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みさきゆのもと
6 years ago
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1 6. 圧密理論 6. 圧密理論 6.. 圧密方程式の誘導粘土層の圧密原因とメカニズム地下水位の低下盛土建設最終圧縮量と圧縮速度

2 6. 圧密理論記号の統一間隙水圧 ( 絶対圧 ): u 間隙水圧 (gauge 圧 ): u u p a ( 大気圧 ) 過剰間隙水圧 : Δu ( 教科書はこれを u と記している初期状態が u p a で u の時で uδu の状態を対象にしている ) 微小の増分 : du, d( u), dt の様に表現水頭 h の定義両者が異なるから間隙水が移動する地表静水時の全水頭パイプ内水位砂層 ( 静水時のパイプ内の地下水位 ΔhΔu/γ からの水面の高さ ) 厚さの粘土層 - h : 位置の水頭 ( 静水圧水頭 ) ( 全水頭 ) u/γ h: 全水頭 -: 静水圧水頭 ΔhΔu/γ ( 位置水頭 ) ( 静水時のの位置からの h の分布パイプ内の水面の高さ ) 岩盤 head この位置を ead (h) と定義する静水時の h の分布全水頭 : パイプ内のの位置からの水面の高さ間隙水圧 u の定義地表パイプ内水位砂層地下水位 Δu/γ 厚さの粘土層 - h ( 静水圧 : u /γ ) u/γ u: 間隙水圧 u : 静水圧 Δu: 過剰間隙水圧 ( 位置水頭 ) (- ) γ 岩盤 γ 間隙水圧 u この位置を ead (h) と定義する

3 6. 圧密理論 3 ( 全 ) 水頭 h: パイプ内の水面のの面からの高さ全水頭静水圧水頭 + 位置の水頭 +( 過剰間隙水圧 Δu)/γ h ( ) + + Δu/γ (6.3) ( 静水圧時の全水頭 )+ Δu/γ 全水頭 - 位置の水頭静水圧水頭 (u /γ )+( 過剰間隙水圧 Δu)/γ ( γ ) 間隙水圧 u 静水圧 u + 過剰間隙水圧 Δu pore ater pressure hydro-static pressure + Excess pore ater pressure 過剰間隙水圧 Δu 間隙水圧 u 静水圧 u Excess pore ater pressure pore ater pressure hydro-static pressure 有効応力全応力 - 間隙水圧 σ σ u σ γ total ( ) d( depth) ; 浸透圧が無い静水時 σ γ '( ) d( depth) 水の流れを支配する Darcy 則 i k ( 今 i の正は上方への流れと定義する ) での動水勾配 : i h ( + u / γ ) (6.3) 式では定数だから ( u / γ ) ( u) γ ( マイナス記号に注意 ) 平均流速 i k ( u) k γ (i 正は上方への流れを意味する ) (6.4) 要素 a ( 飽和した土の要素 ) この場合 ( u) は負 ( u) は正 a 流出速度 + d d 水平面断面積 A 流入速度 3

4 6. 圧密理論 4 要素 a から時間増分 dt の間に排出される水の量 : dq d A dt (6.) (6.) + (6.4) から ; ( u) dq { k } d A dt (6.5) γ Darcy 式 : これまでに用いた唯一の物性 (k) を含む式連続の式要素 a は飽和しているから流出した間隙水の量 dq 要素の体積減少量 dv 体積ひずみ間隙の減少量/ 体積 : 時間 dt の間に生じた間隙比の減少量は e dq dv dε d A d A dt + e dε d A dv de Vs de dε V ( + e) V + e e de dt なので t (6.6) s (6.5) (6.6) から γ k ( u) e { } + e γ k ( u) { } e + e (6.7a) (6.7) 次に u と e の関連をつける必要がある粘土の圧縮性を表す式 ( 有効応力 ~ひずみ関係 ) いまある深さで全応力 σが一定であり静水圧を u とすると σσ + uσ + Δu + u 一定また u 一定 σ 従って d(δu) - dσ また dσ ' dε (m は体積圧縮係数 )[ 右図 ] m 従って d( u) d m ε de m + e (6.) ( 両辺正 ) m が有効応力 σ の変化に対して一定で σ に対しても一定で m m である場合は時間的にも一定となりとなるまた (6.) 式の両辺を時間 σ ' e t で偏分すると d( u) dt de dt である以上から次式が得られる t t e dt dt t m + e t ; u e ; 従って e t m + e t + e t m ε (6.) t m 4

5 6. 圧密理論 5 (6.) を (6.7) に代入して次式を得る γ m k ( u) { } k が深さ方向に一定であるとすると次の圧密方程式を得る k m γ ( u) 圧密方程式 u c ( u) : c k γ m (6.) c : 圧密係数 (coefficient of consolidation): 圧密速度を表す係数単位 : cm /sec) この式は m と k が空間的時間的に定数であると言う重大な仮定に基づいて導かれた式である圧密方程式の意味 : 深さでの過剰間隙水圧 Δu の時間的変化率 ( 実際に負 ) は ; ( u) a) 過剰間隙水圧の深さ方向の変化の変化率に比例 k b) 圧密係数 c γ m に比例 c が大きいほど過剰間隙水圧の減少率が大きくなり圧密が早く終わる t b) c は透水係数 k に比例 b) c は体積圧縮係数 m に逆比例 5

6 6. 圧密理論 6 例地表面 Δp の瞬間載荷 i γ 動水勾配 i は正で方向に一定ではない * γ 水の流れただし t 大 t ( u) <, < Δp 過剰間隙水圧 Δu 不透水面 * 上方ほど i は大きい上方ほど流速は大きい下方から絞り出された水を集めて流れているから ( u) < から圧密方程式により u < であるすなわち時間とともに過剰間隙水圧 Δu は減少するまた下端では水の流れはない従って u ここは直角例地表面 i γ 動水勾配 i は正で方向に一定 *. 水の流れただし ( u), u < でに対して一定過剰間隙水圧 Δu 透水面 * 流速は深さ方向で一定地盤の間隙比 ( 密度 ) はどの深さでも時間的に一定圧密現象は生じていない ( u) から, である従って時間に対して過剰間隙水圧 Δu は一定下端でも水の流れはある従って u < ここは直角ではないこれは下端から常に時間的に一定量の水が湧いてくる定常流 6

7 6. 圧密理論 7 例 3 地表面あるいは急速埋め立て直後水の流れ砂地盤の完全液状化 σ ' 定常流圧密静水圧 u 有効応力 σ u 過剰間隙水圧 Δu 不透水面この範囲 t は時間とともに減少地表面 tt の時この範囲では勾配 i は正で方向に一定 u は t に対して一定であり水の流れ ( u), u < であり密度が t 対して一定 t の増加 tt 過剰間隙水圧 Δu 不透水面 t tt の時この範囲では動水勾配 i は正で方向に一定ではなく ( u) <, u < であり従って u < であり沈殿が生じていて密度が経時的に増加している範囲下端から水は湧きだしておらず下端から沈殿が開始される 7

8 6. 圧密理論圧密方程式の解例地表面 ( 排水面 ) i γ 地表面でΔp が瞬間載荷されたとする. 水の流れ t t 大過剰間隙水圧 Δu 不透水面 Δp c ( u) : c k γ m (6.) 距離に関する二回の偏微分二つの境界条件が必要 Δu( ) ; ( ) 時間に関する一回の偏微分初期条件が必要 Δu() (t) を与える ; 一般的には任意の初期分布 ( 上図の例では Δu() (t) Δp) 変数分離法 ( u c ) k : c (6.) γ m Δu Z() X(t) (6.9) を式 (6.) に代入すると次式を得る Z X t c Z X 両辺を Z X c で除して X c X t Z β ( ) ( 定数 ) (6.3) Z ここで左辺は t だけの関数であり右辺はだけの関数であるので両辺が等しいと言うことは両辺は定数であることを意味する後での便利さを考えて定数を-β と置くこの式の解は次の二つの式である Z( ) + β Z( ) (6.3) Z( ) Acos β + Bsin β (6.33) 8

9 6. 圧密理論 9 X ( t) + cβ X ( t) X ( t) C exp( β c t) (6.3) X ( t) C exp( β c t) (6.34) C c が大きいほど X が ( 過剰間隙水圧 Δu が ) 早く減少する time t 式 (6.33) に二つの境界条件を適用して定数 β を求めるまずで u ( ) である X(t) なのでこの境界条件は Z ( ) を意味する Z 一方式 (6.33) から A βsin β+ B βcos β 従って Z ( ) を用いると Z ( ) + β B 従って B 従って Z A cos β が得られる次に境界条件 Δu( ) は X(t) なので Z( ) を意味するこれを用いると次式が得られる Z( ) A cos(β ) A だと (6.33) から常に Z 従って常に Δu であるこれは有り得ない A なので Z( ) A cos(β ) が得られるこの式から次式が得られる cos(β ) これの一般解は従って Z n β n A n n の時は β n π (6.35) n cos( π ) (6.36) Z π, Z A cos π n Z A 9

10 6. 圧密理論従って (6.35) を (6.34) に代入すると n n に関する X の解が以下のように求まる n π Xn( t) Cexp( β c t) Cnexp c t n Cn exp π T (6.37) 式は物性 c 寸法を含まない一般的な式であることに注意 c t ここで T 正規化された無次元の時間 ; 時間係数である n Xn( t) Cexp( β ct ) Cnexp π T T c t (6.37) C c とによらない関係時間係数 T 従って (6.9) 式の特定の n の値にに対する解は n n un Xn( t) Zn( ) An Cnexp π T cos π 一般解は全ての n に対する解の集合であるので未定係数 A n C n A n とおくと次式を得る n n u un An exp π T cos π n n (6.39) (6.39) 式に既知の初期条件 ;Δu() (t) すなわち T の時 Δu() (T ) を適用すると n u ( )( T ) An cos π n (6.4) m 次に未定係数 A n を求めるこのために両辺に cos π を掛けての間で積分する m u( )( T ) cos π d A n n n m cos( π ) cos( π ) d (6.4) cos( x) + 右辺は n m の項以外は全てゼロであり (cos x) を用いると次式を得る

11 6. 圧密理論 m u( )( t ) cos π d A cos{(m ) π } + d Am (6.4) m ここで m を n として A m を A n とすると次式を得る A n n u t ( )( ) cos( π ) d (n,, ) (6.43) したがって (6.9) 式の一般解は n n n [ exp{ ( ) T} cos( ) u ( )( t ) cos( )] u π π n π d 時間に関する項初期条件が Δu() (t) Δp の時 (6.44) の中で距離に関する項 (6.44) n u ( )( t ) cos( π ) d p n cos( π ) d n p [ sin( π )] (n ) π n p ( p [ sin( π ) ] ( n ) π (n ) π したがって一般解は ) n + n+ 4 p n n u T n [( ( ) exp{ ( π ) } cos( π )] (6.45) π n n ここで exp{ ( π ) T} は過剰間隙水圧 Δu の時間的変化を n cos( π ) は空間的変化を表す t ; Δu Δp Time 過剰間隙水圧 Δu Δp

12 6. 圧密理論 6..3 圧密度圧密完了時の総地盤沈下量 S f に対する現在までに終了した沈下量 S の比は? 沈下量 S t ; Δu(t) Δp S f 時間増加 Δp 三つの圧密度 ; 過剰間隙水圧 Δu に関する圧密度 U(T). 過剰間隙水圧 Δu より浅い () 各深さでの local な圧密度 U l (l は local の l) time t () 層全体に対する平均圧密度 U(T); U は T の関数 ; T () 過剰間隙水圧に関する各深さでの local な圧密度 U Δσ u の変化量 Δu(t)- 圧密進行中のΔu Δu(t) Δu(t) -Δu l u( t ) u u( t ) ct 圧密進行中のΔu time t () 過剰間隙水圧に関する全層に対する圧密度 u( t ) u u u( ) d U ( T ) u( t o) u( t o) u( )( t ) d

13 6. 圧密理論 3 (3) 全層に対する沈下に関する圧密度 U S S/S f (S f は最終沈下量 ). time t Us と U(T) の関係を m がσ に依らない ( すなわち深さに依らない ) と仮定して求める沈下計算は次のようになる S ε d m σ ' d ( 深さに対する積分 ) σ σ ' + u は一定であり σ に等しいのでそれぞれの深度において次式がなりたつ Δσ u の変化量 Δu(t)- 圧密進行中のΔu Δu(t) Δu(t) ΔuΔσ 圧密進行中の Δu time t 沈下量 S t ; Δu(t)Δp 時間経過圧密進行中のΔu Δp 従って t t Δσ Δu(t) - 圧密進行中の Δu 過剰間隙水圧 Δu S ε d m σ ' d m { u( )( t ) d u( ) d} 一方 Δσ ( 圧密終了時 ) Δu(t) なので S f (S henδu) m u( )( t ) d ( m u ( )( t ) ) 3

14 6. 圧密理論 4 従って, 両式から S S m u( ) d が得られる従って次式が得られる f S m U s S u( ) d m u( ) d S f m u( )( t ) d f u( ) d U(T) u( )( t ) d 従って U s U(T); すなわち U s は T の関数となるこれは m がσ に依らない ( すなわち深さに依らない ) と言う仮定が厳密には正しくないので厳密には正しくないしかし多くの場合は十分な近似この仮定を用いないと Us を T の関数として示すことは非常に難しい ct 次に U s U(T) とT の関係を求めるこの関係は初期過剰間隙水圧の深さ方向の分布型 Δu()(t) によって異なる今 Δu()(t)Δp ( 一定 ) とするすると n+ 4 p ( ) n n u ( ) exp{ ( π ) T} cos( π ) π n n (6.45) から次式が得られる o n+ 4 p ( ) n u( ) d exp{ ( π ) T} π n n n cos( π ) d n+ 4 p ( ) n n ( exp{ ( π ) T} [sin( π )] π n n (n ) π 従って次式が得られる U s U(T) u( ) d u( ) d u( )( t ) d p 8 n [( exp{ ( π ) T} π ( n ) n ct U s U(T) は T だけの関数であることに注意 (-) n+ (6.55) 4

15 6. 圧密理論 5 U(T) ( 教科書 4 頁図 6.8)...4 n の解.6 厳密解 (6.55.) 式.8 U(T).9 U(T) T ct hen t 近似解 U( T ) π T (6.63) T.5 程度までは厳密解と殆ど同じ圧密試験結果の解析に利用式 (6.55) は複雑すぎてそのまま実務に用いるのは難しい多くの場合この図を用いる ( 図解法 ) n だけの解は π u ( )( T ) u cos( ) (6.4-a) π π u ( ) exp( T) u c os( ) (6.45-a) 4 U s U(T) exp( π T ) (6.55-a) 4 沈下量 S t ; Δu(t) (n) Time Δu 過剰間隙水圧 Δu 5

16 6. 圧密理論 6 図 6.8 の用い方 : C [ 土質試験で求めた値 ] が既知として粘土地盤の排水距離 ( 既知 ) 所定の時間 t TC t/ を計算する ( 上図 ) U(T) を求める時間 t の時の沈下量 S S f U(T) を求める [S f は別途計算 ] ct 9 a) U 9 % の時 T. この時殆ど圧密は終了したと見なせる実際の時間は t 9 γ m T ( この形に注目 ) c c k 圧密終了時間は a) に比例 b) m に比例 c) k に逆比例実際は m と k を別々に測定しない c の値を報告する ct b) U 99 % の時 T 3. T. 以降は圧密の進行が極端に遅くなる圧密試験 : 供試体初期厚さ cm: 両面排水 : cm (t が小さくなるから ) 砂層と sand drain の機能水平粘土地盤に対しては Sand drain 排水距離が圧倒的に小さくなる粘土層 ( 厚さ ) (/3) (/3) ここに排水砂層があると圧密終了時間は /9 に短縮岩盤軟弱粘性土を用いた盛土では水平に排水層を入れる 6

17 6. 圧密理論 7 正規化した圧密方程式 c ( u) : c k γ m (6.) T ct ( ), U*Δu/Δp ( ); Z / ( ~) を用いると ( u / p) ( u / p) ( c t / ) ( / ) U * U * T Z (6.-a) (6.-b) 非常に簡単な式になる 7

18 6. 圧密理論圧密試験と整理法圧密試験の目的 : 次の二つの物性を求める a) 土の圧縮しやすさを示す圧縮指数 Cc(e~logp 関係の勾配 ) と b) 土の圧密速度を示す圧密係数 C(U~T 関係での TC t/ ) 標準圧密試験 (Q) 供試体の厚さは何故 cm のように薄いのか? (A) 圧密終了時間は排水距離の二乗に比例する試験が実施出来る程度に圧密終了時間を短くするためは供試体の厚さは cm 程度にする必要があるしかし非常に硬い地盤材料 ( 硬質粘性土堆積軟岩等 ) では測定されるひずみ量が非常に小さくなるのでひずみの測定精度が落ちる (Q) なぜ 4 時間毎に荷重を倍にするのか? (A)4 時間は人間の生活のリズムまた倍の率で増加していないと週間程度の範囲で広い圧力範囲の試験が実施できないしかし圧力が高くなると測定する圧力の幅が大きくなり過ぎて圧密降伏応力を正確に測定できなくなる実験を自動化すればこの制限は無くなる特に定ひずみ速度試験が良い圧密係数 C の求め方具体的には二つの方法 a) 圧密初期のデ-タを利用する t 法ある荷重段階 ttでの沈下量 ΔS の測定最終圧密量 ΔS の推定 ( これは面倒 ) 圧密度 U(T)ΔS/ΔS を求める U(T)~T 曲線 ( 図 6.8) から U(T) に対応したTを求める供試体排水距離 T t から C (T )/t を求める b) 圧密終了時までの全結果を用いる lot(t) 法 t 法 ) 沈下量 S と t の図を用意 ) 初期沈下曲線を直線近似する初期の点は供試体内に混入した空気の圧縮が原因で直線から外れることがあるこのデ-タポイントは無視する原点の沈下量 S を ds とする ( 理論的根拠 ) T ct 圧密初期の近似解 U ( T ) T π π c t (6.63) 従って (S-dS) S U と t 関係は直線になるはず 8

19 6. 圧密理論 9 3) 角度 α を求める ds. α B /.9 ( S ) 厳密解 α t (t 9 ) 近似解 : c U T T ( ) 沈下量 S π π t t t π 理論的には tanα S ds S U( T ) S c f f.886 (a) S f c U ( T ) π c t ここでまだ最終沈下量 S f は求まっていないなのでこの式を用いて C を求めることは出来ない 3) tanα (.55) tanα の直線を引くこの直線とデ-タにフィットさせた曲線との交点 B を求めるこの B 点は U 9 % の状態を表すこの時厳密解 ( 図 6.8) から T の理論的根拠 : T ct t T tanα ( ) t t ( ) S U S c U 9 t t S c tanα S c S c (b) 式 (a) と式 (b) から tanα (.55) tanα ct9 4) B 点の時間座標 (t 9 ) を読みとるこの t 9 を Tt. 848 から求まる c 9 入して C を求める 5) S f は図のようして求めることが出来るがここでは使わない. 848 t 9 に代 9

4. 粘土の圧密 4.1 圧密試験沈下量問 1 以下の問いに答えよ 1) 図中の括弧内に入る適切な語句を答えよ 2) C v( 圧密係数 ) を圧密試験の結果から求める方法には圧密度 U=90% の時間 t 90 から求める ( 5 ) 法と一次圧密理論曲線を描いて作成される ( 6 )

4. 粘土の圧密 4.1 圧密試験沈下量問 1 以下の問いに答えよ 1) 図中の括弧内に入る適切な語句を答えよ 2) C v( 圧密係数 ) を圧密試験の結果から求める方法には圧密度 U=90% の時間 t 90 から求める ( 5 ) 法と一次圧密理論曲線を描いて作成される ( 6 ) 4. 粘土の圧密 4. 圧密試験沈下量問以下の問いに答えよ ) 図中の括弧内に入る適切な語句を答えよ ) ( 圧密係数 ) を圧密試験の結果から求める方法には圧密度 U9% の時間 9 から求める ( 5 ) 法と一次圧密理論曲線を描いて作成される ( 6 ) と実験曲線を重ね合わせて圧密度 5% の 5 を決定する ( 6 ) 法がある ) 層厚の粘土層があるこの粘土層上の載荷重により粘土層の初期間隙比.