2 章図形と角の性質 () 鋭角 (2) 直角 () 鈍角 (4) 平行 :A//D 垂直 :A D 2 () x= 60 (2) x= 80 () x= 07 (4)60 (5)20 () e (2) g () f (4) c (5) w (6) s (7) x (8) r 4 () x = 65 (2) x = 45 () x = 85 y = 60 (4) x = 02 (5) x = 45 y = 85 (6) x = 55 y = 40 (7) x = 80 (8) x = 70 (9) x = 40 (0) x = 0 5 () AD 2 DE DE 4 AD 5 DE 6 DE( AE) 7 ADE=80 (2) ED 2 ED A 4 DE 6 a + b = 80 より a = 80 b b + c = 80 より c = 80 b 2,2より a = c となる 7 PQ // ST で 平行線の錯角は等しいので PQR= QRS QPR= PRT 2,2より PQR の内角の和 = PRQ+ PQR+ QPR = PRQ+ QRS+ PRT = TRS=80 8 ()PQ // RT で 平行線の錯角 同位角は等しいので PQR= QRT QPR= TRS 2 +2より PQR+ QPR = QRT+ TRS= QRS (2) () より QPR+ PQR= PRS RST+ RTS= PRS 2,2の右辺が等しいので QPR+ PQR= RST+ RTS 9 () x+ z (2),2 a, c ( 順不同 ) () 対頂角 0 () 鋭角三角形 (2) 直角三角形 () 鋭角三角形 (4) 鈍角三角形 (5) 直角三角形 (6) 鈍角三角形 2 つの鈍角の和は 80 より大きくなるため 三角形を成すことができない 2 () 55 (2) 65 () 28 (4) 96 40 4 () 対頂角 (2) 同位角 () 錯角 5 () 25 (2) 50 () 56 (4) 65 (5) 25 (6) 50 (7) 45 6 () 鋭角 (2) 鈍角 () 直角 7 () x = 46, y = 2 (2) x = 0, y = 40 8 ア.80 イ.80 ウ.80 c エ.80 オ. 80 c カ.z 9 () DPQ, PQ (2)05 章多角形の内角 外角 80 280 80 4540 5540 680 () 4 5 6 7 n (2) 2 4 5 n 2 () 60 540 720 900 80 ( n 2 ) 2 720 2720 20 420 560 660 760 8720 980 080 080 2080 720 460 ()5 (2)44 ()0 (4)24 (5) 九角形 (6) 角形 (7) 正五角形 (8) 正二十角形 4 () 50 (2) () 45 (4) 7 5 () 5 (2) 68 () 72 (4) 40 6 ア.80 イ.80 ウ.80 エ. オ.540 7 ()n 2 280 80( n 2) (2)A.80.80.80 D. E.540 F.80 G.60 H. 80 n I. 80( n 2) J. 80 n K. 80( n 2) L.60 8 80 9 () 十三角形 (2) 正十八角形 ()40 (4) 45 (5) 正六角形 0 ()80 (2)45
4 章三角形の合同 () 合同 (2) DEF 2 DFE FDE () PRQ 2 PQR A 2 () 40 (2) A FDE () 辺 DF (4) 辺 DE 辺がそれぞれ等しい 2 辺とその間の角がそれぞれ等しい 辺とその両端の角がそれぞれ等しい 4 () (2) 4cm 5cm () () の場合 : 書くことはできない (2) の場合 : 書くことはできない 5 と 4 辺とその両端の角がそれぞれ等しい と 5 2 辺とその間の角がそれぞれ等しい 6 と 8 辺がそれぞれ等しい 6 () AD 辺とその両端の角がそれぞれ等しい (2) DA 辺がそれぞれ等しい () AD 2 辺とその間の角がそれぞれ等しい (4) OD 辺とその両端の角がそれぞれ等しい 7 と同じ 8 () 四角形 AD 四角形 HGFE (2) 70 () 辺 HG 9 () 5cm 60 6cm cm 45 5cm 60 (2) 書くことはできない 0 A UST: 辺がそれぞれ等しい GHI ONM: 辺とその両端の角がそれぞれ等しい JKL WVX:2 辺とその間の角がそれぞれ等しい A ADE 2 辺とその間の角がそれぞれ等しい 2 () ADE=5 A=5 (2) ADE A 辺とその両端の角がそれぞれ等しい 5 章合同と証明 [ 仮定 ] l//m [ 結論 ] a= b 2 [ 仮定 ] A=D, AD= [ 結論 ] AD D [ 証明 ] AD と D で D=D ( 共通 ) A=D ( 仮定 ) 2 AD= ( 仮定 ),2,より 辺がそれぞれ等しいので AD D [ 仮定 ] OA=O, OA= OD=90 [ 結論 ] OA OD [ 証明 ] OA と OD で OA=O ( 仮定 ) OA= OD ( 仮定 ) 2 OA= DO ( 共通 ),2,より 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので OA OD 4 [ 仮定 ] A // D, OA=OD [ 結論 ] OA OD [ 証明 ] OA と OD で OA=OD ( 仮定 ) AO= DO ( 平行線の錯角 ) 2 AO= DO ( 対頂角 ),2,より 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので OA OD 5 [ 仮定 ] AO O, AO=O, DO=O [ 結論 ] OA OD [ 証明 ] OA と OD で AO=O ( 仮定 ) O=DO ( 仮定 ) 2 AO= OD=90 ( 共通 ),2,より 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので OA OD 6 [ 仮定 ] AM, M=M [ 結論 ] AM AM [ 証明 ] AM と AM で M=M ( 仮定 ) AM= AM=90 ( 仮定 ) 2 AM=AM ( 共通 )
,2,より 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので AM AM 7 () 正しい逆 :n は偶数ならばn は 4 の倍数である 正しくない (2) 正しい逆 : a = b ならばa +b = である 正しい () 正しくない逆 : x =, y= ならば x+ y= 4 である 正しい (4) 正しい逆 : = F ならば A DEF である 正しくない (5) 正しい逆 : a= b ならばl //m である 正しい 8 [ 仮定 ] A=D, AD= [ 結論 ] AD= D [ 証明 ] AD と D で A=D ( 仮定 ) AD= ( 仮定 ) 2 D=D ( 共通 ),2,より 辺がそれぞれ等しいので AD D 合同な図形の対応する角の大きさは等しいので AD= D 9 [ 仮定 ] AE= AD, A=A [ 結論 ] D=E [ 証明 ] AE と AD で AE= AD ( 仮定 ) A=A ( 仮定 ) 2 AE= AD ( 共通 ),2,より 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので AE AD 合同な図形の対応する辺の長さは等しいので D=E 0 [ 仮定 ] OA=OD, O=O [ 結論 ] A//D [ 証明 ] OA と OD で OA=OD ( 仮定 ) O=O ( 仮定 ) 2 AO= DO ( 対頂角 ), 2, より 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので OA OD 合同な図形の対応する角の大きさは等しいので OA= OD ( OA= OD でも可 ) よって錯角が等しいので A//D [ 仮定 ] OT=OS, TR=SR [ 結論 ] XOR= YOR [ 証明 ] TOR と SOR で OR=OR ( 共通 ) OT=OS ( 仮定 ) 2 TR=SR ( 仮定 ),2,より 辺がそれぞれ等しいので TOR SOR 合同な図形の対応する角の大きさは等しいので XOR= YOR 2 () 仮定 :x >0, y >0 結論 : xy >0 (2) 正しい () xy >0 ならば x >0, y >0 である (4) 正しくない理由 : xy >0 ならば x <0, y <0 の場合も考えられるため x >0, y >0 とは限らないから [ 仮定 ] A D, OA=O, O=OD [ 結論 ] A= AD [ 証明 ] O と OAD で O=OA ( 仮定 ) O=OD ( 仮定 ) 2 O= AOD=90 ( 仮定 ), 2, より 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので O OAD 合同な図形の対応する角の大きさは等しいので A= AD 4 [ 仮定 ] A=D, A//D [ 結論 ] O は AD の中点 (OA=OD) [ 証明 ] OA と OD で A=D ( 仮定 ) OA= OD ( 平行線の錯角 ) 2 OA= OD ( 平行線の錯角 ), 2, より 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので OA OD 合同な図形の対応する辺の長さは等しいので OA=OD よって O は AD の中点になる 5 [ 仮定 ] A=D, AD= [ 結論 ] A//D [ 証明 ] AD と D で D=D ( 共通 ) A=D ( 仮定 ) 2 AD= ( 仮定 ),2,より 辺がそれぞれ等しいので AD D
合同な図形の対応する角の大きさは等しいので AD= D よって錯角が等しいので A//D 6 () [ 仮定 ]AP=P, AQ=Q [ 結論 ] APQ= PQ [ 証明 ] APQ と PQ で AP=P ( 仮定 ) AQ=Q ( 仮定 ) 2 PQ=PQ ( 共通 ),2, より 辺がそれぞれ等しいので APQ PQ 合同な図形の対応する角の大きさは等しいので APQ= PQ (2) ア. 80 イ. 90 ウ.90 6 章二等辺三角形 () 二等辺三角形 (2) 底角 () 頂角 (4) 二等分線 2 定義 :2 つの辺の長さが等しい三角形定理 : 二等辺三角形の底角は等しい / 二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する ()[ 仮定 ] A=A, M=M [ 結論 ] AM= AM, AM= AM [ 証明 ] AM と AM で A=A ( 仮定 ) M=M ( 仮定 ) 2 AM=AM ( 共通 ), 2, より 辺がそれぞれ等しいので AM AM 合同な図形の対応する角の大きさは等しいので AM= AM, AM= AM (2) () より AM AM で 合同な図形の対応する角の大きさは等しいので AM= AM また,M, は同じ線分上の点なので AM+ AM=80 2,2 より AM= AM=90 よって AM () 二等辺三角形の底角は等しい 4 ()5 (2)65 ()88 (4)78 5 [ 仮定 ] A=A, AD= AF [ 結論 ] AD=AE [ 証明 ] AD と AE で A=A ( 仮定 ) AD= AE ( 仮定 ) 2 AD= AE ( 二等辺三角形の定理 ),2, より一辺とその両端の角がそれぞれ等しいので AD AE 合同な図形の対応する辺の長さは等しいので AD=AE 6 二等辺三角形の底角は等しい 二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する 7 [ 仮定 ]A=A, AE=AD [ 結論 ] E=D [ 証明 ] AE と AD で A=A ( 仮定 ) AE=AD ( 仮定 ) 2 AE= AD ( 共通 ),2, より二辺とその間の角がそれぞれ等しいので AE AD 合同な図形の対応する辺の長さは等しいので E=D 8 [ 仮定 ]A=A, AM= AM [ 結論 ] PM PM [ 証明 ] PM と PM で PM=PM ( 共通 ) M=M ( 二等辺三角形の定理 ) 2 PM= PM=90 ( 二等辺三角形の定理 ),2, より二辺とその間の角がそれぞれ等しいので PM PM 9 () 2 つの辺が等しい三角形 (2) 2 つの辺の長さが等しい 22 つの角の大きさが等しい 0 [ 仮定 ] A= A, AH [ 結論 ] AH AH, A=A [ 証明 ] AH と AH で A= A ( 仮定 ) AH= AH=90 ( 仮定 ) 2,2 より三角形の 2 つの角がそれぞ れ等しいので 残りの角も等しい よって AH= AH AH=AH ( 共通 ) 4 2,,4 より一辺とその両端の角がそれぞれ等しいので AH AH 合同な図形の対応する辺の長さは等しいので A=A (2) 2 つの角の大きさが等しい三角形は二等辺三角形 [ 仮定 ] A=A, D=E [ 結論 ] F は二等辺三角形
D と E で D=E ( 仮定 ) = ( 共通 ) 2 D= E ( 二等辺三角形の定理 ),2, より 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので D E 合同な図形の対応する角の大きさは等しいので D= E 2 つの角の大きさが等しいので F は二等辺三角形 2 2 と同じ 2 つの辺の長さが等しい 2 つの角の大きさが等しい 4 ()74 (2)2 ()66 (4)04 (5)6 5 [ 仮定 ]A=A, AD= AD [ 結論 ] D は二等辺三角形 [ 証明 ] AD と AD で A=A ( 仮定 ) AD= AD ( 仮定 ) 2 AD=AD ( 共通 ),2, より 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので AD AD 合同な図形の対応する辺の長さは等しいので D=D 2 つの辺の長さが等しいので D は二等辺三角形 6 [ 仮定 ] A=D, A=D [ 結論 ] E は二等辺三角形 [ 証明 ] A と D で A=D ( 仮定 ) A=D ( 仮定 ) 2 = ( 共通 ),2, より 辺がそれぞれ等しいので A D 合同な図形の対応する角の大きさは等しいので A= D 2 つの角の大きさが等しいので E は二等辺三角形 7 [ 仮定 ]AO=O, A l [ 結論 ] PA は二等辺三角形 [ 証明 ] PAO と PO で AO=O ( 仮定 ) POA= PO=90 ( 仮定 ) 2 PO=PO ( 共通 ),2, より 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので PAO PO 合同な図形の対応する辺の長さは等 しいので PA=P 2 辺の長さが等しいので PA は二等辺三角形 7 章直角三角形 正三角形 斜辺と つの鋭角がそれぞれ等しい斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい 2 () (2) 90 より小さい角 () 斜辺と つの鋭角がそれぞれ等しい (2)90 x 2 90 x E ()D 2DE E 4 辺とその両端の角がそれぞれ等しい 4 () 斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい (2) 80 2 二等辺 F () 90 2DF F 4( 直角三角形の ) 斜辺と つの鋭角がそれぞれ等しい 5 [ 仮定 ] PA OX, P OY, PA=P [ 結論 ] AOP= OP [ 証明 ] OAP と OP で OP=OP ( 共通 ) PAO= PO=90 ( 仮定 ) 2 PA=P ( 仮定 ),2,より直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいので OAP OP 合同な図形の対応する角の大きさは等しいので AOP= OP 6 [ 仮定 ] A=A, M=M, MD A, ME A [ 結論 ] MD=ME [ 証明 ] DM と EM で M=M ( 仮定 ) DM= EM=90 ( 仮定 ) 2 DM= EM ( 二等辺三角形の定理 ),2,より直角三角形の斜辺と つの鋭角がそれぞれ等しいので DM EM 合同な図形の対応する辺の長さは等しいので MD=ME 7 定義: 辺が等しい三角形定理 : 正三角形の つの内角はすべて等しい 8 [ 仮定 ] A==A, AM=M, AMP= MQ [ 結論 ] PM=QM [ 証明 ] AMP と MQ で
AM=M ( 仮定 ) AMP= MQ ( 仮定 ) 2 MAP= MQ=60 ( 正三角形の定理 ),2, より 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので AMP MQ 合同な図形の対応する辺の長さは等しいので PM=QM 9 [ 仮定 ] A==A, P=PQ=Q [ 結論 ] AQ= P [ 証明 ] AQ と P で A= ( 仮定 ) Q=P ( 仮定 ) 2 正三角形の内角はすべて等しく 60 であるので AQ= P=60,2, より 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので AQ P 合同な図形の対応する角の大きさは等しいので AQ= P 0 [ 仮定 ] A=P=PA, A=Q=QA [ 結論 ] P=Q [ 証明 ] AP と AQ で AP=A ( 仮定 ) A=AQ ( 仮定 ) 2 正三角形の内角はすべて等しく 60 なので PA= AQ=60 また PA= PA+ A=60 + A AQ= AQ+ A=60 + A よって PA= AQ,2, より 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので AP AQ 合同な図形の対応する辺の長さは等しいので P=Q [ 仮定 ] PQ=QR=RP, PS=ST=TP [ 結論 ] SQ=TR [ 証明 ] PSQ と PTR で PS=PT ( 仮定 ) PQ=PR ( 仮定 ) 2 正三角形の内角はすべて 60 なので SPT= QPR=60 SPQ= SPT- QPT=60 - QPT TPR= QPR- QPT=60 - QPT よって SPQ= TPR,2, より 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので PSQ PTR 合同な図形の対応する辺の長さは等 しいので SQ=TR 2 斜辺と つの鋭角がそれぞれ等しい斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい 定義: 辺が等しい三角形定理 : 正三角形の つの内角はすべて等しい 4 A IGH: 斜辺と つの鋭角がそれぞれ等しい JKL RQP: 斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい 5 () x =87, y =27 (2) x =75, y =50 6 [ 仮定 ] AM=M, AM= DM=90 [ 結論 ] A=D [ 証明 ] AM と DM で AM=M ( 仮定 ) AM= DM=90 ( 仮定 ) 2 AM= M ( 対頂角 ),2,より直角三角形の斜辺と つの鋭角がそれぞれ等しいので AM DM 合同な図形の対応する辺の長さは等しいので A=D 7 [ 仮定 ] PQ=QR=RP, PS=RT [ 結論 ] RS=QT [ 証明 ] PRS と RQT で PR=RQ ( 仮定 ) PS=RT ( 仮定 ) 2 SPR= TRQ=60 ( 正三角形の定理 ),2,より 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので PRS RQT 合同な図形の対応する辺の長さは等しいので RS=QT 8 [ 仮定 ] AP= AP, PQ A, PR A [ 結論 ] PQ=PR APQ と APR で AP=AP ( 共通 ) PQA= PRA=90 ( 仮定 ) 2 QAP= RAP ( 仮定 ),2,より直角三角形の斜辺と つの鋭角がそれぞれ等しいので APQ APR 合同な図形の対応する辺の長さは等しいので PQ=PR 9 () AE=20, D=20 (2) AE と D で
AE=D ( 仮定 ) A= ( 仮定 ) 2 () より AE= D=20,2,より 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので AE D 合同な図形の対応する辺の長さは等しいので E=D 20 () 90 a 290 a a (2) AQ () AP と AQ で A=A ( 仮定 ) AP= QA=90 ( 仮定 ) 2 (2) の結果より PA= AQ,2,より直角三角形の斜辺と つの鋭角がそれぞれ等しいので AP AQ 合同な図形の対応する辺の長さは等しいので P=AQ 2 [ 仮定 ] DA=A=D, E==E [ 結論 ] AE=D [ 証明 ] AE と D で A=D ( 仮定 ) E= ( 仮定 ) 2 正三角形の内角はすべて 60 なので AD= E=60 AE= AD+ DE=60 + DE D= E+ DE=60 + DE よって AE= D,2,より 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので AE D 合同な図形の対応する辺の長さは等しいので AE=D 8 章平行四辺形 定義 :2 組の向かい合う辺がそれぞれ平行である四角形定理 : 向かい合う辺はそれぞれ等しい向かい合う角はそれぞれ等しい対角線はそれぞれの中点で交わる 2 () AD と D で D=D ( 共通 ) AD= D ( 平行線の錯角 ) 2 AD= D ( 平行線の錯角 ),2, より 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので AD D (2) ア.D イ. ウ. 向かい合う辺はそ れぞれ等しいエ. D オ. DA カ. 向かい合う角はそれぞれ等しい () ア. 向かい合う辺はそれぞれ等しいイ. ウ. O エ. O オ. 辺とその両端の角がそれぞれ等しいカ. 辺の長さ と同じ 4 [ 仮定 ] A//D, AD//, D AE, D F [ 結論 ] AE=F [ 証明 ] AE と DF で A=D ( 平行四辺形の定理 ) AE= FD=90 ( 仮定 ) 2 AE= DF ( 平行線の錯角 ),2, より 直角三角形の斜辺と つの鋭角がそれぞれ等しいので AE DF 合同な図形の対応する辺の長さは等しいので AE=F 5 [ 仮定 ] A//D, AD// [ 結論 ] DE=F [ 証明 ] DEO と FO で DO=O ( 平行四辺形の定理 ) EDO= FO ( 平行線の錯角 ) 2 DOE= OF ( 対頂角 ),2, より 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので DEO FO 合同な図形の対応する辺の長さは等しいので DE=F 6 2( 順不同 ) 辺がそれぞれ平行 / 辺がそれぞれ等しい / 角がそれぞれ等しい 4 それぞれ中点で交わる 5 辺が平行で長さが等しい 7 () (2) () (4) (5) (6) (7) (8) 8 [ 仮定 ] OA=O, O=OD [ 結論 ] AD は平行四辺形ア. OD イ.2 辺とその間の角がそれぞれ等しいウ. OD エ. DO オ. O カ.2 組の向かい合う辺がそれぞれ平行 9 [ 仮定 ] AD=, AD// [ 結論 ] 四角形 AD は平行四辺形ア. イ. D ウ.2 辺とその間の角がそれぞれ等しいエ. D オ. // カ. // キ. 2 組の向かい合う辺がそれぞれ平行 0 2 組の向かい合う辺がそれぞれ平行 /2 組の向かい合う辺がそれぞれ等し
い /2 組の向かい合う角がそれぞれ等 しい / 対角線がそれぞれ中点で交わ る / 組の向かい合う辺が平行で長さ が等しい [ 仮定 ] A//D,AD//,AP=DP,Q=Q [ 結論 ] 四角形 AQP は平行四辺形 [ 証明 ] AD= ( 平行四辺形の定理 ) AP= 2 AD ( 仮定 ) 2 Q= 2 ( 仮定 ),2,より AP=Q 4 AP // Q ( 仮定 ) 5 4,5より 組の向かい合う辺が平行で長さが等しいので 四角形 AQP は平行四辺形である 2 [ 仮定 ] A//D, AD//, AP=Q [ 結論 ] 四角形 PQD は平行四辺形 [ 証明 ] A, D の交点を O とすると AO=O ( 平行四辺形の定理 ) AP=Q ( 仮定 ) 2,2より AO+AP=O+Q よって OP=OQ O=DO ( 平行四辺形の定理 ) 4,4より対角線がそれぞれ中点で交わるので四角形 PQD は平行四辺形である と同じ 4 6 と同じ 5 () x= 75, y= 05 (2) x= 4, y= 76 6 [ 仮定 ] A//D,AD//,AE XY,F XY [ 結論 ] AE=F [ 証明 ] AEO と FO で AEO= FO=90 ( 仮定 ) AO=O ( 二等辺三角形の定理 ) 2 AOE= OF ( 対頂角 ),2,より 直角三角形の斜辺と つの鋭角がそれぞれ等しいので AEO FO 合同な図形の対応する辺の長さは等しいので AE=F 7 [ 仮定 ] A//D, AD//, AM=DM, N=N [ 結論 ] AM DN ア. イ. AD ウ. エ. N オ. D カ. DN キ.2 辺とその間の角がそれぞれ等しい 8 () (2) () (4) 9 ア. D イ. D ウ. AD エ. // オ.// カ. 2 組の向かい合う辺がそれぞれ平行 20 OA と OD で O=OD ( 仮定 ) AO= DO ( 対頂角 ) 2 AO= DO( 平行線の錯角 ),2,より 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので OA OD 合同な図形の対応する辺の長さは等しいので OA=O 4,4より 対角線がそれぞれ中点で交わるので 四角形 AD は平行四辺形である OA OD より A=D また仮定より A//D であり 組の向かい合う辺が平行で長さが等しいので 四角形 AD は平行四辺形であることを示してもよい 2 A D 22 [ 仮定 ] A//D, AD//, E//F, //EF [ 結論 ] 四角形 AEFD は平行四辺形ア. イ. ウ. EF エ. オ. カ. EF キ. 組の向かい合う辺が平行で 長さが等しい 2 [ 仮定 ] A//D, AD//, E=DF [ 結論 ] 四角形 AEF が平行四辺形ア. DF イ. D ウ. DF エ. 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいオ. F カ. E キ. E ク. 2 組の向かい合う辺がそれぞれ等しい
9 章特別な平行四辺形と等積変形 7 () A 長方形定義 :4 つの角がすべて等しい四角形定理 :2 つの対角線は等しいひし形定義 :4 つの辺がすべて等しい四角形定理 :2 つの対角線は垂直に交わる正方形定義 :4 つの角がすべて等しく 4 つの辺もすべて等しい四角形定理 :2 つの対角線が等しく 垂直に交わる 2 平行四辺形ひし形長方形正方形 2 4 5 6 7 8 [ 仮定 ] A==D=DA, A P, AD Q [ 結論 ] P=Q [ 証明 ] P と DQ で =D ( 仮定 ) P= QD=90 ( 仮定 ) 2 ひし形は平行四辺形でもあるので P= DQ ( 平行四辺形の定理 ),2,より直角三角形の斜辺と つの鋭角がそれぞれ等しいので P DQ 合同な図形の対応する辺の長さは等しいので P=Q 4 () AD (2)AO 5 () AE, AF, F (2) P 6 P A D E Q (2) 8 () 正方形 (2) ひし形 () 長方形 (4) 正方形 (5) 長方形 (6) ひし形 (7) 正方形 9 平行四辺形定義 :2 組の向かい合う辺がそれぞれ平行である四角形定理 : 向かい合う辺はそれぞれ等しい / 向かい合う角はそれぞれ等しい / 対角線はそれぞれの中点で交わる以下は と同じ 0 () A l l (2) P A DP, DQ, DAQ 2 DQR 2 [ 仮定 ] A= = = D [ 結論 ] A=D [ 証明 ] A と D で = ( 共通 ) = ( 仮定 ) 2 長方形は平行四辺形でもあるので A=D ( 平行四辺形の定理 ),2, より 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので A D 合同な図形の対応する辺の長さは等しいので A=D A P
A==D=DA 2ひし形 2 つの対角線は垂直に交わる 4 平行四辺形 5 対角線はそれぞれの中点で交わる 7 4 P ( 0, ) 20 章場合の数と確率 () 6 通り (2) 24 通り 2 () 4 通り (2) 通り 2 通り 4 9 通り 5 9 通り 6 2 通り 7 6 通り 8 20 通り 9 0 通り 0 6 通り 6 通り 2 6 通り 2 通り 4 9 通り 5 ()6 通り (2) 2 通り 6 () 24 個 (2) 2 個 () 2 個 7 () 2 2 (2) 5 () 6 8 () 4 (2) () 2 9 2 20 8 2 () 9 (2) 2 5 () 4 22 5 2 () (2) 2 () 9 7 24 8 7 25 2 26 9 27 ()6 通り (2) 2 5 28 5 0 29 5