FdData 中間期末 : 中学数学 3 年 : 二次方程式応用 [ 係数の決定 / 整数の問題 / 面積 体積の問題 / 動点の問題 ] [ 数学 3 年 pdf ファイル一覧 ] 係数の決定 [ 係数 a を求める ] 二次方程式 + a = 0 の 1 つの解が 3 であるとき, a の値を求めよ また, もう 1 つの解を求めよ a = = a = 3 = 1 + a = 0 1の解の 1 つが 3 であるので, = 3を1の左辺に代入しても 1の等式が成り立つ + a = 0 に = 3を代入すると, 9 6 a = 0, 3 a = 0, a = 3 + a = 0 に a = 3 を代入すると + 3 = 0 かけて 3, 加えて になる 数は 1, 3なので, ( 1 )( + 3) = 0 よって 1 = 0, + 3 = 0 ゆえに =1, 3 以上より a = 3, 他の解は = 1 二次方程式 + a 10 = 0 の解の 1 つが であるとき, a の値を求めよ また, 他の解 を求めよ a = = a = 3 = 5 + a 10 = 0 に = を代入すると, 4 + a 10 = 0, a 6 = 0, a = 6, a = 3 次に + a 10 = 0 に a = 3 を代入すると, + 3 10 = 0 かけて 10, 加えて 3 になる 数は, 5 よって ( )( + 5) = 0 = 0, + 5 = 0 ゆえに =, 5 以上より a = 3, 他の解は = 5 1
二次方程式 + a 4 = 0 の解の 1 つは 1である このとき,a の値ともう 1 つの解を求 めよ a = = a = 3 = 4 + a 4 = 0 に = 1を代入すると, 1 a 4 = 0, 3 a = 0, a = 3 a = 3 を + a 4 = 0 に代入すると, 3 4 = 0 かけて 4, 加えて 3 になる 数は 4, 1 よって 4 = 0, + 1 = 0 ゆえに = 4, 1 以上より a = 3, 他の解は = 4 なので, ( 4 )( + 1) = 0 二次方程式 a + 3 = 0 の解の 1 つが 3 であるとき, a の値を求めよ また, 他の解を求めよ a = = a = 4 = 1 a + 3 = 0 に = 3 を代入すると, 9 3a + 3 = 0, 3a = 1, a = 4 a = 4 を a + 3 = 0 に代入すると, 4 + 3 = 0, かけて3, 加えて 4 1, 3 なので, ( 1 )( 3) = 0 ゆえに = 1, 3 以上より a = 4, 他の解は = 1 になる 数は 二次方程式 a + 6 = 0 の解の 1 つが であるとき,a の値を求めよ また他の解も求めよ a = = a = 5 = 3
a + 6 = 0 に = を代入すると, 4 a + 6 = 0, a = 10, a = 5 a = 5 を a + 6 = 0 に代入すると, 5 + 6 = 0 かけて 6, 加えて 5 になる 数は, 3 以上より a = 5, 他の解は = 3 なので ( )( 3) = 0, ゆえに =, 3 [ 問題 ](3 学期 ) 二次方程式 + a 7 = 0 の解が-1 と b であるとき, a, b の値を求めよ a = = a = 6 b = 7 = 1を + a 7 = 0 に代入すると, 1 a 7 = 0, a = 6 a = 6 を + a 7 = 0 6 7 = 0, + + 1 = 0, 7 = 0 ゆえに = 1, 7 よって, b = 7 に代入すると, ( 1)( 7) = 0 [ 問題 ]( 学期期末 ) 二次方程式 + a 14 = 0 の解の 1 つが であるとき, 他の解を求めよ = 7 + a 14 = 0 に = を代入すると, 4 + a 14 = 0, 10 a = 0, a = 5 + a 14 = 0 に a = 5を代入すると, + 5 14 = 0, ( )( + 7) = 0 =, 7 よって, 他の解は = 7 [ 問題 ]( 学期期末 ) 二次方程式 + 3 4a = 0 の解の 1 つが 8 であるとき, 他の解を求めよ = 5 3
+ 3 4a = 0 に = 8 を代入すると, 64 4 4a = 0, 4a = 64 + 4, 4a = 40, a = 10 a = 10 を + 3 4a = 0 に代入すると, + 3 40 = 0 5 = 0, + 8 = 0 ゆえに, = 5, 8 したがって, 他の解は = 5, ( 5 )( + 8) = 0 [ 問題 ]( 学期期末 ) 二次方程式 15 = 0 の負の解が, 二次方程式 + a a + 6 = 0 の解の 1 つになっている このとき, a の値を求めよ a = 3 まず二次方程式 15 = 0 1を解くために左辺を因数分解する かけて 15, 加えて になる 数は 5, 3 なので,( 5 )( + 3) = 0, 5 = 0 または + 3 = 0, = 5, 3 このうちの負の解 = 3は + a a + 6 = 0 の解の 1 つにもなっているので, = 3 をに代入して, 9 3a a + 6 = 0 が成り立つ a についての方程式として解くと, 5a = 15, a = 3 二次方程式 a + 3 = 0 の解の 1 つが, 二次方程式 6 + 9 = 0 の解と等しいとき, a の値を求めよ また, 二次方程式 a + 3 = 0 の他の解も求めよ a = = a = 4 = 1 まず, 6 + 9 = 0 を解く ( a b) = a ab + b の公式を使って左辺を因数分解すると, ( 3) = 0, = 3 a + 3 = 0 の解の 1 つが = 3 なので, = 3 を a + 3 = 0 に代入すると, 9 3a + 3 = 0, 3a + 1 = 0, 3a = 1, a = 4 a + 3 = 0 に a = 4 を代入すると, 4 + 3 = 0, かけて 3, 加えて 4 になる 数は 1, 3 なので ( 1 )( 3) = 0 よって 1 = 0, 3 = 0 ゆえに = 1, 3 以上より, a = 4, 他の解は = 1 4
[ 係数 a, b を求める ] 二次方程式 + a + b = 0 の つの解が =, 5 であるとき, a, b の値を求めよ a = = a = 7 b = 10 + a + b = 0 に = を代入すると, 4 + a + b = 0 1 また, = 5 を代入すると, 5 + 5a + b = 0 1, を連立方程式の加減法で解く -1で b を消去すると, 1+ 3a = 0, 3a = 1, a = 7 1に a = 7 を代入すると, 4 14 + b = 0, 10 + b = 0, b = 10 ゆえに a = 7, b = 10 *( 別解 ) =, 5 を 解とする二次方程式は ( )( 5) = 0 よって, a = 7, b = 10, 7 + 10 = 0 [ 問題 ]( 学期期末 ) 二次方程式 + p + q = 0 の解が 3と 7 のとき p, q の値を求めよ p = q = p = 10 q = 1 + p + q = 0 に = 3 を代入して, 9 + 3p + q = 0 1 + p + q = 0 に = 7 を代入して, 49 + 7 p + q = 0 1,を連立方程式の加減法で解く -1より, 40 + 4 p = 0, 4 p = 40, p = 10 1に p = 10 を代入すると, 9 30 + q = 0, q = 1 ( 別解 ) 解が 3 と 7 である二次方程式は, ( 3)( 7) = 0, 10 + 1 = 0 よって, p = 10, q = 1 5
a b = 0 の解が 1と 7 であるとき, 二次方程式 b + a = 0 を解け = 6, 1 a b = 0 に = 1を代入して, 1 + a b = 0 1 a b = 0 に = 7 を代入して, 49 7a b = 0 1, を連立方程式の加減法で解く 1- より, 48 + 8a = 0, 8 a = 48, a = 6 a = 6 を1に代入すると, 1 + 6 b = 0, b = 7 次に, a = 6, b = 7 を二次方程式 b + a = 0 に代入すると, 7 + 6 = 0 ( 6 )( 1) = 0 よって, = 6, 1 二次方程式 + 3a 4b = 0 と a + b = 0 の 1 つの解がどちらも = である このとき, a, b の値を求めよ a = b = a = 6 b = 8 + 3a 4b = 0 に = を代入して, 4 + 6a 4b = 0 1 a + b = 0 に = を代入して, 4 a + b = 0 1,を連立方程式の加減法で解く 1 より, + 3a b = 0 1 1 +より, 6 + a = 0, a = 6 a = 6 をに代入すると, 4 + 1 + b = 0, 16 + b = 0, b = 16, b = 8 よって, a = 6, b = 8 6
[ ただ 1 つの解をもつとき ] + 1 + a = 0 がただ 1 つの解をもつように, a の値を求めよ a = 36 が ( + p) 0 ただ 1 つの解をもつのは, + 1 + a = 0 ( + p) = 0 の左辺を展開すると, + p + p = 0 + 1 + a = 0と + p + p = 0 はまったく同じ式になるので, 1 = p, p = 6 また, a = p なので, a = 6 = 36 = と変形できる場合である [ 問題 ]( 前期期末 ) 二次方程式 3 = a の解が 1 つだけのとき, a の値を求めよ a = 4 3 = a を整理すると, 4 + a = 0 ただ 1 つの解をもつのは, 4 + a = 0 が ( p) = 0 と変形できる場合である ( ) p = 0 の左辺を展開すると, p + p = 0 4 + a = 0 と p + p = 0 はまったく同じ式になるので, 4 = p, p = また, a = p なので, a = = 4 [ 解が整数のとき ] [ 問題 ]( 学期期末 ) についての二次方程式 n + 1 = 0 の つの解が, どちらも正の整数になったという このとき, n の値をすべて求めよ 7
n = 7, 8, 13 二次方程式 n + 1 = 0 1 の つの解を a, b とする ( ただし, a < b ) = a, b を解とする二次方程式は ( a)( b) = 0 で, 展開すると ( a + b) + ab = 0 1 と の式はまったく同じものなので, a + b = n 3 ab = 1 4 が成り立つ 4の式について, a, b は正の整数なので, かけて1 になる ( a, b) の組み合わせは, (, 1), (, 6), ( 3, 4) ( 1, 1) のとき n = a + b = 1 + 1 = 13 (, 6) のとき n = a + b = + 6 = 8 ( 3, 4) のとき n = a + b = 3 + 4 = 7 ゆえに n = 7, 8, 13 1 の 3 通りになる 二次方程式 + p + 6 = 0 の つの解が負の整数であるとき, p の値をすべて求めよ p =5, 7 二次方程式 + p + 6 = 0 1 の つの解を a, b とする ( ただし, a > b ) = a, b を解とする二次方程式は ( a)( b) = 0 で, 展開すると ( a + b) + ab = 0 1との式はまったく同じものなので, ( a + b) = p 3 ab = 6 4 が成り立つ 4の式について, a, b は負の整数なので, かけて 6 になる ( a, b) の組み合わせは, ( 1, 6), (, 3) の 通りである 3より, p = a b ( 1, 6) のとき, p = 1 + 6 = 7 (, 3) のとき, p = + 3 = 5 よって, p =5, 7 8
整数の問題 [~は 4 になる ] ある正の整数に 5 を加え, これにもとの数をかけると 4 になる もとの整数を方程式をつくって求めよ 正の整数を とすると, ( + 5 ) = 4 + 5 4 = 0 ( 3 )( + 8) = 0 = 3, 8 は正の整数だから, = 8は問題にあわない = 3 は問題にあっている もとの整数は 3 ある正の整数から 4 をひいて, これにもとの整数をかけると 3 になるという もとの整数を として方程式をつくって求めよ 9
( 4 ) = 3 4 3 = 0 ( 8 )( + 4) = 0 = 8, 4 は正の整数だから, = 4 は問題にあわない = 8 は問題にあう もとの数は 8 大小 つの整数があり, その差は 5, 積は 84 である 方程式をつくって つの整数を求めよ 小さい方の整数を とすると, 大きい方は + 5 となり, ( + 5 ) = 84 + 5 84 = 0 ( + 1 )( 7) = 0 = 1, 7 = 1 のとき, + 5 = 1 + 5 = 7 これは問題にあう = 7 のとき, + 5 = 1 これは問題にあう つの整数は,-1 と-7,7 と 1 10
大小 つの正の整数がある その差は 3 で, それぞれを 乗した数の和は 65 になる この つの正の整数を求めよ ただし, 求める過程も書け 小さい方の整数を とすると, 大きい方は + 3 となり, + ( + 3) = 65 + + 6 + 9 65 = 0 + 6 56 = 0 + 3 8 = 0 ( + 7 )( 4) = 0 = 7, 4 は正の整数だから, = 7 は問題にあわない = 4 のとき, + 3 = 4 + 3 = 7 これは問題にあう つの正の整数は 4,7 [A は B より~ 大きい ( 小さい )] [ 問題 ]( 学期期末 ) ある正の整数 に 4 を加えて 乗するところを, 誤って に を加えて 4 倍してしまったので, もとの答より 53 小さくなった を求めよ 11
誤って計算した答 ( + ) 4 は, 正しい答 ( + 4) 4( + ) = ( + 4) 53 4 + 8 = + 8 + 16 53 + 4 45 = 0 ( + 9 )( 5) = 0 = 9, 5 は正の整数だから, = 9 は問題にあわない = 5は問題にあう = 5 A は B より 53 小さい は,A=B-53 A は B より 53 大きい は,A=B+53 と機械的に等式に直すことができる より 53 小さいので, ある自然数を 乗しなければならないのに, 誤って 倍したため, 計算の結果が 99 だけ小さくなった このとき, ある自然数を求めよ ある自然数を とする の 倍は の 乗より 99 小さいので, = 99 99 = 0 ( 11 )( + 9) = 0 = 11, 9 は自然数だから, = 9 は問題にあわない = 11は問題にあう ある自然数は 11 1
[ 問題 ]( 後期中間 ) 十の位が 7 である 3 けたの正の整数がある 一の位は百の位より 大きく, 百の位と-の位の積は, 十の位と-の位の積より 18 小さい この整数を求めよ 百の位を とすると, 一の位は + 百の位と-の位の積 ( + ) は, 十の位と-の位の積 7 ( + ) ( + ) = 7( + ) 18 + = 7 + 14 18 5 + 4 = 0 ( 1 )( 4) = 0 =1,4 =1 のとき, 正の整数は 173 となる これは問題にあう =4 のとき, 正の整数は 476 となる これは問題にあうこの整数は 173,476 より 18 小さいので, [ 連続する つの整数 ] 連続する つの正の整数がある それぞれを 乗した数の和が 61 になるとき, これら つの整数を求めよ ただし, つのうち小さい方を として方程式をつくり, 答を求めるまでの過程も式と計算を含めて書け 13
この つの整数は, + 1なので, ( 1) 61 + + = + + + 1 61 = 0 + 60 = 0 + 30 = 0 ( 5 )( + 6) = 0 = 5, 6 は正の整数だから, = 6 は問題にあわない = 5のとき, 数は5, 6 となり, 問題にあっている つの整数は 5,6 例えば, 連続する つの整数 5, 6 は, 5, 5 + 1と表すことができる 小さい数を とす ると, 連続する つの整数は, + 1 と表すことができる 連続した つの正の整数がある それぞれを 乗した数の和が 41になるとき, これら つの整数を方程式をつくって求めよ 小さい方の整数を とすると, 大きい方の整数は + 1となり, + ( + 1) = 41 + + + 1 41 = 0 + 40 = 0 + 0 = 0 ( + 5 )( 4) = 0 = 5, 4 は正の整数だから, = 5は問題にあわない = 4 のとき, 数は 4, 5 となり, 問題にあっている つの正の整数は,4,5 14
[ 連続する 3 つの整数 ] 連続する 3 つの正の整数がある もっとも小さい数ともっとも大きい数の積が, まん中の 数の 6 倍より 6 大きくなる 次の各問いに答えよ (1) もっとも小さい数を として方程式をつくり, a + b + c = 0 の形で書け () これら 3 つの整数を求めよ (1) () (1) 4 1 = 0 () 6, 7, 8 * 例えば, 連続する 3 つの整数 5, 6, 7 は, 5, 5 + 1, 5 + と表すことができる 一番小さい数 を とすると, 連続する 3 つの整数は, + 1, + と表すことができる * A は B より 6 大きい は,A=B+ 6, A は B より 6 小さい は,A=B- 6 と機械的 に数式に直すことができる (1) もっとも小さい数を とするので, 連続する 3 つの正の整数は,, + 1, + と表すこ とができる ( もっとも小さい数ともっとも大きい数の積 )=( まん中の数の 6 倍 )+6 なので ( + ) = ( + 1) 6 + 6 が成り立つ 整理すると, + = 6 + 6 + 6, 4 1 = 0 () かけて 1, 加えて 4 になる 数は 6, なので, 4 1 = 0 の左辺を因数分解 して, ( 6 )( + ) = 0 よって 6 = 0, + = 0 ゆえに = 6, は正の整数だから, = は問題にあわない = 6 のとき, 連続する 3 つの正の整数は, 6, 7, 8 となり, 問題にあっている 連続した 3 つの整数がある まん中の数の 乗は, 残りの 数の和より15 大きくなる この連続した 3 つの整数を次の手順で求めよ (1) まん中の数を として方程式をつくれ () この連続した 3 つの整数を求めよ (1) () = + + + () 4, 3, か, 4, 5, 6 (1) ( 1) ( 1) 15 15
(1) この 3 つの整数は, 1,, + 1と表すことができる まん中の数の 乗は, 残りの 数の和より 15 大きくなるので, ( 1) + ( + 1) + 15 = () = ( 1) + ( + 1) + 15 が成り立つ より, = + 15, 15 = 0, ( + 3 )( 5) = 0, = 3, 5 = 3のとき, 1 = 4, = 3, + 1 = = 5 のとき, 1 = 4, = 5, + 1 = 6 この解は問題にあっている 連続する 3 整数は, 4, 3, か, 4, 5, 6 [ 問題 ](1 学期期末 ) 連続する 3 つの整数のうち, もっとも小さい数の 乗は他の 数の積より 9 小さくなる このとき, 次の各問いに答えよ (1) 連続する 3 つの整数を, 整数 を使って表せ () この 3 つの数を求めよ (1) () (1) 1,, + 1(, + 1, + ) () 9, 10, 11 (1) 真ん中の数を とおくと, 計算が楽になる場合が多い () A は B より5 大きい は A=B+ 5, A は B より 5 小さい は A=B- 5 と機械的に等 式に直すことができる もっとも小さい数 1の 乗は他の 数, + 1の積より 9 小さくなるので, ( 1) = ( + 1) 9, + 1 = + 9, = 9 1 3 = 30, = 10 1 = 10 1 = 9, + 1 = 10 + 1 = 11なので,3 数は 9, 10, 11 この解は問題にあっている 16
3,4,5 のように連続する 3 つの自然数がある 大きい方の つの数の積は 3 つの数の和の 5 倍になる これらの 3 つの自然数を方程式をつくって求めよ 3 つの自然数を, + 1, + とおく ( + 1 )( + ) = ( + + 1+ + ) 5 + 3 + = 15 + 15 1 13 = 0 ( + 1 )( 13) = 0 = 1, 13 は自然数だから, = 1は問題にあわない = 13のとき,3 数は13, 14, 15となり, 問題にあっている よって 3 数は,13,14,15 連続する 3 つの自然数がある まん中の数の 乗は, 残りの 数の和よりも 8 大きい この連続する 3 つの整数を方程式をつくって求めよ 17
3 つの自然数を, + 1, + とおく ( + 1) = + ( + ) + 8 + + 1 = + 10 = 9 = ±3 は自然数だから, = 3は問題にあわない = 3のとき,3 つの自然数は, 3, 4, 5 となり, 問題にあっている 3 つの自然数は,3,4,5 18
面積 体積の問題 [ 面積 ] [ 問題 ](1 学期中間 ) 面積が 144cm となる正方形の 1 辺の長さを求めよ この正方形の 1 辺の長さを cm とすると, = 144 = ±1 > 0 だから, = 1 は問題にあわない = 1 は問題にあう 1 辺の長さは 1cm [ 問題 ](1 学期中間 ) 面積が 5 cm の正方形の 1 辺の長さを求めよ この正方形の 1 辺の長さを cm とすると, = 5 = ± 5 > 0 だから, = 5 は問題にあわない = 5 は問題にあう 1 辺の長さは 5 cm 19
[ 問題 ](1 学期中間 ) 半径が m と 4 m の つの円がある 面積が, この 円の面積の和になる円をつくるには, その半径をいくらにすればよいか 求める半径を m とすると, 4π + 16π = π = 0 = ± 0 = ± 4 5 = ± 5 > 0 だから, = 5 は問題にあわない = 5 は問題にあう 求める円の半径は 5 m [ 長方形の縦と横の長さ ] 次の問題について,( ) の中にあてはまるもっとも簡単な数または式を解答欄に記入せよ ある正方形の縦を 4 cm 短くし, 横を 3 cm 長くした長方形をつくったら, 面積が 60 cm になった もとの正方形の 1 辺の長さを求めよ < 解 > はじめの正方形の 1 辺の長さを cm とし, 縦横それぞれの長さを を用いて表すと, 縦の長さは ( 1 )cm, 横の長さは ( )cm となる これらの方程式をたてると,( 3 )= 60 この方程式を解くと, =( 4 ),( 5 ) は正の数だから, =( 6 ) これは問題に合う よって, はじめの正方形の 1 辺の長さは ( 7 )cm になる 0
1 3 4 5 6 7 1 4 + 3 3 ( 4 )( + 3) 4 8 5 9 6 9 7 9 正方形の 1 辺の長さを cm とすると, 縦は 4 (cm), 横は + 3 (cm) この長方形の面積は 60cm なので, ( 4 )( + 3) = 60 1 = 60 7 = 0 ( + 8 )( 9) = 0 = 8, 9 は正の数なので, = 8 は問題にあわない = 9 は問題にあう よって, はじめの正方形の 1 辺の長さは 9 cm になる 長さ 40 cm のひもで長方形をつくり, その面積が 84 cm になるようにする 長方形の縦と 横の長さを次の手順で求めよ ただし, 縦が横より短い長方形をつくるものとする (1) 長方形の縦の長さを cm として方程式をつくれ () 長方形の縦と横の長さ求めよ (1) () (1) ( 0 ) = 84 () 縦は 6 cm, 横は14 cm (1) 長方形の縦の長さを cm とすると,( 縦 )+( 横 )= 40 = 0 (cm) なので, 横の長さは 0 (cm) である ( 長方形の面積 )=( 縦 ) ( 横 )= ( 0 ) = 84, 0 = 84, 0 + 84 = 0 () 0 + 84 = 0 の左辺を因数分解すると, ( 6 )( 14) = 0 = 6, 14 縦 = 6 のとき, 横 = 0 = 0 6 = 14 縦が横より短いので問題にあっている 1
縦 = 14 のとき, 横 = 0 = 0 14 = 6 縦が横より長いので問題にあわない よって縦は 6 cm, 横は 14 cm ある長方形の周の長さが 6cm で, その面積は 36cm であるという この長方形の縦と横の長さをそれぞれ求めよ ただし, 横の長さは縦の長さより長いものとする この長方形の縦の長さを cm とすると, 横の長さは13 (cm) なので, ( 13 ) = 36 13 + 36 = 0 ( 4 )( 9) = 0 = 4, 9 = 4 のとき, 縦は 4cm, 横は 13-4=9(cm) これは問題にあう = 9 のとき, 縦は 9cm, 横は 13-9=4(cm) これは問題にあわない 縦は 4cm, 横は 9cm 正方形の土地がある この土地の縦を 4 m 短くし, 横を 6 m 長くして長方形にすると, その面積は 600 m になる この正方形の土地の 1 辺の長さを m として方程式をつくり, 正方形の土地の 1 辺の長さを求めよ
長方形の縦の長さは 4 (m), 横の長さは + 6 (m) なので, ( 4 )( + 6) = 600 + 4 = 600 + 64 = 0 ( 4 )( + 6) = 0 = 4, 6 > 0 なので, = 6 は問題にあわない = 4 は問題にあう 正方形の 1 辺の長さは 4m 縦を 4 m 短くするので, 長方形の縦の長さは, 4 (m) 横を 6 m 長くするので, 長方形の横の長さは, + 6 (m) ( 長方形の面積 )=( 縦 ) ( 横 )= ( 4 ) ( + 6) = 600 ( m ) 1 辺が cm の正方形の縦の長さを 3cm 長くし, 横の長さを 1cm 短くしてつくった長方形の面積は, 正方形の面積の 倍より 7cm 小さかった 次の各問いに答えよ (1) 方程式をつくれ () もとの正方形の 1 辺の長さを求めよ (1) () + = () 6cm (1) ( 3)( 1) 7 この長方形の縦の長さは + 3 (cm), 横の長さは 1(cm) なので, + 3 1 ( 長方形の面積 )= ( )( ) 長方形の面積は, 正方形の面積の 倍より 7cm 小さかった ので, ( + 3)( 1) = 7 + 3 = 7 4 = 0 ( + 4 )( 6) = 0 = 4, 6 = 4 は問題にあわない = 6 は問題にあう 正方形の 1 辺の長さは 6cm 3
[ 円柱 円錐の底面の半径 ] [ 問題 ](1 学期中間 ) 体積が 500π cm 3, 高さが10 cm の円柱がある この円柱の底面の円の半径を求めよ 底面の円の半径を cm とすると, π 10 = 500π = 50 = ± 50 = ±5 > 0 なので, = 5 は問題にあわない = 5 は問題にあう 底面の半径は 5 cm 底面の円の半径を cm とすると, 底面の円の面積は, π ( 柱の体積 )=( 底面積 ) ( 高さ )=π 10 = 500π [ 問題 ]( 前期期末 ) 体積が 900πcm 3 の円錐がある 円錐の高さが 9cm のとき, 底面の円の半径の長さを求めよ 4
この円錐の底面の円の半径を cm とすると, 1 π 9 = 900π 3 3π = 900π = 300 = ± = ±10 300 3 > 0 なので, = 10 3 は問題にあわない = 10 3 は問題にあう 底面の半径は10 3 cm この円錐の底面の円の半径を cm とすると, 底面の円の面積はπ (cm ) である 1 1 ( 円錐の体積 )= ( 底面積 ) ( 高さ )= π 9 = 3π (cm 3 ) 3 3 円錐の体積は 900πcm 3 なので, 3π = 900π, = 900π 3π, = 300 [ 道幅を求める問題 ] 辺の長さが 5 m, 36 m の長方形の畑がある これに右 の図のように縦と横に同じ幅の道をつくり, 残った畑の面積 が840 m になるようにする 道幅を次の手順で求めよ (1) 道幅を m として方程式をつくれ () 道幅をいくらにすればよいか (1) () (1) ( 5 )( 36 ) = 840 () 1m (1) 図のように, 道の部分を切り取ると, 縦が 5 (m), 横が 36 (m) の長方形ができる この面積が840 m なので, ( 面積 )=( 縦 ) ( 横 )= ( 5 )( 36 ) = 840 5
() ( 5 )( 36 ) = 840, 900 5 36 + = 840 61 + 60 = 0 の左辺を因数分解して, ( 1 )( 60) = 0 = 1, 60 = 60 は問題にあわない = 1は問題にあう よって, 道幅は1m である 縦 0m, 横 6m の長方形の土地に, 図のように同じ幅の道をつけたところ, 残りの土地の面積が 396m になった 道幅を m として次の各問いに答えよ (1) 方程式をつくれ () (1) の方程式を解いて, 道路の幅を求めよ (1) () (1) ( 0 )( 6 ) = 396 () m 道路の部分を切り取って, 残りの土地をつなげると, 縦 0 (m), 横 6 (m) の長方形 になる よって, ( 0 )( 6 ) = 396 50 40 6 + 66 + 14 = 0 33 + 6 = 0 ( )( 31) = 0 = 396 =, 31 = 31は問題にあわない = は問題にあう よって, 道路の幅は m である 6
[ 問題 ]( 学期期末 ) 縦 40 m, 横 78m の長方形の土地がある 右の図のように, 同じ幅の道路を縦 3 本, 横 1 本つけて, 面積が等しい 8 区画の土地に分け,1 区画の土地の面積を 55 m にした このとき, 道路の幅を求めよ 道路の幅を m とする 道路の部分を切り取って, 残りの土地をつなげると, 縦 40 (m), 横 78 3 (m) の長方形 になるので, ( 40 )( 78 3) = 55 8 式を整理すると, 66 + 360 = 0 ( 6 )( 60) = 0 = 6, 60 = 60 は問題にあわない = 6 は問題にあう 道路の幅は 6m 道路の幅を m とする 道路部分を切り取って 8 区画をつなげると, 次の図のようになるの で, その面積は ( 40 ) ( 78 3) ( 面積 )= ( 40 ) ( 78 3) となる 1 区画の面積が 55 m なので, = 55 8 7
*( 別解 ) 道路の幅を m とすると, 道路部分の面積の合計は, 78 + 40 3 3 = 3 + 198 土地の面積は, 40 78 = 55 8 + ( 3 + 198) 整理すると, 66 + 360 = 0 ( 6 )( 60) = 0 で = 6, 60 = 60 は問題にあわない = 6 は問題にあう 道路の幅は 6 m である 右の図のように, 写真立ての中に縦, 横の長さがそれぞれ 10cm,6cm の写真を余白の縦, 横の幅が同じになるように入れ, 写真立ての面積が 7 写真の面積のになるようにする 写真立ての余白の幅を何 cm にすれ 3 ばよいか求めよ 写真立ての余白の幅を cm とすると, ( + 10)( + 6) = 60 7 3 式を整理すると, + 8 0 = 0 ( )( + 10) = 0 =, 10 = 10 は問題にあわない = は問題にあう 余白の幅は cm 8
写真立ての余白の幅を cm とすると, 写真立ての縦は10 + (cm), 横は 6 + (cm) ( 写真立ての面積 )= ( 10 + )( 6 + ) = ( + 10)( + 6) ( 写真の面積 )=10 6 = 60 で, 写真立ての面積が写真の面積の 3 7 なので, ( + 10)( + 6) = 7 3 60, ( ) + 16 + 60 = 140 4 + 3 80 = 0, + 8 0 = 0 [ 問題 ]( 後期中間 ) 半径 4cm の円がある 右の図のように, この円より半径が cm 大きい円をかいた 次の各問いに答えよ (1) つの円にはさまれた部分 ( かげがついた部分 ) の面積を, を使った式で表せ () 外側の円の面積が, 内側の円の面積の 倍になるときの の値を求めよ (1) () (1) π + 8π (cm) () = 4 + 4 (1) ( 外側の円の面積 )= ( + 4) = π ( + 8 + 16) ( 内側の円の面積 )=π 4 = 16π (cm ) π (cm ) よって,( つの円にはさまれた部分の面積 )= π ( + 8 + 16) 16π = π ( 8 + 16 16) = π ( + 8) = π + 8π + (cm ) () 外側の円の面積が, 内側の円の面積の 倍になるとき, ( + 8 + 16) = 16π π が成り立つ + 8 + 16 3 = 0, + 8 16 = 0 因数分解できないので, 解の公式を使って解くと, 8 ± = 64 4 1 ( 16) 8 ± 18 8 ± 8 = = = 4 ± 4 > 0 なので, = 4 4 は問題にあわない = 4 + 4 は問題にあう 9
[ 容積の問題 ] 正方形の紙がある 右の図のように, この 4 すみから 1 辺が5 cm の正方形を切り取り, 直方体の容器をつくると, 容積が 70 cm 3 になった もとの正方形の紙の 1 辺の長さは何 cm か 方程式をつくって求めよ もとの正方形の紙の 1 辺の長さを cm とすると, 10 5 = ( ) 70 ( 10) = 144 10 = ±1 =, = は問題にあわない = は問題にあう もとの正方形の 1 辺の長さは cm もとの正方形の紙の 1 辺の長さを cm とすると, 底辺の正方形の 1 辺の長さは 10 cm なので ( 容積 )=( 底面積 ) ( 高さ )= ( 10) 5 = 70 30
右の図のように横の長さが縦の長さの 倍の長方形の厚紙がある この厚紙の 4 すみから 1 辺が3 cm の正方形を切り取り, ふたのない直方体の箱をつくったところ, 容積は168 cm 3 であった 方程式をつくって, もとの厚紙の縦の長さを求めよ もとの厚紙の縦の長さを cm とすると, ( 6 ) ( 6) 3 = 168 式を整理すると, 9 10 = 0 ( 10 )( + 1) = 0 = 10, 1 = 1は問題にあわない = 10 は問題にあう 縦の長さは 10cm 厚紙の横の長さは縦の長さ cm の 倍なので cm 直方体の底面の長方形の縦は 3 3 = 6 cm, 直方体の底面の長方形の横は 3 3 = 6 cm, 高さは 3cm ( 直方体の容積 )=( 底面の縦 ) ( 底面の横 ) ( 高さ ) = ( 6 ) ( 6) 3 = 168 ( 6 ) ( 3) 3 = 168, ( 6 )( 3) = 8 9 10 = 0, 9 + 18 = 8 31
[ 問題 ](3 学期 ) 図 1 のような, 横の長さが縦の長さの 4 倍の長方形の厚紙を使い, 影をつけた部分を切り取って, 図 のようなふたのついた直方体の箱をつくる 出来上がった直方体の体積が,18 cm 3 になるときのもとの厚紙の縦の長さを求めよ 10 cm 縦の長さを cm とすると, この立体の底面の縦は 4 = 8 (cm) 底面の横は 4 (cm) よって, ( 体積 )=( 縦 ) ( 横 ) ( 高さ )= ( 8 ) ( 4) 4 = 18 ( 8 ) ( ) 4 = 18, 両辺を8 でわると, ( 8 )( ) = 16 10 + 16 = 16, 10 = 0, ( 10) = 0, = 0, 10 = 0 は問題にあわない = 10 は問題にあう よって, もとの厚紙の縦の長さは 10cm である [ その他 ] [ 問題 ]( 後期中間 ) 右の図のように, 縦と横が 0cm の直角二等辺三角形 ABC の中に, 面積が 50cm の長方形 BDEF をつくりたい ただし, 長方形 BDEF は横長の長方形とする このとき,BD の長さを何 cm にすればよいかを考える 次の各問いに答えよ (1) BD の長さを (cm) として方程式をつくれ () (1) の方程式を解くことで,BD の長さを求めよ (1) () 3
(1) ( 0 ) = 50 () 10 + 5 (cm) 右図のように,BD= (cm) とすると, DC= 0 (cm) ABC が直角二等辺三角形なので, EDC も直角二等辺三 角形で,ED=DC となる よって,ED= 0 (cm) したがって, 長方形 BDEF の面積は, ( 0 ) ( cm ) ゆえに, ( 0 ) = 50 0 = 50, 0 + 50 = 0 が成り立つ この二次方程式を解く 左辺は因数分解できないので, 解の公式を使うと, 0 ± = 400 00 0 ± 00 = =10 + 5 のとき,BD= 5 = 1.41として計算すると, 0 ± 10 = = 10 ± 5 10 + (cm),ed= 0 ( 10 + 5 ) = 10 5 BD=10+5 1.41=17.05(cm),ED=10-5 1.41=.95(cm) これは問題にあっている =10 5 のとき,BD=10 5 (cm) ED= 0 ( 10 5 ) = 10 + 5 (cm) BD<ED で, 横長の長方形 にならないので, 問題にあわない (cm) [ 問題 ]( 前期期末 ) 普段使われる紙の規格の中に,A4 判と呼ばれる大きさがある A4 判の紙を右の図のように 枚並べると,A3 判と呼ばれる大ささになる A4 判と A3 判の つの長方形の縦と横の長さの比は等しい (1) 右図のように AB= とすると, つの長方形の縦と横の長さの比が等しいことから, :1=( ): が成り立つ ( ) に適する数字をかけ () (1) の比例式を解いて, の値を求めよ (1) () (1) () = 33
FG=AB なので,FG= EF=BC なので,EF= A4 判と A3 判の つの長方形の縦と横の長さの比は等しいので, ( 縦 ):( 横 )=AB:BC=EF:FG よって, :1=: 比の外項の積は, 内項の積に等しいので, = 1, = よって, = ± = = は問題にあわない は問題にあう 縦, 横に 1m 間隔に花を植え, 横が縦より m 長い長方形の花だんをつくったところ, 花を 143 本使った 花だんの縦の長さを求めよ ただし, 長方形の周辺部にも花を植えるものとする また, 縦の長さは整数とする 10m 例えば, 縦 3m, 横 5m の花壇の場合, 右図のように, 横 1 列に植える花は,5+1=6 本で, 縦 1 列に植える花は,3+1=4 本である 花だんの縦の長さを m とすると, 横の長さは + (m) である 横に 1m 間隔で花を植えるので, 横 1 列に植える花は + 3( 本 ) になる 縦の長さが m なので, 縦に + 1( 列 ) になる よって, 花の総数は, ( + 3 )( + 1) = 143 + 4 + 3 143 = 0, + 4 140 = 0 よって, ( + 14 )( 10) = 0 = 14, 10 = 14 は問題にあわない = 10 は問題にあう よって, 縦の長さは 10m となる 34
動点の問題 右の図のように,1 辺の長さが 0cm の正方形 ABCD の辺 AB, 辺 AD 上に点 P,Q があり,P,Q はそれぞれ B,D から A に向かって毎秒 cm の速さで動くものとする 点 P,Q が B, D を同時に出発するとき, APQ の面積が 98cm になるのは何秒後になるかを次の手順で求めよ (1) 秒後に, APQ の面積が 98cm になるとして方程式をつくれ () APQ の面積が 98cm になるのは何秒後か (1) () 1 = () 3 秒後 (1) ( 0 ) 98 (1) 毎秒 cm で 秒の間に動く距離は = cm なので,BP=DQ= cm よって,AP=AB-BP= 0 cm,aq=ad-dq= 0 cm 1 = 1 APQ の面積 = AP AQ= ( 0 ) 98 1 1 { ( 10 )} = 98, ( 10 ) = 98, ( 10 ) = 98 ゆえに, ( 10) = 49 () ( 10) = 49 より 10 = ± 7 10 = 7 のとき = 17 10 = 7 のとき = 3 P,Q がそれぞれ AB,AD 上にあるのは 0 10 なので, = 17 は問題にあわない = 3 は問題にあう APQ の面積が 98cm になるのは 3 秒後である 35
AB=8cm,BC=16cm の長方形 ABCD がある 点 P は, 辺 AB 上を A から B まで毎秒 1cm の速さで動き, 点 Q は辺 BC 上を B から C まで毎秒 cm の速さで動くものとする P,Q が同時に出発するとき, PBQ の面積が 15cm になるのは何秒後か 方程式をつくって求めよ 秒後に PBQ の面積が 15cm になったとすると, 1 8 = 15 ( 8 ) = 15 8 + 15 = 0 ( 3 )( 5) = 0 = 3, 5 点 P は A から B まで, 点 Q は B から C まで動くので,0 8 だから, = 3, 5はともに問題にあっている 3 秒後,5 秒後 秒後,BQ= cm,ap= cm なので BP=8 cm 1 PBQ の面積 = ( 8 ) = 15 36
右の図のような, C= 90 である直角三角形 ABC がある いま, 点 P は A を出発して, 辺 AC 上を C に向かって毎秒 cm の速さで動き, 点 Q は C を出発して, 辺 CB 上を B に向かって毎秒 1cm の 速さで動く P,Q がそれぞれ A,C を同時に出発 してから何秒後に, PQC の面積が 15cm になる か 方程式をつくって求めよ 秒後に PQC の面積が 15cm になったとすると, 1 ( 16 ) = 15 8 = 15 8 + 15 = 0 3 5 = = 3, 5 ( )( ) 0 点 P は A から C まで動くので,0 8 点 Q は C から B まで動くので,0 10 よって, = 3, 5はともに問題にあっている 秒後には AP= なので,PC=16 また,CQ= 1 = PQC の面積 = ( 16 ) 15 37
[ 問題 ]( 学期期末 ) 右の図のような長方形 ABCD で点 P は毎秒 5cm, 点 Q は毎秒 cm の速さで, 頂点 A を同時に出発し, 矢印の向きに長方形の辺上を 1 周する P が辺 BC 上に,Q が辺 AB 上にあって, QBP=10cm になるのは, 点 P が頂点 A を出発してから何秒後か 方程式をつくって求めよ 秒後に,P が辺 BC 上に,Q が辺 AB 上にあって, QBP=10cm になるとすると, 1 ( 5 10) ( 10 ) = 10 式を整理すると, 7 + 1 = 0 ( 3 )( 4) = 0 = 3, 4 = 3のとき,P は辺 BC 上に,Q は辺 AB 上にあるので, 問題にあう = 4 のとき,P は辺 BC 上に,Q は辺 AB 上にあるので, 問題にあう 3 秒後,4 秒後 秒後に右図のような位置にあるとき, AQ= なので,BQ=10 AB+BP= 5 なので,BP= 5 10 ( QBP の面積 )= 1 BP BQ=10 なので, 1 ( 5 10) ( 10 ) = 10 38
( 10 + 70 100) = 10 1 5 + 35 50 10 = 0, ( 3 )( 4) = 0 5 = 3, 4 = 3, 4 ともに問題にあう + 35 60 = 0, 7 + 1 = 0 [ 問題 ]( 学期期末 ) 右の図のように, 直線 y = + 4 上の y 軸より右側に点 P をとり, P から 軸にひいた垂線を PQ とする 直線 y = + 4と 軸, y 軸との交点をそれぞれ R,S とする 点 P の 座標を a として, (1) 点 P の y 座標を a を使って表せ () 台形 SOQP の面積が 1 になるとき, 次の方程式を完成してそれを解き,P の座標を求めよ ( )=1 (1) () (1) = a + 4 1 (1) y = + 4に = a を代入すると, y = a + 4 y () ( 4 + a + 4) a,p (, 8) () SO= 4,OP= a + 4,OQ= a なので, 1 4 + a + 4 a = a + 4a 1 = 0, ( a )( a + 6) = 0 a > 0 なので, a = 6 は問題にあわない a = は問題にあう y = a + 4 = + 4 = 8, 8 ( 台形 SOQP の面積 )= ( ) 1 ゆえに, 点 P の座用は P ( ) 39
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