超伝導状態の輸送方程式におけるゲージ不変性とホール効果

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ありあこのえ
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1 超伝導状態の輸送方程式におけるゲージ不変性とホール項輸送方程式について研究の歴史微視的導出法問題点 - 項超伝導体の効果の実験北大理物理北孝文非平衡状態の摂動論の方法輸送方程式の微視的導出と問題点ゲージ不変性とホール項まとめ

2 バイロイト月 - 月カールスルーエ月 - 月

3 カールスルーエのお城モーゼル渓谷

4 ザルツカンマ - グート ( オーストリア ) バイロイト近郊

5 ドイツでの研究超流動の渦構造 () 超伝導体の効果安井超伝導状態の輸送方程式 (

6 輸送方程式研究の歴史方程式希薄気体 ; 定理の証明方程式フェルミ流体, 相互作用強方程式の微視的導出方程式出発点, 準粒子近似 ( 寿命 τ 大 ) 保存則成立の条件動的な場合の摂動論 () 準古典方程式の導出 ξ 積分 ( 寿命 τ が小さくても, 適用範囲大

7 超伝導体の準古典方程式静的な場合 ( 松原 ) より簡便な導出動的な場合超流動への適用方程式準古典方程式におけるホール効果ホール項の微視的導出

8 ボルツマン方程式 f(,,) prt f f f v e Eevh If [ ] t r p E h

9 なぜ輸送方程式か? 方程式解けない! ( 非一様系 ) 変数の消去方程式準古典方程式情報失われず何とか解ける変数の消去熱平衡 + 近傍方程式熱平衡の超伝導体 )

10 輸送方程式の微視的導出法方程式 GGGG 左右 GGGG 0 ε 積分 ξ p 積分方程式準古典方程式

11 問題点 f f f v eee vh I[ f ] t r p f ( evh) p 存在するのか? ( 手で付け加えればよい?) 高周波の外場については? 超伝導体では?

12 高温超伝導体のホール効果ホール抵抗の符号が反転! ρ ρ B/ H xx c2 B / H 2 xy c2 ρ ρ B/ H xx c2 B/ H xy c2 ρ xx ρ xy 理論は符号反転を説明できない!

13 単一渦糸に働く力渦糸の運動電気抵抗横方向の力はマグナス力のみ!? ( クッタ - ジューコフスキーの揚力 ) v0 F v 2 p ρv 2

14 ローレンツ力は? f e( vh) p 超伝導体の効果はよくわかっていない! ( 基礎方程式の不在 )

15 グリーン関数シュレーディンガー方程式 i H ψ( t) 0 t r グリーン関数 i H G( t, t ) δ( ) δ( t t ) r r r r t G G 時刻の解 ψ( rt ) G( rt, rt ) ψ( rt ) dr

16 2 H ( 自由粒子 ) のとき 2m dpdε G( rt, rt ) G( pε)e 4 (2 π) G( pε) ε p /2m ipr ( r ) iε ( t t ) 0 0 のとき G G G V GV ( ) ( ) [( )] G = G GVG GVGVG

17 ゲージ不変性シュレーディンガー方程式 i H ( t) 0 t ψ r 2 H e ( t) e( t) V( ) 2m Ar i r r は変換 ψ( rt) exp[ ieχ( rt)] ψ( rt) χ( rt) Ar ( t) Ar ( t) r χ( rt) ( rt) ( rt) t に対し不変 ( 形が変化せず )

18 熱平衡状態の摂動論 H H H 0 0 複素平面 i β (0, i β ) の区間での摂動展開

19 摂動展開と松原グリーン関数 -βh -β H U β e =e 0 ( ) U( β) ( ) H n τ n τh0 ( ) e H e τ 0 -τh n 0 dτ H ( τ ) H ( τ ) n β dτ n 松原グリーン関数 G( τ, τ ) T ψ( τ ) ψ ( τ ) 2 τ 2 T : (0, i β) τ

20 非平衡状態の摂動論力学的摂動 ) ( t) H H ( t) θ( t t ) 0 複素平面 t 0 t t 0 iβ 曲線上での摂動展開

21 量子リウヴィル方程式 ( 密度行列の時間発展 ) ρ() t t i[ ( t), ρ( t)] ρ() t S(, t t ) ρ( t ) S (, t t ) n t n 0 t n 0 Stt (, ) ( i) dt t t dt ( t ) ( t ) n n 演算子の期待値 () t Tr ρ() t Tr ρ( t ) S ( t, t ) S( t, t ) 0 0 0

22 演算子の期待値 () t Tr ρ( t ) S ( t, t ) S( t, t ) t C t を相互作用 H で再展開 S, ρ Gt (, t) i T ψ( t) ψ ( t) T C 2 C 2 : C 平衡状態と同じテクニックが使える! 非線形効果まで扱える ( 力学的摂動!

23 グリーン関数 t 0 t t 0 iβ R G G G A G G G K G G G R K G G G 0 G A : 行列を用いた摂動展開 ()

24 一様系 2 (, 2) (, 2) 2 (, ) i G t m t µ δ r (2 ) 2 ( ) (, 2) e i i t d d G G ε ε π π ε pr p p 2 R A K ( ) ( ) ( ) 2 2 (2 ) ( ) G G G p m i f ε ε ε ε ε ε ξ ξ µ ξ ξ π δ p p p p p p p p

25 輸送方程式の微視的導出法方程式 GGGG 左右 GGGG 0 ε 積分 ξ p 積分方程式準古典方程式

26 ダイソン方程式正常状態 i t 2 U µ G(, 2) δ(, 2) 2m 外場 ( r t ) dp 表示 dε (,2) (, )e i pr i ε pε R t G G T 3 (2 ) 2 π π 2 2 について展開 ( εξ UG ) ( pr ε T) p i U U p G( T) T ε ε R p 2 m T pr R 2 p ξ µ, U U( T), 2m p R R R

27 輸送方程式 ( 左ー右 ) U U p G( pr ε T) 0 T m R T ε R p 変数の消去 ε 積分 dε f T G T 2 2πi dε K G ( pr ε T) 0 2πi ε K ( pr ) ( pεr ) U p f( prt) 0 T m R R p

28 ξ 積分準古典方程式 dξ f T G 2πi dξ p K G ( pr ε T) 0 2πi ξ K ( ˆε ) p pr ( pr ε T) p U p f( ˆε T) 0 T m T ε pr R

29 どちらの適用範囲が広い? 相互作用のある場合方程式に自己エネルギー項 ( pε, RTG ) ( pε, RT) ε 積分 ( pε) ( p0 ) ( pε) ε ε0 ε ξ 積分実数で近似 ( pε) ( p ε) ( pε) ( pp ) F F p p0

30 準古典方程式の適用範囲大 ( pε, RT) の依存性弱い ε 依存性は大きい場合あり電子格子相互作用 ) 寿命が短くても使える ( p ε) ξ 積分では F が大きな虚部をもってもよい

31 コメント衝突項は自己エネルギー項から ( pε, RTG ) ( pε, RT) 超伝導状態の輸送方程式 G Gˆ F G F G * * i Tψ (,2) () (2) ψ F(,2) i Tψ() ψ(2) に同じ操作をすることで得られる分布関数を決める式ペアポテンシャルを決める式 ( の輸送方程式も同様 )

32 保存則成立の条件 () Φ Σ G Σ は Φ のについての汎関数微分で! Σ とを自己無撞着に決定!

33 Dyson 2 i G(,2) µ G(,2) t 2 m (,3) G(3,2) d3 δ(,2) Dyson 2 i G(,2) µ G(,2) 2 t 2 m 2 G(,3) (3,2) d3 δ(,2) ( ) ( 2 i G(,2) t t 2m () (, ), () (,2) 2m 2 (,3) G(3,2) G(,3) (3,2) d3 0 ( ) n ig j G ) G(,2) n() j() (,3) G(3,2) G(,3) (3,2) d3 t 0!?

34 (,2) δ δg (2,) G δ δ dd 2 δg(2,) δg (2,) dd 2 (,2) δg(2,) G(2,) e G(2,)e i(2) i() G δg (2,) i (2) G(2,) G (2,) i() 0δ dd 2 (,2) i(2) G(2,) G(2,) i( ) i d () 2,) d2 (2,) G(,2) (,2) G( () d2 G(,2) (2,) (,2) G(2,) 0

35 準古典近似考慮すべき図形 Φ 衝突項 2 体相互作用ではこれらの図形のみ!! 他の項は量子補正 2.

36 ホール項とゲージ不変性この方法ではホール項は導出できない f e( vh) p ゲージ不変性がない!? i ea i i r ear ( T) R 2 e r t A( RT) R T A A A k k j ε h ijk k R 2 2 R R j j k

37 これまでの研究の効果小さい! 静的電磁場の理論導出過程が明快でない静的電磁場の場合の理論ゲージ不変性なし! ゲージ不変な方程式 ( 半導体 )

38 目的ホール項を持ちゲージ不変性のある輸送方程式の導出輸送方程式の微視的導出法の確立金属, 超伝導, 多体効果の影響時間変動する電場への応答

39 出発点ー方程式 ( 成分 ) 0 ˆ i e τ Gˆ(,2) ˆ G(,2 ) 3 * t 0 ˆ(,3) Gˆ(3,2) d 3 δ(,2)ˆ Gˆ G F ˆ F G, * * * * 2 i ea µ 2m (, A):

40 ゲージ不変性 0 ˆ i e τ Gˆ(,2) ˆ G(,2) 3 * t 0 ˆ(,3) Gˆ(3,2) d3 δ(,2) ˆ ˆ ˆ G(,2) exp( ieχτˆ ) G(,2)exp( ieχτˆ ) χ A A r χ t

41 のゲージ変換性 Gˆ(,2) exp( ieχτˆ ) Gˆ(,2)exp( ieχτˆ ),2 ( r, t ) Fourier 2 2 R, T ( r, t ) Fourier 2 2

42 ˆ (,2) exp[ (, ) ˆ ] ˆ G iirr τ G(,2)exp[ ii( Rr, ) τˆ ] IR (, r) As ( ) ds R r r ( ct, r), A (, A), ds : ゲージ変換性 ˆ (,2) exp[ ( ) ˆ ] ˆ G ieχ R τ G(,2)exp[ ieχ( R) τˆ ] 3 3 G(,2) G(,2), F(,2) F(,2)exp[2 ieχ( R) ]: 2e 重心座標 R のみに依存! ( r, t ) Fourier 2 2

43 方程式の書き換え ˆ ĜG 重心座標の左 - 右 ξ について積分ゲージ不変な輸送方程式成分につき実行成分も同様 )

44 微分項静的電磁場 ) ii ( R, r ) ii ( R, r ) 2 e i e G i 2 T i t (,2) e ErG(,2) t 2 : 電場 : 磁場 ii ( R, r ) ii ( R, r ) 2 e i e G i 2 ii ( R, r ) ii ( R, r ) 2 e i e F i 2 R R (,2) e i ( hret) G(,2) r 2 eai A A (,2) e ( hret) F(, 2) r 4 ゲージ不変な微分 + ホール項!

45 ゲージ不変な微分 GG T 2 ie ( R) on F T T * 2 ie( R) on F T Eh * on,,, GG R 2 iea( R) on F R R * 2 iea( R) on F R Eh * on,,, T R

46 自己エネルギー項ゲージ不変な微分で表せるか否か? 電子の質量が如何に変更を受けるか? 新たな項が現れるか否か? ゲージ不変な微分で表せる! 否

47 より具体的には ˆ(,3) Gˆ(3,2) d 3 ˆ G ˆ dp ˆ (,2) ˆ ( pε, RT ) 3 (2 ) 2 ( ( e i p r r i ε t t ˆ( pε, RT ) ˆ( p ε, RT ) v p a m a : π F dε π ) ) 2 2 F F p ( p ) F

48 左方程式 ˆ ˆ ˆ i εστ ˆˆ Gξτˆ G v τˆ Gˆ 3 3 F R 3 2 i E 3ˆ τ GˆGˆτ ˆ p i v 3 GˆτˆG ˆτˆ F h E p ε aˆ v : τˆ : F 2 p F σ ˆ a µ ˆ a 2m ( p ˆε, R T) ˆ( p ε, R T) τˆ 3 F 3 ξ を消去 ( 左 - 右 ) ξ について積分

49 準古典方程式 i gˆˆ ( pε, RT) dξ τˆ Gˆ p ( pε, RT) 3 aπ [ ετˆ σˆ, gˆ] iv gˆ 3 F i e( v h) v E F F 2 p ε 0 R [ τˆ, gˆ] 3

50 記号の説明 [ AB, ] ABBA { AB, } ABBA i ABexp 2 ε T T ε A( ε, T) B( ε, T) [ AB, ] ABBA 2 p F σ ˆ a µ ˆ a 2m τˆ v 3 F εε, TT ( pˆε, RT) ˆ ( p ε, RT) τˆ 0 : 0 : F 3

51 正常金属 g R A g e e g p K K g g v v E ( v h) F F F T R ε K i[2 σ ( σ σ )] g K A R K

52 ゲージ不変性 [ ετˆ σˆ, gˆ] iv gˆ 3 F i e ( v h) v E [ τˆ, ˆ] F F 3 g 2 p ε 0 R gˆ e gˆ e χ A A R χ T ieχ( R) τˆ ieχ( R) τˆ 3 3

53 時間変動する電磁場 [ ετˆ σˆˆ, g] iv gˆ 3 i 2 g i [ τˆ, gˆ] { τˆ, gˆ} 0 3 f 3 2 F R g f i dη e v h, T η F ε 2 R 2 p i ev E, T η F R ε 2 ε 0 i dη e v h R, T η 0 F ε 2 2 p i ev E, T η F R ε 2 ε

54 まとめホール項を含んだ超伝導輸送方程式 ( 準古典方程式 ) の導出方程式のゲージ不変性に着目渦糸状態のホール効果研究の基礎輸送方程式の微視的導出法の確立

2018/6/12 表面の電子状態表面に局在する電子状態表面電子状態表面準位 1. ショックレー状態 ( 準位 ) 2. タム状態 ( 準位 ) 3. 鏡像状態 ( 準位 ) 4. 表面バンドのナローイング 5. 吸着子の状態密度鏡像力によるポテンシャル表面からzの位置の電子に働く力とポテン

2018/6/12 表面の電子状態表面に局在する電子状態表面電子状態表面準位 1. ショックレー状態 ( 準位 ) 2. タム状態 ( 準位 ) 3. 鏡像状態 ( 準位 ) 4. 表面バンドのナローイング 5. 吸着子の状態密度鏡像力によるポテンシャル表面からzの位置の電子に働く力とポテン表面の電子状態表面に局在する電子状態表面電子状態表面準位. ショックレー状態 ( 準位. タム状態 ( 準位 3. 鏡像状態 ( 準位 4. 表面バンドのナローイング 5. 吸着子の状態密度鏡像力によるポテンシャル表面からzの位置の電子に働く力とポテンシャル e F z ( z z e V ( z ( Fz dz 4z e V ( z 4z ( z > ( z < のときの電子の運動を考える