はじめに 講義資料 : 大槻東巳のホームページ, 講義資料からダウンロードする 今日の授業と資料を基に 1 月 29 日までに A4 用紙 1 枚でレポートを作成 課題はトポロジカル絶縁体とは何か? 提出先 :4-389A
トポロジカル絶縁体入門 物理学序論 上智大学物理領域 大槻東巳
2016 年のノーベル物理学賞 サウレス ハルデイン コスタリッツ ½ ¼ ¼ for theoretical discoveries of topological phase transitions and topological phases of matter
トポロジー https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2016/fig_fy_en_ 16_topology.pdf
アウトライン トポロジカル絶縁体 (topological insulator, TI) とは何か? 昔から知られていたトポロジカル絶縁体 : 量子ホール効果 (QHE) における量子ホール絶縁体 quantum Hall insulator (QHI) 量子ホール絶縁体以外のトポロジカル絶縁体の予言と発見 à 2 次元量子スピンホール系 (quantum spin Hall systems (QSHE)(HgTe)) と 3 次元 TI (Bi 2 Se 3 ) CdTe/HgTe/CdTe 量子井戸における量子スピンホール効果 GaN/InN/GaN 量子井戸の可能性 References : 1) 東北大学金属材料研野村健太郎准教授による講義ノート http://www-lab.imr.tohoku.ac.jp/~nomura/note.html 2) Review: M. Hasan, C. Kane: Rev. Mod. Phys. 82 (2010) 3045 3) Review: X.-L. Qi, S.-C. Zhang: Rev. Mod. Phys. 83 (2011) 1057 4) Miao et al., Topological Insulator Transition in a GaN/InN/GaN Quantum Well, PRL 109, 186803 (2012) 5) Photonic topological insulator 1: Haldane, Raghu: PRL 100, 013904 (2008) 6) Photonic topological insulator 2: Khanikaev et al.: Nature materials, 12 (2013)233
1. トポロジカル絶縁体とは? バンドギャップ絶縁体でギャップ内に端 / 表面状態をもつもの ただの表面状態でなく, トポロジカルな要因で保護されているため, ランダムネス, 電子間相互作用, 電子格子相互作用の影響を受けない 電流やスピンの方向が特徴的
2. 昔から知られていたトポロジカル絶 縁体,QHI in QHE R j 1 h j 1, 2,3, 2 je σ yx = e2 h j, σ xx = 0 絶縁体 4*"$'"#+B C,12) )#2 D%??%1 EFGHI 異なるタイプの絶縁相
量子ホール効果をトポロジカル数で解釈する 久保公式 Thouless et al. PRL 1982 周期ポテンシャルの場合, ブロッホ関数が固有関数 v=dh(k)/dk に注意 トークスの定理 0 IT rtt kl T 27T - qa
量子ホール効果から得られた教訓 バルクの波動関数が非自明な位相構造を持つ à この位相構造をトポロジカル数で定義 à 量子ホールコンダクタンスは e 2 /h x トポロジカル数となり厳密に量子化 トポロジカル数は整数のみを取るので, ある程度の摂動を受けてもコンダクタンスは変化しない à 10-9 の精度で量子化 この議論の弱点 : トポロジカル数はブロッホ関数で定義されているが, 量子ホール効果は乱れた 2 次元電子系で観測されている
バルク vs. エッジ描像 バルクのトポロジカル数が n の場合, n 本のエッジ状態がサンプルの端に現れる à バルクの波動関数のトポロジーをトポロジカル数 (Chern number) で定義する代わりに, 実験的には試料のエッジ状態を調べればよい http://physics.aps.org/articles/v2/15
エッジ描像の利点 エッジ電流は電流測定に直接きいてくる ランダムネスがあっても定義できる エッジ状態がランダムネス 相互作用に対して安定かどうかはある程度直感的に分かる
3. 量子ホール絶縁体以外の トポロジカル絶縁体に向けて 量子ホール効果の発見 1980 年, 分数量子ホール効果が 1982 年, それぞれにノーベル賞が授与され済み 2000 年代前半 à スピントロニクスの研究の発展 o 電流ではなく, スピンを流したい しかも磁石や磁場を使わず 2 次元系でスピンを流す : 時間反転対称性のある量子ホール効果 à 量子スピンホール効果 (QSHE) 2010 年前後 :3 次元のトポロジカル絶縁体 いずれもスピン軌道相互作用がキー
実際の物質 o 2D HgTe QSHE 後で詳しく述べる o 3D Bi 2 Se 3 (2009, Yu-Qi Xia, Zahid Hasan), Bi 0.9 Sb 0.1 (2008, David Hsieh, Zahid Hasan) Bi 2 Te 3 TlBiSe 2 ARPES With randomness H Zhang et al., Nature Physics, 2009
QSE に向けて : HgTe と CdTe の比較 s 軌道 heavy hole s 軌道 light hole
Hamiltonian s-orbital: Kramers doublet s > and s > p-orbital: p x + i p y >, -(p x - i p y ) > Near the Γ point: s+>, p x + i p y >, s->, -(p x - i p y ) > (Science 06) H(k), 2x2 行列 M = Es-Ep @ Γ 点 E(k) = ε(k) ± (M Bk 2 ) 2 + A 2 k 2
s と p の間のエネルギー M を変えると s p p M>0 M=0 s M<0
TI と他の表面状態の違い
エッジ状態はなぜ安定か? ( ランダムネス, 相互作用などに対して ) 偶数個の表面バンド à 不安定, 表面バンドの数は 0 か 1àZ 2 型
バルクのトポロジカル数がゼロで ないと表面 端状態が現れるわけ 真空ではトポロジカル数が0なので界面においてト ポロジカル数が不連続になってしまう トポロジカル数が0 真空 と有限の領域 TI を つなぐため ギャップレスの表面状態が現れる必要 がある NATURE Vol 464 11 March 2010 a NATURE Vol 464 11 March 2010 通常の絶縁体 a もしくは真空 PERSPECTIVE INSIGHT NATURE Vol 464 11 March 2010INSIGHT PERSPECTIVE 表面状態 b a ト ポ ロ ジ カ ル 絶 縁 Figure 1 Metallic states are born when a surface unties knotted electron b defined. If the topological invariants are always defined for an insulator, b
右側通行と左側通行の例 ( 物材機構胡博士のスライドより )
4. 2D realization in HgTe
Comparison of HgTe with Cd Te
HgTe の厚さを変えるとバンド反転
ではどうやってスピン電流を確認したか? Quantized 4 Termianl Conductance (Konig et al., Science 2007)
Ref. 7: Miao et al., Topological Insulator Transition in a GaN/InN/GaN Quantum Well PRL 109, 186803 (2012) ultrathin InN layers embedded into GaN 5 layers of InN (1.6nm thickness) Tunneling à 3D TI T. Nakaoka s idea
Weyl semimetal Weyl semimetal:h=±v (p±p 0 ) σ, E=±v p±p 0 surface states appear in certain direction. Huang et al., Nat. Commun. 6, 7373 (2015). Xu et al., Nature Phys. 11, 748 754 (2015)
Xu et al., Nature Phys. 11, 748 754 (2015) Weyl cones in NbAs
Weyl semimetal Weyl semimetal:h=±v (p±p 0 ) σ, E=±v p±p 0 surface states appear in certain direction. Huang et al., Nat. Commun. 6, 7373 (2015). Xu et al., Nature Phys. 11, 748 754 (2015)
Xu et al., Nature Phys. 11, 748 754 (2015) Weyl cones in NbAs
band insulator to WSM ε band Insulator k p パラメータを変える Weyl semimetal E=vk s randomness
WSM の表面状態 β=0.45 W=0.8 β=0.45 W=1.7 β=0.45 W=2.2
まとめ トポロジカル絶縁体 à 電流やスピンの向きが偏った端 表面状態をもつ これらの状態は摂動によっても壊されない トポロジカル絶縁体は 2 種類に分かれる : 量子ホール型 (Z 型 ) と量子スピンホール型 (Z 2 型 )