中学校数学科における二元一次方程式の関数的見方に関する理論的分析

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1 論文 教材学研究第 26 巻 (2015) 中学校数学科における二元一次方程式の関数的見方に関する理論的分析 - 数学的概念の二面性を視点として - An Analysis of Functional View into the Liner Equation with Two Unknowns in a Middle School Textbook: Focused on the Dual Nature of Mathematical Conception 筑波大学大学院人間総合科学研究科榎本哲士 ENOMOTO Satoshi, Graduate School of Comprehensive Human Sciences, University of Tsukuba 1. 問題意識及び研究目的二元一次方程式は, その式の特徴から計算の過程を表す式や相等関係を表す式, 一次関数を表す式というように多様に解釈をすることが可能である 1). このような方程式の解釈の可能性から, 中学校第 2 学年ではグラフを用いた二元一次方程式の解法 ( 以下, 関数的アプローチとする ) を学習するために, 二元一次方程式を一次関数を表す式とみる学習が計画されている 2). 関数的アプローチとは, 方程式に対応する関数関係を見出して, 関数の表現であるグラフ 表にその数量関係を表すことを通して方程式の解を求める方法 ( 榎本,2013,p. 28) である. このアプローチを用いて方程式の解を求めるためには, 方程式が表す数量関係を相等関係から関数関係へと見直す必要性がある 3). つまり, 関数的アプローチは方程式を関数を表す式とみることによって支えられるのである. 上記した関数的アプローチに関する驚くべき生徒の実態が全国学力 学習状況調査の結果より明らかになっている. 平成 21 年度全国学力 学習状況調査において, 二元一次方程式を一次関数を表す式とみること を評価する問題が出題された. この問題の結果から, 二元一次方程式を一次関数を表す式とみることに関する生徒の実態として, 二元一次方程式のグラフを直線ではなく座標平面上の格子点のみの離散的なグラフ と捉える生徒の傾向が明らかになった 4). このような傾 向を示す生徒への学習指導として, 国立教育政策研究所 (2009) は 二元一次方程式の解が無数にあること の理解を深め, 二元一次方程式のグラフをかくときには格子点だけでなく, 小数や分数を座標とする点も取り, 直線になること に気づかせる必要があるとした. この提案は調査結果に基づいたものであるため, 二元一次方程式のグラフを直線ではなく座標平面上の格子点のみの離散的なグラフ と捉える生徒に対しては一定の効果が期待できる. しかしながら, 提案された具体的な内容は二元一次方程式のグラフが直線になるという事実を生徒に見せているにすぎず, 二元一次方程式を一次関数とみることに関する学習指導の提案とはなっていない. そのため, 生徒が二元一次方程式と一次関数に関する数学的概念を関連づけるにはどのような配慮から学習指導を計画する必要があるのか, あるいはこのような生徒の実態を生起させないためにはどのような配慮が必要なのか, については明らかになっていない. 上記の問いに応えるためには, 二元一次方程式を解く方法である関数的アプローチや, それを支える二元一次方程式の関数的な見方に関する学習において, その学習対象となる数学的概念に特有な困難性の特定が行われなければならない. このようなことから, 生徒が数学科授業で使用する教科書において, 二元一次方程式を関数を表す式とみる ことがどのように取り扱われているのかを分析する 49

2 ことが必要である. 以上より, 本稿の目的は, 教科書に掲載されている二元一次方程式のグラフに関する内容に焦点を当て, 二元一次方程式に対する関数的見方の特徴を明らかにすることである. この目的を達成するために, 本稿では教科書に記載されている二元一次方程式を一次関数を表す式とみる活動を数学的概念の二面性から理論的に分析する. 2. 式の見方と関数的アプローチの関係本章では, 代数的な式の見方に関する Sfard と Linchevski(1994) の提案と, その基礎的研究である Sfard(1991) を概観し, 式の見方と関数的アプローチとの関係から教科書分析の視点を導出する. (1) 数学的概念の二面性 Sfard(1991) は, 様々な数学的定義や数学的表現の分析から, ある数学的概念に対して, プロセスとして操作的に, また対象として構造的に捉えることができるとし, 数学的概念形成の過程を操作的コンセプションから構造的コンセプションへの移行として主張した. その分析の中で,Sfard は歴史的に多くの数学的概念が構造的な定義や表現として定式化されるよりも前に, 操作的に捉えられてきたということを明らかにし, それを認識論的な拠り所とした. そのため, 操作から構造という順序性が保たれ, 数学学習における概念形成においてもあてはまることを論じたのである. また, 一方で Sfard(1991) は心理学的な立場から個人の学習過程へアプローチし, 操作的コンセプションから構造的コンセプションへの移行が interiorization,condensation, reification という 3 つの段階を経ていくと主張し, この 3 つの段階を経ることで実態を持たない数学的概念がモノ化 (reify) されると述べたのである. 加えて,Sfard(1991) はこれら 3 つの段階のうち,interiorization と condensation が漸次的 量的な変化であるのに対して,reification は瞬時的 質的な飛躍であると特徴づけ,reification を 馴染みのある対象を全体的に新たな観点から見直すという突発的な能力を要する存在論的シフト 5) (Sfard,1991,p.19) であると説明した. このように Sfard は数学的概念の二面性の特徴を指摘したのである. (2) 数学的概念の二面性による式の見方整式や方程式, 関数の式のような文字式における二面性はどのように特徴付けられるのであろうか. この点について Sfard と Linchevski(1994) によれば, 文字式それ自体は意味を内包するものではなく, 学習者によってはじめてその意味づけがなされるのである. そして, その意味づけにおいて数学的概念の二面性が関与するとし, 文字式における二面性を特徴づけた. それは, 文字式を計算過程として捉えれば操作的であり, 数や関数として捉えれば構造的であるというものである. 例えば, 文字式 3 (x+5) +1 に対して, x に 5 を足して 3 倍し,1 を足す という計算過程と見れば操作的であり,1 つの数としてみるか, あるいは x に依存する一次関数としてみれば構造的なのである 6). このように文字式は, それ自身をいかにみるのかによって, その式に付与する意味が異なるのである. このように指摘した上で Sfard ら (1994) は, 数学的概念の二面性に基づいた概念形成理論である reification 理論を用いて, 代数史の分析を行った. その分析の結果から, 一般化された算術としての代数 が概念化され, 操作的コンセプションと構造的コンセプションの分析対象となった. Sfard らによる代数史の分析結果は, 表 1 のように整理された. 表 1 は Sfard らが示しているものの一部抜粋である. 表 1 のように代数史が整理されたことによって, 代数における焦点の移行が 2 つ存在することが明らかになった. 一つ目の移行は 50

3 数値の計算 から 計算のプロ ダクト への移行であり, 二つ目の移行はそ こから 関数 への移行である. 第一 の移行では, 未知数としての文字の導入によ り, 文字式が計算の過程だけではなく, その 結果 ( プロダクト ) も同時に表すことになる. 一方, 第二の移行では, 未知数による定数値 代数から変数による関数的代数へと文字式に 対する見方の焦点が変更される. 表 1 におけ る定数値代数と関数的代数の質的な違いは, 式が数値を表す表現から関数を表す表現へと 変化していることである. さらに, その質的 な違いに伴って, 式の中で扱われる文字の意 味が未知数から変数へと変化するのである 7). 段階焦点表現一般化された算術としての代1.1. 操作的 1.2. 構造的数8) 表 1: 代数の発展の段階 数値の計算 計算のプロダクト ( 定数値代数 ) 言語的表現言語的表現と記号的表現 記号的表現 ( 未知数としての文字 ) 記号的表現 関数 ( 変数としての ( 関数的代数 ) 文字 ) してみる立場である. この見方に基づいて等式 ax+by=c ( a,b,c は定数 ) をみて, 等式を y について解くことで一次関数としてみることが可能となる 9). 上述のような等式に対する二通りの見方から, 二元一次方程式の解を求める方法も二通り存在する. 第一の見方による二元一次方程式の解法とは, 二元一次方程式 ax+by=c ( a, b,c は定数 ) を満たす x,y の値の組を求めることである. 対して, 第二の見方による二元一次方程式の解法とは, 二元一次方程式 ax+by=c ( a,b,c は定数 ) を一次関数を表す式として見直し, その関数関係をグラフに表現することで二元一次方程式の解を求める方法である. この方法は, 等式の性質に基づいて形式的に式を変形して解を求める方法に対して, 関数関係をグラフに表すことによって図的に解を求めていることになり, 方程式と関数とを統一的な立場で考えるための基礎となるのである. 上記のような方程式の解法について, 榎本 (2013) は前者を 代数的アプローチ, 後者を 関数的アプローチ と規定し, その関係を図 1 のように示した. (3) 式の見方と関数的アプローチとの関係にみる教科書分析の視点上記のように Sfard ら (1994) は数学的概念の二面性から式の見方と, その歴史的変遷について整理をしている. このような式の見方から, 等式 ax+by=c ( a,b,c は定数 ) をみてみると二通りの見方が存在する. 第一の見方は, 等式の中の文字 x,y を未知数としてみる立場である. この見方に基づいて等式 ax+by=c ( a,b,c は定数 ) をみると, 未知数 x,y に関する相等関係を表す二元一次方程式とみることが可能になる. 一方, 第二の見方は, 等式の中の文字 x,y を変数と 図 1: 方程式解決における 2 つのアプローチ 10) 関数的アプローチによって, 二元一次方程式 ax+by=c ( a,b,c は定数 ) の解を求めるためには, 二元一次方程式を一次関数を表す式とみる必要があり, 二元一次方程式の表す数量関係を相等関係から関数関係へと見直す 51

4 必要がある. このように方程式の見方を変更するためには, 関数概念との関連が重要となる. それは,Sfard ら (1994) が述べるように文字式それ自体は意味を内包するものではなく, 文字式をみる者によってはじめてその意味づけがなされるからである. つまり, 二元一次方程式を関数とみることは, 方程式をみる人の目的や意思によって決まり, みる人の保持する関数概念に影響されると考えられる. Sfard(1991) が提案した数学的概念の二面性に依拠し, 関数概念が持つ操作的側面と構造的側面を特定した研究として,Sfard (1992) と Moschkovich ら (1993) がある. Sfard(1992) は, 式やアルゴリズムをもとに変数の値ごとに計算をするという関数の捉え方を操作的とし, 一方で関数自体をモノのように捉えることを構造的な捉え方とした. そして, 関数を順序対の集合とする捉え方はその典型的な例であると述べた 11). Moschkovich ら (1993) も Sfard(1992) の分類と類似した関数の見方を指摘している. 彼女らは, 関数の操作的見方を x の値と y の値の対応という見方 とし, 関数の構造的な見方を 関数を対象として捉える見方 とした. 前者は, 関数の式を用いて x の値から y の値を求める計算が志向される見方であり, 後者は関数を実体として捉え, その性質を志向する見方である. 例えば, 一次関数を座標平面に表すことで, ある範囲の順序対を全て表すことができ, そのグラフは直線となる. このように, 傾き ( 変化の割合 ) が一定であるという一次関数の性質を志向した見方が, 関数の構造的な見方である 12). 数学的概念形成における, 上記のような関数概念の捉え方から, 生徒の理解が操作的な理解に留まり, 構造的な理解に至っていないとの指摘がなされてきた ( 例えば,Sfard, 1992). このような指摘から, 二元一次方程式を関数を表す式とみる際には, 関数を操作 的に捉えて方程式をみる場合と関数を構造的に捉えて方程式をみる場合とが考えられる. このような 2 つの場合が実際に教科書上, 存在するのか, 存在するのであればどのように存在するのかを明らかにする必要があるだろう. 3. 教科書における 二元一次方程式を関数を表す式とみる ことの理論的分析 (1) 教科書分析の方法本章では, まず 二元一次方程式を関数を表す式とみる ことが教科書においてどのように扱われているのか, その取扱いについて特定をする. 次に, 特定された具体的な活動を 2(3) で述べた分析の視点 ( 関数の操作的な捉え方と構造的な捉え方 ) に基づいて理論的な分析をし, 二元一次方程式を関数を表す式とみる際の見方とその特徴を明らかにする. (2) 教科書における二元一次方程式を関数的にみる学習内容の取扱い中学校学習指導要領によると中学校数学科における二元一次方程式に関する内容は, A. 数と式 と C. 関数 といった二つの領域にまたがって取り扱われている. A. 数と式 領域では二元一次方程式に関する主な内容として, 二元一次方程式とその解の意味を理解すること, 連立二元一次方程式の必要性と意味及びその解の意味を理解すること, 簡単な連立二元一次方程式を解くこと及びそれを具体的な場面で活用すること の 3 点があげられている. 一方, C. 関数 領域では二元一次方程式に関する内容として 二元一次方程式を関数を表す式とみること があげられている. これは, C. 関数 領域の目標にある 一次関数について理解するとともに, 関数関係を見いだし表現し考察する能力 を身に付けさせるために, 生徒が習得すべき内容として位置づいていると考えられる. では, 二元一次方程式を関数を表す式と 52

5 みること は, 具体的にどのような活動を通して学習されるのであろうか. 本稿では現行の学習指導要領に準拠し作成された東京書籍の教科書をもとに分析を進めていく. それは採択冊数が多く, 教科書採択率の 30% を占めているからである. 東京書籍の中学校第 2 学年用教科書において二元一次方程式に関する学習は表 2 のように計画されている 13). 14) 表 2: 二元一次方程式の学習に関連する単元構成 2 章連立方程式 1 節連立方程式とその解き方 1 連立方程式とその解の意味 2 連立方程式の解き方 3 いろいろな連立方程式 3 章一次関数 1 節一次関数 1 一次関数 2 一次関数の値の変化 3 一次関数のグラフ 4 一次関数を求めること 5 一次関数とみなすこと 2 節一次関数と方程式 1 二元一次方程式のグラフ 2 一次関数のグラフの利用 3 連立方程式とグラフ 表 2 は平成 24 年に発行された東京書籍の中学校第 2 学年用教科書における二元一次方程式に関連する単元構成である. 二元一次方程式を関数を表す式とみること に関する学習内容は, 表 2 に示された単元構成でみると 3 章 2 節一次関数と方程式 のうちの 1 二元一次方程式のグラフ に位置づいている. この 二元一次方程式のグラフ に関する学習に至るまでには, 教科書の単元構成上, 2 章連立方程式 において 連立方程式とその解の意味 や 連立方程式の解き方, いろいろな連立方程式 に関する学習が計画されている. また, 3 章一次関数 においても, 一次関数の定義 一次関数の値の変 化 一次関数のグラフ 一次関数を求めること 一次関数とみなすこと に関する学習が計画されている. このように計画された単元 連立方程式 において, 二元一次方程式とその解の意味 連立方程式とその解の意味 といった方程式の意味に関わる学習と, 連立方程式の解き方 ( 加減法, 代入法 ) に関わる学習とが進められる. そして, 単元 一次関数 において, 具体的な事象における二つの数量の変化や対応を調べることを通して, 一次関数について考察し理解を深めたり, 一次関数の変化や対応の特徴を捉えるために表, 式, グラフを用いたりする学習が進められる. このような学習の後に 二元一次方程式のグラフ に関する内容が位置づいている ( 表 2). このように単元構成がなされていることから, 二元一次方程式のグラフ に関する学習は, 連立方程式 一次関数 それぞれの単元で学習した概念を関連づけさせるための内容であることが分かる. 教科書上, 二元一次方程式のグラフ に関する学習活動は具体的にどのような活動によって展開されるのであろうか. また, その活動と 二元一次方程式を関数を表す式とみる ことがいかに関連づけられているのだろうか. 平成 24 年に発行された東京書籍の教科書では, 二元一次方程式のグラフ において, まず二元一次方程式 x+2y-2=0 が与えられる. そして, 与えられた二元一次方程式 x+2y-2=0 の中の文字 x に対して,-5 から5までの整数を代入し,x に対応する y の値を表に整理する活動が設定されている. この活動において x に対応する y の値を表中に整理し, その表の値を座標とする点を座標平面上に表現する. そして, 離散的な点によって構成されたグラフと直線のグラフの 2 つのグラフが並べて示される 15). 次に, 二元一次方程式を y について解き, 53

6 その式が一次関数の式の形 y=ax+b a b は のグラフ に関わる学習では 二元一次方 定数 になるということや x の値を決め 程式を関数を表す式とみる ことが学習を進 たら y の値がただ一つ決まる という関数 めるための主たる活動であった の定義に基づいて二元一次方程式を一次関数 二元一次方程式のグラフ では 二元一 として見直すのである 図 2 次方程式を関数を表す式とみる ために 二 元一次方程式の中の文字 x に数値を代入し y の値を計算して表にまとめる活動と 二元一 次方程式を y について解き y=ax+b から一次 関数のグラフの特徴 傾き 切片 を読み取 る活動の大きく二つの活動が設定されていた 以上から 二元一次方程式を関数を表す 式とみる ことは 教科書上 二元一次方 図 2 二元一次方程式を関数とみる活動 16) 程式のグラフ に関する内容として取り扱わ 図 2 のように二元一次方程式①を一次関数 れていることが明らかになった そして 二 の式②へと見直した後で 二元一次方程式の 元一次方程式を関数を表す式とみる に関わ グラフが直線になるということを確認する活 る活動として 2 つの活動が位置づいているこ 動が設定されている この活動では 図 2 の とが明らかになった それは 二元一次方程 ような活動によって一次関数と見直された式 式の中の文字 x に数値を代入し y の値を計 y=- x+1 から一次関数のグラフの特徴であ 算して表にまとめる活動と 二元一次方程式 る傾きや切片を読み取ることが行われる そ を y について解き y=ax+b から一次関数の して 一次関数のグラフが直線であるという グラフの特徴 傾き 切片 を読み取る活動 ことを前提にして 二元一次方程式のグラフ である ½ ３ 関数の捉え方を視点とした二元一次方程式 が座標平面上で直線として表されることが確 の見方の分析 認される また そのグラフが二元一次方程 式の解を表し 解を座標とする点の集合であ 二元一次方程式を関数を表す式とみるこ ることも確認される 図 3 と に関する学習には上記した 2 つの活動が 設定されていた それは 二元一次方程式の x の値に対応する y の値を求め その数値を 表に整理する活動と 二元一次方程式を y に ついて解き その式が一次関数の式 y=ax+b になることを確認する活動の 2 つである 前 者の活動では 二元一次方程式の中の文字 x に数値を代入し y の値を計算することを通 図 3 二元一次方程式のグラフの意味 17) して x の値に対応する y の値を求めている 上記から 二元一次方程式のグラフ に 一方 後者の活動では 二元一次方程式を y 関する学習は 二元一次方程式のグラフが直 について解くことで 与式を一次関数を表す 線であることと 二元一次方程式のグラフが 式とみて その式 y=ax+b から一次関数のグ 二元一次方程式の解を座標とする点の集合で ラフの特徴 傾きと切片 を求める活動が行 あることを理解するための内容として位置づ われる けられている このような 二元一次方程式 こ れ ら 2 つ の 活 動 は Sfard 1992 と 54

7 Moschkovich ら (1993) の述べる関数の操作的見方と構造的見方にそれぞれ合致する.Sfard(1992) の指摘した関数の見方とは, 次のようなものであった. それは, 式やアルゴリズムをもとに変数の値ごとに計算をするという関数の捉え方を操作的とし, 一方で関数自体をモノのように捉えることは構造的な捉え方であるというものである. Moschkovich ら (1993) も同様に, 関数の操作的な見方を x の値と y の値の対応という見方 とし, 関数の構造的な見方を 関数を対象として捉える見方 としていた. Sfard(1992) と Moschkovich ら (1993) は双方とも, 関数の式に数値を代入し計算することを関数の操作的な捉え方とし, 関数を一つの実体としてみて, その性質や特徴を捉えようとすることを関数の構造的な捉え方としている点で共通していた. この 2 つの捉え方から, 二元一次方程式を関数を表す式とみる ことに関わる 2 つの活動を見てみると, 二元一次方程式の中の文字 x に数値を代入し,y の値を計算して表にまとめる活動は関数の操作的な捉え方に, 二元一次方程式を y について解き,y=ax+b から一次関数のグラフの特徴 ( 傾き, 切片 ) を読み取る活動は関数の構造的な捉え方に, それぞれ合致している. それは, 二元一次方程式の中の文字 x に数値を代入し,y の値を計算して表にまとめる活動では, 関数を実体とは捉えておらず, 式やアルゴリズムをもとにした変数の値ごとの計算が行われているからである. 対して, 二元一次方程式を y について解き,y=ax+b から一次関数のグラフの特徴 ( 傾き, 切片 ) を読み取る活動では, 一次関数を対応関係という実体として捉え, そのグラフの特徴を読み取ることが行われ, 数値計算は行われないからである. 以上より, 二元一次方程式を関数を表す式とみる 見方には二通りの見方が存在する ことが数学的概念の二面性を視点とすることで明らかになった. それは, 関数の操作的な捉え方から二元一次方程式をみる見方と関数の構造的な捉え方から二元一次方程式をみる見方である. 関数の操作的捉え方から二元一次方程式をみる際には, 二元一次方程式の中の文字 x に数値を代入し y の値を求める活動が行われる. 対して, 関数の構造的捉え方から二元一次方程式をみる際は, 二元一次方程式を y について解き,y=ax+b から一次関数のグラフの特徴 ( 傾き, 切片 ) を読み取る活動が行われる. 4. 考察 : 実態調査に向けた仮説の生成 3(3) で述べたように, 二元一次方程式を関数を表す式とみる 見方には二通りの見方が存在する. それは, 関数概念を保持する者がどのように関数を捉えているのか ( 関数の操作的捉え方か構造的捉え方 ) に依存するものであった. これは, 数学的概念の二面性という立場から, 関数概念に関する生徒の理解が操作的な理解に留まり, 構造的な理解に至っていないという Sfard(1992) の指摘にも関連する. つまり, 二元一次方程式を関数を表す式とみる こととは, 二元一次方程式という式表現の中に関数概念を映し出すことであるため, 映し出す関数概念が理想的に構造的コンセプションまで形成されていなければ映し出すことは不可能となるのである. 以上のようなことから, 次のような仮説が生じた. それは, 生徒が関数を操作的に捉えているのか, あるいは構造的に捉えているのかによって, 生徒の選択する二元一次方程式のグラフに差異が生じるのではないだろうか, というものである. 5. まとめと今後の課題本稿の成果及び主張は, 次のようにまとめられる. まず, 二元一次方程式を関数を表す 55

8 式とみる二通りの見方を教科書の分析から理論的に特定したことである. そして, その二通りの見方から新たな仮説が生成されたことである. 今後の課題は, 二元一次方程式を関数を表す式とみる見方と生成した仮説を基にした実態調査を設計し, 仮説に関して実証的に検証していくことである. 引用文献 1) Sfard, A., & Linchevski, L., The Gain and the Pitfalls of Reification : The Case of Algebra, Educational Studies in Mathe -matics, 26, 1994, ) 文部科学省, 中学校学習指導要領解説数学編, 教育出版,2008, ) 榎本哲士, 学校数学における文字式の理解を捉える枠組みの構築 : 関数的アプローチを視点として, 日本数学教育学会誌数学教育学論究, 第 95 巻, ) 国立教育政策研究所, 平成 21 年度全国学力 学習状況調査 中学校 調査結果概要, 国立教育政策研究所,2009. 榎本哲士, 中学校数学科における文字式の理解に関する一考察 : 方程式とその解の意味に焦点を当てて, 日本数学教育学会第 43 回数学教育論文発表会論文集, ) Sfard, A., On the Dual Nature of Mathematical Conception: Reflection on Processes and Objects as Different Sides of the Same Coin, Educational Studies in Mathematics, 22,1991, 19. 6) 前掲書 1) 7) 前掲書 1) 8) 前掲書 1) 203 9) 前掲書 2) 鎗田宏一, 方程式と関数との関係およびその指導. 戸田清 和田義信 ( 編 ), 中学校数学指導実例講座第 4 巻関数関係の指導, 金子書房,1961, ) 前掲書 3) 30 11) Sfard, A., Operational Origins of Mathematical Objects and The Quandary of Reification: The Case of Function, In G.Harel & E.Dubinsky (Eds.), The Concept of Function: Aspects of Epistemology and Pedagogy, Mathematical Association of America, 1992, ) Moschkovich, J., Schoenfeld, A. H., Arcavi, A., Aspect of Understanding : On Multiple Perspectives and Repre -sentations of Liner Relations and Connections Among Them, In T. Romberg, E. Fennema & T. Carpenter (Eds.), Integrating Research on the Graphical Representation of Functions, LEA, 1993, ) 藤井斉亮ほか, 新しい数学 2, 東京書籍, ) 前掲書 13) 15) 前掲書 13) 73 16) 前掲書 13) 17) 前掲書 13) Abstract The aim of this study is to clarify characteristics of a functional view into the liner equation with two unknowns in textbook. For the aim of this study, we theoretically analyzed an activity that students must transform the view of the liner equation in textbook; from "equality" to a "functional relationship". As a result, this paper identified two way of functional view into the liner equation. And a new hypothesis was caused from the result of analysis in this paper. 56