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くにひとこいたばし
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1 015 Feb. 0th 最終改訂分散分析の不確かさ評価への利用産業技術総合研究所計測標準研究部門城野克広 1

2 この資料は産業技術総合研究所計測標準研究部門城野克広主任研究員が作成したものですにて公開しております上のサイトでは分散分析プログラム ( Microsoft Excel のマクロ ) も公開しています他にも初歩的なセミナーなどでは飛ばしてしまいがちな話やトピカルな話題研究レベルの話題をとりあげております. 個人的な勉強などの私的利用を想定してアップロードしておりますので私的利用の範囲を越えると判断される場合にはご一報下さい. プログラムや資料に誤りがあった場合にも責任は持ちませんのでご自身で内容をよく精査してお使い下さい. 誤りなどを指摘して下さいますとありがたいです.

3 とりあえずやってみようとりあえずやってみよう 3

4 リボンを 3 名の方に配りますめいめいが 10 cm と思う長さに切って下さい最初に切ったものを目安にして同じ長さにリボンをあと本切ってください ( 計 3 本 ) 4

5 測定結果甲さん乙さん丙さん 9.6 cm 10.4 cm 8. cm 9. cm 10.7 cm 8.3 cm 9.4 cm 10.5 cm 8.7 cm 5

6 これを単純に 9 回の繰返しと見ますと標準偏差 = cm およそ大人が 10 cm と思って切ったリボンのばらつきは上のようなものと言えるでしょうか? 6

7 3 つの平均値に着目します甲さん乙さん丙さん cm cm cm これを単純に 3 回の繰返しと見ますと標準偏差 = cm 7

8 なんだかそう簡単な話じゃなそうです要員の効果 Difference in operators 甲乙 C 繰返しの効果 Errors in repetitions 8

9 分散分析いくつかの要因がばらつきに関与しているとき適切な実験が行われていればそれらを分離して評価することができる分析手法普通はその要因のいくつかの効果があるかないかを定性的に判断するために使うが不確かさ評価では定量的に用いる 9

10 分散分析しますと要員の標準偏差 = cm 繰返しの標準偏差 = 0.11 cm それでどうするの? というのはまた後でとりあえずは適切な実験について 10

11 じっけんけいかく実験計画 11

12 因子 / 水準因子 : 施設要員日などの調べたい対象施設と要員について調べるときには因子数は水準 : 因子を調べるために準備される品目施設が因子の場合に施設 Aと施設 Bで試験するとき施設 Aと施設 Bが水準で水準数は 1

13 母数因子 / 変量因子母数因子というのは取りうる水準の全てを調べることができる因子変量因子というのは取りうる水準のいくつかしか調べることができない因子不確かさ評価の対象となるのは変量因子が多い母数因子が考えられることは少ない 13

14 対応がある / 対応がない施設と要員の影響を調べるため施設 A で名の要員 ( 甲と乙 ) に施設 B で名の要員 ( 甲と乙 ) に試験をしてもらいました施設 A 甲乙施設 B 甲乙 14

15 さて甲は何人いるでしょうか? A B 甲乙甲乙 15

16 実はひとりかも知れない A B 甲乙甲乙 16

17 A B 要員に対応がある Operators are crossed. 甲乙甲乙 A B 要員に対応がない Personnel are nested. 甲乙甲乙 17

18 クイズ 1 要員には対応があるが施設に対応がない場合のシナリオを考えてみて下さい A B A B 甲甲乙乙 18

19 メモ 19

20 多元配置 ( 一元配置二元 ) すべての因子に対応がある A B 甲乙甲乙 0

21 多元配置のよいところと思う方にチェック要員や施設が少なくて済む交互作用が調べられる 1

22 交互作用 A 甲乙 B 甲は施設 A で高い値を出し施設 B では低い値を出す乙は施設 A で高い値を出し施設 B では低い値を出すこういう相性のことを交互作用と呼ぶ

23 多段枝分かれ ( 二段枝分かれ ) ひとつをのぞいて因子に対応がないひとつしか因子がないときは一元配置です A B 甲乙甲乙 3

24 枝分かれのよいところと思う方にチェック同じ実験回数で多くの要員を調べられる施設に対応があり要員に対応がない場合交互作用を考えなくてもよい 4

25 二段枝分かれ繰返し回とすると 8 回の実験から 4 人分検討できる ( 二元配置では人分 ) A B 甲乙甲乙 5

26 多元配置では同じ実験の規模では小さい水準数しか検討できないあるいは一定の水準数を調べようとすると実験の規模が大きくなる多段枝分かれでは交互作用について検討することができない交互作用があると思われる場面で使用するのは難しい多元配置多段枝分かれ利点交互作用の検討可実験回数が小さくなる欠点実験回数が大きくなる交互作用の検討不可 6

27 クイズ下のシナリオが 3 元配置でも 3 段枝分かれでもないことを確かめて下さい A B 1 日目甲乙甲 A 乙 B 日目甲乙甲乙 7

28 メモ 8

29 実験計画必要な情報が得られるようにシナリオ立てをすることを実験計画を立てるという実験計画を立てるときランダム化が必要 9

30 クイズ 3 各施設で各要員が回繰り返しの二元配置どんな順序でどの条件で実験するのがよいでしょうか? A B 甲乙甲乙 30

31 メモ 31

32 完全なランダム化はかなり大変不確かさ評価では多元配置はあまりやらない例えば因子をまとめて一元配置に例えば交互作用はないとして枝分かれ法 3

33 ほかの実験計画用語交互作用を調べたい完全なランダム化は難しいコストがかかってもなんとかしたい分割法余分な因子を増やして対応する不確かさ評価ではあまり使われない 33

34 ほかの実験計画用語いくつかの交互作用を調べたい因子数が増えると実験回数が膨大に実験数をなんとか減らしたい直交表他の交互作用は無視して回数を減らす不確かさ評価ではあまり使われない 34

35 メモ 35

36 いちげんはいちのけいさん一元配置の計算 36

37 リボンの例で考えましょう甲さん乙さん丙さん 9.6 cm 10.4 cm 8. cm 9. cm 10.7 cm 8.3 cm 9.4 cm 10.5 cm 8.7 cm 37

38 甲だけ見れば繰返しの分散は ( ) +(9. 9.4) +( ) cm 38

39 乙だけなら 0.03 cm 乙だけなら cm 平均をとって cm 39

40 3 回繰返しなのだからその平均値の分散は cm 40

41 3 つの平均値に着目します甲さん乙さん丙さん cm cm cm これを単純に 3 回の繰返しと見ますと分散 = cm 41

42 このうち繰返しで説明しきれない分が要員の効果となります = 1.14 cm 甲乙 C 4

43 こんなの面倒くさくてやってられない分散分析表よく使われる実験計画の解析のために準備された表 43

44 一元配置の分散分析表一つ目の因子を A( 水準数 a ) 繰返し n 回とする A は因子 A の分散 e は繰返しの分散因子 S ( 平方和 ) f ( 自由度 ) V ( 平均平方 ) 平均平方の期待値 A S x f A =a 1 V A =S A /f A e + n i x a 繰返し S x f e =a(n 1) V e =S e /f e e ij x i e 総和 A S a n i 1 j 1 a n i 1 j 1 a n i 1 j 1 x ij x f= an 1 44

45 この分散分析表から平均平方と因子の分散の関係が求まる V A e + n a V e e a (V A V e )/n 45

46 要注意先の式はあくまで近似 ( = ではなく ) ばらつきの範囲で V A < V e となり s A がマイナスになることがあるそういうときには因子 A の効果は小さいと判断して一元配置ではなく単なる繰返しとして解析すればよい 46

47 じれいとぽいんと事例とポイント 47

48 マイクロピペットの校正マイクロピペットの操作は人によって違う ( 要員の違い ) 同じ人でも日によってばらつきがある ( 日の違い ) 48

49 こんな実験計画? 1 日目日目甲乙丙甲乙丙 49

50 実際はこうした 1 日目日目 3 日目甲乙丙 50

51 さてどちらでしょう? 要員と日間が分けられないだからこれじゃダメだ要員と日間が分けられないだけどこれでよい 51

52 どうせ足すのだから要員の効果の標準偏差日間の効果の標準偏差実際の試験でも一名が一日で校正するなら分けなくても構わないもちろん余裕があれば 3 日間それぞれ3 人にやってもらった方がよい 5

53 クイズ 4 いつもは一つの施設で一名の要員が測定する下の二元配置でなく一元配置にしても必要な情報を得ることができるか? A B 甲乙甲乙 53

54 メモ 54

55 恒温槽内の温度分布恒温槽の温度は場所によって異なる ( 場所の違い )

56 一元配置各か所回の繰り返し 1か所目か所目 3か所目温度計温度計温度計 56

57 以下のように求まりました場所の効果の標準偏差 = 1.0 ⁰C 繰返しの標準偏差 = 0.5 ⁰C 全平均と設定温度のずれは 0.0 ⁰C とします 57

58 次にこの恒温槽を実験で使うとき温度は設定温度の 40.0 ⁰C と報告しますがその不確かさは下の式で計算してよいでしょうか? 場所の効果の標準偏差繰返しの標準偏差

59 正解場所の効果の標準偏差繰返しの標準偏差 3 3 場所の効果の標準偏差全平均の不確かさどこを選ぶか分からないのでもうひとつ足しておく 59

60 メモ 60

61 クイズ個の抵抗を標準抵抗として売ります 10 個をサンプルとして選び分散分析します平均は 10.0 でしたサンプルごとの違いの標準偏差は 0.1 繰返しの標準偏差は小さいので無視する残り 90 個の抵抗に 10.0 と値を付けて売りますどんな不確かさを付けたらよいでしょう? ( サンプルごとの違い以外の不確かさは無視 ) 61

62 メモ 6

63 特殊な事例周波数によって ( 特性が変わるべきでないのに ) 変わってしまう入力電圧によって ( 特性が変わるべきではないのに ) 変わってしまう 63

64 分散分析するべき特性この不確かさを知りたいこの範囲で使う周波数入力電圧使用範囲で入力の変化に対して出力の平均的な変化はゼロ ( 傾きゼロ ) しかし不確かさはある 64

65 分散分析するべきでない特性この不確かさを知りたいこの範囲で使う周波数入力電圧やっても構わないが直線の傾きを求めてそれを感度係数とする方法の方が簡単だし応用性も高い 65

66 メモ 66

67 まとめまとめ 67

68 基本的には要員施設場所日など物理的に意味のある数値を与えられないものが因子となるもっというと物理的な不確かさの背景がよく分からなかったりそこにはあんまり興味がない場合参考書 : 田中秀幸著分析測定データの統計処理 - 分析化学データの扱い方 ( 朝倉書店 014) A B 甲乙甲乙 68

69 ふろく : いちげんはいちとにだんえだわかれ付録 : 二元配置と二段枝分かれ 69

70 二元配置の分散分析表一つ目の因子を A( 水準数 a) 二つ目の因子を B ( 水準数 b) 繰返し n 回とする A B は因子 A B の分散 A B は因子 A と因子 B の交互作用の分散 e は繰返しの分散因子 S( 変動 ) f ( 自由度 ) V ( 平均平方 ) 平均平方の期待値 A S A f A = a 1 V A = S A /f A e + n A B + bn A B S B f B = b 1 V B = S B /f B e + n A B + an B A B 交互作用 S A B f A B = (a 1)(b 1) V A B = S A B /f A B e + n A B 繰返し S e f e =ab(n 1) V e = S e /f e e 総和 S f = abn 1 S S A a b n i 1 j 1 k 1 x i x a b n a b n B x j x Se x ijk x ij i 1 j 1 k 1 S AB a b n i 1 j 1 k 1 i 1 j 1 k 1 x ij x i x j x S a n n i 1 j 1 k 1 x ijk x 70

71 二元配置の分散分析表 ( 交互作用無視 ) 一つ目の因子を A( 水準数 a) 二つ目の因子を B ( 水準数 b) 繰返し n 回とする A B は因子 A B の分散 e は繰返しの分散因子 S( 変動 ) f ( 自由度 ) V ( 平均平方 ) 平均平方の期待値 A S A f A = a 1 V A = S A /f A e + bn A B S B f B = b 1 V B = S B /f B e + an B 繰返し S e f e = abn a b+1 V e = S e /f e e 総和 S f = abn 1 S S A e a b n i 1 j 1 k 1 a b n i 1 j 1 k 1 x i x x ijk x i x j x S S B a b n i 1 j 1 k 1 a n n i 1 j 1 k 1 x j x x ijk x 71

72 二段枝分かれの分散分析表一つ目の因子を A( 水準数 a) 二つ目の因子を B ( 水準数 b) 繰返し n 回とする A B は因子 A B の分散 e は繰返しの分散因子 S ( 変動 ) f ( 自由度 ) V ( 分散 ) 分散の期待値 A S A f A = a 1 V A =S A /f A e + n B + bn A B S B f B = a(b 1) V B =S B /f B e + n B 繰返し (e) S e f e =ab(n 1) V e =S e /f e e 総和 S f = abn 1 a b n a b n SA x i x SB x ij x i S e i 1 j 1 k 1 a b n x ijk x ij i 1 j 1 k 1 S a i 1 j 1 k 1 n n i 1 j 1 k 1 x ijk x 7

73 くいずのこたえクイズの答え 73

74 クイズ 1 要員には対応があるが施設に対応がない場合のシナリオを考えてみて下さい A B A * B * 甲甲乙乙 74

75 クイズ下のシナリオが 3 元配置でも 3 段枝分かれでもないことを確かめて下さい施設は対応あり要員は対応なし実験日は対応ありすべて対応がありが多元配置 1 つを除き対応なしが枝分かれ今回はどちらでもないちなみにこのような状況で実験日が積極的な興味の対象でなく仕方なく分けざるを得ないと解釈される場合には実験日はブロックと呼ばれ各ブロックの中でランダムに実験を行うことから因子の乱塊 ( らんかい ) 法と呼ばれる 75

76 クイズ 3 各施設で各要員が回繰り返しの二元配置どんな順序でどの条件で実験するのがよいでしょうか? 施設 A 施設 B 要員甲要員乙上の 1~8 の実験をすべてランダムに実施する 76

77 クイズ 4 いつもは一つの施設で一名の要員が測定する下の二元配置でなく一元配置にしても必要な情報を得ることができるか? A B 甲乙このようにすると要員と施設の効果が区別できなくなる因子が区別できなくなることを交絡 ( こうらく ) するという通常の分散分析では交絡は避けるべきものだが不確かさ評価では積極的に交絡させることがある 77

78 クイズ個の抵抗を標準抵抗として売ります 10 個をサンプルとして選び分散分析します平均は 10.0 でしたサンプルごとの違いの標準偏差は 0.1 繰返しの標準偏差は無視できるほど小さい残り 90 個の抵抗に 10.0 と値を付けて売りますどんな不確かさを付けたらよいでしょう? ( サンプルごとの違い以外の不確かさは無視 )

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Microsoft PowerPoint saitama2.ppt [互換モード] 感度係数について産業技術総合研究所計測標準研究部門物性統計科応用統計研究室城野克広 1 モデル式そして感度係数 2 不確かさの見積もり例例ある液体の体積 v をその質量と密度から求めることにしたまず液体の質量を質量計で 5 回反復測定し測定データ {1., 1., 99.9, 99.7, 1.1 g} を得た一方液体の密度については