1/1 平成 3 年 6 月 11 日午前 1 時 3 分 4 ベクトルの線積分 4 ベクトルの線積分 Ⅰ. 積分の種類 通常の物理で使う積分には 3 種類あります 積分変数の数に応じて 線積分 ( 記号 横(1 重 d, dy, dz d ( ine: 面積分 ( 記号 縦 横 ( 重 線 4 ベクトルの線積分 重積分記号 ddy, dydz, dzdz ds ( Surface: 1 重積分記号 ddy, dydz, dzd ds と表す ( 省略形 体積分 ( 記号 縦 横 高さ (3 重 3 重積分記号 ddydz dv ( Volume: 1 重積分記号 ddydz dv と表す ( 省略形 面積 5 重積分と面積分 体積 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 線積分と面積分は 3 種類あるので 丁度 3 次元空間の 3 つのベクトルとしてまとめる事もできて di+ dyj+ dzk = d d = di+ dy j+ dzk dydzi+ dydzj+ dzdk = ds ds = dydzi+ dzd j+ ddyk になります ( 問題 1: ds において dydzi として dydz を 成分とするのは? Ⅱ. ベクトルの線積分 ある関数 f ( の区間 [, ] 1 での積分は 図 1a 1 ( f d (4.1 ここで 図 1a のように 図形的には d は 軸上の微小線分を表すので f ( dは微小長方形の面積 f ( d です この微小面積を区間 [, ] 例えば 図 1b では 1 で続けて作成し足し合わせれば図形の面積が求められます
/1 平成 3 年 6 月 11 日午前 1 時 3 分 4 ベクトルの線積分 5 つの長方形を加えて完成 できますが 実際の f ( の面積とはかなり違います 実際の f ( 積に近づけるには d をさらに小さくすれば近づきます ( 図 1c 理想的には d にして無限個の長方形を加える ことになります この 無限個の長方形を加える 操作を積分 : ( f d= 無限個の面積ゼロの長方形の足し算 (4. で表します の面 ベクトルの積分に拡張できるように (4.1 の積分をベクトル表記で表してみます 軸方向は 単位ベクトル i の方向 i i = 1 であることを用いて 1 d 1 図 1b 図 1c ( ii = 1 ( ( f d= f 1 d = f d= ( f ( ( d 1 1 1 1 i i i i (4.3 になるので 新しいベクトル表記 : ( = f ( f i d= di = i (4.4 を用いると i ( ( f d= f d (4.5 1 1i になります ここで 変数 も = i としてベクトル に拡張されていることに注意しましょう ところで 軸や y 軸は直交すればどのように引いても良いので y = 例えば 図 a のような 45 傾いた軸を引いてみます 図 b の作図を参考にして この新しい軸で元のベクトルを表すと i は j i i 図 a i = a i+ b j (4.6 と表されると事が分かります ( 問題 :a と b を求めよ 図に書かれてい る円の半径は y です また 新しい 軸は = (4.7 y 軸 j i 軸 i の直線に一致します (4.6 を (4.3 に代入して 図 b
3/1 平成 3 年 6 月 11 日午前 1 時 3 分 4 ベクトルの線積分 f ( d= ( f ( ( d = ( f ( ( ai + bj ( d( ai + bj 1 1 1 i i ab, は (4.6 で与えた数値 となるので (4.5 に対応して f ( = f ( ( ai + bj ( ai+ bj ( = f ( = ( i+ j ( i+ j = ( ai+ bj f d d d d a b 1 1 a b が得られます ベクトル ( a + b (4.9 = i j は図 c の様に表されています y 軸 (4.8 軸 a 図 c b また この積分はベクトル化された積分領域 ( a + b, ( a + b i j i j を明示する代わりに 1 積分領域がある事を示す記号 ( ontour: 輪郭 : 積分経路という を添え字としてつけ ( f d ( 但し を示す図と一緒にする (4.1 図 d として表します 従って 1 ( ( f d= f d ( 但し は図 d で与えられる (4.11 y= 1 になります これから使用する積分の公式として 1+ n t + ( 1+ n : nは任意の実数 n t= 1+ n log t + ( 1+ n = = log t + t を覚えておこう また ( f ( t (4.1 df t = + ( 微分して積分すると元に戻る (4.13 が一番簡単な積分公式になります 一般の表記に拡張すると ( ( f ( fy( fz( : f( yz,,, fy( yz,,, fz( yz,, + + : (,, f = i+ j+ k f ( d d= di dyj dyk d dy dz (4.14 ベクトル場 f ( の曲線 ( 図 e 上での線積分 です ちなみに ( = (, yz, f f (4.15 図 e になりますので
4/1 平成 3 年 6 月 11 日午前 1 時 3 分 4 ベクトルの線積分 f ( と f (, yz, はどちらを用いてもよい ことになります 特に 積分経路が閉じているときに 閉じている記号として を用いた積分記 図 f 号 を用いて ( f d ベクトル場 f ( の曲線 ( 図 f 上での線積分 と表します Ⅲ. 曲線上の線積分 図 A y = y = 図 B y = + r y = y r r ( 1 = = 曲線上の線積分の様子を理解するために 円周上での積分を考えてみます 積分範囲は 1 1 とします 図 A と図 B の線積分共に f ( d (4.16 と表せます それぞれの場合に 異なった積分経路 が指定されます 図 A の通常の積分は 1 f ( d = d = d 1 (4.17 と表せます 図 B の円周上の積分は 極座標表示を用いると良いでしょう 極座標表示で半径 r の角度 θ の円弧 は ( B r 1 θ = rθ 図では = なので = (4.18 になります θ が増えるに連れ円周上を移動していきます その微少量 d は ( B 1 θ d = rdθ 図ではr = なので d = d (4.19 です また θ = が = 1 (4. にあたる事に注意して = cosθ y = sinθ θ 1 1 1 = cos 1 = cosπ
5/1 平成 3 年 6 月 11 日午前 1 時 3 分 4 ベクトルの線積分 ( θ = rcos θ 図 Bではr = 1なので = cos (4.1 なので 積分範囲は からθ で表すと r = 1を考慮して : 1 1 = cosθ θ : π とわかります 図 B の円周上の積分は (4. π π f ( d = d ( cosθ dθ ( cosθ dθ = = (4.3 と θ の積分で表せます (4.3 は を用いて 1+ cosθ cos θ = cos θ 1 cos θ = (4.4 ( π ( π f d 1 cos 1 cos d + θ d π π d cos d = θ θ = θ = θ + θ θ 1 π π π = ([ θ ] + [ sin θ ] = と計算できるので ( 直線軸上の積分 f ( d = d = π 曲線 ( 円周 上の積分 という結果を得る事になります 問題 A 点 A :( 1,, から点 B :( 6,, ( (, yz, Ⅳ. 演習 に向かう線分を ( 図 4a とするとき f = f = i (4.7 の線積分 (4.1 を求めよ 積分領域は線分 で ( ( A: 1,, B: 6,, = 1 = 6 = i 6 6 1 1 6 1 ( (4.5 (4.6 1 1 35 f ( d = i d( i = d= = 6 ( 1 = (4.1 で n = 1 (4.8 3 問題 B 原点 O :(,, から点 :( 6,8,1 とするとき ( (,, A に向かう線分を ( 図 4b f = f yz = i + yj + zk (4.9 の線積分 (4.1 を求めよ O :(,, ( A: 1,, 5 図 4a ( B : 6,, 図 4b A: ( 6,8,1
6/1 平成 3 年 6 月 11 日午前 1 時 3 分 4 ベクトルの線積分 積分領域は線分 で O: (,, A: ( 6,8,1 :(, yz, は 線分 上にある 線分 のベクトル表示を A とすると A :( 6,8,1 A = 6i+ 8j+ 1kと表される 線分 上で積分するので 積分領域は :(,, ( 6,8,1 である この変化は t= t= 1 = ta ( t 1 :(,, ( 6,8,1 と表される 従って = ta ( t 1 d = A を用いる この t は経過時間と思って良く ( ( 点 O :,, 秒目に出発 点 A: 6,8,1 t秒目に到達 (4.3 (4.31 となる そこで ( = t, d= 1 A = A A 1 ( t 1 f d = ta A = t A 1 1 1 A = t = ( 1 = A A (4.1 で n = 1 (4.3 また ( A: 6,8,1 A = 6i + 8j + 1k なので A = 6 + 8 + 1 = 36 + 64 + 1 = より A f ( d = = 1 (4.33 問題 点 A: ( A, Ay, Az から点 :(, y, z B B B B に向かう任意の経路を ( 従って は曲線 でもよく無限通りの経路がある とする このとき ( (, y z ファイ f = φ = i+ j + k = i+ j + k (4.34 y z の線積分 (4.1 を求めよ 補足 例として 図 4d には 直線を含む 3 つの経路が示してあり 曲がっている経路もあるが それぞれの経路を 軸に見立てて積分する事になる 後ほど 実は どの積分経路を用いても同じ答えになる事が分かる ここでも (4.3 のように時間 t を用いるので 図 4d に B :(,,13 ( t ( t 1 A: ( 6,8,1 ( A Ay Az = ( ( B By Bz = ( 例 A:,, 6,8,1 B:,,,,13 図 4d
7/1 平成 3 年 6 月 11 日午前 1 時 3 分 4 ベクトルの線積分 ( y z 1秒目に出発 ( 1 ( y z ( y z 秒目に到達 ( ( y z 点 A: A, A, A t t : A, A, A 点 B : B, B, B t t : B, B, B (4.35 として示してある 直線以外の経路もあるので t 秒目に (4.3 のような簡単な関係式は作れないので形式的に t 秒目として ( t = (4.36 となる さて 求める積分は ( d φ ( f = d (4.37 であり 時間 t を明示して 1 d ( t φ( ( t d( t = φ( ( t d ( t = φ ( ( t (4.38 df, y, z d を用いる事がで にして t を明示し ( t と表す 3 微分ベクトル での (3.11: ( = f ( yz,, き f をφ に代え (, yz, をベクトル表示 ( ( ( t d ( t dφ = φ なので (4.38 は ( ( t ( t dφ ( t φ ( ( ( φ ( ( t ( d t d t = = になる 積分経路 は t で指定できるようになったので (4.35 を考慮すれば (4.39 (4.4 1 t t t dφ( ( t dφ( ( t φ ( ( t d ( t = = = dφ( ( t = dφ( ( t (4.41 t1 t1 t1 と計算でき この積分は (4.13 の公式を用いると t t φ( d = dφ( ( t = φ( ( t + = φ( ( t φ( ( t1 t t1 になる (4.35 より ( t1 :( A, Ay, Az, ( t :( B, By, Bz (4.4 なので ( ( ( ( 1 ( ( y z ( y z φ d = φ t φ t1 = φ B, B, B φ A, A, A (4.43 と計算できる 計算結果を (4.43 みると ( t1 :( A, Ay, Az と ( t :( B, By, Bz に依存しているのみなので
8/1 平成 3 年 6 月 11 日午前 1 時 3 分 4 ベクトルの線積分 ( t1 :( A, Ay, Az, ( t :( B, By, Bz が同じ全ての経路での積分値は同じ答え になることがわる つまり dは 積分経路 に無関係に計算できる φ ( ことになる 物理では 力の源を Ⅴ. ポテンシャル φ ( と φ ( ポテンシャル (Potential: 潜在の という意味 といいます ポテンシャルを (4.34 と同じくφ と表すと 力のベクトル ( F, Fy, Fz ( = φ( φ( ( : ポテンシャル F: は F (4.44 と与えられます ( 問題 3: F, F, F をφ で表せ 力を加えて箱を移動させたとき 仕事は y z 公式 仕事 = 力 移動距離 で計算できるので 図 5 のように経路 上の微小距離 d ( 移動した時 微小仕事を dw ( ( とすると dw = F d (4.45 になります 従って ( t 1 から ( t ( への全仕事 W は W = F d (4.46 です (4.44 を代入して ( ( φ( φ( W = F d = d = d (4.47 ここに (4.43 を用いて つまり ( ( ( ( ( 1 ( ( 1 ( ( W = φ d = φ t φ t = φ t φ t (4.48 仕事 W は 最初 ( t 1 と最後 ( t でも同じ仕事になる ( 問題 4:(4.48 を用いて説明せよ ことを示しています このポテンシャルを用いると エネルギー保存則 (Energy onservation Law ( t 1 ( ( t F ( t ( ( t 1 F ( t F ( の位置が同じならどのような経路で物体を運ん d 図 5
9/1 平成 3 年 6 月 11 日午前 1 時 3 分 4 ベクトルの線積分 dv d を導けます ニュートンの第法則により 質量 m kg の物体に働く力 F は m v = で置き換える事ができるので dv m ( です ここで = F = φ (4.49 F = φ( なので 力 ( F は位置 ( にのみ依存する = ( ( = sin F k t t ωtiは OK F = ksinωtiはダメ という制限があります ( 問題 5: 結果的には同じ式になるが何故 = ( ( = sin は OK で F = ksinωtiはダメか? このような特殊な力を 保存力 F k t t ωti といいます (4.49 の両辺のベクトルと速度ベクトルv の内積をとります : dv mv = v φ (4.5 ここで (4.5 の 右辺のv φ は v = d を用いて d v φ = φ (4.51 更に (4.39: d φ d = φ より dφ v φ = (4.5 となります 左辺の d v v は dv 1 d ( v v d d ( v = = v v v のベクトル版 v = vv (4.53 となります ( 問題 6: v :( v, vy, vz の成分を用い d v d と ( vv を計算し (4.53 を証 明せよ 従って (4.5 は (4.5 を用いて dv d 1 dφ d m m m d φ d m v = v φ vv = v v + = v v + φ = (4.54
1/1 平成 3 年 6 月 11 日午前 1 時 3 分 4 ベクトルの線積分と変形できるので d m + φ = vv (4.55 が求まります この解は m vv + φ = ( 時間に依らず 一定 (4.56 になります つまり m E = vv + φ (4.57 をエネルギーと呼び E は保存することがわかります ここで m vv をエネルギー φ をポテンシャルエネルギーと呼びます