Microsoft Word - 数学表紙_0727修正

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もえりいなくら
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1 平成 28 年度神戸大学大学院工学研究科博士課程前期課程入学試験市民工学専攻専門科目 ( 一 ): 数学問題用紙の枚数ページ番号数学 2 枚 1,2 数学解答用紙の枚数 3 枚ただし, 計算用紙を 1 枚配付試験時間 : 平成 27 年 8 月 24 日 ( 月 ) 13:00 14:00

2 専門科目 ( 一 ) 数学 [ 数学 ] 1. 以下の問に答えなさい. (1) 行列 A 1 が逆行列を有するか否かを判定し, 有する場合は逆行列を求めなさい. 3 4 A (2) 行列 A 2 の固有値を求めなさい. また, 求めた固有値の中からひとつを選び, その固有値に対応する固有ベクトルを求めなさい. A 歪みのないコインを, 表 (F) が 1 回, または, 裏 (R) が 5 回出るまで続けて投げる. コインを投げる回数の期待値 E を求めなさい. 1

3 専門科目 ( 一 ) 数学 3. 以下の問に答えなさい. (1) 連立方程式 ax by 0 cx dy 0 の解を x 0, y 0 として X x x0, Y y y0 とおくと常微分方程式 dy dx ax by が cx dy dy dx f Y X と表されることを示しなさい. ただし a,b, c, d,, は定数であり, ad bc 0とする. (2) 次の常微分方程式を解きなさい. 12x 5y 2dx 5x 2y 1dy 0 4. 以下の定積分を計算しなさい. (1) e 2 loge e 2 x dx 3 1 (2) 1 2 x 3 dx [ 数学最終ページ ] 2

4 平成 28 年度神戸大学大学院工学研究科博士課程前期課程入学試験市民工学専攻専門科目 ( 二 ): 構造力学問題用紙の枚数ページ番号構造力学 2 枚 1, 2 構造力学解答用紙の枚数 2 枚ただし, 計算用紙を 1 枚配付試験時間 : 平成 27 年 8 月 24 日 ( 月 ) 9:30 10:30

5 専門科目 ( 二 ) 構造力学 [ 構造力学 ] 1. 図 -1 に示す長さ L の片持ちばり AB および CD に長さ L のはり BC がピン ( ヒンジ ) 接合されたはり構造がある.BC 間に等分布荷重 q が載荷されているとき, 以下の問に答えなさい. ただし, 変形は微小であり, 水平方向に発生する力は無視できるものとする. (1) 図 -1 中に示す支点 A における反力 R A およびモーメント反力 M A を求めなさい. なお, 反力 R A およびモーメント反力 M A の向きは, それぞれ上向きおよび時計回りを正とする. (2) このはり構造の曲げモーメント図およびせん断力図を描きなさい. (3) 図 -2 に示すように,BC の中央点に追加荷重として集中荷重 P=αqL を鉛直上向きに載荷する. このとき支点 A に発生するモーメント反力 M A の大きさが 0 となるための α の値を求めなさい. また, このときの BC 中央点の曲げモーメントを求めなさい. q A B C D L L L 図 -1 はり構造 q A B P=αqL C D L L L 図 -2 集中荷重 P=αqL を追加荷重として載荷したはり構造 1

6 専門科目 ( 二 ) 構造力学 2. 図 -3 に示す構造において, 支点 B がだけ沈下したとする. このとき, 以下の問に答えなさい. ただし, 曲げ剛性は EI とする. また, バネ定数は k とし,F=kx(F はバネにかかる力,x はバネの変形 ) の関係があるとする. (1) この構造の不静定次数を求めなさい. (2) バネに発生する力 X を求めなさい. ただし, 引っ張りを正とする. (3) 支点 A における鉛直反力 R A を求めなさい. ただし, 上向きを正とする. (4) 支点 D における鉛直反力 R D を求めなさい. ただし, 上向きを正とする. (5) 点 C におけるたわみ C を求めなさい. ただし, バネに発生している力を X と表現してよい. A C D B k L L L 図 -3 問題 2 の構造 [ 構造力学最終ページ ] 2

7 平成 28 年度神戸大学大学院工学研究科博士課程前期課程入学試験市民工学専攻専門科目 ( 二 ): 水理学問題用紙の枚数ページ番号水理学 3 枚 1, 2, 3 水理学解答用紙の枚数 3 枚ただし, 計算用紙を 1 枚配付試験時間 : 平成 26 年 8 月 24 日 ( 月 ) 11:00 12:00

8 専門科目 ( 二 ) 水理学 [ 水理学 ] 1. 流れ関数が x, yaln 2 2 x y (a は正の定数 ) で表される 2 次元流れについて, 以下の問に答えなさい. (1) 流線を表す式を求め, 流線の概略図を描きなさい. (2) x 方向の流速 u および y 方向の流速 v を与える式を求めなさい. また,x 軸上の流速分布の概形を描きなさい. 1

9 専門科目 ( 二 ) 水理学 2. 図 -1 のように,2 つの大きな貯水池を結ぶポンプのついた管路を考える. 貯水池 A から貯水池 B へ水を送るときに必要なポンプの揚程 ( 動力 ) を, 以下の問を解くことによって求めなさい. ここに, 本問題で使用する変数は表 -1 に記載の通りであり, 管路の摩擦損失以外のエネルギー損失は無視する. ただし, 重力加速度を g = 10 m/s 2 とする. (1) 表中の変数を使って水面 A と水面 B の間のベルヌーイの式を表しなさい. (2) 表中の数値を使ってポンプから水面 B までを流れる管内流の流速 V 2 を求めなさい. (3) 表中の数値を使ってポンプの揚程 ( 動力 )H p を求めなさい. (4) 水面 A と水面 B の間の動水勾配線およびエネルギー線の概形を描きなさい. 表 -1 変数と数値変数意味数値変数意味数値 d 1 管路 1 の直径 0.10 m f 1 管路 1 の摩擦損失係数 0.04 d 2 管路 2 の直径 0.20 m f 2 管路 2 の摩擦損失係数 0.03 L 1 管路 1 の長さ 10 m V 1 管路 1 の管路流の流速 1.0 m/s L 2 管路 2 の長さ 500 m V 2 管路 2 の管路流の流速単位 [m/s] で求める h 1 h 管路 1 の中心から水面 A までの高さ水面 A から水面 B までの高さ 0.50 m H p ポンプの揚程 ( 動力 ) 3.0 m 単位 [m] で求める図 -1 ポンプを有する管路 2

専門科目 ( 二 ) 水理学 3. 図 -2 のような幅広で水平床の開水路において, 跳水によって失われるエネルギーを求めるため, 以下の問を解きなさい. ただし, 摩擦を無視し, 水の密度 = 1000 kg/m 3, 重力加速度 g =10 m/s 2, 単位幅流量 q =10 m 2 /s, 断面 I の水深 h 1 =1.0 m を用いなさい.

10 専門科目 ( 二 ) 水理学 3. 図 -2 のような幅広で水平床の開水路において, 跳水によって失われるエネルギーを求めるため, 以下の問を解きなさい. ただし, 摩擦を無視し, 水の密度 = 1000 kg/m 3, 重力加速度 g =10 m/s 2, 単位幅流量 q =10 m 2 /s, 断面 I の水深 h 1 =1.0 m を用いなさい. (1) 断面 I における単位幅の全水圧の値を求めなさい. (2) 断面 II の水深を h 2 として, 断面 I と断面 II の比エネルギーの差を q,h 1,h 2,g を用いて表しなさい. (3) 断面 II の水深を h 2 として, 運動量保存式を q,h 1,h 2,g, を用いて表しなさい. (4) 変数に値を代入して, 断面 I と断面 II の比エネルギーの差の値を求めなさい. 図 -2 跳水がある開水路 [ 水理学最終ページ ] 3

11 平成 28 年度神戸大学大学院工学研究科博士課程前期課程入学試験市民工学専攻専門科目 ( 二 ): 土質力学問題用紙の枚数ページ番号土質力学 4 枚 1, 2, 3, 4 土質力学解答用紙の枚数 3 枚ただし, 計算用紙を 1 枚配付試験時間 : 平成 27 年 8 月 24 日 ( 月 ) 14:30 15:30

12 専門科目 ( 二 ) 土質力学 [ 土質力学 ] 1. 盛土施工のために使用する土を用いて締固め試験を実施した. ある試験段階における締固め試験終了時に測定したモールドの体積は V = 1000 cm 3, モールド内の土の質量は m = 2032 g であった. また, 試験終了時の土を採取して含水比を測定したところ,w = 21.6 % であった. 水の密度を w = 1.00 g/cm 3, 土粒子の密度を s = 2.85 g/cm 3 として, 以下の問に答えなさい. (1) この土の湿潤密度 t (g/cm 3 ) を求めなさい. (2) この土の乾燥密度 d (g/cm 3 ) を求めなさい. (3) この土の間隙比 e を求めなさい. (4) 次の試験段階に進むにあたり, 水を加えて含水比を 26% にしたい. 加える水の量は何 g にすればよいか求めなさい. 1

13 専門科目 ( 二 ) 土質力学 2. 図 -1 に示すような, 地下水位が地表面から深さ 2 m に存在しており, 上下を透水性の良い砂層で挟まれた層厚 4 m の粘土地盤がある. この粘土地盤からサンプリングした試料を, 直径 60 mm, 高さ 20 mm の円柱形に成形し, 両面排水条件で圧密試験を行った. この粘性土の土粒子密度は s = 2.60 g/cm 3 であった. また, この供試体に応力を加えた際の試験結果から体積圧縮係数を求めたところ,m v = m 2 /kn, 圧密度 90 % に相当する時間を求めたところ, 圧密開始から 35 分必要であることがわかった. 以下の問に答えなさい. ただし, 水の単位体積重量は w = 9.8 kn/m 3, 円周率は 3.14, 圧密度 90 % に相当する時間係数はとする. (1) 図 -1 中の A 点に作用する有効土被り圧 ' v (kn/m 2 ) を求めなさい. (2) 採取した粘土試料の圧密係数 c v (cm 2 /day) を求めなさい. (3) 採取した粘土試料の透水係数 k (cm/s) を求めなさい. (4) 上記の圧密試験結果から, 図 -1 に示す粘土地盤おいて, 圧密度が 90 % に達するまでに何日要するのかを求めなさい. 2m 3m 風化土湿潤単位体積重量 t =15.5 kn/m 3 砂 ( 透水層 ) 飽和単位体積重量 sat =19.8 kn/m 3 4m 粘土飽和単位体積重量 sat =17.7 kn/m 3 砂 ( 透水層 ) 図 -1 砂層に挟まれた粘土地盤 A 点 2

14 専門科目 ( 二 ) 土質力学 3. ある水平堆積軟弱粘土地盤の土質調査を行ったところ, 図 -2 のような深度分布を得た. 以下の問に答えなさい. ただし, 地下水位は地表面下 1.0 m( 深さ 1.0 m) の位置にある. 0 鉛直応力 (kn/m 2 ) 深さ (m) 先行圧密応力有効土被り圧土被り圧図 -2 土質調査の結果 (1) 一般に, 自然堆積した沖積軟弱粘土地盤の多くは, 地表面に近くなるほど過圧密比が大きくなっている ( 過圧密の度合いが大きくなっている ). その原因を述べなさい. (2) 深さ 2.0 m 位置での軟弱粘性土地盤の過圧密比を求めなさい. 3

15 専門科目 ( 二 ) 土質力学 (3) 深さ 5.0 m 位置から不撹乱試料を採取した. この土試料から不撹乱供試体を成型して三軸 CU 試験を行った. その結果, 表 -1 の結果を得た. ただし, 供試体はせん断前に 200 kn/m 2 で十分に等方圧密され, 軸ひずみ 15 % まで軸圧縮せん断された. 表 -1 非排水せん断試験結果 ( 単位 :kn/m 2 ) 軸圧 a 側圧 r 過剰間隙水圧 u 備考せん断開始せん断終了 a) 破壊時の限界応力比 M および有効内部摩擦角を求めなさい. b) 非排水せん断強度 c u および非排水強度増加率 c u /p を求めなさい. (4) 粘土地盤上に構造物を建設しようとする. この時,2 人の技術者 A 氏と B 氏が次のように発言した. A 氏構造物の局所荷重に対して, 表層部の過圧密層を無視できるなら, 地盤の支持力や安定は, 初期が大丈夫なら問題は生じないでしょう. どうせ時間がたてば安全側に推移しますから. 当初の短期安定を考えておけば良いでしょう B 氏構造物の局所荷重に対して, 表層部の過圧密層を無視できるなら, 地盤の支持力や安定は, 初期は保ったとしても, 軟弱地盤なのですから, 時間がたてば, 長期的に不安定になりかねません. 長期的な安定を当初から考えておかねばなりませんどちらの見解が正しいかを, 理由と共に論述しなさい. (5) 粘性土地盤下の砂層まで井戸を掘り, 揚水し続けたところ, 地下水位が深さ 1.0 m から 10.0 m まで下がり, 落ち着いている. この地下水位低下に伴って, この軟弱粘土地盤にどのような現象が生じるかを論述しなさい. [ 土質力学最終ページ ] 4

16 平成 28 年度神戸大学大学院工学研究科博士課程前期課程入学試験市民工学専攻専門科目 ( 二 ): 土木計画学問題用紙の枚数ページ番号土木計画学 2 枚 1, 2 土木計画学解答用紙の枚数 3 枚ただし, 計算用紙を 1 枚配付試験時間 : 平成 27 年 8 月 24 日 ( 月 ) 16:00 17:00

17 専門科目 ( 二 ) 土木計画学 [ 土木計画学 ] 1. 以下の問に答えなさい. (1) A 市では, 市内の建物の年間の火災発生件数がポアソン過程に従うことが分かっていて, 年平均 6 件の火災発生が想定された. このとき,1 年間に 3 件以上の火災が発生する確率を求めなさい. なお, ポアソン過程の確率分布は次式で与えられる. P( X t k ( t) t k) e ( k 0, 1, 2, ) k! X t :t 年間で火災が発生する件数, : 年平均の火災発生件数必要に応じて, e 0.37, e 0.14, e 0.05, 0! 1 を用いなさい. (2) ある年,A 市の各世帯が市内の建物の火災発生の危険を認識しているか否かについて, 調査することになった. 全世帯から n 世帯を無作為抽出するとして, 標本世帯数 n のうち建物の火災発生の危険を認識している世帯数を Y とおくと, Y は平均 np, 分散 np(1 p) の二項分布 B(n, p) に従うことは分かっていた. ただし,p は, 全世帯のうち建物の火災発生の危険を認識している世帯の比率 ( 母比率 ) を表す. なお,A 市の全世帯数は標本世帯数 n に比べて十分に大きいものとし, 標本数 n それ自体も大きいものとする. a) 母比率 p の点推定量は標本比率 Y / n となるが, この推定量 Y / n に基づく推定値は分布する. その分布の標準偏差が 0.01 以下になるためには, 標本世帯数 n はいくつ以上あればよいかを求めなさい. 解答にあたっては, Y / n の分散からを導出する際に,Y が二項分布に従う点に留意しなさい. b) 標本世帯数 n が大きいとき母比率 p の区間推定を行う際に,p の 95 % 信頼区間の上限値と下限値の差 c が 0.04 になるには,n は最大いくつあればよいかを求めなさい. 解答にあたっては, 次のように考えればよい. 中心極限定理によれば,n が大きいとき, Y / n 2 の分布は正規分布 N( p, ) で近似できて, その標準化を行うと Z ( Y / n p)/ の分布は標準正規分布 N(0, 1) で近似できることが知られている. そこで,Z の 95 % 信頼区間に基づいて p の 95 % 信頼区間を導き出し, その上限値と下限値に基づいて c を定義した後, n を導出する. そのうえで,n が最大になるには p がどうあればよいかを考えればよい. なお,Z の 95 % 信頼区間の上限値と下限値について, ここではとおいて計算してもよいものとする. 1

18 専門科目 ( 二 ) 土木計画学 2. 以下の問に答えなさい. なお, 特に指示がない限り最適解を求めなさいとあるときは, 最適解における目的関数の値と変数の値の両方を示しなさい. (1) 以下の制約なし最適化問題の目的関数の導関数を用いて, 一次の最適性条件 ( 最適解が満たすべき必要条件 ) となる式をひとつの等式で書きなさい. 4 Minimize ( ) 3 f x x x (2) (1) の最適化問題の最適解をニュートン法で数値的に計算することを考えよう. このとき, 初期解を x 0 =1 とし, そこから 1 回反復計算を行って得られた結果 x 1 を示しなさい. 計算過程も簡潔に示しなさい. (3) 以下の最適化問題の Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件を導出しなさい. Maximize f ( xy, ) x 3y x y10 subject to x 0 y (4) 以下の線形計画問題 ( 主問題 ) の双対問題を示し, その最適解を図解法によって解いて示し, その答えを用いて, 主問題の最適解における目的関数の値を求めなさい. ただし, 解答の際には, 主問題のひとつ目の制約条件に対する双対変数を v, ふたつ目の制約条件に対する双対変数を w とおきなさい. Maximize x 2y 3z x y2 subject to y z 3 x 0, y 0, z 0 [ 土木計画学最終ページ ] 2

平成 31 年度神戸大学大学院工学研究科博士課程前期課程入学試験市民工学専攻専門科目 ( 一 ): 数学問題用紙の枚数ページ番号数学 2 枚 1, 2 数学解答用紙の枚数 4 枚ただし, 計算用紙を 1 枚配付試験日時 : 平成 30 年 8 月 20 日 ( 月 ) 13:00

平成 31 年度神戸大学大学院工学研究科博士課程前期課程入学試験市民工学専攻専門科目 ( 一 ): 数学問題用紙の枚数ページ番号数学 2 枚 1, 2 数学解答用紙の枚数 4 枚ただし, 計算用紙を 1 枚配付試験日時 : 平成 30 年 8 月 20 日 ( 月 ) 13:00 平成 31 年度神戸大学大学院工学研究科博士課程前期課程入学試験市民工学専攻専門科目 ( 一 ): 数学問題用紙の枚数ページ番号数学 2 枚 1, 2 数学解答用紙の枚数 4 枚ただし, 計算用紙を 1 枚配付試験日時 : 平成 30 年 8 月 20 日 ( 月 ) 13:00 14:00 専門科目 ( 一 ) 数学 [ 数学 ] 1. 行列 A= -1 2 2 2 について以下の問に答えなさい.