偏波

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1 の基礎. の表現方法 とは, 図.に示すように空間のある定まった位置で, 単一周波数の電波を進行方向の後ろ側から眺めたとき, 時間と共に電界ベクトルの先端が描く軌跡のことである. 電界ベクトルの先端の軌跡は, 一般的にだ円形となることが知られている. だ円の中には扁平なだ円, 円に近いだ円, 傾いただ円など様々なものが含まれる. 扁平の極限として直線や円がある. また, 軌跡の回転方向もある. これら種々のだ円を表わすのに,ellipticit angle,tilt angle,size, 相対位相, 比, ストークスパラメータ, ポアンカレ球 (Poincare Sphere) などが用いられている. この節では, だ円を表現する際に使われるいくつかの記号と, その定義およびそれらの関係を紹介する. 重複になるが, は電界ベクトルそのものではなく, ベクトル先端の軌跡である. だ円形の電界ベクトル? というような間違いをしないように注意が必要である. 電界ベクトル先端の軌跡 進行方向 瞬時電界の向き 軌跡 拡大 Transverse 面 Transverse 面で見えるいろいろな軌跡 状態 図. 電界の先端の軌跡. 一般的数式表現 平面波の電界は, 横断面 (Transverse 面 ) 内で つの直交成分に分解できる. この波が +z 方向に伝搬す ると仮定して,-の直交成分に分解してみよう.z 方向に伝搬する場合, 電界のz 方向成分は存在しない. 瞬時電界ベクトルε ( z, t ) は実数であり, 次のように書くことができる. ε ( z, t ) ε ( z, t ) ε ( z, t ) cos ( ω t - k z + φ ) cos ( ω t - k z + φ ) (.) ここで,, は振幅,φ,φ は絶対位相を表わす. の定義に従って z の定位置で観測した とすると, 式 (.) は ε (, t ) ε ( t ) として ε ( t ) ε ( t ) ε ( t ) cos ( ω t + φ ) cos ( ω t + φ ) (.) /

2 となる. 各成分は ε ( t ) cos (ω t + φ ) cos ω t cos φ - sin ω t sin φ ε ( t ) cos (ω t + φ ) cos ω t cos φ - sin ω t sin φ (.3) である. 相対位相差を δ φ - φ (.4) とおいて, 式 (.3) を変形すると ε (t) cos φ ε (t) cos φ sin δ sin ω t ε (t) sin φ ε (t) sin φ sin δ cos ω t (.5) が得られる. これから sin ω t + cos ω t を使って時間因子 ω t の項を消去すると次式が得られる. ε (t) ε (t) ε (t) cos δ + ε (t) sin δ (.6) この式は傾きをもつだ円の方程式である.δ が特別の値のときは分かり易い式に帰着する. 例えば, a, b, ε (t), ε (t) とおくと, 次の方程式になる. a a b cos δ + b sin δ δ ± π のとき a + : 傾きのないだ円の方程式 b さらに a b なら + a : 円の方程式 δ, π のとき a + a b + b a + b, ± b a : 直線の方程式 それゆえ, 瞬時電界ベクトル ε ( t ) は, 図. に示すようなだ円の軌跡を描くことがわかる. 電界ベクトル ε ( t ) の回転方向は位相の時間変化によって分かる. 図. のように 軸と ε ( t ) のなす角を ψ とすると ε ε ( t) Ψ z ε 図. 電界ベクトル先端の軌跡 /

3 その時間変化は微分操作より, tan ψ ε (t) ε (t) (.7) dψ dt ω sin δ ω sin δ (.8) E cos ω t + φ + E cos ω t + φ ε これより, 図. を参照して < δ < π に対して π < δ < に対して dψ dt dψ dt < ( 時計回り ) (.9a) > ( 反時計回り ) (.9b) となる. 図.3に時間と共に変化する位相角の方向を示す. 図.3(a) と図.の直角座標系 - 平面では,z 軸は紙面から読者側に向き, 電波は正のz 方向に進むと仮定しているので, 電波の到来方向から見ていることになる. また, 図.3(b) は後ろ側から見た図である. d Ψ dt < d Ψ dt < (a) 到来方向から見た図 (b) 進行方向後ろから見た図 図.3 回転の方向 ( 左回り ) 回転方向の定義は, 伝搬方向の後ろ側から電界ベクトルの先端を見たときに, 時間の経過と共にどちらの方向に回るかで決めている.IEEE Standard [7] によれば,z 一定の面内で, 時間と共に時計回りに回転するものを 右回り と定義し, 反時計回りに回転するものを 左回り と定義している. 図.3(a) のように 到来方向から見た場合は, dψ dt < は時計回りで, 一見すると右回りに思えるが, 電波を見る方向が逆なの で, 図.3(b) のように左回りである. また, dψ > dt の場合が右回りである. 以上のことから, 電界の回転方向は相対位相 δ φ - φ の符号によって区別できる. < δ < π ならば左回り (Left handed rotation sense) π < δ < ならば右回り (Right handed rotation sense) 図.4 に δ と共に一般的なだ円を示した. 状態を表す電界の具体的表現は次のようになる. 簡単のた めに,φ とおき,δ φ - φ φ としている. 一般形 ε ( z, t ) cos ( ω t - k z ) ε ( z, t ) cos ( ω t - k z + δ ), ならば水平 ε ( z, t ) cos ( ω t - k z ) ε ( z, t ) 3/

4 left handed rotation π > δ > π δ π π > δ > δ φ φ z z δ ± π δ π < δ < π δ π π < δ < right handed rotation 図.4 一般的なだ円, ならば垂直 ε ( z, t ) ε ( z, t ) cos ( ω t - k z + δ ), の場合, δ δ π ならば ε ( z, t ) と ε ( z, t ) が同相なので, 正に傾いた直線 ならば ε ( z, t ) と ε ( z, t ) が逆相なので, 負に傾いた直線 < δ < π は左回りだ円 さらに, もし δ π, ならば, 左回り円 ε ( z, t ) cos ( ω t - k z ) ε ( z, t ) sin ( ω t k z ) ψѱ ω t π < δ < は右回りだ円 さらに, もし δ π, ならば, 右回り円 ε ( z, t ) cos ( ω t - k z ) ε ( z, t ) sin ( ω t k z ) ψѱ ω t したがって, 直線も円も, だ円の中の特別な状態であることが分かる. 4/

5 . 幾何学的パラメータによる表現 だ円を表現するのには, 幾何学的パラメータ ( τ, ε, A ) を使うほうが直観的に分かりやすい. 幾何学的パラ メータは,ellipticit angle ε, 傾き角 (tilt angle) τ,size A である. はだ円を図.5 の目玉のように後 ろ側から見ることになっており, ε と τ は図.5, 図.6 に示す角度である. ε + ε τ z 図.5 座標系と幾何学的パラメータ ( τ, ε, A ) η A ε ξ b τ a z 図.6 だ円を表すパラメータ ( τ, ε, A ) Ellipticit angle ε ε tan - b a, tan ε b a π 4 ε π 4 (.) a はだ円の長軸,b はだ円の短軸の長さである.Ellipticit はだ円の膨らみ具合を表しており,tan ε はアンテ ナ工学で使う 軸比 の逆数である.a b では ε ± π 4 となって完全な円を表し,b では ε となるの 5/

6 で直線となる. 符号は回転の向きに対応しており, 左回りだ円に対しては ε >, 右回りだ円に対しては ε < となる. 後述の式 (.9) を参照. なお,ellipticit angle の記号 ε は頭文字に対応して採用した [4], [5], [9]. 誘電率と同じ記号なので混同しやすい面もあるが, 以後は特に断らない限り,ε をellipticit angleとして表すものする. Tilt angle ( 傾き角 ) τ は, だ円の長軸と 軸のなす角度であり, だ円の傾きを表す. その範囲は ( π τ π ) である. なお,Tilt angleの頭文字に対応して,τ の記号を採用しているが, 書物や文献によっては別の記号を使用したり,Orientation Angleと呼ぶことも多い. だ円の大きさは A a + b (.) によって与えられる.A は電力の大きさを表し, 情報とは直接関係しない. だ円は, 幾何学的パラメータ (Tilt angle, Ellipticit angle) によって図.7 のように一覧表で表現す ることができる.ε ± π 4 では, τ がどのような値になっても円である. 左回り 直線 右回り Tilt Angle (degree) 図.7 幾何学的パラメータによるだ円の表現 次に, 数式的なパラメータ (,, φ, φ ) と幾何学的パラメータ ( A, ε, τ ) の関係を求めてみよ う. 図.8において,ξ 軸とη 軸をそれぞれ長軸と短軸方向に選ぶ. この新しい座標系で, だ円は傾きのな い正規のだ円となる. この座標で電界の各成分は と書くことができる. ε ξ ε η a cos ω t + φ ξ b cos ω t + φ η (.a) 6/

7 η ε (t) ξ b φξ τ ε a ε ξ a 図.8 だ円の座標軸と電界成分 だ円の方程式 (.6) からも分かるように,ξ -η 軸に沿った正規のだ円では位相的には δ φ η φ ξ π となり, cos ωt + φ η sin ωt + φ ξ から次のように変形される. ただし,φ ξ は絶対位相であり, 図.8 に示すように 大きさの関係から a cos φ ξ ε ξ となる. ε ξ ε η a cos ω t + φ ξ b sin ω t + φ ξ (.b) 新しい ξ -η 軸は - 軸を τ だけ回転して得られるので, 電界は次のように変換できる. ε ξ ε η cos τ sin τ - sin τ cos τ ε ε (.3) 式 (.),(.) を式 (.3) に代入することによって a cos ω t + φ ξ cos ω t + φ cos τ + cos ω t + φ sin τ b sin ω t + φ ξ cos ω t + φ sin τ cos ω t + φ cos τ sin, cos 関数を展開し,sin ω t,cos ω t の係数を比較すれば a cos φ ξ cos φ cos τ + cos φ sin τ a sin φ ξ sin φ cos τ + sin φ sin τ b sin φ ξ cos φ sin τ cos φ cos τ b cos φ ξ sin φ sin τ sin φ cos τ (.4) 相対位相 δ φ φ を代入して整理すると, 次の関係式が得られる. 7/

8 a + b + ( エネルギ一定 ) (.5) ab sin φ φ sin δ (.6) sin τ cos τ cos δ (.7) したがって, 幾何学的パラメータとの関係は tan τ cos δ (.8) sin ε sin ε cos ε ab a + b sin δ (.9) + となる. また,(.b) から, ε ξ ε η a cos ω t + φ ξ a + b b sin ω t + φ ξ a a + b cos ω t + φ ξ b a + b sin ω t + φ ξ (.) (.3) より, A ε ε cos ε cos ω t + φ ξ sin ε sin ω t + φ ξ Re A cos τ sin τ sin τ cos τ ε ξ ε η Re A cos ε sin ε ep ω t + φ ξ cos τ sin τ sin τ cos τ cos ε sin ε ep ω t + φ ξ ε ε Re e φ e φ ep ω t だから,(,, φ, φ ) と ( A, ε, τ ) の関係は次のように なる. e φ e φ A cos τ sin τ sin τ cos τ cos ε sin ε e φ ξ (.) この式からベクトル cos ε sin ε e φ ξ を τ だけ回転させたものに等しいと解釈できる. ここで,(.) の位相関係を調べておこう.φ φ ξ φ とおいて変形すると e δ A cos τ sin τ sin τ cos τ cos ε sin ε e φ ξ φ A cos τ cos ε sinτ sin ε sinτ cos ε + cos τ sin ε e φ このベクトルの 行目は実数なので, その位相は とおくことができる. Arg cos τ cos ε sinτ sin ε + φ (.) したがって φ tan tan τ tan ε (.3) 8/

9 それゆえ, e δ A cos τ sin τ sin τ cos τ cos ε sin ε e tan tan τ tan ε (.4) と書くこともできる..3 ジョーンズベクトルによる表現 ここではフェーザを用いたベクトルで電界を表現する. 式 (.) のように E は複素振幅をもつ二次元ベク トルであり, 次の形で書ける. E e φ e φ (.5) このベクトルは " ジョーンズ (Jones) ベクトル " と呼ばれている. 成分を実数化するように相対位相を使うと (.4) の形になる. E e δ (.6) ジョーンズベクトルによるいくつかの状態を図.9 に示す. H τ ε z H V τ π ε V cos θ sin θ θ z τ θ ε 水平垂直傾いた直線 τ θ + π ε - sin θ cos θ z z π < τ < π ε π 4 π < τ < π ε π 4 直交する直線左回り円右回り円 9/

10 z τ θ τ θ + π ' ' z < ε < π 4 π 4 < ε < 左回りだ円 直交する右回りだ円 図.9 ジョーンズベクトルによるいくつかの状態 注意点として, ジョーンズベクトル表現には波の伝搬方向が含まれていないことがある. 通常は右手座標系を仮定しているので普通のベクトル表現と同じであるが, 波の後側から見る場合には座標軸の方向に注意が必要である. 比 ρ によるジョーンズベクトル表現 ベクトル成分の数式表現として一般に直角座標成分が用いられる. しかし, 直線基底 ( 直角座標系 ) だけでなく, 円, だ円などの直交基底 ( 座標系 ) もある. 直角座標成分だけでなく, 他の座標成分で表現しなければならない場合もでてくるので, ここでは座標系を考慮した比によるベクトル表現を考えよう. 基底に対応して表現方法も変わるので, まず任意の基底 ( 座標系 ) で表すことを考える. 互いに直交する単位ベクトル a, bをもつ基底 ABに対して, その電界ベクトルは次のように書くことができる. E ( AB ) E A a + E B b (.7) ここで,E A と E B はベクトルの成分で, 一般には複素数である.(AB) は基底を明示するために付けている. これを使って比は次のように定義される. ρ AB E B E A E B E A e (φ B - φ A) ρ AB e δ AB (.8) δ AB φ B - φ A は E A と E B の位相差である. この比 ρ AB によって電界をジョーンズベクトル表現すると E ( AB ) E A E B E A e φ A ρ AB E A e φ A + E B E B E A E A + E B E B E A E A ρ AB E e φ A + ρ AB ρ AB ρ AB (.9) ただし, E E A E A + E B E B (.3) /

11 比を使ったこの表現方法も状態のつの表し方であり, コヒーレント波の解析でよく用いられる. 任意の基底変換とベクトル変換については付録.3に述べることとし, ここでは最もよく使われる直線基底 (HV) の比 ρ HV によるジョーンズベクトルを考察しておく. 直線基底 (HV) で電界ベクトルは E ( HV ) H + E V V (.3) であるので, 比 ρ HV は ρ HV E V E V e (φ V - φ H ) tan γ HV e δ HV (.3) ここで γ HV は図. に定義される角度である. (V) + E V cos γ HV E V + E V sin γ HV (.33) E 例えば振幅が の水平の場合,E V となるので ρ HV となり γ HV (H) E ( HV ) H + V + (.34a) 図.. 電界成分と角度 45 傾いた直線は ρ HV E ( HV ) + (.34b) である. また, 左回り円 L を表現しようとする場合,IEEE の定義では, E V, δ HV φ V - φ H π, ρ HV なので L ( HV ) LHC + ( ) ( ) (.34c) 同様に右回り円では,ρ HV になるので R ( HV ) + ( - ) (.34d) となる. しかし, 本文では基底変換の性質も含めて, 右回り円 (RHC) に対しては以下の表現を使う. R ( HV ) RHC (.34e) なお,IEEEの定義[6] では,(.34c),(.34d) のジョーンズベクトル表現で円が表現されており, 互いに複素共役の関係にある. そこまでは正しいが, それを使った基底変換ではユニタリ行列の行列式が +にならないのでLR 間の位相保持ができない. そのため位相を扱うレーダポーラリメトリでは大きな問題が生じてくる. /

12 物理的には同じ状態を表していても, 基底が異なると比は異なった値となり, ベクトルも変化する. 表.にいくつかの状態を示す. 表. 幾何学的パラメータ (ε, τ ), 比と Jones ベクトルによる代表的な状態の表現 Polarization Geometric HV basis LR basis Linear Horizontal (H) Linear Vertical (V) 45 deg. Linear 35 deg. Linear Left Handed Circular Right Handed Circular ε τ ρ HV E ρ LR E π π 4 π 4 π 4 π 4 - an an - ところで, 比 ρ となって発散してしまう場合には, 解析に不便なことがある. そのような場合, 以下のようにスピナーパラメータを使うことがある.(.) を変形すると瞬時ベクトルは次のようになる. ε ( z, t ) + Re cos γ sin γ e δ e ω t kz + α (.38) この [ ] で囲まれた項目はスピナーと呼ばれる. スピナーのパラメータ γ, δ は, ポアンカレ球上で状態 を指定するときにも使われる. また, 後述するようにベクトルとして p cos τ sin τ sin τ cos τ cos ε sin ε (.39) を直接使うこともある. これは式 (.) を用いることと同等であり, 幾何学的パラメータによってジョーンズベクトルを明示することが可能である. E ( HV ) A cos τ cos ε sinτ sin ε sinτ cos ε + cos τ sin ε (.4) /

13 .4 ストークスベクトルによる表現風に揺れている麦畑をレーダで観測している場合を想定してみる. レーダパルスの照射時間が長い場合 ( 例えば数ミリ秒の範囲 ), 麦は揺らいでいると考えられる. 反射波は, 麦畑中の数多くの散乱点からの反射波の合計となり, その合計位相は計測時間中でもランダムに変動する. 一方, 照射時間が短い場合 ( 例えば数ナノ秒の範囲 ), 麦畑は静止していると考えられ, 計測時間内で反射波の位相は一定と見なせる. 揺らぎの程度は計測時間とターゲットの揺らぐ速度の相対関係に依存する. 一般に計測時間が十分短ければターゲットは静止していると見なせるので, 反射波は位相のそろったコヒーレント波になり, 逆に計測時間が長い場合には揺らぎのために位相が不揃いなインコヒーレント波に近づく. したがって, レーダ反射波は位相の揃ったコヒーレント波と位相の揃っていないインコヒーレント波から成り立っていると考えることができる ( 図.を参照 ). コヒーレント波をCompletel polarized wave ( 完全 ) ともいう. 一方, インコヒーレント波を Completel unpolarized wave ( 完全無 ) ともいう. 両者が混ざり合っている波を部分 (Partiall polarized wave) という. 送信にはコヒーレント波を送るが, 揺らぎによってインコヒーレント波になることをde-polarizationという. 一方, 完全にした波がターゲットに当たって状態を変えた場合もdepolarizationという言葉を使うことがある. 例えば,H で送信してV が発生した場合,depolarizationと言われることがある. しかし, この場合,V が位相が揃っていれば ( コヒーレントであれば ) 波全体として完全のままである. 波の性質から考えて, 交差が発生する場合には "re-polarization" という言葉を使った方が適切と思われる [5]. この点も研究者によって統一されていない状況にある. Coherent wave scattered wave コヒーレント波 ( 位相が揃っている ) 完全 Completel Polarized wave 完全 repolarization depolarization ( 位相が不揃い ) インコヒーレント波 部分 Partiall Polarized wave していない波 Unpolarized wave 図. 散乱波位相の揃い具合と度合い 前項まで完全 (Completel polarized wave) について扱ってきた. 完全した波とは E A, E B, δ AB が観測時間中に定数であるか, あるいは少なくとも時間に関して非常にゆっくり変動する波で, 位相がそろっているコヒーレントな波と等価である. しかし, 観測時間中に位相がランダムに変わる波や部分的にした波を扱うのには今までの手法で取り扱うことはできない. 完全も含め, これらのすべての波を取り扱うにはストークスパラメータを用いなければならない. ストークスパラメータは85 年に Sir George Stokes によってつくられたものである. ストークスパラメータの利点は全ての要素が実数であり, 電力測定によって決定できることである. 特に光 ミリ波のような高い周波数領域では正確な位相測定が困難なため, 波の情報を得る際に威力を発揮する. 3/

14 (a) 完全に対するストークスベクトル ストークスベクトルは g で表され, その4 成分 g, g, g, g 3 一周波数の完全した平面波では次の関係がある. がストークスパラメータと呼ばれている. 単 g g g g g 3 + EV EV Re E V Im E V + EV EV E V cos δ E V sin δ A cos τ cos ε sin τ cos ε sin ε (.4), E V は, E V 成分の振幅,δ は相対位相である. 完全に対しては次の関係が成り立つ. g g + g + g 3 (.4) これらの成分は図.5に示したポアンカレ球の直角座標成分に対応している. また, これらの物理的な内容は以下のベクトル変換から了解される. 円と直線のベクトル成分の関係は付録.3 より これから次式が得られる. E L E V, E R + E V (.4) E L E L E L + E V + Im E V E R E R E R + E V Im E V E L E R E V + Re E V (.43) ストークスパラメータを円成分で表すと次のようになる. g + E V E L + E R g E V Im E L E R g Re E V g 3 Im E V Re E L E R E L E R (.44) 45, 35 回転した直線基底では E 45 + E V E 35 + E V (.45) なので, E 45 E 45 E 45 + E V + Re E V 4/

15 E 35 E 35 E 35 + E V Re E V E 45 E 35 + E V Im E V (.46) が得られ, ストークスパラメータに変換すると次式が得られる. g + E V E 45 + E 35 g E H E V Re E 45 E 35 g Re E V g 3 Im E V E 45 - E 35 Im E 45 E 35 (.47) したがって (.44) と (.47) を使ってストークスパラメータは表.のように表現することが可能である. この表より,g は全電力を表し基底に依存しない量であることが分かる.g は水平と垂直の電力差,g は45 と35 の直線電力差,g 3 は左回り円と右回り円の電力差を表わしていることが分かる. もし,g, g, g 3 のいずれかがでなければ, 完全した成分が存在することになる. 表. ストークスパラメータの表現 Stokes Parameter HV 45/35 Linear LR Geometric Parameter g + E V E 45 + E 35 E L + E R A g E V Re E 45 E 35 Im E L E R A cos ε cos τ g Re E V E 45 E 35 Re E L E R A cos ε sin τ g 3 Im E V Im E 45 E 35 E L E R A sin ε 一方, ストークスパラメータは幾何学的パラメータとも直結しており, ストークスパラメータを測定することによって状態を求めることができる. A g (.48) sin ε g 3 g tan τ g g (.49) (.5) 5/

16 (b) 部分に対するストークスベクトル インコヒーレント波 ( 位相の揃っていない波 ) や部分的にインコヒーレントな波を扱う際に集合平均が使われる. エルゴード性を仮定して時間平均あるいは空間集合平均をとってみる. 次のストークスベクトル表現では平均操作を示す. g g g g + E V E V Re E V g 3 Im E V (.59) これから g g + g + g 3 (.6) が成り立つことが分かる. 全電力の中にどの程度コヒーレントな成分が含まれているかを表す指標として度 (DoP:Degree of Polarization) が定義されている. Degree of Polarization DoP g + g + g 3 g (.6) Degree of Polarization による波の分類 DoP は完全 (completel polarized wave) といい, 完全にコヒーレントな波を表す. ストークスパラメータの間には次の関係式が成り立つ. g g + g + g 3 (.63) DoP を完全無 (completel unpolarized wave) といい, 完全にインコヒーレントな波となる. ストー クスパラメータは次のようになる. g g g g 3 (.64) DoP を部分という. 測定されるほとんどの波がこの範疇に入る. 部分した波はコヒーレント 波とインコヒーレント波の和であるので次のようにも書くことができる. g + g + g 3 q (.65) g g g g g 3 q g g g 3 + g - q polarized + unpolarized (.66) 6/

17 .5 パラメータとポアンカレ球 視覚的な表現方法としてポアンカレ球がある. 図.3にポアンカレ球を示す. 数学者ポアンカレ (Poincare) によって考案されたものである. 球面上の一点は, ある一つの状態を示しており, すべての状態と 対 の対応がある. 球面上の点によって状態が指定できる. LHC V H RHC 図.3 ポアンカレ球と状態 ( 上半球は左回り, 下半球は右回り ) 球面上の座標を指定するにはいくつかの方法がある. 今まで示したパラメータに角度 γ HV と δ HV, あるいは幾何学的パラメータ ε, τ がある. それらのパラメータの取り方を図.4に示す. なぜこのような出発点 Hとパラメータの取り方をするかは, 各パラメータ間の関係やストークスベクトルによる表現とも密接に関わっており, 結果的に非常にうまくできている. γ γ HV は, 赤道上の点 H( 水平を表す ) から球面上の点 Pまでの大圏行路距離 HPを表し, γ π の範囲で球の裏側までカバーする. また δ δ HV φ φ は, 点 Hにおいて赤道とHPのなす角度 ( π δ π ) である. 例えば,δ φ φ π / は左回り円 (LHC) であり,δ π / は右回り円 (RHC) になっている. 一方, 幾何学的パラメータ ( ε, τ ) については図.4 に示すように τ が OH 軸から測られる赤道上の角度 で, 経度 ( π τ π ) に対応する.+Y 軸に相当する角度は τ 9 なので,τ 45 の直線を表す. そ して点 H の裏側は τ 9 となり, この角度は垂直になっている. また,ε は赤道面と OP 軸のなす角度 で, 緯度 ( π/ ε π/ ) に対応している. 北極は ε 9 (ε 45 ) で LHC を表し, 南極は ε 9 (ε 45 ) で RHC を表す ( 図.6). したがって, 各パラメータの定義式と一致している. 7/

18 Z P γ H δ τ ε Y X 図.4 ポアンカレ球と幾何学的パラメータ スピナーパラメータ γ HV γ, δ HV δ は, 幾何学的パラメータ ε, τ と次の関係がある. 図.5 より sin ε sin γ sin δ (.67) 式 (.8) を使って tan τ tan γ cos δ tan γ cos δ (.68) tan γ また, 逆の関係として sin γ cos τ を両辺に掛けて整理すると tan δ sin ε sin γ + tan τ tan γ (.69) cos γ cos τ cos ε (.7) sin ε tan τ cos γ tan ε sin τ (.7) 式 (.67) から (.7) までの関係を図で書くと, 結果的に図.5 のようになっている. 最も特徴的なことは, ストークスベクトル成分 ( g, g, g 3 ) がポアンカレー球の直角座標軸成分になっていることである. 通常の球座標でX 軸が g,y 軸が g,z 軸が g 3 に対応する. また, 幾何学的パラメータ ( ε, τ ) は, 図.4のように緯度, 経度を表わしており,τ が球座標における ϕ 方向, π ε が θ 方向に相当する. 緯度 ε 経度 τ 式 (.4) から g g cos τ cos ε cos γ (.7) 8/

19 なので,cos γ はStokesベクトルgがX 軸となす角の方向余弦である. それゆえ, 点 Hから点 Pまでのアーク距離 ( 大圏行路距離 ) は,g とすれば, HP g (γ HV ) γ のように表せる. また, 角度 δ は赤道面と最大円 ( アーク距離方向 ) とのなす角度であり,XOY 面とXOP 面のなす角度に等しい. 点 PをYOZ 面に投影すれば,Y 軸と投影点 P から作られる角度 YOP' δ となる.YOZ 面で次式が成り立つことが分かる. tan δ tan YOP' g 3 g (.73) したがって, ポアンカレ球上の点 P は, 同じ場所でも状態の表現方法 ( γ, δ ), γ π, π δ π ( τ, ε ), π τ π, π 4 ε π 4 ( g, g, g 3 ), ( g, g, g 3 ) によって図.5 のように表されることが分かる. このうち, 最も分かり易いパラメータは ( τ, ε ) と ( g, g, g 3 ) であろう.( τ, ε ) は全体の表記の基本をなしている. Z g 3 P P' γ g g 3 X H g δ ε τ δ g g + g + g 3 g Y g O Q P τ, ε g τ+ π, ε 図.5 ポアンカレ球とストークスベクトル図.6 直交状態 (P と Q) 重要な点として, 図.6のようにポアンカレ球上にある点 Pを指定すると, 球の真裏の点 Q (anti-podal point) は直交した状態になっていることである. 例えば,Hの裏側はVであり,HとVは互いに直交している. また, 北極は左回り円 (LHC), 南極は右回り円 (RHC) で直交する. この直交性は球面上のどの点でも成り立っている. 9/

20 .6 ベクトルによる表現 ポアンカレ球の中心を貫く直線によって直交する状態が直観的にも理解できるので, 改めて式の上でも直交する状態を考えてみよう. 再度, 式 (.) をふり返ってみる. e φ e φ A cos τ sin τ sin τ cos τ cos ε sin ε e φ ξ (.) この式から位相 φ ξ を無視して ( 正確に測定することが難しいため ), ベクトル p を p p ( τ, ε ) cos τ sin τ sin τ cos τ cos ε sin ε (.74) とおく. これに直交する状態は, ポアンカレ球の裏側に配置しているので, τ τ + π (τ τ + π ) ε ε ( ε ε ) (.75) とすれば得られることになる. したがって, 直交するベクトル p は次式で与えられる ( 図.7). p p ( τ + π, ε ) sin τ cos τ cos τ sin τ cos ε sin ε (.76) τ + π τ 図.7 直交状態 例えば, 代表的な状態は式 (.74),(.76) のベクトルを使って以下のように表される. 水平 τ, ε p p (, ) (.77a) 直交 ( 垂直 ) p p ( π, ) (.77b) 左回り円 ε π 4 p p ( τ, π 4 ) cos τ sin τ sin τ cos τ e τ (.78) 直交円 ( 右回り ) p p ( τ + π, π 4 sin τ cos τ ) cos τ sin τ e τ (.79) /

21 これらの結果は表. のものと同じ表現であり, ジョーンズベクトルとも等価である. 円において e τ, e τ の項目は傾き角の回転を表し, 円を回転しても同じ円になるので意味をもたな い. もし,τ ととれば, 左回りと右回りのベクトルとして L R (.8) が得られる ( 注.4). ベクトルは次の直交 ( ユニタリ内積 ) 条件を満たしている. p p (.8).3 パラメータ間の関係 今まで, 電界の振幅, 位相から出発し, 各種パラメータによってだ円を表現してきた. 表現方法はいろいろあるが, 本質的に同じものを指している. 視覚的に状態を捉えるには, ポアンカレ球が最も優れている. これらのパラメータの相互関係を図.3.に示す. δ A + sin ε sin δ + tan τ cos δ g + g A + tan γ g cos δ g 3 sin δ A, ε, τ A, γ, δ tan τ tan γ cos δ sin ε sin γ sin δ g A g A cos τ cos ε g A sin τ cos ε g 3 A sin ε cos γ g g tan δ g 3 g g, g, g, g 3 図.3. だ円を表すパラメータの相互関係 /

22 なお, 比と幾何学的パラメータには次の関係が成り立つ. 電界表現 E V A cos τ sin τ sin τ cos τ cos ε sin ε (.3.) 比は ellipticit, tilt angle を使って表現できる. ρ E V したがって次の関係が導かれる. tan τ Re ρ ρ sinτ cosε + cosτ sinε cosτ cosε sinτ sinε tan τ + tan ε tan τ tan ε (.3.), sin ε Im ρ + ρ (.3.3) この関係は図.3. のように表すことができる. ρ E V ρ r + ρ i tanτ Re ρ ρ sin ε Im ρ + ρ ρ tan τ + tan ε tan τ tan ε τ, ε 図.3. 比と幾何学的パラメータの関係 /