かみ合い部分における損失

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1 第 8 章かみ合い部分における損失 遊星歯車機構の効率を取り扱うには 組の歯車のかみ合い損失を吟味する必要がある ここでかみ合い損失は摩擦に起因しているが 摩擦現象を理論的に説明することは非常に難しい そのため摩擦係数が一定として処理されるのが一般的である このような前提で従来から歯車の摩擦損失の大きさを算出する計算式はいくつも提案されているが ここではそれらの計算式の解説をまず行う このような摩擦現象によって発生する歯車の損失で定まる効率は通常の平歯車では非常に高く99% に達する 歯車が動力伝達を目的とする以上 高効率は望ましいことであり歯車はその優れた特性によりこれを実現している しかし歯車の効率を測定するには効率が入出力の動力の比率で定義されているので % しか差のない入力と出力の大きさを測定する必要がある これを精度良く測定することもまた非常に難しい そのために効率を直接測定するのではなく 損失量を測定する方法で効率を求める方法を著者は開発し これを油浸法と名付けた その測定結果をここでは述べ 歯車の損失が影響される因子を明らかにする また 歯車は回転角に関しては00% 確実に伝達することが出来る 一方 摩擦による損失があると言うことはトルクの伝達で損失が発生することに他ならない そこで損失のある場合の力の状態についての考え方を併せて考察する. 理論解析. 問題提起遊星歯車の効率を取り扱うには 組の歯車の損失を明らかにする必要がある しかし歯車の損失量を正確に求める計算式は今の所まだない これは歯車の効率が通常のものでも9 9% 近くあり 従来はその損失の大きさが他の機械の効率に比べて格段によかったことと 測定法の難しさの為それほど重要な対策課題にならなかったと思われる ところで最近になって歯車の効率を正確に計算したいという要求が高まってきたが 歯車の損失を左右する因子は幾つもあり これらを整理した形で正確に求める方法がないというのが実情である 一方 歯車の損失を歯面の接触部分での滑り摩擦問題に限定して解くことはできる そしてその解析解は既に現在では定着した形で与えられているが じつはここに大きな問題がある この解析解としては既に古典的とも言えるMttが発表したもの が著者が目にした文献の中でも最も古いものである その後 Buckhmが名著 Alytcl Mchcs o Gの中で効率の解析解を示し それが今日では効率式として定着している ところでこの両者の示した式は形の上では全く同じである 従ってその誘導過程も同じように思われるが この間には大きな相違がある Mtt, H.E., Gs, S Isc tm & Sos, (946) 章 v. - -

2 すなわちMttの式は効率の近似式を与えたにも関わらず 後の式 (Buckhmの式を含む ) は全て厳密な解析解のような紹介をされたために 現在では逆にこの近似式から出発して厳密解を求めるとする理論まで出てきている このような理論は砂上の楼閣を築くに等しく 無意味であるばかりでなくむしろ有害でさえある 不十分な文献考証を基にした理論構築の過ちを防ぐためにここではかび臭い理論の考察を行いたい. 定着している効率の解析解かみ合っている歯車の損失または効率を解析的に求めるための条件としては次の 個の仮定を基礎にしている この条件はMtt 以来変らない 歯面がかみ合っている期間中の摩擦係数は一定である 対噛み合いをしている歯車の法線力は 個の歯に均等に配分される このような前提のもとに得られた理論的な平歯車の損失率 ζ(- 効率 ) あるいは効率 ηの大きさは次式のようにして表される ς k ( ± ), η k( ± ) (8.-) ここで は速度伝達比 であり 複号のうちは外歯歯車のかみ合い -は外歯と内歯のかみ合いを示す また k はその式を誘導した条件によって様々な値が与えられる ここではその代表的な式として 次のようなBuckhm およびNmの式の 例がよく知られている理論式である ()Buckhmの式 有名な式であり 変形した形で初版以後のG Hdook 3, 4 にも紹介されている ここでは 対噛み合い歯車において 近寄りかみ合い領域と 遠退きかみ合い領域の摩擦係数が異なると考え次のように表される mm k (8.-) m ただし は摩擦係数 はかみあい長さ は駆動歯車の基礎円半径 また下添字 m は近寄りかみ合い は遠退きかみ合い領域を示す () Nmの式 5,6 この式は 対噛み合い領域をもつ歯車の摩擦損失率のk を次のようにして表している π k ( ε ε ε ) (8.-3) z ここでは伝達比 jではなく規格で用いられる速度伝達比 を用いた Buckhm,E. Alytcl Mchcs o G,McGw Hll, (949), Dudly,D. G Hdook, st dto, McGw Hll, Nw Yok,(96),4-4 4 Towsd, D.., G Hdook, d dto, McGw Hll, Nw Yok,(99), Nm. G. Mschlmt, Bd., S, Bl, (965), 6 Nm. G.,ud Wt, H., Mschlmt, Bd., S, Bl,(983) 8 章 v. - -

3 ただし ε m / ε / ここでは法線ピッチ εはかみあい率を示す これらの式はそれ以前に発表された Mtt の一対噛み合い領域での損失式と内容的には同じものである しかし Mtt の式との違いは誘導の仕方に相違があり ここではそのことを問題としている その Mtt の式は次の通りである m η (8.-4) cos m ただし は駆動側と被動側のピッチ円半径を はかみ合い圧力角である この式の意味を述べる前に 上に示した二つの式 () () の誘導経過を追ってみることにする.3 Buckhm の式の誘導ここでは噛み合い率 として取り扱う つまり噛み合い区間全体で 対噛み合い領域はないものとし 噛み合い状態の幾何学的関係を図 8.- に示す そして噛み合い点での摩擦係数は近寄りかみ合い区間と 遠のき噛み合い区間では異なり それぞれ とし その区間内では一定とする またO を回転中心とする歯車を駆動側とする さらに噛み合い長さはピッチ点 を原点として遠のき噛み合い側を正とする 図 8.- 噛み合い状態での諸量 ここで噛み合い点 M での歯面上の周速を求めると 駆動側の歯面に対しては A 点を瞬間 8 章 v

4 回転中心とし 線分 AM を半径とする回転運動をするので 歯面上の周速度 v は線分 AM と ω の積で表される 同様にして被動側の歯面の周速 v は線分 BM と ω の積で表される v AMω, v BMω (8.-5) 従ってこの駆動側歯面の被動側に対する相対速度 v s は 両歯車の基礎円での周速が互いに 等しい (ω-ω) ことを考慮するれば次のようにして与えられる vs vv ( t ) ω ( t ) ω (8.-6) ( ω ω) t ( ωω) ( ω ω ) ここで接点 Mの作用線上の移動速度 (d/dt) は d ω (8.-7) dt 一方 微小時間 dt の間に生じた摩擦による損失エネルギ dlは dl v dt d (8.-8) ω d ( ω ω ) ただし ω ω s したがって 全かみ合い領域 (- 間 ) での損失エネルギは近寄りかみ合い区間と遠のき噛み合い区間の間で上式を積分することにより得られる 0 L d d 0 (8.-9) ( ) このときの入力エネルギ W を作用線上を 点から 点まで法線力が作用したとして次の ようにおけば W (8.-0) ( ) 損失率 ζは次のようになる L ς W ( ) ( φ φ ) φ φ (8.-) 8 章 v

5 故に効率 η は ( ) ς η (8.-) ここでは に負の符号がついているが これはピッチ点を原点として噛み合いに方向を考えたためについたものであり 添字 と m と の記号の対応と符号をあわせれば上式は Buckhm の与えた式 (8.-) が得られる.4 Nm の式の誘導この場合も同様の方法を用いて求められる ただしここでは 対噛み合い状態での法線力 は等分に配分される つまり / が作用するものとし 摩擦係数 は全区間に亘って一定とする そして作用線上のかみ合い位置を図 8.- のようにとる すなわち 対噛み合い領域は と の区間で 噛み合いは 座標の位置より始まり 座標の位置で終わるものとする 座標はピッチ点 を原点にとりその右側を正とする なお は法線ピッチである 0 A B 図 8.- 作用線上の諸量先に得たのと同様の方法により 一つの歯が噛み合いを初めて で噛み合いが終わるまでの損失はそれぞれの区間での損失の和を求めることにより 次のようになる { } { } d d d d L (8.-3) ここで および は, より ( ) ( ) { } ( ) ( L ) 8 章 v

6 { ( ) } (8.-4) いまεを噛み合い率とし ε, ε とすると ε より こ れを上式 (8.-4) に代入すると L ε ε { ε} (8.-5) 一方 入力 Wを作用線上の移動距離と法線力の積とすれば W (8.-6) さらに mπcos, mz cos の関係を使うことにより 損失率は L ς W (8.-7) π ( ε ε ε ) z Buckhm の式と Nm の式はこのような誘導方法によって得られている 次に述べるMttの式との論点を明らかにするため 上の 個の式の共通の問題点をそれぞれアンダーラインで示した すなわち両式とも入力 Wを作用線上の移動距離と法線力の積としていることを指摘しておく.5 Mtt の式の考察 () 考察のための準備 Mtt の式の考察をするための準備として 個の問題を最初にとりあげる その一つは簡単な摩擦系の問題であり 他の一つは歯面での摩擦力の作用方向の問題である () 摩擦系の力の関係初等的な問題として図 8.-3 に示す簡単な摩擦系の力学を考える ここでは水平面と質量 mを持つ物体の間に摩擦係数 の摩擦面があり 物体には垂直面に対してθの方向から力 が作用しているとする このような系では摩擦面に働く法線力 o はmの重力 mと作用力 の垂直成分 の和であり 摩擦力 はこの法線力 o と摩擦係数 の積で表される (o) ところで作用力の水平成分 はmの加速度 と摩擦力とに釣り合っている したがってこの系の運動方程式は次のようになる s θ m ( m cos θ) (8.-8) ここでの主張は摩擦力は外力ではないということである さらに摩擦力は床面に対しては物体の動く方向に作用する すなわち考察している側に働く摩擦力の方向は 相手側の相対速度の方向に作用するといえる 図 8.-3 の例で言えば物体に働く摩擦力は物体から見て床面は右方向に動くので右向きの摩擦力が働き 床面に作用する摩擦力は物体が動く方向と同じ左向きの力が作用する つまり物体の動きに引き 8 章 v

7 ずられるような力として働く この相対速度は相手側との立場を逆にすれば互いに反対の方向に向くので 摩擦力はそれの働く両側で互いに逆向きの力として働き この部分では平衡がとれていると考えられる θ m m 図 8.-3 摩擦の働く点での力関係 ここでtとして表したとき このを摩擦角と呼ぶ この摩擦角は摩擦力の作用する方向によって 法線力を挟んで左右に振れることになる 以上の事象は力学の初等的課題であるが 後の問題のためにあえて述べた () 歯面に作用する摩擦力の方向 O O M'' M' A' A ' v' v' A A'' '' v'' v'' O () O () 図 8.-4 摩擦のある場合の力の作用線が中心軸線と交わる位置 8 章 v

8 かみ合っている歯面間の相対速度の方向を考えると 近寄りかみ合い状態では駆動側の歯面周速 v は被動側のそれ v よりも小さい その結果 駆動側歯面には被動側歯面に引きずられるような摩擦力が働く 法線力と作用力の間の角は摩擦角 (t ) に等しいので 噛み合い点 M に作用する合力は作用線に対して摩擦角だけ傾いた方向に働き 軸心を結ぶ線との交点はピッチ点よりも被動側によったところ にある ( 図 8.-4()) これに対して遠のき噛み合い領域においては駆動側の歯面周速が被動側のそれよりも大きいために 駆動側歯面には被動側歯面を引っ張るような力が働く そのためこの領域の摩擦力の方向は近寄り噛み合い領域の方向とは反転する そして摩擦角 も近寄り噛み合い領域とは逆の方向にふれ 軸心を結ぶ線との交点 の位置は この場合もやはりピッチ点よりも被動側によった場所にある ( 図 8.-4 ()) () Mtt の効率式 Mtt は上述のように の位置の考察を行った上で 作用線上の力で摩擦損失が求まるかを考察している そのため次のように理論を展開している すなわち摩擦を考慮したときの力の作用点はから に移動しているので 駆動側歯車のモーメントをM 被動側のそれをM とすると M O (8.-9) M O ここで摩擦を考えなければ上式はO/Oに等しくなる それはまた速度伝達比 に等しい 一方 効率はその定義と上の関係を用いれば次のようにして表される M ω M ηt M ω M (8.-0) O O O O M' m ' '' M'' () 図 8.-5 近寄り噛み合い領域と遠のき噛み合い領域での と 間の長さの違い () Mtt はこの関係を旧版 (946) でも改訂版 (954 年版 ) でも次のようにして表しているが その後に 続く記述からしても矛盾していて本文の式が正しい η t O O O O 8 章 v

9 いまピッチ点から接触点 (M, 及び M ) までの距離をとしたとき 同じ大きさのの位置での の長さは近寄り側よりも 遠のき側のほうが小さい ( ' > " ) このこと は M と M において高さ m 或いは を共通辺とする関係によって明らかにすることができる すなわち図 8.-5() においては mπ/-() よ り s ' (8.-) cos ( ) また図 8.-5() では π/-(-) したがって s '' (8.-) cos ( ) ここで cos(-)>cos() が常に成立するので < である したがってO >O で ピッチ点から同じ距離 にある噛み合い点の効率は式 (8.-0) より図 8.-5 () の場合つまり遠のき噛み合い領域では 図 8.-5 () の近寄り噛み合い領域の効率よりも大きいことがわかる Mtt はこのような考察をした上で 次のように述べている Io ths dc, whch s qut ll, th m oml tooth cto o ttl lod wll sc. すなわち この の違いの差 ( 噛み合い領域による効率の差 ) は十分小さいので無視すると ( ピッチ円の ) 接線力 に対する歯の平均的な法線方向の反力はscとなる と しかしこの記述には少し飛躍がある すなわちO O の大きさを議論しているにもかかわらず それをいきなりO とO の差にすり替えて 歯に作用する反力を法線力としていることを指摘できるが ここでの問題からみれば このことは上記のような仮定をおいたということで本質的な事柄ではない いま ピッチ円上の変位をδuとすれば 歯車の角変位は駆動側はδu / 被動側はδu / であるので かみ合い点での歯面間の滑りの量 δsの大きさは δ s δu (8.-) ここで とすると 摩擦による損失は δu (8.-3) cos 駆動歯車が行った仕事はδuであるので瞬間的な効率は 原文では δu を δ としている このような表示にすると作用線上の微小変位と紛らわしのでここでは δ を δu とした 8 章 v

10 δu L ηt δu (8.-4) cos 歯がかみ合っているときの全体の損失はこの瞬間的な損失を噛み合い区間に亘って積分すれば得られる そしてそのときの入力は W δu (8.-5) ここで作用線上の微小変位 δとδuの関係はδδucosを考慮すれば Buckhm の式を誘導したのと同じ方法により 効率式は式 (8.-4) と同じように次のように与えられる m η (8.-6) cos m この式はcos であることを考えれば 先に示した Buckhm の式と全く同じである.6 Mtt の式と Buckhm の式との考え方の違い Mtt の式と Buckhm の式の決定的な違いは上記の英文部分と次の Buckhm の記述にある Th ccy c wtt mo smly d ctly y cosd th wok ut to qul to ω 入力をω( この記号は本文に合わせて書き換えてある ) に等しいと考えることによって効率は正確に そしてより簡単に書き表すことができる すなわち Buckhm は前提条件なしに作用線上の力と作用線上の変位の積を入力としたのに対して Mtt は摩擦力を考察した上で 論理的には無理があったがピッチ円の接線力とピッチ円周上の変位の積を入力とした なおピッチ円上の仕事で考えるか 法線上の仕事で考えるかは基本的には同じことである ここでの問題は Buckhm は入力を考えるのに摩擦による作用力の変化を考慮することなく 効率式を得た誘導過程にある Buckhm は 893 年から 97 年までに発表された3 件の文献名を紹介し それらをまとめた式として Cl 教授の式を引用したとしているので 入力を取り扱う上での前提条件 ( つまり作用線上の力は近似値として扱うという条件 ) は念頭にあったどうかは定かでない しかしこれ以後の文献では Buckhm の式を厳密解のようにして紹介していることに問題がある 8 章 v