/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 午前 時 分量子力学とクライン ゴルドン方程式 ( 学部 年次秋学期向 量子力学とクライン ゴルドン方程式 素粒子の満たす場 (,t の運動方程式 : クライン ゴルドン方程式 : æ ö ç å è = 0 c + ( t =, 0 (. = 0 ì æ = = = ö æ ö æ ö ç ì =,,,,,,, ç 0 = ç Ñ 0 = ç Ñ 0 Ñ Ñ z Ñ = è è ç è í Ü íñ = 0 = æ = = = ö æ ö æ ö ç =,,, =,-Ñ =,-Ñ, -Ñ,-Ñ ç ç ç z z 0 0 Ñ = è è 0 ç î z î è (. を導く 素粒子のエネルギー ( E と運動量 ( と質量 ( の間には æ ö 4 E = c + c Ü = ç,, ç z (. è のアインシュタインの関係式がある 或いは E - c = c 4 である これを 量子論での状態 ( t に適用するには (.4 を演算子 ˆ の固有値と見なして ˆ に置き換え : ( t Þ ˆ ( t ì ( t Þ ˆ ( t í t t î z z Þ ˆ ( t Þ ˆ ( t (.5 E をハミルトニアン Ĥ の固有値と見なして Ĥ に置き換え : E ( t Þ Hˆ ( t (.6 て ( E - c ( t = c 4 ( t ( Hˆ - c ˆ ( t = c 4 ( t (.7 と変更する また ( t は 量子力学の運動方程式 :
/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 午前 時 分量子力学とクライン ゴルドン方程式 ( 学部 年次秋学期向 Ĥ t t t = (.8 に従う ここで (.7 を時間 t と位置 の微分で表される方程式 に変換することで場の運動方程式が得られる 時間の微分まず 時間の微分で表わすため (.8 を (.7 に代入すると なので ( Hˆ - c ˆ t = Hˆ t - c ˆ t = æ ö ç t - c ˆ ( t (.9 è t ( ˆ ˆ æ ö H - c ( t = ç ( t - c ˆ ( t è t (.0 を得る 運動量 と座標 次に (.0 の第 項の 運動量演算子 ˆ を通常の数 ( 次元ベクトル にする ために 運動量演算子 ˆ の固有状態 を æ ö ˆ = ( =,, Ü = ç,, ç z è = d - で導入する 更に 完全性条件 ( z (. d = I d = d d d (. を満たす また 同様に 位置演算子を導入し を位置演算子 ˆ の固有状態 の固有値 として æ ö ˆ = ( =,, Ü = ç,, z ç è = d - で導入する 更に 完全性条件 d = I d = dddz (. (.4
/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 午前 時 分量子力学とクライン ゴルドン方程式 ( 学部 年次秋学期向 を満たす ちなみに (. と (.4 を成分で表示すると = z (.5 であり と ì ˆ z = z ˆ ˆ = Þ í z = z î ˆ z = z z = d - Þ = d - d - d - z z ( ( ( z z d = I Þ z dddz z = I である 運動量演算子 ˆ は位置演算子 ˆ と量子力学の基本的な交換関係 : ì, =,, ì ˆ ˆ ( ˆ ˆ ˆ ˆ, ù = - = d í Ü í æ ö æ ö ˆ, ˆ ˆ, ˆ 0 ˆ ˆ, ˆ, zˆ, ˆ ˆ, ˆ, ˆ ù = ù ç ç z î = = = ç ç î è è を満たす 逆に (.6 (.7 (.8 ˆ, ù = d を満たす演算子を運動量と見なすのが 量子力学での運動量の定義である ( 付録 Ⅰ. 座標に依存する運動量参照 運動量演算子 ˆ を通常の数 ( 次元ベクトル にする (. を用いると (.0 の第 項は = I = ( d = ˆ ˆ ˆ ˆ d c t c t c t c t ˆ = = c ( t d (.9 と計算できる ここに ( t は数学の表記では の関数なので (,t = ( t (.0 と表して = ( t = ˆ, (. c t c d c t d である 従って を得る ( ˆ ˆ æ ö - ç - (, H c t = t c t d è t (.
4/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 午前 時 分量子力学とクライン ゴルドン方程式 ( 学部 年次秋学期向 の微分で表す次に æ ö ç è t (.:( Hˆ - c ˆ ( t = ( t - c (, t d の の微分で表すために (.4 用いて ( t = I ( t = ( d ( t = d ( t,t d を (. ここで (.0 のように 関数表記を とすれば なので (,t = ( t = ( t = (, t (.4 t d d (.5 になる これ なので ( t (, = t d (.6 æ ö æ ö ç ( t = ç (, t d t (.7 è è t æ ö æ ö ç ( t = (, t d t ç t (.8 è è を得る また (. の第 項は (, = (, = ( (, c t d c I t d c d t d になる 従って (, (, = c d t d = c t dd (, = (, c t d c t d d (.9 (.0 ここで を計算する必要がある 交換関係 ˆ, ˆ ù = d 量子力学の基本的な交換関係 (.8 ˆ, ˆ ù = d ˆ と ( t
5/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 午前 時 分量子力学とクライン ゴルドン方程式 ( 学部 年次秋学期向 つまり ( t = ˆ ˆ ù = ( ˆ ˆ - ˆ ˆ d, t t ˆ = ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ t = t - ( t = - = ˆ - ˆ ˆ (. d t t t (. ( t ˆ ( t - ( t ˆ ˆ = d (. である ここで = d (, =,, (.4 に注意して ( t ˆ ( t - d ( t ˆ ˆ = と書き直し 微分の公式 : fg f g = g + f = ˆ, ( t - ( t (, =, (.5 (.6 を用いて得られる を代入し f f = g f g= ( t ( t ù = ( t + ( t Þ g ( t = ( t ù - ( t ( t ˆ ( t - ( t ˆ ˆ = æ ö = ˆ ( t - ( t ( t ç ù - è = ˆ ( t - ( t ù + ( t ù = ˆ ê ( t + ( t ú - ( t ù ê ú (.7 (.8
6/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 午前 時 分量子力学とクライン ゴルドン方程式 ( 学部 年次秋学期向 ˆ ˆ + ê ê ( t = - ( t ù ˆ ( t + ( t ù ú ú (.9 である この関係式が 自動的に成り立つ場合があり = 0 ù ˆ ˆ ˆ t = - t ù + ê ( t + ( t ú ê ú とすればよい つまり ˆ - ( t = ( t (.40 (.4 であり ì ˆ í ˆ î ( t = - ( t ( t = - ( t ˆ を得る 従って 演算ルールとして ù (.4 ˆ ˆ f t f t ù,, = - ( = (.4 がわかる それぞれ ì f ( ˆ = ( Þ f = : ˆ ( t = - ( t í f ( ˆ = ˆ ( : ˆ ˆ Þ f = ( t = - ( t ù î として (.4 を再現できる そのとき である ˆ, ˆ ù ( t d ( t = が自動的に成り立つ ˆ, ˆ ù = d (, =,, が成り立つ (, =,, (.44 場の方程式 (.0 は (, = (, c t d c t dd (.45 であるが (.4 を ( t の代わりに に適用し
7/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 午前 時 分量子力学とクライン ゴルドン方程式 ( 学部 年次秋学期向 ˆ ˆ t = - t Þ = - Þ ˆ = = - ˆ = (.46 = = (,, (.47 を得る ( 付録 Ⅱ. を関数で表す 付録 Ⅲ. フーリエ変換と 参照 これに ( =,, を ( =,, で表す ことができる 従って (.45 の は = + + = + + = + + = + + = + + = - ç + ç ç ê æ ö æ ö æ ö = ç + ç + ç è è è æ ö æ ö æ ö ù = êç + ç + ç ú êè è è ú æ ö æ ö æ ö ù ê + ú è è è ú æ ö æ ö ç + k ç + k è z è z = - + + + k z = - Ñ Ñ = - Ñ Ü Ñ = + æ ö ç z è z = - Ñ Ü Ñ = + + k 或いは = + + k がわかる 従って (.45 は (.48 (.49
8/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 午前 時 分量子力学とクライン ゴルドン方程式 ( 学部 年次秋学期向 (, = (, c t d c t d d = c (- Ñ (, ( (, t (, t d t dd = - c Ñ = - c Ñ dd d (.50 今度は (,t = ( t (,t を ( t (, = - Ñ (, t c t d c d d (, t = ( t に戻すと ( ( t ( d c ( d ( t = - c Ñ d d = - c Ñ t d= - Ñ d d = I = (, t = ( t と計算できるので ( t d ( t - c Ñ I = - c Ñ d (, = - c Ñ t d (.5 (, = - Ñ (, c t d c t d (.5 を得る 以上から (. は (.8 と (.5 を用いて ( ˆ ˆ æ ö H - c ( t = ç - c (, t t d è t = - æ ö ç è t (, t d - - c Ñ (, t ( d æ æ ö ö = - c ç (, t d - Ñ (, t d ç è ct è æ ö ù = - c êç - Ñ ú (, t d ê è ct ú (.5 ù H c t c t d ê è ct ú ( ˆ ˆ æ ö - = - êç - Ñ ú (, と計算できる 従って (.7: ( Hˆ - c ˆ ( t = c 4 ( t は (.6 と (.54 を用いて (.54 (.55
9/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 午前 時 分量子力学とクライン ゴルドン方程式 ( 学部 年次秋学期向 ì ( ˆ æ ö ù H - c ˆ ( t = - c ê ç - Ñ ú (, t d í ê è ct ú 4 4 c ( t = c (, t d î æ ö ù 4 - c êç - Ñ ú (, t d = c (, t d ê è ct ú æ æ ö ö Þ ê c - Ñ ç ç ct + ê è è Þ c 4 c ù ú (, t d = 0 ú æ ö c ù êç - Ñ + ú (, t d = 0 ê è ct ú (.56 (.57 すべての に対して成立するので æ ö c ù êç - Ñ + ú (, t = 0 (.58 ê è ct ú を得る これをクライン ゴルドンの方程式という 省略記号 を用いて æ ö = ç - Ñ ct è æ c ö ç + (, t = 0 è (.59 (.60 と表す事が多い 4 次元ベクトル表記 (.58 の時間微分と空間微分は まとめることができ 0 0 = = ct (.6 とするとき を用いて ( 0 = 0,,, =,,, = ( ct, = ( ct,,, z 4 次元座標 : ( = 0,,, = (,,, = (, - = (,-,-,- ct ct z 0
0/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 午前 時 分 量子力学とクライン ゴルドン方程式 ( 学部 年次秋学期 向 = 0 ì æ = = = ö æ ö æ ö ç ì =,,,,,,, ç 0 = ç Ñ 0 = ç Ñ 0 Ñ Ñ z Ñ = è è ç è í Ü íñ = 0 = æ = = = ö æ ö æ ö ç =,,, =,-Ñ =,-Ñ, -Ñ,-Ñ ç ç ç z z 0 0 Ñ = è è 0 ç î z î è の 4 次元微分から (.6 å = + + + 0 = 0 0 = + Ñ + Ñ + Ñ 0 0 (-Ñ (-Ñ (-Ñ z 0 = ct æ ö æ ö æ ö ç 0 ( z z ç 0 ç = - Ñ Ñ + Ñ Ñ + Ñ Ñ = - Ñ = - Ñ è è è ct z (.6 を得るので å = æ ö = ç - Ñ 0 è ct (.64 である 従って (.58 は æ ö c ù æ c ö êç - Ñ + ú (, t = 0 Þ + (, t = 0 è ct ç å (.65 ê ú = 0 è と 4 次元座標 ( = 0,,, の微分で表す事ができる 従って あるいは して æ c ö ç å è = 0 + ( t = 和記号を省略, 0 (.66 æ c ö + (, t 0 = ç è (.67 更に = 微分記号の省略表記 : =
/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 午前 時 分 量子力学とクライン ゴルドン方程式 ( 学部 年次秋学期 向 を用いて æ c ö ç + (, t = 0 è (.68 と表される 同様に アインシュタインの関係式 (.4: E - c = c 4 は 0 0 = = E c (.69 とするとき ì 0 æ E ö æ E ö ( = 0,,, = (,,, = ç, = ç,,, z è c è c 4 次元運動量 í E E ( = 0,,, = ( 0,,, = æ ö æ ö ç, -,,, z c = ç - - - î è è c を用いて E E 0 å = 0 + + + = + + + z z = 0 c c - ( z z æ E ö E E c = ç - + + = - = è c c c (- (- (- (.70 なので E - c = c å = 0 (.7 がわかる 従って アインシュタインの関係式 : E - c = c 4 4 c å = c = 0 å = 0 = c (.7 を得る あるいは 和記号を省略 した = c (.7 になる 付録 Ⅰ. 座標に依存する運動量
/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 午前 時 分 量子力学とクライン ゴルドン方程式 ( 学部 年次秋学期 向 正確には ˆ ( t + ( t は (.4 のように 0 である必要は無く ì ˆ : ˆ t 変数はと ( t は演算子 なので と tの関数 í ( t : と tなので と tの関数 î K,t とする であればよい そのとき =,, に注意し に気がつくと ある の関数 ( ì ˆ ( t + ( t = K (, t í ˆ ( t + ( t = K (, t ˆ ( t + ( t = K (, t î と表せる 従って (.4 の代わりに ì ˆ ( t = - ( t + K (, t í ˆ ˆ t = - t ù + K, t î が得られる これは 演算子 ˆ の関数 : B ( ˆ, t ( =,, ˆ = ( ˆ, t = B (, t = B (, t B (. の性質を用いると ˆ ( ˆ ˆ + B, t ù t = ( t + B ( ˆ, t ( t = ˆ t + B, t t = ˆ t + K, t なので ( ˆ, t ( t = (, t ( t = (, t (. (. B B K (.5 (.4 と見なすことができる つまり 新たな 運動量演算子として ˆ ˆ = + B ˆ, t =,, (.6 を選ぶことができる このときの演算ルールは ˆ ( ˆ f ( t = - f ( t ù + f ( B (, t ( t ( =,, (.7 になり (.4 とともに用いる それぞれ
/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 午前 時 分 量子力学とクライン ゴルドン方程式 ( 学部 年次秋学期 向 K ì f ( ˆ = ( Þ f = : ˆ ( t = - ( t + B (, t ( t í K (, t f ( ˆ = ˆ ( : ˆ ˆ Þ f = ( t = - ( t ù + B (, t ( t î として (. を再現できる また 基本的な交換関係 :(.8 は = 0 ˆ, ˆ ˆ, ˆ ( ˆ, ˆ, ˆ ˆ, ( ˆ, ˆ, ˆ ù = + B t ù = ù + B t ù = ù = d (, t (.8 ˆ, ˆ,, ˆ ˆ ˆ ù = d = Ü = + B, t (.9 と変更されない ˆ, ù = d を満たす演算子が運動量なので ˆ = ˆ + ( ˆ, B は運動量 t であるとがわかる よく知られている例は 電磁場のある場合の素粒子の運動 であり 電荷を eq ( Q = - : 電子 Q = : 陽子など 電磁場を A(, t Þ B (, t = eqa(, t とすると ˆ = ˆ + eqa ˆ, t =,, (.0 になり 電子のハミルトニアンは Hˆ ( t ù ˆ ˆ + eqa = + = ˆ, + e e (. で与えられる Ⅱ. を関数で表す (.47 の関係式 : = ( =,, = =,, (. (. であり 成分表記すると
4/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 午前 時 分 量子力学とクライン ゴルドン方程式 ( 学部 年次秋学期 向 = (.4 = = である 公式 e a = ae を用いると (.4 は ì = í a = î とすれば (.5 (.6 (.7 (.8 e = e = e がわかる従って 比例係数を A として (.9 = Ae (.0 更に (.5 も同時に成り立つので 同様にして æ ö A = Þ ç Ae = e = Ae è A Þ = A (. 新たな比例係数を B として A = Be となり (.0 ( + = Ae = Be e = Be (. を得る 更に (.6 新たな比例係数を C として ( + + = Ce 比例係数 とわかる ベクトルの内積 + + = を用いて (. から ( C : (. (.4 ( C : = Ce 比例係数 (.5
5/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 午前 時 分 量子力学とクライン ゴルドン方程式 ( 学部 年次秋学期 向 を得る これ = ( (.6 も 求められ * - * æ ö æ ö = ( = ç Ce = ç Ce = C e è è (.7 なので を得る - ( C : * = C e 比例係数 (.8 Ⅲ. フーリエ変換と フーリエ変換が自動的に現れることを見る まず = Ce * = C e - (.9 および d d = I = I を用いる 関数 f = f (,, z は f を量子状態 f とみなせば (.0 f = f (. で表されるので (.0 を用いて 関数として f f = f I = d f = d f = f d (. = f = f (. なので = f = f f d d 従って (.9 を用いれば (.4 = = = f f d Ce f d C f e d (.5
6/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 午前 時 分 量子力学とクライン ゴルドン方程式 ( 学部 年次秋学期 向 なので f = C f e d (.6 f のフーリエ変換を表す ことになる 同様にして f f = f = d f = = I f ( d - * - * = f d = C e f d = C f e d (.7 - f * = C f e d (.8 がわかる これを (.6 のフーリエ逆変換を表すことになる フーリエ変換とフーリエ逆変換を同時に行うと元に戻る この性質 つまり - - * = = = ( f C f e d C C f e de d C f e e d d ( ( - = C f e d d ( ( - æ ö = C f ç e d d è (.9 æ ( - ö f = C f ( ç e d d (.40 è を得る ここで ì ( - d - = e d デルタ関数 : í ( = d ( - f f d î ì ( ( ( z z z ù - + - + - d ( d ( d ( d ( z z - = - - - = e d d d ( í f = f (,, z = f (,, z d ( - d ( - d ( z - z d d dz î を思い起こせば z (.4 (.4
7/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 午前 時 分 量子力学とクライン ゴルドン方程式 ( 学部 年次秋学期 向 なので æ ( - ö f C f ( = ç e d d è C ( ( d ( - ( f ( d ( - = C f d = C d = C ( f を得る 以上から (.4 = Þ C = ( = 実数とする (.44 f = f e d ( ( ( - f = f e d = e - (.45 を導けた