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たしろうこうい
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視覚の幾何学 Singl viw gmr prjins 呉海元 @ 和歌山大学参考書佐藤淳 : コンピュータビジョン - 視覚の幾何学 - コロナ社? Cmr ml Singl viw gm.

レンズによる写真投影 ( 物理モデル ) ピンホールカメラ投影投影 (rjins) 射影関係によって決定この関係を記述するカメラモデルが複数ある射影透視変換 ( 中心投影 ) 正射影 (

1 視覚の幾何学 Singl viw gmr prjins 和歌山大学参考書佐藤淳 : コンピュータビジョン - 視覚の幾何学 - コロナ社? Cmr ml Singl viw gm. カメラモデル (Cmr ml) 投影による 3 次元空間から次元画像への変換画像内の一点と 3 次元空間中の光線の関係? レンズによる写真投影 ( 物理モデル ) ピンホールカメラ投影投影 (rjins) 射影関係によって決定この関係を記述するカメラモデルが複数ある射影透視変換 ( 中心投影 ) 正射影 ( 平行投影 ) 平行投影正射影モデル (Orhgrphi) 3D pin D img psiin 透視投影モデル (rspiv) 3D pin D img psiin 投影面 (,, ) (, ) (,, ), 投影中心投影面理想簡単物理モデルに一番近い

ピンホールカメラ (pinhl mr) 像が上下逆転 inhl Oj Img pln 撮像素子が置かれる面を画像面 I (img pln) 全ての光が通過する点 (pinhl) を光学中心 (pil nr) 光学中心と画像面の間の距離を焦点距離 (l

を光学中心の前 ( 対象物側 ) に置くと像が上下逆転せずに投影される投影がより扱いやすくなる普通画像面を対象物側に置いて考えるもちろん光学中心の後ろのまま考える場合もある Img pln inhl Virul Oj img pln 注意 :

軸と光軸と平行透視投影はに関し非線形である (,,) から (,,) へ投影 : ( 相似三角関係より ) ( = ) 幾何関係だけ考える理論系の人はよく = = とする srigh lin si prlllism/ngl shp shp plns

2 ピンホールカメラ (pinhl mr) 像が上下逆転 inhl Oj Img pln 撮像素子が置かれる面を画像面 I (img pln) 全ての光が通過する点 (pinhl) を光学中心 (pil nr) 光学中心と画像面の間の距離を焦点距離 (l lngh) 特徴 : ピント合わせの必要がない投影の幾何学的な性質がそのまま保存されている視覚の幾何を考える上で理想的な性質を持つピンホールカメラから透視投影 (rspiv rjin) へ仮想的に画像面 (Virul img pln) を光学中心の前 ( 対象物側 ) に置くと像が上下逆転せずに投影される投影がより扱いやすくなる普通画像面を対象物側に置いて考えるもちろん光学中心の後ろのまま考える場合もある Img pln inhl Virul Oj img pln 注意 : 軸の方向や画像面の場所によって数式の ± 記号の差がある簡略されたモデル : 透視投影モデル (,, ) (,, ) O 仮定 :. 原点をレンズの中心に. 軸と光軸と平行透視投影はに関し非線形である (,,) から (,,) へ投影 : ( 相似三角関係より ) ( = ) 幾何関係だけ考える理論系の人はよく = = とする srigh lin si prlllism/ngl shp shp plns ph 透視投影の画像 Amsrm: wh u s in his piur? h r Ksr, rr@sr.n hp:// 透視投影 ( まとめ ) Linr rspiv 消失点点点線線面面ポリゴンポリゴン遠い物体が小さい奥行き情報が得られない () 6 Wl Anhn

3 カメラの内部パラメータ I (, ) 画像座標系 :( img, img ) 画像中心 :(, ) カメラ座標系 :( mr, mr ) ワールド座標系 l wrl rins (,, ) 焦点距離 Fl lngh 画素の有効サイズ Eiv si pil in millimr (, ) mr img mr img v u mr mr img img mr mr img img v u v u

3 3 カメラの内部パラメータ I (, ) 画像座標系 :( img, img ) 画像中心 :(, ) カメラ座標系 :( mr, mr ) ワールド座標系 l wrl rins (,, ) 焦点距離 Fl lngh 画素の有効サイズ Eiv si pil in millimr (, ) mr img mr img v u mr mr img img mr mr img img v u v u カメラと画像間のパラメータ同次座標系を導入することによって複雑な座標変換がすべて行列の積で処理できる同次座標系を導入行列ベクトルを導入同次座標導入の利点同次座標を使わない場合一回目のアフィン変換二回目のアフィン変換 M M M M M ) (M M 同次座標を導入した場合 A A A メリット : 座標変換を全て行列の乗算で処理可能線形代数の原理原則は全部使えるようになる同次座標系 Hmgnus Crins 積和積のみ! つ次元を上げると次元座標変換 ( 回転 + 移動 ): C V 次元座標変換 ( 回転 + 移動 ): つ次元を上げると C V ピンホールカメラモデルワールド座標系と理想なカメラの関係 mr mr mr img mr img mr mr img img カメラの内部パラメータ img img カメラ座標系と画像座標系の関係 : ワールド座標系と画像座標系の関係 : A 行列

img img カメラの内部パラメータ (K 行列 ) 画像座標系 :( img, img ) 画像中心 :(, ) カメラ座標系 :( mr, mr ) ワールド座標系 (,, ) 焦点距離画素の有効サイズ (, ) K 行列

simpl ril isrins r = + (, ) isr pins, : isrin iins (, ), (, ) カメラの外部パラメータ Erinsi Cmr rmrs 外部パラメータはワールド座標系内のカメラ座標系の位置

ワールド座標系とカメラ座標系間の絶対的な位置と姿勢の関係 O p w w ワールド座標系 O w w カメラ座標とワールド座標ワールド座標を中心とする順番があるワールド座標とカメラ座標の関係 ( 回転後平行移動 ) mw w

4 img img カメラの内部パラメータ (K 行列 ) 画像座標系 :( img, img ) 画像中心 :(, ) カメラ座標系 :( mr, mr ) ワールド座標系 (,, ) 焦点距離画素の有効サイズ (, ) K 行列内部パラメータ (Inrinsi Cmr rmrs) はワールド座標系内のカメラの位置と姿勢と依存しないカメラの内部パラメータ II レンズのひずみ Lns Disrins 4 ( r r ) 4 ( r r ) Ml s simpl ril isrins r = + (, ) isr pins, : isrin iins (, ), (, ) カメラの外部パラメータ Erinsi Cmr rmrs 外部パラメータはワールド座標系内のカメラ座標系の位置と姿勢によって決定される平行移動 rnslin (3ベクトル) 回転 in (33 行列 ) カメラ座標系 im ( im, im ) im コンピュータ内の画像座標系カメラに対する画像座標系 ( 内部 ) ワールド座標系とカメラ座標系間の絶対的な位置と姿勢の関係 O p w w ワールド座標系 O w w カメラ座標とワールド座標ワールド座標を中心とする順番があるワールド座標とカメラ座標の関係 ( 回転後平行移動 ) mw w mw ( m w) ( m w) m カメラ座標とワールド座標ワールド座標を中心とする順番があるワールド座標とカメラ座標の関係 ( 平行移動後回転 ), - 軸周りの回転 (in) - 軸周り変換前 : (,, ) 変換後 : 変換前と変換後の関係 : (,,) 4

smll, hn = n = また * + = 近似された行列平行移動 (rnslin) (,, ) rnslin vr wrl wrl wrl mr mr mr rnslin Mri wrl wrl wrl mr mr

5 5 回転 (in) 行列の特性 Invrs rin I. 回転行列は直交行列!! hrwis j i j i I i.., - 軸周り - 軸周り - 軸周り回転なし 3 軸の回転 (in),, は,, 軸周りの回転角注意 : 一回一つの角度しか回転できない順番と関係がある回転行列と Eulr 角 w w w O I ngl is smll, hn = n = また * + = 近似された行列平行移動 (rnslin) (,, ) rnslin vr wrl wrl wrl mr mr mr rnslin Mri wrl wrl wrl mr mr mr wrl wrl wrl mr mr mr 3 次元同次座標ピンホールカメラモデル = Invrs rnslin I 平行移動 (rnslin) 行列の特性座標間の関係射影行列 ( 透視投影行列 ) 世界座標カメラ座標画像座標世界座標と画像座標の関係外部パラメータ内部パラメータ w w m m K K 回転後平行移動

カメラの外部パラメータワールド座標系とカメラ座標系の下 ( 回転後平行移動 ),, と r, r 3,3 はカメラ外部パラメータ

wrl カメラのパラメータワールド座標系と画像座標系の下で mr img mr img mr r, r, r,3 img r, r,

mpping 出席チェック. ピンホールカメラ ( 透視投影モデル ) の原理図を描き撮影された画像の特徴について述べなさい.

同次座標系導入の利点について述べなさい rjin Mri (34) Cmr prmrs( まとめ ) Wrl rin Or Cmr

rins Erinsi prmrs: Cmr rm Wrl rin Cmr rm Erinsi prms: rin mri n

6 カメラの外部パラメータワールド座標系とカメラ座標系の下 ( 回転後平行移動 ),, と r, r 3,3 はカメラ外部パラメータ mr mr mr mr wrl r, r, r,3 r, r, r,3 r 3, r3, r3,3 外部パラメータ wrl wrl wrl カメラのパラメータワールド座標系と画像座標系の下で mr img mr img mr r, r, r,3 img r, r, r,3 img r 3, r3, r3,3 内部パラメータ外部パラメータ行列 wrl wrl wrl 3D-D rjiv mpping 出席チェック. ピンホールカメラ ( 透視投影モデル ) の原理図を描き撮影された画像の特徴について述べなさい. カメラの内部パラメータ外部パラメータは? 3. 同次座標系導入の利点について述べなさい rjin Mri (34) Cmr prmrs( まとめ ) Wrl rin Or Cmr rm 幾何学的変換の関係射影変換アフィン変換 Cmr rm Inrinsi prmrs: Img rins rliv mr il rins Erinsi prmrs: Cmr rm Wrl rin Cmr rm Erinsi prms: rin mri n rnslin vr Inrinsi prms: l lngh, pil sis (mm), img nr pin, ril isrin prmrs 線形変換拡大縮小鏡像スキュー回転ユークリッド変換平行移動 Sli ri: Krisn Grumn 6

Bsi D rnsrmins s 33 mris sh sh 平行移動 rnsl 回転せん断 Shr s s 拡大縮小 Sl

7 7 D rnsrmins = + =. =. Empl: rnslin Nw w n hin rnsrmins スキュー平行移動平行移動回転平行移動回転拡大縮小無限遠要素無限遠点無限遠直線無限遠平面次元アフィン変換平行移動拡大縮小回転一般化! アフィン変換せん断 sh sh アフィン変換は線型変換 ( 回転拡大縮小剪断 ) と平行移動の組み合わせ同次座標の基本 D 変換 Bsi D rnsrmins s 33 mris sh sh 平行移動 rnsl 回転せん断 Shr s s 拡大縮小 Sl 行列の合成複雑な座標変換の行列は各処理の行列の掛け算から合成 w s s w p = (, ) () S(s,s ) p 3 次元アフィン変換次元次元 (,, ) から (,, ) へのアフィン変換 ( 同次座標による表現 ) A (A: アフィン変換行列 )

8 同次座標系導入の利点 =w= 直線上の点はすべて同じ座標を持つものとする ( 点と線が同一視される ) 8

スライド 1

スライド 1 5.5.2 画像の間引き 5.1 線形変換 5.2 アフィン変換 5.3 同次座標 5.4 平面射影変換 5.5 再標本化 1. 画素数の減少による表現能力の低下画像の縮小変形を行う際結果画像の画素数 < 入力画像の画素数 ( 画素の密度 ) ( 画素の密度 ) になることがあるこの場合結果画像の表現力 < 入力画像の表現力 ( 情報量 ) ( 情報量 ) 結果的に情報の損失が生じる!