第2章　多数決原理

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へいぞうもちやま
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1 第 2 章多数決原理単純多数決原理を中心として直接民主制 1

2 1. 単純多数決ルール N={1,2,,n}: 社会構成員全体の集合 2 n<+ X={x,y,z, }: 選択肢の集合 3 X<+ ( X は集合 X の要素の個数 ) S,T, X: 実行可能な選択肢の集合 X 上の個人 i N の二項関係 ( 選好関係 )R i xr i y x は y より厳密に望ましいか両者は無差別 x は y より悪くはない完備性 : xr i y あるいは yr i x 反射性 : xr i x 推移性 : xr i y かつ yr i z ならば xr i z 2

3 xp i y xr i y かつ yr i x ( は否定,not) xi i y xr i y かつ yr i x 社会的選択ルール R=f(R) R=(R 1,R 2,,R n ) : プロファイル R: 社会的選好定義 2.1( 単純多数決ルール ):R MD =f MD (R) xr MD y N(xPy) N(yPx) ただし N(xPy) は xp i y を満足する個人の総数 N(xRy), N(xIy) も同様 3

4 15 人のうち,6 人が xpy,5 人が ypx,4 人が xiy のとき,xP MD y 15 人のうち,5 人が xpy,6 人が ypx,4 人が xiy のとき,yP MD x 15 人のうち,6 人が xpy,6 人が ypx,3 人が xiy のとき,xI MD y まとめて書くと xr MD y N(xPy) N(yPx) 4

5 公理 U( 広範性 ) 社会的選択ルールの定義域は個人的選好順序の論理的に可能なあらゆるプロファイルを含む公理 A( 匿名性 ) R の個人的選好順序を並び替えて R が得られるなら,R=R 公理 N( 中立性 ) xr i y zr i w かつ yr i x wr i z が全ての i に対して成立すれば,xRy zr w かつ yrx wr z 5

6 公理 PR( 正の感応性 ) 2つのプロファイルR,R に対して, i N:{(xP i y xp i y)&(xi i y xr i y)} k N:{(xI k y xp k y) (yp k x xr k y)} ならば,(xRy xp y) 記号の注意 : 任意の : 存在する &: かつ : または単純多数決ルールの公理化定理 2.1 ( メイの定理 ) 単純多数決ルールは, 公理 U,A,N,PR を全部満たす唯一の社会的選択ルールである 6

7 ( 証明 ) 定義より, 単純多数決ルールが 4 つの公理を満たすのは明らか. 逆を示す. 公理 N で,x=z, y=w とおく.x と y の社会的選好判断には個人的選好を知れば十分. 公理 A より,N(xPy), N(yPx), N(xIy) のみで決まる. 公理 N より,N(xPy)=N(yPx) ならば,xIy. 公理 PR より, N(xPy)>N(yPx) ならば,xPy. よって, 多数決ルールに一致する. 7

8 公理 CR( 社会的合理性 ) 任意のプロファイル R =(R 1,R 2,,R n ) に対して, 社会的選好 R=f(R) は完備性, 反射性, 推移性を満たす定理 2.2 公理 U,A,N,PR,CR をすべて満たす社会的選択ルールは存在しない. 8

9 2. 定義域の制限単峰型選好効用個人 3 個人 2 個人 1 x y z 選択肢 9

10 非単峰型選好効用個人 3 個人 2 個人 1 x y z 選択肢 10

11 単谷型選好効用個人 3 個人 2 個人 1 x y z 選択肢 11

12 3. ブキャナ = タロック合意の計算意思決定の費用決定に必要な人数が多くなると高くなる外部費用自分の意見と合わない社会的決定に従わなければならないことから生じるコスト決定に必要な人数が多くなると低くなる最適な意思決定ルール合計を最小化するルールある多数決ルール 12

13 総費用外部費用意思決定費用 n 13

14 4. レイの定理自分の賛成する提案が否決される確率自分の反対する提案が可決される確率最適なル - ル =2 つの確率の合計を最小化するルール単純多数決ルール 14

15 n 人の社会さまざまな規模の集団の数 : f 人で構成される集団の数 n C f n! f!( n )! 可決に必要な最小支持者数 =k 否決される集団の数 k 1 f f n! 1 f!( n f )! n

16 注 : n 人の社会可能な集団の数を考える全員が集団に入るか否かを決める n 2 の可能性を除くさまざまな規模の集団の数は n C f n 2 1 n! n( n 1) n 人の並べ方 = 順列 f 人で構成される集団の数は f 人からなる組合せ... 〇... f! n! ( n f )! よって n! f!( n f )! 16

17 1 自分の支持する提案が否決されるケース自分を入れて f 人, かつ f < k n 1C f 1 ( f ( n 1)! 1)!( n 1 ( n 1)! ( f 1)!( n f )! f 1)! よって, 確率は P 1 k 1 f 1 ( f ( n 1)! 1)!( n 2 n 1 f )! 17

18 2 自分の反対する提案が可決されるケース自分を除いて f 人, かつ f k n 1C f ( n 1)! f!( n f 1)! よって, 確率は P 2 n 1 f k f ( n 1)!!( n f 1)! 2 n 1 18

19 .5 期待確率可決に必要な最小支持者数 19

20 .5 期待確率可決に必要な最小支持者数 20

21 5. トーナメント方式あらかじめ決められた順番で二項比較を行う cf. 単純多数決による二項比較循環が生じない決定できる問題点経路独立性を満たさない劣位勝者のパラドックス 21

22 1 直線型 2 樹形型 w x y z x y z w 3 混合型 v x y z w 22

23 経路依存性 a, b, c 3 人の個人 x, y, z 3 つの選択対象 3 人の選好 ( 価値判断 ): R a ; x f y f z x y z R b ; y f z f x R c ; z f x f y x z y y z x 23

24 劣位勝者のパラドックス (1) a, b, c 3 人の個人 x, y, z, w 4 つの選択対象 3 人の選好 ( 価値判断 ): R a ; x f y f z f w R b ; z f w f x f y R c ; w f x f y f z 3 の勝者である y は全員一致で x より望ましくない 24

25 1 w 1 z x y z w x y w z 2 w 2 w x z y w x z w y 25

26 3 z 3 y x w y z x w z y 4 w 4 w y z w x y z x w 26

27 5 z 5 x y w x z y w z x 6 x 6 x z w x y z w y x 27

28 劣位勝者のパラドックス (2) 同じ選好でも, 樹形型では劣位勝者のパラドックスは生じない y は z に勝つが,x と w には負ける 1 度だけ最終段階で z と対戦するという状況でのみパラドックスが生じる x x y z w w x z y w 28

29 6. シュワルツ方式頂上循環上位の選択肢間で循環が生じるシュワルツ方式勝者集合 S X( 普遍集合 ) (1) x S, y X\S:xPy (2) S: 最小注意 : y X\S y X & y S 29

30 x ~ y ~ z f w f t f u ~ v S 1 ={x,y,z}, S 2 ={x,y,z,w}, S 3 ={x,y,z,w,t} S 1, S 2, S 3 のいずれも (1) を満たす (2) を満たすのは S 1 のみ S 1 がシュワルツ方式の勝者集合 30

31 一部の選択肢からなる循環 x y xpy x 頂上循環 top cycle x y y z z w w u u 31

32 7. 循環の発生頻度仮定あらゆる個人的順序 ( 完備性推移性 ) は等確率で生じる投票者 9 人で選択肢 7 個 3 回に 1 回頂上循環が生じる投票者 25 人で選択肢 11 個 2 回に 1 回頂上循環が生じる 32

33 1860 年アメリカ大統領選挙リンカーン, ベル, ブレキンリッジ, ダグラス選好分布の推定 ( 単位 :1000 人 ) リリダダダダダブブブべベベベベベダブベリブリベダダリブダブダダベベリベリブダベリダダリリブブブリブブベベリリベブリブダリ 33

34 1860 年アメリカ大統領選挙での循環 ( 単位 :1000 人 ) リンカーンベルブレキンリッジダグラスリンカーン * 2,542 * 2,968 2,165 ベル 2,139 * 3,090 * 2,416 ブレキンリッジ 1,713 1,591 1,023 ダグラス * 2,516 2,265 * 3,658 * は二項比較での勝者 34

35 リンカーンベルダグラスが頂上循環をなしていた最多数投票で選挙に勝ったリンカーンは, 二項比較ではダグラスに敗れていた 35

36 8. 多次元空間での多数決空間モデル至福点 ( 理想点, 飽和点 ) u :I i xr i y x-i i y-i i 至福点に近いほど望ましい単峰型選好単峰型選好でも投票のパラドックス x 2 x 1 36

37 2 次元空間内の単峰型選好 (1) 1 次元から 2 次元へクレマーの研究 1 次元が本質的であることを示した右図 I * が個人 1 にとって最善の組み合わせ I* から遠ざかるほど効用水準が低下政策 2 I * 政策 1 37

38 2 次元空間内の単峰型選好 (2) 3 人の選好 1:x f y f z 2:y f z f x 3:z f x f y この選好ではサイクルが生じる政策 2 x I 1 * y I 3 * z I 2 * 政策 1 38

39 契約曲線 ( パレート最適点の集まり ) = 接点の奇跡 I 1 I 2 39

40 3 人の契約曲線 : 均衡の非存在 I 3 b I 2 c a I 1 40

41 均衡の存在条件均衡の存在条件 ( 十分条件 ) 3 人の至福点 ( 理想点 ) が一直線上にある 3 人の契約曲線が1 点で交わる均衡点 ( コンドルセ勝者 ) 41

42 3 人の契約曲線 : 均衡の存在 I 3 a b I 2 がコンドルセ勝者 a にも,b にも勝つ I 2 I 1 42

43 プロットの対称性条件プロットの一般化条件 (1) 無差別の個人は棄権する (2-1) 投票者数が奇数である場合には,1 人またはより多くの奇数人が特定の e 点を理想点とする (2-2) 偶数の場合は誰も e 点を理想点としないか, 偶数の人が理想点とする (3) 残りの投票者は e 点を挟んで対極にある 2 つの点をそれぞれ理想点とするペアを作る稀にしか満たされない 43

44 2 つの選択肢のどちらが勝つ? a,b を通る垂直二等分線を引く個人 1 は b に投票個人 2,3 は a に投票 I 3 a I 4 b 垂直二等分線上に至福点のある個人 4 は無差別棄権する I 2 I 1 44

45 多数決の勝者は? e:e を通る任意の直線が e を至福点とする人々を除いて残りの人の至福点を均等に分割する点 e は任意の x e に多数決で負けることはないなぜなら e に賛成するする人の数は常に過半数を超えるから a 垂直二等分線 e 少なくとも n 1 人いる : 奇数 2 n 人いる : 偶数 2 45

46 プロットの対称性条件 I 5 I I 4 6 I 7 =e I 1 I 1 I 2 I 3 46

47 マッケルヴィの定理いかなる選択肢のペアについても, それらを含んだ包括循環を引き起こすトーナメント方式の決定順序が存在する次の図 3 人とも,aP i b apb bpa となる手順がある 47

48 ai 1 a かつ ai 3 a ( 無差別 ) αp 1 a かつ αp 3 a 推移性より αp 1 a,αp 3 a αpa ( トーナメント ) αi 1 α かつ αi 2 α 多数決 βp 1 α かつ βp 2 α 推移性より βp 1 α,βp 3 α βpα βi 2 β かつ βi 3 β bp 2 β かつ bp 3 β 推移性より bp 2 β かつ bp 3 β bpβ apb かつ αpa かつ βpα かつ bpβ bpa 48

49 a α I 3 a I 2 b I 1 49

50 垂直二等分線による対称点 l 3 I 3 b β l 1 a α I 1 β a I 2 l 2 α 50

千葉大学　ゲーム論II

千葉大学　ゲーム論II 千葉大学ゲーム論 II 第五, 六回担当上條良夫千葉大学ゲーム論 II 第五六回上條良夫本日の講義内容前回宿題の問題 3 の解答 Nash の交渉問題 Nash 解とその公理的特徴づけ千葉大学ゲーム論 II 第五六回上條良夫宿題の問題 3 の解答ホワイトボードでやる千葉大学ゲーム論 II 第五六回上條良夫 3 Nash の二人交渉問題 Nash の二人交渉問題は以下の二つから構成される

第2章 多数決原理

第2章　多数決原理