F が特定の値 a をとりうるとき r t a r t F ある力学量が特定の値 a をとるような状態にあるとき その波動関数は上記の偏微分方程式の a を固有値とする固有関数である

16 可能な状態 : 固有状態のどれか もしくは その重ね合わせの状態と考えられる Ehrenfest の定理 : ポテンシャルが波束の拡がり程度ではほとんど変化しない場合 波束の運動は対応する古典的粒子の運動と一致する 要請 I 力学量 F に対する演算子の固有値は全て実数でなければならない 従って 演算子はエルミート演算子でなければならない * 3 F d r F d * 3 r * 3 F d r * F d 3 r * 定理 III エルミート演算子の固有値は実数である

17 規格化直交関数系 完全性 関数の内積 : * r tr t d 3 r 0 : と は直交している エルミート演算子の固有関数系は直交系をなす 完全性 : 任意の状態関数を固有関数の重ねあわせで表現することができる r t c ( t) r t r t c ( t) r td s s s 離散固有値 連続固有値 * 完全性の別の表現 r' r r r' 物理量の期待値 c F a c F c a c : 固有値 a が実現する確率

18 直交関数系と線型ベクトル空間 (Photo: Wkpeda) ヒルベルト空間 : 無限次元の関数ベクトル空間 c 特定の 対応する c ノルム : の組 : の基底 の組 : の表現 bra vector ket vector (Drac Quantum Mechancs ) : a : a ket vector bra vector Davd Hlbert (Germany) ( ) d 3 r F 3 F d r F 1 基底の変換が自由にできる Paul dren Maurce Drac (UK) ( )

19 行列形式 ( 行列力学 ) W. Hesenberg: Z. Physk 33 (195) 879. M. Born W. Hesenberg and P. Jordan: Z. Physk 35 (195) 557. c E. Schroednger: nn. Physk 79 (196) 734. * ck klc l kl k l k l c k kl a cl j 演算子 行列 kl a kl cl 0 kl a kl cl 0 ' l T l l T 1 lj T kl : untary matrx T kl Schroednger 方程式の固有値問題 行列の固有値問題 ( 基底の変換による対角化 ) j ' 内包する情報は完全に同じ 基底の変換行列はユニタリー行列 行列力学と波動力学は全く等価

20 交換関係と不確定性原理 ] [ B B B 交換子 (commutator) は同時に確定値を取りうるが可換 B B C B C B ] [ B B B B B ) ( 同時対角化可能 行列力学の言葉では 交換関係 (commutaton relaton)

21 量子力学系の時間発展 Schrodnger 表示演算子 : 時間変化しない波動関数 : 時間変化する両表示間の変換 Hesenbert 表示演算子 : 時間変化する波動関数 : 時間変化しない ) ( t S S H H t ) ( 波動関数 :Schrodnger 方程式に従う ( これまでやってきた表現方法 ) ) ( 1 ) ( H t dt t d H H Hesenberg の運動方程式保存系では H H H H S 期待値は表示によらないハミルトニアンと可換な演算子の期待値は時間的に不変 ) ( ) ( t e t H Ht S r r ) ( Ht S Ht H e e t

22 一次元井戸型ポテンシャル中の電子 ( 定常状態 ) V E 0 : 束縛状態 ( V0 E 0) V ( x) V ( x) のとき 波動関数はevenまたはoddのパリティーを持つ エネルギーはとびとびの値をとるポテンシャルが深くなると状態の数も増加 -a/ 0 a/ x 最低エネルギー状態は偶パリティー 波動関数は遠方で指数関数的にゼロに減少 ポテンシャルバリア内にも波動関数の染み出しがある : トンネル効果 E 0 : 散乱問題 ( 量子力学 I ではやらない ) -V 0 エネルギーは連続的に分布する ポテンシャルを感じて 波動関数の位相がずれる 一次元の分子と結晶 (Photos: Wkpeda) 分子 結晶 波動関数の重なりにより エネルギーが分裂 ( 結合性軌道 反結合性軌道 ) エネルギーはバンド構造をとる (F. Bloch) 物性物理学 III 物質の電気的性質を見事にシンプルに説明 : 量子力学の大きな成果 Felx Bloch ( )

23 一次元調和振動子 x mk 1/ 1/ 4 エネルギーはとびとび ( 基底状態以外は等間隔 ) ゼロ点エネルギー 不確定性原理 ( 大高一雄 : 基礎量子力学 ( 丸善 00))

24 調和振動子のエネルギー準位と波動関数 エネルギー b 3 0 エネルギーの量子を一個生成させる励起状態 : 基底状態以外の状態エネルギー 0 の量子を一個消滅させる b 1 基底状態 : 最もエネルギーの低い状態 ( 大高一雄 : 基礎量子力学 ( 丸善 00)) b b 1 d : 消滅演算子 d 1 d : 生成演算子 d b b 1 x p

25 オプション : 一次元井戸型ポテンシャルによる散乱問題 束縛状態 : 与えられたハミルトニアンに対して エネルギー固有関数 エネルギー固有値を求める 散乱問題 : 与えられた E に対して どのような解があるかを求める 入射波 反射波 V 0 0 x 0 a 透過波 x x a ( x) ( x) e kx 入射波 kx te 透過波 re kx 反射波 r : 反射係数 t : 透過係数 境界条件から r t を求める 任意の E に対して反射 透過ともに有限 ( トンネル効果 ) ポテンシャルのために波動関数の位相がシフト

26 進行波の場合時間に依存する Schrodnger 方程式を解く