第 6 章場合の数 頻出問題の解法 6.1 数え上げの原則と順列 1. 辞書式配列 樹形図数え上げでは, 順序正しく, もれなく, 重複なく列挙することが大切である 辞書式配列 辞書の見出し語のような順に並べる方法 樹形図 各場合を次々に枝分かれしていく図で表す方法例 a, a,b, c の 4 個

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1 第 6 章場合の数 6.1 数え上げの原則と順列 1. 辞書式配列 樹形図数え上げでは, 順序正しく, もれなく, 重複なく列挙することが大切である 辞書式配列 辞書の見出し語のような順に並べる方法 樹形図 各場合を次々に枝分かれしていく図で表す方法例 a, a,b, c の 4 個の文字から 3 個の文字を選んで 1 列に並べる方法 < 辞書式配列 > < 樹形図 > 2. 和の法則 2 つの事柄 A,B があって,A,B が同時には起こらないとき,A の起こる場合が m 通り, B の起こる場合が n 通りあるとすると,A または B が起こる場合の数は m+n 通りである 3. 積の法則 2 つの事柄 A,B があって,A の起こる場合が m 通りあり, そのどの場合についても B の起こる場合が n 通りあるとき,A,B がともに起こる場合の数は m n 通りである 4. 順列 順列 n P r 異なる n 個のものから異なる r 個をとって 1 列に並べたものを, n 個のものから r 個 とった順列といい, その総数を n P r で表す n P r = n! =n(n 1)(n 2) ( n r+1) (n r )! ただし 0!=1 階乗 n! 1 から n までの自然数の積を n の階乗といい, n! で表す すなわち n!=n(n 1)(n 2) 円順列 じゆず順列 円順列いくつかのものを円周上に並べたものを円順列という 円順列では, 回転すると重なるものは同じものとする 異なる n 個のものの円順列の総数は (n 1)! ( 特定の 1 個の位置を固定し, それを基準に右まわりに他の n 1 個を並べる順列の総数に等しい ) じゆず順列いくつかのものを糸で輪の形につないだものをじゆず順列という じゅず順列では, 回転したり裏返したりして重なるものは同じものとする 異なる n 個のもののじゆず順列の総数は (n 1)! 2 6. 重複順列 重複順列異なる n 個のものから, 同じものを繰り返しとることを許して, r 個とって 1 列に並べたものを, n 個のものから r 個とった重複順列という n 個のものから r 個とった重複順列の総数は n r 115

2 Check Exercize 1. A,B の 2 チームが試合を行い, 先に 3 勝したチームを優勝とする 優勝が決定するまでの勝敗の分かれ方は何通りあるか ただし, 引き分けはないものとする 2. 大小 2 個のさいころを同時に投げるとき, 目の和が 5 の倍数となる場合の数を求めよ 3. 大中小 3 個のさいころを同時に投げるとき, 目の出方は何通りあるか 4. 6 P 3, 5 P 1, 4 P 4 の値を求めよ 5. 6 人から 4 人を選んで 1 列に並べる方法は何通りあるか 6. 5 人が手をつないで輪をつくる方法は何通りあるか 7. 3 個の数字 1,2,3 を用いてできる 6 桁の整数はいくつあるか ただし, 同じ数字を繰り返し用いてもよいものとする ============================================== Check Exercize 答 通り 2. 7 通り 通り 4. 順に 120,5, 通り 通り 個 ============================================== TYPE124 和の法則 積の法則重要度 A レベル の正の約数の個数を求めよ KEY 約数を素因数分解した形で考える 解 400 を素因数分解すると 400= となるから, 400 の正の約数はすべて,24 の約数 1,2,2 2, 2 3,2 4 のどれか 1 つ p と, 5 2 の約数 1,5,5 2 のどれか 1 つ q の積 p q として表される ここで, p の決め方は 5 通りあり, そのどの決め方に対しても q の決め方が 3 通りある よって, 求める約数の個数は, 積の法則により 5 3=15 ( 個 ) ( 答 ) MEMO 400 の正の約数の和を求めよ という問題であれば,400 の正の約数はすべて S=( )( ) の展開式の項となっているから, それらの総和を求めればよい したがって 5=31 31=961 類題 124 *(1) いくつかの 10 円玉,50 円玉,100 円玉を用いて 400 円を作る方法は何通りあるか ただし, 用いる個数は 0 個でもよいとする (2) (a+b)( c+d+e) の展開式の項の個数を求めよ (3) 360 と 900 の正の公約数の個数とそれらの総和を求めよ (4) 10 円硬貨 14 枚,100 円硬貨 3 枚,500 円硬貨 3 枚の中から,1 枚以上を用いて表すことができる金額は何 116

3 通りあるか *(5) 大小 2 個のさいころを投げるとき, 次の場合は何通りあるか 1 目の和が偶数 2 目の積が偶数 *(6) 図のように, 横に 4 本, 縦に 5 本の直線がいずれも幅 1 の間隔で並んでいる これらの直線で囲まれてできる正方形は何個あるか *(7) 右図の A,B,C,D,E の各領域を塗り分ける 隣り合った領域には異なる色を塗ることとする 次の場合, 塗り分け方は何通りあるか 1 5 色をすべて使う場合 2 4 色をすべて使う場合 3 3 色をすべて使う場合 117

4 TYPE125 順列重要度 A レベル 2 (1) 5 個の数字 0,1,2,3,4 から, 異なる 3 個の数字を用いて 3 桁の整数を作る 次の数はいくつできるか 1 3 桁の整数 2 偶数 (2) 男子 3 人と女子 4 人が 1 列に並ぶとき, 女子が両端にくる並び方は何通りあるか KEY 条件の厳しい場所から順に並べる 解 (1) 1 3 桁の整数を作るには, まず百の位に 0 以外の 4 個の数字のどれかを並べ, 次に十, 一の位に 0 をも含めた残り 4 個の数字から 2 個とって並べればよい よって,3 桁の整数の個数は 4 4 P 2 =48 ( 個 ) ( 答 ) [ 別解 ] これら 5 個の数字から 3 個とった順列は 5 P 3 個ある この中には,0 が先頭で 3 桁の整数にならないものが 4 P 2 個ある よって,3 桁の整数の個数は 5 P 3 4 P 2 =48 ( 個 ) 2 偶数は, 一の位が 0,2,4 のどれかである (i) 一の位が 0 の場合百, 十の位に 0 以外の 4 個の数字から 2 個とって並べればよいから, 4 P 2 =12 ( 個 ) (ii) 一の位が 2 か 4 の場合まず百の位に 0 と一の位の数字を除いた 3 個の数字のどれかを並べ, 次に十の位に 0 も含めた残り 3 個の数字のどれかを並べればよいから 2 3 3=18 ( 個 ) (i)(ii) より, 偶数の個数は 12+18=30 ( 個 ) ( 答 ) (2) まず女子 4 人から 2 人を選んで両端に並べた後, その 2 人の間に残りの 5 人を並べればよいから, 求める並び方は 4 P 2 5 P 5 =1440 ( 通り ) ( 答 ) 118

5 類題 125 (1) 6 個の数字 0,1,2,3,4,5 から, 異なる 3 個の数字を用いて 3 桁の整数を作る 次の数はいくつできるか 1 3 桁の整数 2 5 の倍数 3 4 の倍数 4 3 の倍数 1: 5 5 P 2 =5 5 4=100 個 2:1 の桁が 0 のとき P lsub{5}_{2}=20 1 の桁が 5 のとき 100 の桁は 4 通り 10 の桁 4 通り 16 これらは排反ゆえ 20+16=36 個 3:4 の倍数は下 2 桁が 4 の倍数となるから 下 2 桁は の 7 通りある 04 20,40 の場合は 100 の桁は各 4 通りで 12 通り 0 を含まない場合は 100 の桁は各 3 通りで 12 通りよって 12+12=24 個 4:3 の倍数は 3 桁の数字の組み合わせが (0,1,2)(0,1,5)(0,2,4)(0,4,5)(1,2,3)(1,3,5)(2,3,4)(3,4,5) 0 を含む組は 各 2 2 P 2 =4 通りできるから 4 組 4=16 個 0 を含まない組は 各 3 P 3 =6 通りできるから 4 組 6=24 個よって 16+24=40 個 (2) A,B,C,D,E の 5 個の文字を 1 列に並べるとき, 1 子音が両端にくる並べ方は何通りあるか 子音は BCD の 3 個から 2 個選んで並べるから 3 P 2 =6 通り その間に AE と両端に選ばれなかった 1 個合計 3 個の文字から 3 個選んで並べるから 3 P 3 =6 これらは同時に起こる積事象ゆえ 6 6=36 通り 2 母音が少なくとも一方の端にくる並べ方は何通りあるか すべての並べ方は 5 P 5 = =120 これから 母音が 1 個も両端に並ばない すなわち1の事象の余事象ゆえ =84 通り TYPE126 辞書式配列と順列重要度 B レベル 3 a, b, c, d, e の 5 個の文字を 1 列に並べた文字列をアルファベット順に abcde から edcba まで並べる (1) cbeda は何番目の文字列か (2) 40 番目の文字列は何か KEY 型の文字列の個数を求めていく 解 119

6 類題 126 (1) TOUDAI の 6 個の文字を 1 列に並べた文字列をアルファベット順に並べる 1 TOUDAI は何番目の文字列か アルファベット順に並べると ADIOTU となるから TODAI までに A,D,I,O の頭文字は全部で 4 5 P 5 =4 120=480 TA から TI まで 3 4 P 4 =3 24=72 TOA から TOU まで 3 3 P 3 =18, TOUA は 2, TOUDAI はこの次ゆえに =572 よって TOUDAI は 573 番目である 番目の文字列は何か 頭文字 A のみで 120 あるから AD から AT まで 4 4 P 4 =4 24=96 AUD から AUI まで 2 3 P 3 =12 ここまで 108 番目 AUODIT AUODTI が 110 番目である すなわち 文字列 AUODTI が 110 番目である (2) 5 個の数字 0,1,2,3,4 をすべて用いて 5 桁の整数を作る 以下の数はいくつできるか と で 2 個 この下は 5 桁目が 2 または 1 の 2 通りで 4 桁以下各 4 P 4 =24 個あるから =50 個 2 小さい方から 90 番目の数は何か まで 3 4 P 4 =72 40 から 42 まで 3 3 P 3 =18 よって 42 の最終番号 が 90 番目である TYPE127 隣接関係を指定された順列重要度 A レベル 2 男子 4 人と女子 3 人が 1 列に並ぶとき, 次の問いに答えよ (1) 女子 3 人が隣り合う並び方は何通りあるか (2) 女子どうしがどの 2 人も隣り合わない並び方は何通りあるか KEY (1) 隣り合うものはまず 1 つのものとみなして並べる (2) 隣り合わないものは他のものの間か両端に並べる 解 (1) 女子 3 人をひとまとめにして 1 人とみなし, 男子 4 人とともに 1 列に並べる方法は 5 P 5 通りあり, そのどの並び方に対しても女子 3 人の並び方が 3 P 3 通りある よって, 求める並び方は 5 P 5 3 P 3 =720 ( 通り ) ( 答 ) (2) 男子 4 人を 1 列に並べた後, 男子と男子の間と両端の 5 か所から 3 か所を選んで女子を 1 人ずつ並べればよいから, 求める並び方は 4 P 4 5 P 3 =1440 ( 通り ) ( 答 ) 類題 組の夫婦が 1 列に並ぶとき, 次の並び方は何通りあるか (1) 各夫婦が隣り合う (2) 男女が交互に並ぶ (1) 3 組の順列 3 P 3 =6 通り 各組並べ替えで 2 3 よって 6 8=48 (2) 男子を 3 人並べ 両端と間の中央 2 か所の 3 人から 2 人選んで並べる 左右端から 1 か所選んで残り 1 人 を並べるから 3 P 3 3 P 2 2 P 1 =6 6 2=72 120

7 TYPE128 円順列 じゆず順列重要度 A レベル 3 男子 3 人と女子 3 人が円卓に座るとき, 男女が交互に座る方法は何通りあるか KEY 男子が円卓に 1 つおきに座る ( 円順列 ) 女子が空席に座る ( 順列 ) 解男子 3 人が円卓に 1 つおきに座る方法が (3 1)! 通りあり, そのどの座り方に対しても, 女子 3 人が男子と男子の間に 1 人ずつ座る方法が 3 P 3 通りある よって, 求める方法は (3 1)! 3 P 3 =12 ( 通り ) ( 答 ) 類題 128 (1) 男性 A, B,C, D と女性 a, b, c が円卓に座るとき 1 A と a が隣り合うような座り方は何通りあるか A, a を一組として 合計 6 組の円順列で (6 1)! A と a の入替えで 2 通り よって 5! 2= =240 通り ( 答 ) 2 女性どうしがどの 2 人も隣り合わない座り方は何通りあるか 男子 4 人を円順列で並べ その間の席 4 か所から 3 か所を選んで女子 3 人を座らせるから (4 1)! 4 P 3 = =144 通り ( 答 ) (2) 異なる 7 個の玉を糸でつないで輪を作る方法は何通りあるか TYPE129 塗り分けと円順列 じゆず順列重要度 B レベル 4 立方体の 6 つの面を, 隣り合う面の色が異なるように, 塗り分ける 次の場合, 塗り分け方は何通りあるか (1) 6 色すべてを使う場合 (2) 5 色すべてを使う場合 KEY 転がすと同じ色の配置になるものは同じ塗り方とみなすから, ある色で塗った面を上面に固定する 解 (1) ある色で塗った面を上面になるように置くと, 底面の塗り方は他の 5 色のどれかの 5 通りで, 側面の塗り方は残り 4 色の円順列で表される よって, 求める塗り分け方は 5 (4 1)!=30 ( 通り ) ( 答 ) (2) 1 色だけは相対する 2 面になるよう塗るが, この色の選び方は 5 通りある この色で塗った 2 面を上下になるように置くと, 上下は反対にしても同じであるから, 側面の塗り方は残り 4 色のじゅず順列で表される よって, 求める塗り分け方は 5 響 =15( 通り ) 圏 類題 129 正三角柱の 5 つの面を 5 色すべての色を使って塗り分ける方法は何通りあるか 上下 2 面に区別をつけると, 上 下面の塗り方は 5 P 2 通り, 側面 3 の塗り方は円順列であるから 5 P 2 (3 1)! 通りで この中には, 上面, 下面の区別をとると同じ塗り分け方になるものが 2 通りずつあるから P 5 2 (3 1)! =20 通り ( 答 ) 2 121

8 TYPE130 重複順列重要度 B レベル 1 4 人でじゃんけんをするとき,4 人の手の出し方は何通りあるか KEY 4 人の手を 1 列に並べると, グー, チョキ, バーの重複順列になる 解 1 人の手の出し方はグー, チョキ, パーの 3 通りであるから, 4 人の手を 1 列に並べるとグー, チョキ, パーの 3 個から 4 個とった重複順列となる よって,4 人の手の出し方は 3 4 =81 ( 通り ) 16 類題 130 (1) 集合 {1,2,3,4} の部分集合の個数を求めよ 各要素について 部分集合に含まれる場合と含まれない場合の 2 通りづつあるから 2 4 =16 通り ( 答 ) (2) 箱の中に入っている 5 個の硬貨を 1 回ないし数回に分けて取り出す方法は何通りあるか 5 枚の硬貨を 1 列に並べ, 端から順に取り出すと考える 間の 4 か所について, 取り出しの区切りを入れるか入れないかの 2 通りあるから,2^{4}=16( 通り ) ( 答 ) TYPE131 組分け 分配と重複順列重要度 A レベル 4 異なる 7 個の球を 3 つの箱に入れる 次の場合, 入れ方は何通りあるか ただし, どの箱にも少なくとも 1 個は入れるものとする (1) 3 つの箱を区別する (2) 3 つの箱を区別しない KEY (1) まず 1 個の球の入れ方を考える (2) (1) の場合の入れ方には箱の区別をとると同じ入れ方になるものが何通りずつあるかを考える 解 (1) 3 つの箱を A, B,C とする 各球の入れ方は, A, B,C の 3 通りであるから,7 個の球の入れ方は, 空箱がある場合を含めて 37 通りある このうち, 空箱が 2 個ある場合は,7 個とも A,B,C のどれか 1 つの箱に 入るから,3 通りある また, 空箱が 1 個ある場合は, 球を入れる 2 つの箱の選び方が A と B, B と C,C と A の 3 通りあり,7 個の球を選んだ 2 つの箱に空箱がないよう入れる方法が 通りあるから 3(2 7 2) 通りある よって, 求める入れ方は (2 7 2)=1806 ( 通り ) ( 答 ) (2) (1) の分け方の中には, 箱の区別をとると同じ分け方になるものが 3! 通りずつあるから, 求める入れ方は ! =301 ( 通り ( 答 ) MEMO (2) において,7 個の球を とする 例えば,3 つの組 {123}, {45}, {67} を A, B,C の 3 つの箱に 1 組ずつ入れる方法は 3! 通りあるが, これらの入れ方は箱の区別をとると同じ入れ方になる 122

9 類題 131 (1) n 人を 2 つの教室に入れるとき, 次の場合, 入れ方は何通りあるか 1 2 つの教室を区別し, 空の教室があってもよい場合 2 つの教室を A,B とすると,1 人の入れ方は A か B かの 2 通りである よって 2 n ( 通り ) ( 答 ) 2 2 つの教室を区別し, どの教室にも少なくとも 1 人は入れる場合 1 の入れ方から, n 人とも A または B に入れる入れ方を除けばよい よって 2 n 2 ( 通り ) ( 答 ) 3 2 つの教室を区別せず, どの教室にも少なくとも 1 人は入れる場合 2の入れ方には, 教室の区別をとると同じ入れ方になるものが 2! 通りずつあるから, 求める入れ方は, 2 n 2 2! =2n 1 1 ( 答 ) (2) 4 組の夫婦を 4 名ずつ 2 つのグループに分けるとき, どの夫婦も別のグループに分かれる分け方は何通りあるか 2 つのグループを A,B と区別すると, 各夫婦の分け方は 2 通りであるから,4 組の夫婦の分け方は 24 通り この中には, グループの区別をとると同じ分け方になるものが 2! 通りずつあるから求める分け方は, 2 4 2! =8 ( 答 ) 6.2 組合せ 組合せ 組合せ n C r 異なる n 個のものから異なる r 個をとって 1 組としたものを,n 個のものから r 個とった組合せといい, その総数をで表す C r n C r n 個のものから r 個とった組合せは n 通りあり, そのどの組合せからも r! 通りの順列が得られるから, 全部で n C r r! 通りの順列が得られる この数は n 個のものから r 個とった順列の総数 n P r に等しい よって, 次の公式が得られる n C r = P r nr! = n! r!(n r)! = n(n 1)(n 2) (n r+1) r(r 1)(r 2) また, n C 0 =1 と定める には次の性質がある C r n 1 n 1 C r 1 + n 1 C r = n C r ( 1 r n 1,n 2 ) 2 n C r = n C n 1 ( 0 r n ) 同じものを含む順列 n 個の中に, 同じものがそれぞれ p 個, q 個, r 個, 含まれるとき, これら n 個のものを 1 列に並べる順列の総数は n! ただし p+q+r + =n p! q! r! 証明これら n 個のものを 1 列に並べるには, まず n 個の場所から p 個の場所を選んで p 個の同じものを入れ, 次に残り n p 個の場所から q 個の場所を選んで q 個の同じものを入れ, さらに残り n p q 個の場所から r 個の場所を選んで r 個の同じものを入れ, というように並べていけばよいから, その並べ方 ( 順列 ) の総数は 123

10 n C p n p C q n p q C r = n! p!(n p)! (n p)! q!(n p q)! (n p q)! r!(n p q r)! = n! p! q! r! 注同じものに区別をつけて並べたときの n! 個の順列の中には, 区別をとると同じ順列になるものが p! q! r! 通りずつある 重複組合せ 重複組合せ n H r 異なる n 個のものから, 同じものを繰り返しとることを許して, r 個をとる組合せを, n 個のものから r 個とった重複組合せといい, その総数を n H r で表す n H r = n+r 1 C r 例 a, b, c の 3 個のものから 6 個とった重複組合せの総数 3 H 6 を求めてみよう 例えば, 組合せ {a, a, a, b, c, c} に順列 をというように, 各組合せに 6 個の と 2 個の 順列を対応させると, これは 1 対 1 対応であるから, 組合せの総数は順列の総数に等しくなる よって 3 H 6 = 8 H 6 = C 6 ============================================== CHECK 1. 5 C 2, 4 C 1, 9 C 7, 6 C 0 の値を求めよ 2. 男子 5 人, 女子 4 人の中から,3 人の委員を選ぶとき, 次の選び方は何通りあるか (1) 男女の区別なしに 3 人を選ぶ (2) 男子 2 人, 女子 1 人を選ぶ 3. a, a, a, b, b, c, c の 7 個の文字を 1 列に並べてできる順列の総数を求めよ ============================================== Check 解答 1. 順に 10,4,36,1 2. (1) 84 通り (2) 40 通り ============================================== TYPE132 組合せ重要度 B レベル 2 1 から 8 までの自然数の中から異なる 3 つの数を選ぶとき, 次の選び方は何通りあるか (1) 最大の数が 7 である (2) 最大の数が 7 以上である KEY (1) は 7 以外に選ぶ数の組合せを考える 解 (1) 3 つの数の 1 つを 7 とし, 他の 2 つを 1 から 6 までの自然数から選べばよいから 6 C 2 =15 ( 通り ) ( 答 ) (2) 3 つの数の選び方は, 全部で 8 C 3 =56 ( 通り ) このうち, 最大の数が 6 以下である選び方は,6 以下の数から 3 つ選ぶ選び方であるから 6 C 3 =20 ( 通り ) よって, 求める選び方は 56 20=36 ( 通り ) ( 答 ) 別解最大の数が 7 と 8 の場合があるから 6 C C 2 =36 ( 通り ) ( 答 ) 124

11 類題 132 (1) 6 チームが 2 チームずつ総当たり戦をする 全部で何試合になるか 総当たり戦の試合数は, 対戦する 2 チームの選び方の総数に等しいから 6 C 2 =15 ( 通り ) ( 答 ) (2) 1 から 20 までの自然数の中から異なる 3 つの数を選ぶとき, 次の選び方は何通りあるか 1 3 つの数の和が偶数になる 3 つの数の和が偶数になるのは, 次の (i),(il) の場合である (i) 3 つとも偶数の場合 10 個の偶数から 3 個選ぶから. 10 C 3 =120 通り (ii) 2 つが奇数,1 つが偶数の場合 10 個の奇数から 2 個選び,10 個の偶数から 1 個選ぶから 10 C 2 10 C 1 =450 通りよって, 求める選び方は, =570 ( 通り ) ( 答 ) 2 3 つの数の積が偶数になる 3 つの数の積が偶数になる選び方は, すべての選び方から 3 つの数の積が奇数になる (3 つとも奇数を選ぶ ) 選び方を除いた選び方であるから 20 C 3 10 C 3 =1020 ( 通り ) ( 答 ) TYPE133 n C r の関係式重要度 B レベル 2 等式が n C r = n 1 C r + n 1 C r 1 ( 1 r n 1 ) を証明せよ KEY 右辺を階乗で表す 証明 n 1 C r + C r 1 = n 1 = (n 1)! r!{(n 1) r}! + (n 1)! (r 1)! {(n 1) (r 1)}! (n 1)! r!(n r)! {(n r)+r}= n! r!(n r)! = C n r 別証 n 個のものから r 個とった組合せは n C r 通りあるが, これらは n 個の中の特定の 1 個 a を含まない組合せと a を含む組合せに分けられる a を含まない組合せは, a 以外の n 1 個のものから r 個とった組合せであるから, C r n 1 通りある a を含む組合せは, a 以外の n 1 個のものから r 1 個とった親合せに a を加えたものであるから, 通りある よって 類題 133 等式 r n C r n C r 1 n 1 n C r = n 1 C r + n 1 C r 1 r n C r =n n 1 C r 1 (1 r n 1) を証明せよ n! r!(n r)! = n! (r 1)!(n r)! (n 1)! =n (r 1)!{(n 1) (r 1)}! = n! (r 1)!(n r)! =r n 1 C r 1 よって r n C r =n n 1 C r 1 ( 終 ) 125

12 TYPE134 図形と組合せ重要度 A レベル 2 互いに平行な 5 本の直線が, 他の互いに平行な 6 本の直線と交わっている これらの平行線で囲まれた平行四辺形は全部でいくつあるか KEY(2 組の平行な 2 直線の選び方の総数 )=( 平行四辺形の個数 ) 解 1 つの平行四辺形は,5 本の平行線のうちの 2 本,6 本の平行線のうちの 2 本で囲まれている よって, 求める平行四辺形の個数は,2 祖の平行線の選び方の総数に等しく 5 C 2 6 C 2 =150 ( 個 ) ( 答 ) 類題 134 (1) 正八角形の 3 つの頂点を結んでできる三角形の個数を求めよ 8 C 3 =56 個 ( 答 ) (2) (1) の三角形のうち, 正八角形と 2 辺を共有しない三角形の個数を求めよ (1) の三角形のうち, 正八角形と 2 辺を共有するものは 8 個ある また,1 辺を共有するものは, 各辺について, その辺の両端とそれと隣り合わない 4 個の頂点のどれか 1 つを結んで得られるから 8 4( 個 ) である よって 辺を共有しない三角形の個数は 8 C =56 32=16 個 ( 答 ) TYPE135 組分け 分配と組会せ重要度 A レベル 3 9 人を次のように分ける方法は何通りあるか (1) 3 人ずつ A,B,C の 3 線に分ける (2) 3 人ずつの 3 組に分ける (3) 2 人,3 人,4 人の 3 租に分ける (4) 2 人,2 人,5 人の 3 組に分ける KEY. 緒の区別がつかない場合は, いったん組に区別をつけて分けた後, 組の区別をとって重複を解消する 解 (1) 9 人から A 親の 3 人を選んだ後, 残り 6 人から B 組の 3 人を選ぶと残り 3 人は C 祖の 3 人となるから, 求める分け方は 9 C 3 6 C 3 =1680 ( 通り ) ( 答 ) (2) (1) の分け方の中には, 組の区別をとると同じ分け方となるものが 3! 通りずつあるから, 求める分け方 ! =280 ( 通り ) ( 答 ) (3) 9 人から 2 人組の 2 人を選んだ後, 残り 7 人から 3 人組の 3 人を選ぶと, 残りの 4 人は 4 人組の 4 人となるから, 求める分け方は 9 C 2 7 C 3 =1260 ( 通り ) ( 答 ) (4) 2 つある 2 人組を A,B と区別すると, 分け方は 9 C 2 7 C 2 通りある この中には, 組の区別をとると同じ分け方になるものが 2! 通りずつあるから, 求める分け方は C C 2 =378 ( 通り ) ( 答 ) 2! 126

13 類題 135 (1) 異なる 6 冊の本を次のように分ける方法は何通りあるか 1 2 冊ずつ 3 人に分ける 6 C 2 4 C 2 =90 通り ( 答 )(3 人ということで区別がつく ) 2 2 冊ずつ 3 組に分ける C C 2 =15 通り ( 答 ) 3! 3 3 冊,2 冊,1 冊の 3 組に分ける 6 C 3 3 C 2 1 C 1 =60 通り ( 答 ) 6 C 4 2 C 1 1 C 冊,1 冊,1 冊の 3 組に分ける =15 通り ( 答 ) 2! (2) 4 校から 2 人ずつ選手を出して, 図のようなトーナメントで優勝を争う トーナメントの組合せは, 次の場合何通りあるか 1 同じ学校の選手が 1 回戦で対戦してもよい場合 8 人を 4 人ずつ 2 組に分けた後, 各組の 4 人を 2 人ずつ 2 組に分ければよいから, 求める組合せの総数は 8 C 4 2! ( C ! ) =315 通り ( 答 ) 2 同じ学校の選手が優勝戦以外で対戦しない場合各校の 2 人が別の組になるようにして,4 人ずつ 2 組に分けた後, 各組の 4 人を 2 人ずつ 2 組に分ければよいから, 求める組合せの総数は 1 校あたり 2 通の組分けがあるから 2 4 2! ( C ! ) =72 通り ( 答 ) TYPE136 同じものを含む順列重要度 A レベル 2 6 個の数字 0,0,1,1,2,3 を全部使って 6 桁の整数は何通りできるか KEY 6 個の数字の順列から 0 が先頭の順列を除く 解これら 6 個の数字の順列は,0 が先頭にあるものも含めて 6! 2! 2! =180 ( 通り ) このうち,0 が先頭にあって,6 桁の整数にならないものは 5! 2! =60 ( 通り ) よって,6 桁の整数の総数は =120 ( 通り ) ( 答 ) 類題 136 okayama の 7 個の文字を 1 列に並べるとき, 母音が隣り合わない並べ方は何通りあるか kym を並べ その間と両端 4 か所に oaaa 並べるから 3! 4! 3! =24 通り ( 答 ) TYPE137 一部順序関係が指定された順列重要度 A レベル 3 equation の 8 個の文字を 1 列に並べるとき, t, i,o, n 形の願がこのままである並べ方は何通りあるか KEY 順序が指定された文字を同じもの と考えて並べた後, を指定された順序の文字に置きかえる 127

14 解 4 個の と e, q, u, a の 8 個の文字を 1 列に並べた後, 4 個の を左から順に t, i,o, n に置きかえればよいから, 求める並べ方は 8! 4! = =1680 ( 通り ) ( 答 ) 類題 137 SANDAI の 6 個の文字を 1 列に並べるとき,S が D より左側にある並べ方は何通りあるか S と D のかわりに をおいて, ANAI の 6 つのものの同じものを含む順列を考える 2 個の と A,A,N,I の 6 個の文字を 1 列に並べた後,2 個の を左から順に S,D に置きかえればよいから, 求める並べ方は 6! 2! 2! =180 ( 通り ) ( 答 ) TYPE138 同じものを含む組合せと順列重要度 B レベル 3 mathematics の 11 個の文字から 4 個の文字をとってできる組合せと順列はそれぞれ何通りあるか KEY 選んでから並べる ( 組合せ 順列 ) 解 m, a, t が 2 個ずつ, h, e, i, c, s が 1 個ずつある ( ⅰ ) 2 種類の文字を 2 個ずつ用いる場合 ( ) 2 個ずつ用いる 2 種類の文字は m, a, t の 3 種類の文字から選ばれるから,4 個の文字の組合せの総数は 3 C 2 =3 ( 通り ) また, 各組合せの 4 個の文字の並べ方は 4! 2! 2! =6 ( 通り ) あるから,4 個の文字の順列の総数は 3 6=18 ( 通り ) ( ⅱ ) 1 種類の文字を 2 個, 他の 2 種類の文字を 1 個ずつ用いる場合 ( ) 2 個用いる 1 種類の文字は m, a, t の 3 種類の文字から選ばれ,1 個ずつ用いる 2 種類の文字は残り 7 種類の文字から選ばれるから,4 個の文字の組合せの総数は 3 C 1 7 C 2 =63 ( 通り ) また, 各組合せの 4 個の文字の並べ方は 4! 2! =12 ( 通り ) あるから, 4 個の文字の順列の総数は 63 12=756 ( 通り ) ( ⅲ ) 4 種類の文字を 1 個ずつ用いる場合 ( ) 4 種類の文字は 8 種類の文字から選ばれるから,4 個の文字の組合せは 8 C 4 =70 ( 通り ) また, 各組合せの 4 個の文字の並べ方は 4!=24 ( 通り ) あるから,4 個の文字の順列の総数は 70 24=1680 ( 通り ) よって,( ⅰ) ~( ⅲ) より, 求める組合せの総数は =136 ( 通り ) ( 答 ) 求める順列の総数は =2454 ( 通り ) ( 答 ) 128

15 類題 138 (1) 15 段の階段を 2 段または 3 段ずつ昇る方法は何通りあるか 方針 : すべて 3 段ずつ昇ると 5 回で昇り切れる 以降,3 段 3 回は 2 段 3 回,3 段 1 回と 2 段 6 回の昇り方がある (3 段が偶数回では, 残りを 2 段ずつではちょうどにならない ) 1 3 段ずつを 5 回で昇る場合, 5! 5! =1 通り 6! 2 2 段ずつを 3 回,3 段ずつを 3 回で昇る場合 2! 2! =20 ( 通り ) 3 2 段ずつを 6 回,3 段ずつを 1 回で昇る場合 7! 6! =7 ( 通り ) よって =28 ( 通り ) ( 答 ) (2) statistics の 10 個の文字から 4 個の文字をとって作られる順列の総数を求めよ s 3 個, t 3 個, i 2 個, a 1 個,c 1 個 1 1 種類の文字を 3 個, 他の 1 種類の文字を 1 個用いる場合 ( ) 3 個用いる 1 種類の文字 s, t で,1 個用いる 1 種類の文字は残り 4 種類の文字から選ばれるから, 4 個の文字の組合せ総数は 2 4 各組合せから 4! 個の順列が得られるから, 3! 4 個の文字の順列の総数は 2 4 4= 種類の文字を 2 個ずつ用いる場合 ( ) 2 個ずつ用いる 2 種類の文字は s, t, i の 3 種類の文字から選ばれるから, 4 個の文字の組合せの総数は 3 C 2 各組合せから 4! 2! 2! 個の順列が得られるから, 4 個の文字の順列の総数は 3 C 2 4! 2!2! =18 3 同 1 種類の文字を 2 個, 他の 2 種類の文字を 1 個ずつ用いる場合 ( ) 2 個用いる 1 種類の文字は s t i の 3 種類の文字から選ばれ,1 個ずつ用いる 2 種類の文字は残り 4 種類の文字から選ばれるから,4 個の文字の組合せの総数は, 3 4 C 2 各組合せから 4! 2! 3 4 C 2 4! 2! =216 個の順列が得られるから,4 個の文字の順列の稔数は, 4 4 種類の文字を 1 個ずつ用いる場合 ( ) 1 個ずつ用いる 4 種類の文字は 5 種類 s, t, i, a, c の文字から選ばれるから, 4 個の文字の組合せの総数は 5 C 4 各組合せから 4! 個の順列が得られるから 4 個の文字の順列の級数は, 5 C 4 4!=120 よって, 求める順列の総数は, =386 ( 通り ) ( 答 ) 129

16 TYPE139 最短経路の総数重要度 A レベル 3 図のような道路網がある (1) 地点 A から地点 B に至る最短経路は何通りあるか (2)(1) の経路のうち, 地点 P も地点 Q も通るものは何通りあるか KEY 最短経路は,6 個の右進 R と 4 個の上進 U の順列で表される ( 例えば, 図の太線の経路は RURRRUURRU で表される ) 解右, 上に 1 区画進むことを, それぞれ R,U で表すことにする (1) A から B に至る最短経路はすべて,6 個の R と 4 個の U の順列で表されるから, その総数は 10! 6! 4! =210 ( 通り ) ( 答 ) (2) A から P に至る最短経路は 2 通り,P から Q に至る最短経路は 1 通り,Q から B に至る最短経路は 7! 通りあるから, 求める最短経路の総数は 4! 3! 2 1 7! 4! 3! =70 ( 通り ) ( 答 ) MEMO 上の問題において,A から B に至る最短経路のうち,P または Q を通るものの総数を求めるのであれば,P を通るものの数と Q を通るものの数の和から,P も Q も通るものの数を引いて求める 類題 139 (1) 図のような道路網がある 1 地点 A から地点 B に至る最短経路は何通りあるか 右, 下に 1 区画進むことをそれぞれ R,D で表す A から B に至る最短経路は, すべて 5 個の R と 5 個の D の順列で表されるから, その総数は 10! 5!5! =252 ( 通り ) ( 答 ) 2 1 の経路のうち, 地点 C も地点 D も通るものは何通りあるか A から C に至る最短経路は 3! 2! =3 通り,C から D に至る最短経路は 2 通り, D から B に至る兢短経路は 5! 2! 3! =10 通りあるから, 求める最短経路の総数は, =60 ( 通り ) ( 答 ) 3 1 の経路のうち, 地点 C も地点 D も通らないものは何通りあるか C を通る最短経路の総数は, 3 7! 3! 4! =105 D を通る最短経路の総数は, 5! 2! 3! 10=100 C D=U C D=U (C+ D C D)=252 ( )=107 通り ( 答 ) 130

17 (2) 図のような道路網がある 地点 A から地点 B に至る最短経路は何通りあるか A から B へ行くには C,D,E のいずれか 1 つだけ通る C を通る場合 1 通り D を通る場合 4! 3! 4! 2!2! =24 通り E を通る場合 1 6! =6 通り 5! A から B へ至る最短経路は これらが排反ゆえ =31 通り ( 答 ) TYPE140 重複組合せ重要度 B レベル 4 りんご, かき, みかんがたくさんある この中から 7 個を皿に盛る方法は何通りあるか ただし, どの果物も少なくとも 1 個は盛るものとする KEY 1 個ずつ盛ってから, 残り 4 個を重複を許してとる 解まず, 各果物を 1 個ずつ皿に盛る 次に,3 種類の果物から重複を許して残り 4 個をとって皿に盛ればよい よって, 求める方法は 3 H 4 = C 4 = 6 C 4 = 6 C 2 =15 ( 通り ) ( 答 ) 類題 140 (1) 区別のない 3 個のさいころを投げるとき, 目の出方は何通りあるか 3 つの目の組合せは,1 から 6 までの 6 種類の数字から 3 個とった重複組合せであるから, その総数は 6 H 3 = C 3 = 8 C 3 =56 ( 通り ) ( 答 ) (2) (x+ y+z) 5 を展開すると 異なる項はいくつできるか 各項は係数を無視すると, x, y, z の 3 種類の文字から重複を許して 5 個とって掛け合わせたものであるから, 異なる項の個数は 3 H 5 = C 5 = 7 C 5 =21 ( 個 ) ( 答 ) TYPF141 組分け 分配と重複組合せ重要度 B レベル 4 区別のつかない 6 個の球を A,B,C の 3 つの箱に入れる方法は何通りあるか ただし,1 個の球も入れない箱があってもよいものとする KEY 結果的には異なる 3 つの箱から重複を許して 6 個とる形になる 解例えば, 箱 A に 3 個, 箱 B に 1 個, 箱 C に 2 個の球を入れる入れ方に組合せ {A, A, A, B,C,C } をというように,6 個の球の入れ方の 1 つ 1 つに A,B,C の 3 種類のものから 6 個とった重複組合せを対応させると, これは 1 対 1 の対応である よって,6 個の球の入れ方の総数は, この重複組合せの総数に等しいから 3 H 6 = C 6 = 8 C 6 = 8 C 2 =28 ( 通り ) ( 答 ) 131

18 類題 141 (1) 10 人の選挙人が 4 人の候補者のうちの 1 人に無記名投票するとき, 票の分かれ方は何通りあるか 4 人の候補者を A,B,C,D とし, 例えば A に 4 票,B に 3 票,C に 1 票,D に 2 票入ることに {A, A, A, A, B,B, B,C, D, D} というように, 票の分かれ方の 1 つ 1 つに A,B,C,D の 4 種類のものから 10 個とった重複組合せを対応させると, これは 1 対 1 の対応である よって, 票の分かれ方の総数は 4 H 10 = C 10 = 13 C 10 = 13 C 3 =286 ( 通り ) ( 答 ) (2) A,B,C の 3 つの学級に 5 人の委員を割り当てる方法は何通りあるか ただし, 委員が選ばれない学級があってもよい 例えば A に 3 名,B に 1 名,C に 1 名割り当てることに {A, A, A, B,C } というように,5 人の委員の割り当て方の 1 つ 1 つに A,B,C の 3 種類のものから 5 個とった重複組合せを対応させると, これは 1 対 1 の対応である よって,5 人の委員の割り当て方の総数は 3 H 5 = C 5 = 7 C 5 = 7 C 2 =21 ( 通り ) ( 答 ) (3) 赤球 5 個と白球 2 個を異なる 3 つの箱に入れる方法は何通りあるか ただし,1 個の球も入れない箱があってもよいものとする 赤球 5 個, 白球 2 個をそれぞれ異なる 3 つの箱に入れる方法は, それぞれ 3 H 5, 2 H 3 通りあるから, 求める入れ方の総数は 3 H 5 3 H 2 = C C 2 = 7 C 5 4 C 2 =126 ( 通り ) ( 答 ) TYPE142 方程式の整数解と重複組合せ重要度 B レベル 4 (1) x+ y+z=8 を満たす負でない整数 x, y, z の組はいくつあるか (2) x+ y+z=8 を満たす正の整数 x, y, z の組はいくつあるか KEY (1) x, y, z の 3 個のものから 8 個とった重複組合せ (2) 置きかえにより, 負でない整数の組の個数を求める問題へ 解 (1) 例えば, 組 ( x, y, z )=(3,1,4) に組合せ {x, x, x, y, z, z, z, z} をというように, 条件を満たす整数 x, y, z の組の 1 つ 1 つに x, y, z の 3 種類のものから 8 個とった重複組合せを対応させると, これは 1 対 1 の対応である よって, 求める整数 x, y, z の組の個数は, この重複組合せの総数に等しいから 3 H 8 = C 8 = 10 C 8 = 10 C 2 =45 ( 個 ) ( 答 ) (2) x 1= X, y 1=Y, z 1= Z とおくと x= X +1, y=y +1, z=z +1 これらを x+ y+z=8 に代入すると (X +1)+(Y +1)+( Z+1)=8 ゆえに X +Y +Z =5 また, x, y, z が正の整数であるためには, X,Y, Z が負でない整数であればよい ゆえに, 求める X,Y, Z の組の個数は, X +Y +Z =5 を満たす負でない整数 X,Y, Z の組の個数に 等しいから 3 H 5 = C 5 = 7 C 5 =21 ( 個 ) ( 答 ) 132

19 類題 142 (1) x+ y+z=28 を満たす負でない整数 x, y, z の組はいくつあるか 例えば (x y z)=(15,6,7) に 15 個の x,6 個の y,7 個の z の組合せというように, 条件を満たす整数 x, y, z の 1 つ 1 つに x, y, z の 3 種類のものから 28 個とった重複組合せを対応させると, これは 1 対 1 の対応であるから, 求める組の個数は 3 H 28 = C 28 = 30 C 28 =435 ( 個 ) ( 答 ) (2) a+b+c+d=10 を満たす自然数 a, b, c, d の組はいくつあるか a 1= A,b 1=B, c 1=C,d 1=D とおくと a= A+1,b=B+1,c=C+1 d=d+1 これらを a+b+c+d=10 に代入して ( A+1)+( B+1)+(C +1)+( D+1)=10 ゆえに A+B+C + D=6 また, a, b, c, d が自然数であるためには, A+B+C+ D=6 を満たす負でない整数であればよい ゆえに, 求める a, b, c, d の組の個数は, A, B,C, D の組の個数に等しいから 4 H 6 = C 6 = 9 C 6 =84 ( 個 ) ( 答 ) 6.3 二項定理 パスカルの三角形 パスカルの三角形 (a+b) n の展開式の各項の係数を n=1, 2, 3, の場合について順に並べてかくと, 右の図のような配列が得られる この配列をパスカルの三角形という パスカルの三角形において, (1) 両端以外の各数はその左上の数と右上の数の和に等しい (2) 各行の数は中央に関して左右対称である (3) n 行目は n C 0. n C 1,, n C n が並ぶ 例えば,4 行目には 4 C 0, 4 C 1, 4 C 2, 4 C 3, 4 C 4 が並んでいる 二項定理 二項定理 一般項 (a+b) n の展開式における a n r b r の係数は n C r 次のようになる (a+b) n = n C 0 a n + C 1 これを二項定理といい, a n 2 b n C r a n r b r + + n C n a 0 b n n a n 1 b 1 + n C 2 n C r a n r b r を (a+b) n の展開式の一般項という であるから, その展開式は 二項係数上の展開式の各項の係数 n C 0. n C 1,, n C n を二項係数ともいう n C r の性質 (1) n 1 C r 1 + n 1 C r = n C r (2) n C r = n C r 1 から, パスカルの三角形の性質 (1)(2) が導かれる 多項定理 (a+b+c) n の展開式の一般項は n! p! q! r! a p b q c r ( p,q, r は 0 以上の整数 n= p+q+r ) 例 ( x 2 +x+ 1 x) 4 の展開公式の一般項は 4! p! q! r! (x2 ) p x q ( 1 r x ) = 4! p! q! r! x2 p+q r 133 ( p+q+r=4)

20 Check 1. (2 x y) 5 を展開せよ 5 C 0 (2 x) C 1 (2 x) 4 ( y) C 2 (2 x) 3 ( y) C 3 (2 x) 2 ( y) C 4 (2 x) 1 ( y) C 5 (2 x) 0 ( y) 5 = 32 x 5 80 x 4 y+80 x 3 y 2 40 x 2 y x y 4 y 5 2. (x 2 y) 7 の展開式における x 4 y 3 の係数を求めよ 7! 4! 3! ( x)4 ( 2 y) 3 = 280 x 4 y 3 TYPE143 二項定理と展開式の係数重要度 B レベル 3 ( x 2 2 x) 8 の展開式における x 7 の係数を求めよ 0 KEY 二項定理により, 展開式の一般項を用いる 解 (x 2 ) p ( 2 x) q より 2 p q=7 1 p+q= p=15 ゆえに p=5,q=3 8! 5! 3! ( x2 ) 5 ( 2 x ) 3 = 448 x 7 ( 答 ) 類題 143 ( 2 x x ) 7 の展開式における x 2 の係数を求めよ (2 x 2 ) p ( 1 x) q より 2 p q=2 1 p+q= より 3 p=9 p=3, q=4 7! よって 3! 4! (2 x 2 ) 3 ( 1 4 x ) =280 x 2 ( 答 ) TYPE144 多項定理と展開式の係数 (1) 重要度 B レベル 2 (x 2 y+3 z) 7 の展開式における x 5 y z の係数を求めよ KEY 多項定理を用いるか, {( x 2y)+3 z} 7 の展開式を考える o 解 多項定理より 7! 5!1!1! (x)5 ( 2 y) 1 (3 z) 1 = 252 x 5 y z ( 答 ) 類題 144. (x y+2 z) 6 の展開式における x 2 y 3 z の係数を求めよ 多項定理より 6! 2! 3! x2 ( y) 3 (2 z)= 120 x 2 y 3 z ( 答 ) 134

21 TYPE145 多項定理と展開公式の係数 (2) 重要度 B レベル 4 (x 2 x 1) 5 の展開式における x 7 の係数を求めよ KEY 多項定理により, 展開式の一般項を求める 解 多項定理より (x 2 ) p ( x) q ( 1) r = x 2 p x q 1 r より p+q+r=5 1 2 p+q=7 2 2より 5 q=7 2 p 0 ゆえ p=1,2,3 p=1 のとき q=5 このとき r= 1 となって不適 p=2 のとき q=3 このとき r=0 p=3 のとき q=1 このとき r=1 したがって 5! 3! ( x 2 ) 3 ( x) 1 (1) 1 + 5! 3! 2! ( x2 ) 2 ( x) 3 (1) 0 = 10 x 7 類題 145 (x+ y x y) 7 の展開式における x 4 y 6 の係数を求めよ (x) p ( y) q ( x y) r = x 4 y 6 より p+q+r=7 1 p+r=4 2 q+r= より q=3 1-3 より p=1 r =3 7! 1! 3! 3! ( x)1 ( y) 3 ( x y) 3 = 140 x 4 y 6 TYPE146 二項係数の関係式重要度 B レベル 3 n C 0 + n C C n 2( ) n C n ( 1 n 2 ) を求めよ 0 KEY (1+x) n の展開式で x= 1 2 とおく 0 解二項定理により (1+x) n = n C 0 1+ C 1 n 1 n 1 x+ n C 2 この式において, x= 1 2 とおくと (1+x) n = n C 0 1+ n C 1 1 n 1 ( 1 2 )+ C 2 1 n 2 x n C n x n 1 となる n 1 n 2 ( ) n C n ( 1 2 ) n =( 3 2 ) n 類題 146 次の和を求めよ (1) 9 C 1-9 C C 3-9 C C 9 = (1+x) 9 = 9 C C 1 x C 2 x C 9 x 9 において x= 1 とおくと 0= 9 C 0 9 C C C 9 9 C 1 9 C C C 9 = 9 C 0 = 1 (2) 20 C C C C 20 (1+x) 20 = 20 C C x+ 20 C x C 20 x 20 において x=1 とおくと 2 20 = 20 C C C 20 1 x= 1 とおくと 0= 20 C 0 20 C C 2 20 C C C より 2 20 =2( 20 C C C 20 ) ゆえに 20 C C C 20 = =

22 TYPE147 整数の累乗を割ったときの余り重要度 C レベル を 3 で割ったときの余りを求めよ KEY 2 83 =(3 1) 83 として二項定理を用い, 3 k+r の形にする 解二項定理により 2 83 =(3-1) 83 = 83 C C ( 1) C ( 1) C 83 ( 1) 83 = 3{ 83 C C ( 1) C 82 ( 1) 82 } 1 = 3{ 83 C C ( 1) C 82 ( 1) 82 1}+2 3 k 1=3(k 1)+2 と変形よって, 2 83 を 3 で割ったときの余りは 2 ( 答 ) 別解 2 2 =4=3+11 であるから 2 83 =2 82 2=4 41 2=(3+1) 41 2 (3+1) 41 2={ 41 C C C C } 2 = 3{ 41 C C C C 40 }+2 41 C C 41 =2 より, 3 で割った余りは 2 である 類題 を 9 で割ったときの余りを求めよ 1997= であるから 二項定理より = ( ) 1997 = 1997 C 0 (9 222) C 1 (9 222) 1996 ( 1) C 1996 (9 222) ( 1) C 1997 ( 1) 1997 = 9( ) 1 = 9( )+8 よって 余りは 8 136

23 ============================================== EXERCISE 1. 正方形のテーブルの各辺に 2 人ずつ計 8 人が着席する方法は何通りあるか 2. 等式 n C 2 + n C 3 =2 2 n C 1 を満たす自然数 n の値を求めよ C 0, 10 C 1, 10 C 2,, 10 C 10 の中で最大のものを求めよ 4. 異なる 10 個の球から 7 個の球を選んで首飾りを作る方法は何通りあるか 5. 男子 5 人, 女子 4 人を 3 人ずつ A, B,C の 3 室に入れる 次の場合, 入れ方は何通りあるか (1) A には男子だけが入る場合 (2) 3 室のうち 1 室には女子だけが入る場合 (3) 各室には女子が少なくとも 1 人入る場合 (4) 女子が 2 人ずつ 2 室に分かれて入る場合 6. A, A, B, B,C,C,C の 7 個の文字を 1 列に並べる (1) 異なる並べ方は何通りあるか (2) A が連続して並ぶ並べ方は何通りあるか (3) C が 2 個以上連続して並ばない並べ方は何通りあるか (4) 同じ文字が 2 個以上連続して並ばない並べ方は何通りあるか 7. 6 個の数字 0,1,1,2,2,3 を 1 列に並べてできる 6 桁の整数のうち, 次のような数は何個あるか (1) 6 桁の整数 (2) 2 個の 1 が隣り合うもの (3) 同じ数字がどれも隣り合わないもの 8. 赤球 1 個, 青球 4 個, 黄球 6 個がある ただし, 同じ色の球は区別しないものとする (1) これら 11 個の球の円順列の総数を求めよ (2) これら 11 個の球のじゅず順列の総数を求めよ 9. 1 辺の長さが 4 の立方体 ABCD - EFGH がある 立方体の各面は 1 辺の長さ 1 の正方形に碁盤目状に区切られている 頂点 A から頂点 G へ碁盤目上に辺をたどって行くときの最短経路を考える (1) 辺 BC 上の点を通過する最短経路は全部で何通りあるか (2) 原点 A から頂点 G への最頼経路は全部で何通りあるか 個の数字 1,2,3,4,5 を用いて 4 桁の整数を作る ただし, 同じ数字を繰り返し用いてもよいもの とする 一, 十, 百, 千の位の数字をそれぞれ a, b, c, d とするとき, 次の条件を満たす数はいくつあるか (1) a<b<c <d (2) a b c d 11. l n C 1 +2 n C 2 +3 n C 3 + +n n C n を求めよ 12. 自然数 n に対して, 次の等式が成り立つことを証明せよ n C n = n C 0 + n C 1 + n C nc n 137