Bernoulli( ベルヌーイ ) の微分方程式 ' + P( ) = Q() n ( n 0,) 微分方程式の形の補足 ( 階 ) 注意 : n =0 のときは 階線形微分方程式 n = のときは変数分離形となる 解法 : z = -n とおいて関数 z の微分方程式を解く z' =( - n) -n ' よりこれを元の微分方程 式に代入する - n z' + P() = Q() n 両辺を n で割って n z' +P () -n = Q() -n = z だから - n z' +( - n) P()z=( - n) Q() これは 階線形微分方程式である 実際 ( - n) P()= P (), (- n)q()= Q () とおけば z' + P ()z = Q () となる Clairaut( クレーロー ) の微分方程式 = ' + f( ' ) 解法 : 微分方程式の両辺を微分する ' = " + ' + f'( ' ) " fi " + f'( ' ) =0 Case " =0 のとき このとき ' = C ( 任意定数 ) となるから これを元の微分方程式に代入して = C+ f( C ) これは任意定数を つもつ解だから この微分方程式の一般解 Case + f '( ' ) =0 のとき この式と元の微分方程式を連立させて ' を消去する 簡単のため ' = a と表せば = a + f(a ) () から a を消去する 出てきた式は曲線群 () の包絡線になる +f'(a)=0 () ( 微分積分 Ⅱ 教科書 53~55 ページ ) この包絡線はこの微分方程式の特異解の曲線である Riccati( リッカチ ) の微分方程式 ' + P() + Q() = R() 解法 : 視察により特殊解を つ見つける それを とする このとき = + v() とおき 元の微 分方程式に代入すると ' + P() + Q() + v' + P()v +Q() v+ Q()v = R() R () より 微分方程式補足 - -
v' + P( ) +Q() v= -Q()v となるから これは Bernoulli の微分方程式である なお 視察による の見つけ方には一般論がないので Riccati の微分方程式の解法はここが一番の 問題になる 関係図 Bernoulli の微分方程式 階線形微分方程式 ' + P( ) = Q() n z = -n ' + P() = Q() = + v(), は特殊解 Riccati の微分方程式 ' + P() + Q() = R() 問題 Bernoulli 微分積分 Ⅱ 問題集の 54 ページ例題および問題 高専の数学 3 問題集の 6 ページ問題 9.6 微分積分 Ⅱ 教科書の 06 ページ問題 3 など Clairaut 微分積分 Ⅱ 教科書の 06 ページ問題 補充問題 : 以下の微分方程式の一般解および特異解を求めよ () = ' + a ( ' ) + b ( ab 0) () = ' + ' -( ' ) Riccati 微分積分 Ⅱ 問題集の 54 ページ例題および 55 ページ問題 高専の数学 3 問題集の 6 ページ問題 9.7 など 完全微分方程式 d 階微分方程式は ' をと表し 形式的にこれを分数式と考えて をはらった形で表すことが ある 例 変数分離形 同次形 d = f( ) g() fi d = f( ) g() fi d - f( ) g() =0 d = f fi d = f fi d - f =0 d 微分方程式補足 - -
階線形微分方程式 d + P( ) = Q( ) fi d + P( ) - Q( ) =0 一般に 微分方程式が f(,) + g(,) d =0 の形に表されているとき全微分方程式という 上の例からわかるように これは微分方程式の形ではなく表現方法である 完全微分方程式の定義 全微分方程式 f(,) + g(,) d =0 が次の条件を満たすとき 完全微分方程式という f g = このとき 以下に示すように次のような関数 u( ), が存在する u u = f, = g そして一般解は u(, ) = C (C は任意定数 ) となる 証明 : まずを満たす u が存在したら一般解は u(, ) = C であることを示す この式は u(,) - C =0 と表せるから 陰関数の微分法 ( 微分積分 Ⅱ 教科書 48 ~ 50 ページ ) よりを用 いて d u f = - = - u g f + gd =0 任意定数を つ持つ解だから一般解である 次に を満 u たす u が存在することを示す まず = f から で積分して u u = f(,) +( ) これを = g に代入して f(, ) + '( ) = g fi '( ) = g - f(,) この方程式で右辺が の みの関数であることを示す そうしないと整合性がとれない 以上により g - f(, ) = u = f( ), + g - f(, ) = g(,) - f(, ) d g f - =0 より この積分を行う際は 積分定数をつけなくてよい なぜなら 一般解はこの u を用いて u(, ) = C となるから すべての任意定数を右辺の C にまとめたと考えればよいから なお u を求める上の式は暗記しないこと この式を導いた手順を実際の解法で行えばよい 例題 : e - + e - + d =0 は完全微分方程式であることを示し 一般解を 求めよ [ 解答 ] f = e -, g = e - + と表す f = e -, g = e - 微分方程式補足 - 3 -
f = e -, g = e - だからこの方程式は完全微分方程式である u = e - +( ) = e - +( ) これを u = g に代入して e - + '( ) = e - + fi '( ) = fi ( ) = u = e - + より 一般解は e - + = C 微分方程式 f(,) + g(,)d = 0 積分因子 が完全微分方程式でないとき ある関数 M(,) が存在し M(,)f(,) + M(,)g(,)d = 0 が完全になるとき M(,) を の積分因子 (integrating factor) という 定理 M(,) が積分因子であるための必要十分条件は f g - = M が成り立つことである g M M - f 3 [ 証明 ] が完全であることから { M(,)f(,) } = { } M f + Mf = M g + Mg fi M f - g = gm - fm 両辺を M で割れば 3 が得られる ( 証終 ) M(,)g(,) が必要十分条件となる 計算して 一般に 3 を解くことは困難である 次の特別な場合 3 は簡単に解ける つまり積分因子 M を見 出すことができる 定理 f - g f () が だけの関数ならば M = ep g - g g f - g f () が だけの関数ならば M = ep f - - g d f なお () の M は だけの () の M は だけの関数である [ 証明 ] () 3 において だけの関数 M を考えれば M = 0 だから 3 は f - g = g M M dm = dm となる 仮定から微分方程式 f - g g は両辺とも だけの関数だから矛盾がなく 変数分離形よりその特殊解 ( 積 分定数省略 ) を求めると f dm = M - g f \ logm= g - g g f - g 微分方程式補足 - 4 -
f - g g \ M = ep () も同様である ( 証終 ) 問題. 次の微分方程式で積分因子を見出し これを解け () - 3 +- d = 0 () 3 + + d = 0 (3) + - d = 0 (4) + - d = 0 (5) + + + d = 0 (6) 4 e + 3 + + 4 e - - 3d = 0. 次の場合 その積分因子 M は右側の式で与えられることを示せ f - g () = f( + ) fi M = ep f - g - f(u )du, u = + () f - g = f() fi M = ep f -g - f(u )du, u = d 3. 階線形微分方程式 + P() = Q() を { P() - Q() } + d = 0 と表すとき M = ep P () とを示し 完全微分方程式の解法を用いて = M MQ() + C を導け 4. f(,) + g(,)d = 0 が同次形ならば その積分因子は M = であることを示せ f(,)+ g (,) がその積分因子となるこ Wronskian と 階線形微分方程式 整理して覚えて欲しいのは次のことである. Wronskian は微分方程式とは本来無関係な定義である 定理 同じ区間で C 級の つの関数 f (),f () に対して次のことが成り立つ W f,f が恒等的には 0 でないならば f (),f () は線形独立であるが この逆は 必ずしも成り立たない 特に 逆が一般には必ずしも成り立たないことに注意してほしい 以下がその反例である 微分方程式補足 - 5-3 ( >0)
反例 : f () = 3, f () 3 = >0 のとき W f,f = 3 3 =0 のときは明らかに 0 になる 従って W f,f である = 3 ( >0) のとき f '() =3, f '() 0 ( =0) -3 ( <0) 3 3 =0, <0 3-3 のとき だから 3-3 =0 0 ところが f,f は次に示すように線形独立 c 3 + c 3 0 を満たす定数 c,c を求めると =± でも成り立つから c + c =0, -c + c =0 c = c =0 よって 線形独立. 階線形微分方程式の解に Wronskian を用いると 事情が異なってくる 定理 同じ区間で C 級の つの関数 (), () が 階線形微分方程式 " + P( ) '+ Q( ) =0 の解であるならば, が線形独立であるための必要十分条件は W, が恒等的には 0 でないことである つまり 階斉次線形微分方程式の解については線形独立であることを Wronskian のみで判定 できる 以下これを証明する 定理 " + P( ) '+ Q( ) =0 の区間 I での つの解を (), () とする I 内の つの値 0 に対して 次の等式が成り立つ W, () = W, 0 ep - 0 P() t dt dw d = ' - ' = " - " = -P( ) '- Q( ) - -P( ) '- Q( ) 証明 : =-P() '- ' =-P() W dw =-P() W dw W =- P() + C W = Cep- P() ここで P() の つと して 0 P() t dt をとれば W = Cep - 0 P() t dt = 0 を代入して C = W 0 \ W( ) = W 0 ep - 0 P() t dt この定理から ep - 0 P() t dt 0 だから I 内のある点 0 で W 0 0ならば I 内のすべての で W( ) 0となり 逆にある点 0 で W 0 =0 ならば I で W( ) 0になる 即ち 微分方程式補足 - 6 -
定理, が " + P( ) '+ Q( ) =0 の解ならば W( ) 0であるか すべての I 内の に 対して W( ) 0のいずれかである では, が解であるとき 線形独立ならば W, は恒等的には 0 ではないことを示す なお 線形微分方程式は 初期条件に対する解の一意性が成り立つことを用いる ある点 0 で W 0 =0 ならば上記より W( ) 0になる このとき 初期条件 c 0 + c 0 =0 c ' 0 + c ' 0 =0 を満たす少なくとも一方は 0 でない定数 c,c が W 0 存在する = c () + c () とすれば は解で 初期条件に対する解の一意性より 0 =0 より これは, が線形独立であることに矛盾する 従って W 0 =0 となる点 0 は存在せずすべて の I 内の に対して W( ) 0である 以上を総合して次の定理を得る 定理 (), () を " + P( ) ' + Q( ) =0 の線形独立な解とするとき 任意の解は (), () の適当な線形結合で与えられる この定理が教科書 ページに書かれていることである 証明 : 任意の解を ( ) とする W, 0 0だから 0 + c 0 = 0 c c ' 0 ( ) = c () + c () + c ' 0 = ' 0 である を満たす定数 c,c が一意的に決まる 解の一意性より ここでは 階微分方程式 線形微分方程式の補足 " + P( ) ' + Q( ) = R( ) について補足事項を説明する なお P = P( ),Q= Q( ),R= R( ) はある区間 I で連続と する 斉次線形微分方程式 " + P( ) ' + Q( ) = 0 これを一般に解くことは容易ではない ただ つの 0 でない解を見つけるとあとは容易に解ける この 解を発見する場合 次のことを知っているとよい 微分方程式補足 - 7 -
つの解 P,Q の条件 P + Q=0 m( m -+ ) mp + Q =0 m + P + Q =0 e - P + Q =0 e - m + mp + Q =0 e m 例 : 3 4 " -3' +4=0 は " - ' + =0 だから 上の表の 番目に相当する可能性が ある よって つの解を = m と予想してもとの方程式に代入 m( m -) m -3m m +4 m =0 fi m -4m +4=0 m = つの 0 でない解 が見つかると以下の定理によりもうひとつの線形独立な解を見つけることが できる 定理 ( 斉次線形微分方程式の一般解 ) " + P( ) ' + Q( ) = 0 の0でない つの解を とすると 次の式で求められる は線形 独立なもう つの解である = 従って 一般解は ep - P() = C + C = C + C である 但し ep= e ep - P() [ 証明 ] 定数変化法を用いる u = u( ) として = u を微分方程式に代入 ' = u' + u ', " = u" +u' '+ u " より u" +u' '+ u " + P( ) u' + u ' + Q( ) u =0 u を微分している項としていない項でまとめると u" + '+ P( ) u' + " + P( ) '+ Q( ) u=0 は微分方程式の解だからこれは 0 になる u" + '+ P( ) u' =0 fi v = u' とおけば v' + ' + P( ) v=0 fi これは変数分離形 v' ' =- v + P( ) fi logv=- ' - P() logv=-log - P() fi v = v = u' だから u = ep - P() ep - P() 微分方程式補足 - 8 -
= u = W, = ' ' ep - P() 次に, が線形独立であることを示す = ep ep ep ' - P() - P() + ' - P() = ep- P() 0 \, は線形独立 ( Q.E.D. ) 例 : 3 4 " -3' +4=0 即ち " - ' + =0 のつの解は = 3 だから P =- より 3 - P = =3log= log 3 fi ep- P = 3 \ = 4 3 = log 従って 一般解は = C + C log= C + C log 非斉次線形微分方程式 " + P( ) ' + Q( ) = R( ) 上で斉次の場合の解法を述べたが もし斉次の線形独立な つの解が求まると 以下のように非斉次の場合の つの解が求まる 定理 ( 非斉次線形微分方程式のつの解 ), が斉次線形微分方程式 " + P( ) ' + Q( ) = 0 の線形独立な解とすれば 非斉次 線形微分方程式 " + P( ) ' + Q( ) = R( ) のつの解 h( ) は h() = R() - W, R() W, [ 証明 ] 定数変化法を用いる u,u を の関数として h( ) = u + u を微分方程式に 代入 h '( ) = u ' + u ' + u ' + u ' であるが 考える ( つ求めればよいのでこのような条件をつけてもよい ) つまり u ' + u ' =0 このとき h "( ) = u " + u " + u ' '+ u ' ' より の部分が 0 になるものを u " + u " + u ' '+ u ' '+ P( ) u '+ u ' + Q( ) u + u = R( ) u L + u L + u ' '+ u ' '= R( ) 但し L( ) = " + P( ) ' + Q( ), は L() =0 の解だから L = L =0 故に u ' '+ u ' '= R( ) から u ' ' ' u ' 0 = R() となり W, = 0 だからクラーメ ' ' 微分方程式補足 - 9 -
ルの公式から 0 R() =- W, 0 R() ' ' R() u ' =, u W, ' = W, \ u =- R(), u W, = R() これらを h( ) = u W, + u に代 入して定理の結論を得る ( Q.E.D.) R() = W, 例題 : " - ' + = の一般解を求めよ [ 解法 ] " - ' + =0 の つの解を = m と予想して斉次方程式に代入 m( m -) m - m m + m =0 より ( m -) =0 \ m = \ = この方程式は " - ' + =0 だから P =- に相当 - P = log より定理 から もう つの解 = ep - P() = = logとなり これらは線形 独立 従って定理 から " - ' + = であることに注意して ( R =) W, = log log+ = だから h( ) = R() - W, R() W, =( log) - log = log- ( log- ) = 以上より一般解は = C + C + h( ) = C + C log+ 標準形と独立変数の変換 ' + Q( ) = R( ) の解法について 以下の手法がある " + P( ) vpep - P, " = v"ep- P - v'pep - P + 4 = v( ) ep- P() ' = v'ep- P - - vp'ep - P \ " + P' + Q として元の微分方程式に代入 vp ep - P = v" - v'p + vp - vp' + v'p - vp + vq 4 ep - P = v" + Q - P' - P 4 vep- P 微分方程式補足 - 0 -
v" + Q - P' - P 4 v =Rep P 最後は v"+iv=j の形で 階線形微分方程式の標準形と呼ばれているものである 例題 : " -4' +4 =e を解け [ 解法 ] P =-4 とすれば ep - P =ep =ve として問題の微分方程式に代入すれば =e ' =v'e +ve, " =v"e +4v'e +v+4 e であるから " -4' +4 =v"e +4v'e +v+4 e -4v'e +ve +4 ve =( v" +v) e v" +v= 視察で v = はつの解だから v =C cos +C sin + =e C cos +C sin + ( 解終 ) ヘヴィサイドの演算子法 非斉次定数係数線形微分方程式のつの解を求める方法で ヘヴィサイド ( Heaviside) の演算子法 がある これを解説する 微分演算子 積分演算子 d D = =Σ k =0 f( ) に対して d とし D =,D d =, D n d n = n と定義する また整式 n ak n-k =a 0 n +a n- ++a n- +a n n f( D ) =Σ ak D n-k d n d n- d, =a 0 +a ++an- +an k =0 n n - とする ただし a k ( k =0,,,n) は定数とする おもに n = の場合について議論するが 一般 の場合も同様に考えられる f( D ) =D +ad +b を文字 D の式とみて因数分解して ( D -a)( D -b) =" +a' +b =( D -a)( D -b) =( D -b)( D -a) が明らかに成り立つ となったならば 例 : " +3' +=D +3D +=( D + )( D +) =( D + )( D +) ( D + )( D +) =( D + )( ' + ) =D( ' + ) +( ' +) =" +' +' +=" +3' + 同様にして ( D + )( D +) =" +3' + さて 関数 F =F( ) に対して D =F を満たす は F の原始関数だから = F これと D =F の関係から = D F と考える つまり D F = F さらに 微分方程式補足 - -
= F =F と定める f( D ) =( D-a )( D-b) のとき ( D -a)( D -b) =( D -b)( D -a) であるから F = F = F ( D -a)( D -b) D -a D -b D -b D -a が成り立つ 公式公式 ただし =( ),aは定数 ( 複素数でもよい) () e a =f( a) e a () f( D ) e a =e a f( D+a) (3) =e a f( D+a ) e -a [ 証明 ] () 明らかに D k e a =a k e a k:0 以上の整数 であるから f( ) のとき e a n =Σ ak D n-k e a n k =0 =Σ ak a n-k e a =f( a) e a k=0 () D k k k e a =Σ l =0 kcld k-l e a D l =ΣkCla k-l e a D l l =0 =e a ΣkCla k-l D l =e a ( D+a) k l=0 n 従って f( D ) =Σ ak D n-k のとき f( ) k =0 =e a n Σ ak ( D+a) n-k =e a f( D+a) k =0 k De a n =Σ ak D n-k e a k =0 (3) =e a e -a であるから () より明らか ( 証終 ) 公式,a は公式 と同じとする e a (4) f( a) 0 ならば e a = f( a) (5) e a =e a f( D+a) (6) =e a [ 証明 ] (4) () より f( ) e -a f( D+a) e D a f( a) = e a f( a) e a = =e a f( a) f( a) n D =Σ k =0 e a = f( a) (5) z= とおけば () を用いて f( D+a) f( D ) e a =f( ) f( D+a) De a z =e a f( D+a) z=e a f( D+a) f( D+a) =e a e a e a =e a f( D+a) 微分方程式補足 - - ak D n-k
(6) (3) と同様に考えればよい ( 証終 ) d d 例題以下 =( ),' =," = とする 例題 次の 階線形微分方程式の つの解を演算子を用いて求めよ () " -4' +4=e - () " - =e [ 解法 ] () " -4' +4=( D -) だから つの解は ( D -) e - (*) = (--) e - e - = 9 (*) 公式 (4) () " - =( D + )( D -) だから つの解は ( D + )( D -) (**) = e e = D - = e ( D +- ) e D + (*) = D - e = D = e e += 例題 次の 階線形微分方程式の つの解を演算子を用いて求めよ () " -3' + = () " +' =-3 e D - (**) 公式 (5) ( 終 ) 解法の前に山辺の方法と呼ばれるものを説明する 右辺が の整式である場合に つの解を次のように 求めることができる f( D ) =D +ad +b a,b は定数で b 0のとき説明する " +a' +b =a 0 n +a n - ++a n- +a n の つの解は D +ad +b a 0 n +a n - ++a n- +a n であるが これを b +ad +D a 0 n + b a b -naa 0 n - b + a 0 n +a n - ++a n- +a n a 0 n + naa 0 n - + b n( n -) a 0 n- b b +ad +D a 0 n b a b -naa 0 b n - + b b a b -n( n-) a 0 n- ( 上の式から下の式を引く) a b -naa 0 n a - + b +ad +D b -naa 0 n - b と計算していく ポイントは を D の昇べきの順に並べることである [ 解法 ] () つの解は D だから 下にあるように計算すると +6+6 と -3D + なる 微分方程式補足 - 3 -
-3D +D +6+6-6+ -3D +D = -6+ 6 - () つの解は D +D 6-8 -3D +D 6=6-8 6 6-3D +D 6=6 0 ( -3 ) = D+ ( -3 ) に定数項がない場合 D = D + ( -3) = -3 = -+ D + -+ の定数項 はなくてもよい つまり - でも正解 なぜこのようなことに 注意 : なるのか それは ( -3) = -3+C 因する ここで C =- とすれば下記の計算は (*3) の時点で終了する -+ - +D -3 +D -3- + + C は任意定数 であるが C を省略したことに起 -4-4- (*3) -4- -4- (*3) 0 0 ( 終 ) 例題 3 " -' -3=6sin 3 を満たす つの解を演算子を用いて求めよ 右辺が sin a,cos a の場合は Euler の公式を用いて =e ia を解けばよい なぜなら =cos a, =sin a とし = +i とすれば = + i =cos a +isin a =e ia 従って =e ia の解の実部が =cos a の解で 虚部が =sin a の解である [ 解法 ] D -D -3 =6e i3 を解く f( D ) =D -D -3 とすれば f( i3=--i6 0 ) だから D -D -3 6e i3 6e i3 -i =- =- ( cos 3 +isin 3 ) となる この虚部が解だ +i6 5 微分方程式補足 - 4 -
から つの解は cos 3 - sin 3 となる ( 終 ) 5 5 例題 4 " -6' +9= e 3 の一般解を求めよ [ 解法 ] まず斉次方程式 " -6' +9=0 を解く 特性方程式が l -6l +9=0 だから l =3 二重解従って " -6' +9=0 の解は = C +C e 3 となる 次に問題の方程式 ( ) の つの解 h を演算子を用いて求める h = ( D -3) e 3 公式 (5) = e 3 ( D +3) -3 =e 3 3 = 4 e 3 3 から一般解は = +h = C +C e 3 + 4 e 3 ( 終 ) =e 3 D =e 3 例題 5 " -' - =e sin を満たす つの解を演算子を用いて求めよ [ 解法 ] f( D ) =D -D -, =e e i =e ( +i) を解く f( D ++i ) =( D ++i) -( D ++i) -=D +id -3より 公式 (5) = e ( +i) = e ( +i) =e ( +i) f( D++i) D +id-3 =e ( +i) - -i9 3 =e ( cos+isin ) - -i 3 9 この虚部をとれば Im( ) =-e cos+ sin 9 3 ( 終 ) この演算子を用いた解法は 定数係数 n 階線形微分方程式にも適用できる 問題次の微分方程式の つの解を求めよ () (3) -3" -' +3= 3 () (4) - (3) +" -' + =cos (3) (3) -5" +9' -5=cos (4) (3) -" -' =e sin (5) (3) +5" +' -8= --8e -3 (6) (3) -" +' - =4sin (7) (3) -" -5' +6=e 3 (8) (3) +3" -' -3=3 +0 最後に定数係数でない 階線形微分方程式で よく出題されるものを紹介する a,b を定数とするとき " +a' +b =R( ) をEuler の微分方程式という 解法 fi u =log =e u と変数変換して解く このとき " +a' +b =R( ) d d +( a -) +b =Re u du du となる これは定数係数 階線形微分方程式である 高専の数学 3 問題集 69-70 ページの問題 0.9, 0.(),() などがこれに当たる は 微分方程式補足 - 5 -