基礎数理 ()Aさんは確定拠出年金の加入者となった 投資商品は収益率がそれぞれ独立な正規分布 N(7, σ ), N(, σ y ) に従う,Y から選択することとした の過去 8 年間の収益率の実績は {8,,,5,,-,6,}(%) Y の過去 6 年間の収益率の実績は {,,,4,,}(%)

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1 平成 年 月 日 基礎数理 基礎数理 ( 問題 ) 問題. 次の () から (9) までの各問について それぞれの選択肢の中から正しい答えを選んで 指定 の解答用紙の所定欄にその記号を記入せよ ( 点 ) ()5 個のサイコロを転がすとき 得られたの目の数を の目の数をY とする この同時密度関数を f (, y) としたとき f (,) である ( ア ) 6 ( イ ) 7 5 ( ウ ) 7 ( エ ) 8 4 ( オ ) 8 5 ( カ ) 8 ( キ ) 8 ( ク ) 7 ( ケ ) 7 5 ( コ ) 7 () 正規母集団 ( μ, 5 ) N の平均値 μ の検定を行う 帰無仮説 H : μ を対立仮説 H : μ 5 して有意水準 5% で検定を行う際に 第 種の誤りをおかす確率を % 以下にするために最低限必要な標本数はである ( 必要に応じて標準正規分布の値 u (.).6 u (.). 54 u (.). 88 u (.4). 75 u (.5). 645 を使用し さらにこの間の値を使用する場合には直線補間にて使用すること ) に対 ( ア )6 ( イ )7 ( ウ )8 ( エ )9 ( オ ) ( カ ) ( キ ) ( ク ) ( ケ )4 ( コ )5

2 基礎数理 ()Aさんは確定拠出年金の加入者となった 投資商品は収益率がそれぞれ独立な正規分布 N(7, σ ), N(, σ y ) に従う,Y から選択することとした の過去 8 年間の収益率の実績は {8,,,5,,-,6,}(%) Y の過去 6 年間の収益率の実績は {,,,4,,}(%) であることが分かっている このとき リスクの比率 σ σ 必要に応じて以下の F 分布の値を使用すること φ F (.5) : 自由度 φ, ) の F 分布の上側.5% 点 φ φ φ ( φ y の信頼係数 95% の信頼区間は (, ) である ( ア ).45 ( イ ).68 ( ウ ).9 ( エ ). ( オ ). ( カ )4. ( キ )5.9 ( ク )6.89 ( ケ )7.78 ( コ )8.9 ( サ )9.4 ( シ )9.78 ( ス ).9 ( セ ). ( ソ ).55 (4) - y 平面上の 個のデータに基づき y を で回帰したときの回帰直線は y + であり を y で回帰したときの回帰直線は y 5 であった このとき 相関係数 ry はである ( ア ) ( イ ) 9 ( ウ ) 9 ( エ ) ( オ ) ( カ ) 5 ( キ ) 5 ( ク ) ( ケ ) ( コ )

3 基礎数理 (5) 野球選手のF 君はある打席でヒットを打った時 次の打席もヒットを打つ確率は5 割 凡退する確率も5 割である また ある打席が打率に関係ない四死球または犠打だった場合は 次の打席でヒットを打つ確率は4 割 四死球または犠打となる確率は 割 残りの5 割は凡退する ある打席が凡退だった場合 次の打席でヒットを打つ確率は 割 四死球または犠打となる確率は 割 残りの7 割は凡退する この法則がずっと続くとした場合 F 君の打率は ( 小数第 4 位を四捨五入 ) となる ( ア ).44 ( イ ).75 ( ウ ).8 ( エ ).6 ( オ ).8 ( カ ). ( キ ).4 ( ク ).5 ( ケ ).6 ( コ ).75

4 4 ac a 5 b c V. V. 5: 5: V 5: m.96 A : i 4.% p.9989 & a : m

5 基礎数理 5 問題. 次の () から (8) までの各問について 空欄にあてはまる解答のみを 指定の解答用紙の所定 欄に記入せよ (48 点 ) () つの確率変数 と Y は独立で それぞれパラメーター p の幾何分布 k k) p( p ( k,,, ) P ( ) に従うとき mi{,y} (mi{, Y} k) の分布を求める P であるから {, Y} k) P (mi である したがって {,Y} mi はパラメーター の 4 分布に従う ただし ~ は p, k を用いて表すこと () 確率変数 が f ( ) ( < < ) ( < ) の三角分布に従うとき この分布の積率母関数は M (θ ) θ である また 確率変数 Y が と独立で かつ と同じ確率分布に従うとき M Y (θ ) 4 θ である

6 基礎数理 6 () あるタクシーの料金は はじめの, メートルは 7 円で, メートルを超えた直後に 8 円となり その後は メートル増すごとに 円追加されるものとする 人の乗客の利用距離 は平均,( メートル ) の指数分布に従うとして その料金 Y の平均値を. 求める ( e. 948 とする ) 7 φ() ( < ) ( < +,,,, ) とおけば Y φ( ) となる よって E( Y ) E( φ( )) φ ( ) d 7 d ( 円 )( 小数第 位を四捨五入 ) となる ( ) d 次に あるタクシーの 日の乗客数 N が平均 のポアソン分布に従うとき 日の料金の合計 Z の平 均値を求める i 番目の乗客の料金をY i とすると E ( Y i ) 4 ( 円 ) となる また N は Y, Y, と独立であって Z Y + Y + + YN となる よって E( Z) P( N k ) E( Y + + YN N k) k 5 ( 円 )( 小数第 位を四捨五入 ) となる

7 基礎数理 7,, Κ, を一様母集団 U[, θ] (4) {,,, } からの標本とするとき 標本平均 および標本の最大値 ma Κ を用いたθ の不偏推定量についてどちらがより有効かを考える を用いたθ の不偏推定量は T である ma{,, Κ, } とするとき 以下の ( ア )( イ ) のうち正しいのは である ( ア ) P( ) P( ) P( ) Λ P( ) ( イ ) P( ) P( ) P( ) Λ P( ) の確率密度関数は f () ( θ) を用いた θ の不偏推定量は T ma{,, Κ, } である であり {,,, } ma Κ V ( T ), V( T ) を, θ を用いて表すとそれぞれ V ( T ) 4, V ( T ) 5 であるから T, T のうちより有効な推定量は 6 である (5) 母集団からの標本はk 種の事象 E, E, E,, Ek のいずれか一つによって特徴づけられるものとし 母集団はこれらの事象をそれぞれ確率 p, p, p,, pk ( + k p p + p + + p ) の割合で含むものとする このような性質をもった母集団からの大きさ の標本の中で E, E, E,, Ek であったものの個数がそれぞれ f, f, f,, f k であったとする ( 表 参照 ) 表 事象実現回数 E E E, E,,, k 計 f f f, f,,, k ( 標本の大きさ ) このとき 母数 p, p, p,, pk について H : p p, p p,, p k pk の検定を 有意水準 ε で行う場合 f 5 かつ ( 期待度数 ) 5 χ ( ε ) > χ φ ならば ただし 自由度 φ とする i p なる条件のもとで i H を棄却し χ χ φ ( ε) ならば H を採択すればよい

8 基礎数理 8 これを踏まえ 次の検定を行いたい 表 は ある教師による成績評価をA,B,Cの 学部別に示したものである これより 学部間に成績の優劣が認められるといえるかどうか? 表 A B C 合計 優 良 5 67 可 9 4 不可 合計 この検定を有意水準 % で行うとすると χ 自由度 φ 4 であるので χ 分布表 ( 表 ) より χ φ (.) 5 よって 学部間に成績の優劣が認められると 6 ( 計算過程における期待度数については小数第 位を四捨五入した上で は小数第 位を四捨五入して求 めよ ) 表 χ 分布表自由度 () (.) χ 自由度 () χ (.)

9 基礎数理 9 (6) ある企業の株価は本日現在で, 円である この企業は成長過程にあり どの ヶ月をとってみても 株価は前月比で 7% の確率で % 上昇 % の確率で ± となる互いに独立な確率変数で表せるとする このとき ヶ月後のこの企業の株価が,5 円未満となる確率が 5% 未満となることが保証されるのは がいくつ以上であるときかを求めることとする ただし は十分に大きいものとして考えること ( は整数とする ) また log., log.477, log とする ( ア ) まず ヶ月後の株価が,5 円以上となるには ヶ月中 m ヶ月以上価格上昇 ( 対前月比 ) の月が なくてはならない この整数 m を求めると.5なので m ( 小数第 位を切り上げ ) ( イ ) 次に ヶ月後の株価上昇回数の下側 5% 点を求める ヶ月中 k ヶ月価格上昇 ( 対前月比 ) する確率を P( K k) とすると P( K k) ( k,,, ) が十分に大きい前提において 4 は近似的に標準正規分布 N(,) に従う したがって P K 4 u.5)) P( K 4.645). 95 ( ( よって 下側 5% 点 w は, を用いて表すと w 5 (, の係数は小数第 5 位を四捨五入 ) ( ウ ) 最後に ( ア ) で求めた m の下限 ( イ ) で求めた w を満たす を求める 5 を について解けば 6 となることがわかる

10 基礎数理 (7) ある保険会社のクレーム件数がパラメータλ のポアソン過程に従い 各クレーム額分布の確率密度関数が期待値 の指数分布のクレーム総額過程に従うポートフォリオに対して 元受保険料の安全割増 : 純保険料の 6% 再保険付加率 : 純保険料の44% で比例再保険 ( 出再割合 α ) で出再することを検討している このとき < α < において 破産確率を最小 ( ルンドベリ モデルにおける調整係数 R を最大 ) にす る出再割合 α を求めたい なお ルンドベリ モデルにおける調整係数 R とは r に関する方程式 λ + C' r λ M '( r) の解である ここで C ' : 出再分を控除した ポートフォリオ全体の単位時間あたり正味収入保険料 ' : 出再分を控除した クレーム 件あたりの正味保険金 M ( r) : ' である いま C' を次に ( r) なる ' ' の積率母関数 λ, α を用いて表すと ' C を満たす正 M であるので 調整係数 R を α を用いて表すと R と したがって 調整係数 R を最大にする α の値は 4 である (8)MA() モデル Y. +.5ε ( E( ε ), V ( ε ).7) ε について { Y } μ 分散 γ 時差 の自己共分散 γ となる 次に確率過程 { } の平均 は標準ブラウン運動とする このとき は平均 4 分散 5 の 6 分布に従う

11 基礎数理 問題 次の ()~(6) までの各問について 空欄にあてはまる解答のみを 指定の解答用紙の所定欄 に記入せよ なお 自然対数の底 e は記号ではなく数値であることに注意すること ( 点 ) () 元金 S を年 4.5% で借り入れ 年 回期末払い 返済期間 年の元利均等返済を行うこととした こ のとき 初めて 均等返済金のうちの利息部分 < 均等返済金 となるのは 年目であり 初めて 均等返済金のうちの元金の返済部分 均等返済金 となるのは 年目である () ある企業グループに属する会社員 ( 主集団 ) が死亡と自己都合退職により減少していく 重脱退残存 表を考える この企業グループの自己都合退職者により形成される集団 ( 副集団 ) は死亡のみにより減 少し 再度元の企業グループの会社員に復帰することはないものとする このような 重脱退残存表が表す人員構成が定常人口を形成しており ある年齢 歳と + 歳の間で以下の条件 (a)~(d) を満た すものとする (a) 歳と + 歳の間の主集団の数と 歳と + 歳の間の副集団の数の比は : である (b) 歳の会社員が + 歳に達するまでに会社員のままで死亡する確率はである 5 (c) 歳の者 ( 全員 ) の中央死亡率は 85 である 8 (d) 歳の会社員の中央自己都合退職率はである 55 このとき 歳の自己都合退職者が + 歳に達するまでに死亡する確率 ( 絶対死亡率 ) は ( 小数第 5 位を四捨五入 ) であり 歳の自己都合退職者の中央死亡率は ( 小数第 5 位を四捨五入 ) である なお 死亡および自己都合退職はそれぞれ独立に かつ 年を通じて 一様に発生するものとする

12 基礎数理 () 生存確率が独立である 歳の非喫煙者と 歳の喫煙者がいる 死力は年齢に関係なく 非喫煙者は μ に 喫煙者はcμ に等しくなっている ただし c μ は定数である ( c > μ > ) このとき 喫煙者 が非喫煙者よりも長生きする確率を求める 歳の非喫煙者が 年間生存する確率を p 歳の喫煙者が 年間生存する確率を p とするとき p を p 以外の記号を用いない算式で表すと c p となる よって 求める確率を Z とし これを Z d となる p c μ の つの記号全てを含む算式で表すと ここで p を μ 以外の記号を用いない算式で表すと p となるから これを 上記に代入して計算すれば Z はc μ 以外の記号を用いない算式で表すと Z 4 となる (4) 歳の被保険者 と y 歳の被保険者 Y が同一の生命表に従っており その生命表の死力は年齢に関係 なく定数 ( > ) μ に等しくなっている いま 利力 δ.5 μ のとき a y を求める 6 まず a y を a a y a y 以外の記号を用いない算式で表すと a y となる 次に a a y a y をδ μ 以外の記号を用いない算式で表すと a a y a となる y 従って a y はδ μ 以外の記号を用いない算式で表すことができる この結果に δ.5 μ を代入すれば a y 4 ( 小数第 位を四捨五入 ) が求まる 6

13 基礎数理 (5) 歳加入 保険期間 年 保険料年払全期払込で 満期まで生存すれば保険金 を支払い 満期までに死亡すれば期末に既払込純保険料の元利合計 ( 利率は予定利率と同じとする ) のα 倍 ( α ) を支 る 払う保険の 第 年度における危険保険料および貯蓄保険料をそれぞれ r s P P とする このとき ( α ) r P vq+ と表せ { ( α ) + α 4 } 5 r s ここで α とすると P P となることがわかる ただし 空欄 ~6には適切なつの記号を記入すること つの記号とは A v 等をいい : l + v q 等は不可とする l (6) 死亡 就業不能脱退残存表が下表で与えられるとき 以下の (a)~(e) までの各値を計算せよ ( 全 て小数第 5 位を四捨五入 ) ただし 死亡および就業不能はそれぞれ独立に かつ 年を通じて一様に発 生するものとする l aa aa d i l ii ii d 5 94, 475, , ,5 55 5, , , , ,6 6 l d (a) ai ai p q5 5 + (b) p ai 5 (c) a p 5 (d) q i 5 4 (e) a a 5 q 5

14 k ( p) k { ( p) }( p) ( p) θ ( e ) / θ e 4e + 6 4e + e θ θ θ θ e θ θ ( + ) k ( f ) i pi p i i θ + T k m k..7. k K (.6.44α) λ γ ( α ).6.44α (.6.44α )( α) k

15 ( ) c p ( p ) µ c+ e µ c + a y a y δ + µ δ + µ A a & : a& & : p & v a :