7. 組み合わせ応力 7.7. 応力の座標変換載荷 ( 要素 の上方右側にずれている位置での載荷を想定 図 ( この場合正 ( この場合負 応力の座標変換の知識は なぜ必要か? 例 土の二つの基本的せん断変形モード : - 三軸圧縮変形 - 単純せん断変形 一面せん断変形両者でのせん断強度の関連を理解するためには 応力の座標変換を理解する必要がある 例 粘着力のない土 ( 代表例 乾燥した砂 のせん断破壊は どこかの面で応力比 / が所定の値 ( tanφ : φ は内部摩擦角 に達する と破壊する おなじ現象を主応力で考察すると 主応力比 / が所定の値 ( ( + sn φ /( sn φ に達すると破壊する 従 って 任意の応力状態 ( を 破壊面での応力状態 (, あるいは主応 力状態 ( に変換することによって破壊に対する安全率が計算できるようにするためは 応力の座標変換を理解する必要がある 盛土 B プレロード 掘削, ' p E(, vh せん断破壊面 潜在的すべり面, ' ' 一面せん断試験単純せん断試験三軸圧縮試験 v ( 単純せん断試験 ( 三軸圧縮試験 図 ' 応力の正の定義 : 直応力 : 圧縮正 せん断応力 :hr 円表示のために 全て左回りを正とする ( 理由次頁 [ これは授業では 触れない ] (Tensr 表示 : 図 とは異なる 上下面と鉛直面において逆方向に作用しているせん断応力が同じ符号となる 図 の場合 右側面で下方向に作用している が正となる しかし これだと と が同一符号になり hr 円の上下を使えず 不便である ( 理由 : 後述
座標の導入 ( 応力の hr 円表示のため 面 図 ( モール円表示ための定義 矢印の方向が それぞれの正の方向 従って 図 の要素に対しては 正 正 正 負となっている * 要素におけるモーメントの釣り合いから 常に が成り立っている ( 要素の中心まわりの モーメントを考えれば分かる 正の方向 は 度の 面 面 面 図 4a ( 二つの 面での応力状態は同じ 図 4b 面は 9 度の 面 図 4a のようにせん断応力 を常に左回りを正に定義することにより 任意の方向の面 に対する応 力状態を考える場合 図 4b に示すように 9 度 あるいは 6 度のように自由に回転しても 常にせん断応力は左回りに向かっていてため せん断応力の符号の定義に矛盾が生ぜず 同一の 面での表現 が適用できる 従って 一つの hr 円で正負のせん断応力を同時に表示できて 一つの応力状態を全面的に表現できる 要素 の応力状態を あらわす応力の hr 円 の応力状態 ( P d ( 面に対する極 ( ; 正 面の応力状態円の中心 ( ; 負 ( 図 5a 面の応力状態 ( ; 負 ( 9
* 上図に示すように 全ての角度 に対する面を 同一のモール円を用いて同一基準で表示することが出来る 即ち 度 面 ; 9 度 面 面 Z (, 面 4 (, ( 4, 図 5b 数字を入れた例
[7 章土のせん断強度演習問題 7-] a 面 面 - - 図 図 a 図 に 図 に示す応力状態を表す hr 円を描け ただし 圧縮力は正である b 要素 a は この応力状態でせん断破壊した この土の hr hr-culmb 破壊規準は tanϕ で表される この場合の内部摩擦角 ϕ ( 度 を求めて この破壊規準を表す直線を図 に示せ c 図 に示すように となす角度が ( 度 である 面に 直応力 ( 圧縮が正 とせん断応力 ( 反時計回りが正 が作用している 応力比 / が最大となる角度 ( 度 を求めて その場合の 面の応力状態を図 に描いた応力モール円上に示せ [ 答 ] hr hr-culmb 破壊規準 : tan ϕ - ϕ - a - hr hr-culmb 破壊規準 : tan ϕ 面の方向 (, ϕ 9 + ϕ - (, - 面の方向 c 9 + ϕ から 45 + ϕ / - b snφ / から φ 度 4
[ ここは授業で教えない ] * ひずみも hr 円でも せん断ひずみγ とγ の正負を せん断応力の場合と同様に定義することにより 矛盾無く表示できる ( せん断ひずみγ/ (ε, γ /; 正 ( γ ; 正 γ ; 正 直ひずみε (ε, γ /; 負 (9 は とは逆方向 の変形に対応 γ ; 負のせん断 b a 図 6 とは同種類のせん断変形 剛体回転量が異なるだけ (a を左に剛体回転したのが b つまり とのせん断変形は 微小ひずみ理論では同一 a 純粋せん断 b 単純せん断 c 単純せん断 純粋せん断 純粋せん断 プラス プラス ( 左への剛体回転 ( 右への剛体回転 b c つまり hr 円に対応したせん断ひずみの符号の定義をすると 左図のように 同一せん断ひずみに対して正負の符号を与えることになる 図 7 ( b は正 ( c は負 5
との変形は 同一のせん断変形モードなので 同一の符号を持つせん断ひずみ 及びせん断と する のが Tensr 表示での符号 u v 即ち とのせん断ひずみは 同様にγ γ + G を用いて に対しても : G γ ; に対しても : G γ と表現される ( せん断ひずみγ/ (v (ε, γ /; 正 γ ; 正 γ ; 負 直ひずみε (ε, γ /; 正??? (u とは逆方向の の変形に対応 せん断 図 5b γ ; 正 図 8a を右へ剛体回転したもの しかし hr 円の上下が用いることは できなくなる ( 図 8b 8c 参照 Tensr 表示用 ( この場合のせん断応力の正負の定義は hr 円用とは異なる 正の方向 での 正の方向 相互に矛盾する 9 での 正の方向 図 8b Z (,, ( 4, 面 (, 4 図 8c 数字を入れた例 6
hr 円に適合してせん断応力の正負の定義をした場合の 座標変換 sn ( 長さ cs cs 面 ( 長さ sn 面 ( 長さ. 図 9, が作用している面の長さを. とすると 方向と 方向の力の釣り合いから 以下の式を得る このとき モーメントの釣り合いから 常に - が成り立っていることに気をつける cs( cs + sn + sn{ ( cs + sn} cs( cs + sn + sn( cs + s n cs{ ( sn + cs + sn( sn + cs c s{ ( sn + cs + sn( sn + cs [ 赤字 ] 面積 [ 青字 ] 等の あるいは の方向の成分 この 式を整理すると次式を得る cs + sn + sn cs ( sn cs (sn cs (7- cs cs sn cs sn + cs cs cs, sn を参照して この 式を更に整理すると次式を得る + + cs + sn sn + cs (7- * 注 上記の考察を この 面に対して行っても 結果は同じ (7-4 頁参照 7
( 補 hr の応力の定義における一般の座標変換 ( この座標軸の方向余弦 ; cs,sn β β β β ( この座標軸の方向余弦 ;-sn, cs β cs sn cs -sn - β β -sn cs - sn cs 上の式の - β,- を β, に置きかえると 通常のの Tensr 表現での応力の定義に 対する座標変換式になる 三次元での座標変換に対しても 同じ rule が適用される 8
(7. 式の意味 : Z(, 面 (, 4 図 a 図 b ( 4, + δ a δ 面 4 Z 面 b (, (, この式から角度 を消去すると + ( + ( + となる この式は > >, >, <の場合である図 a において ( + Z ( 定数 を意味する これは 図 b において a + b であり 従って円の方程式 : ( + ( + + + ( 定数 を意味する ここで は円の半径である すなわち 今固定した応力状態が固定していて,, が定数ならば は定数となり 応力, は角度 の関数であり 点 ( の座標の集合は を半径とする円を形成する hr s crcle stress 9
なお 図 b の応力状態は 下図のような応力状態を示す 載荷 ( 要素 の右上にずれている位置での載荷 図 ( この場合正 ( この場合負
応力の hr 円における 面に関する極 Pp の説明 任意の角度 を持つ 面の応力状態 ( は 応力のモール円において Z の方向から右回りにの角度をなす 方向と hr s crcle stress の交点 の座標 ( である( 次頁の図 参照 証明まず 図 に示すように 応力のモール円上の Z 点は水平 での応力状態を表すとする Z (, δ 図 角度 δ の定義 角度 δを図に示すように定義すると tanδ ; snδ ; csδ (7.a 次に 図 に示す応力のモール円で 点 P P からの水平線が水平 P P -から角度 をなす線とモール円との交点 の座標の意味を考察する 軸と がなす角度は δ であるので 図 bでの幾何学的関係から の座標は + + + cs( δ + cs( δ (7.b sn( δ sn( δ (7.c となる 式 (7.a, (7.b, (7.c から + + + (csδ cs+ snδ sn + ( cs δ cs + ( sn δ sn + + cs + sn (snδ cs sn cs δ ( sn δ cs ( cs δ sn cs sn が得られる この式の右辺と 力の釣合から求めた任意の角度 を持つ 面の応力状態に対する (7. 式の右辺 が同じであることから が得られる 即ち 図 の応力のモール円での点 は 面の応力状態を表している
; 正の方向 面 面 ; 正の方向 の作用方向 Z が作用している面 δ ( の方向 δ- P d 図 の作用方向 が作用している面 ( 面 の方向 従って 応力のモール円の幾何学から 次の法則性が得られる 点 Z を通り が作用している面の方向 ( 水平方向 の線 軸方向の線 と hr 円との交点が 面に関する極 Ple r plane である 極 を通り Z の方向から時計回りに角度 をなす線 が作用している面の方向の線 と hr 円との交点 の座標 ( が 面 に作用している応力 ( をあらわす 同様に 点 Z を通り直応力 の作用している方向 ( 鉛直方向 の線 軸方向の線 と hr 円との交点が 直応力の作用方向に関する極, Ple r drectn P d である 極 P d を通り P d Z から時計回りに角度 をなす線 直応力 の作用方向の線 と hr 円との交点 の座標が 面 に作用している応力 ( をあらわす 極 と P d は hr 円の直径の反対側に位置する
a 主応力面定義 : となった場合の 面を 主応力面と言う が作用している の方向 S (, m ma 4 最大主応力面 P (, Z 最小主応力面 + δ S (, m ma P (, 図 ( この hr 円での gven pnts は Z と (7. 式 + + cs + sn ; cs sn の第 式に を代入すると 次式が得られる tan (7. 図 から tanδ なので δである 従って (7. 式の意味は 図 を参照して 主応力 状態を表す P P と P d を結ぶ線の方向が主応力作用面の方向であり その面の方向はの方向 ( 水平方向 から 次の角度をなす δ/, +π/ (7.4 また 図 の幾何学から 最大主応力 ; + + + + ( + 最小主応力 ; + + ( + (7.5
b 最大せん断応力面 + + cs( δ (7.a + の条件から cs(δ- となる 記号を変えて cs(δ-β となるδ-βは δ-β9, 7 もしくは β-δ9, 7 従って βは β 9 +δ, β 7 +δ, β 45 +δ/, β 5 +δ/β +9, (β * 8 -β 45 -δ/ ただし tanδ S( m, m β * Z Pp β * β が作用している面 β β δ ( の方向 β S( m, - m 図 4 図の幾何学から 平均主応力 ; 最大せん断応力 ; + m m ( + 4
まとめると S S 面 F Pp Z P 面 P 面 面 β 矢印の方向が それぞれ応力成分の正の方向 F S S 面 全て 45 度 F 面 S 面 P 面 m ( > m P 面 m 図 5 面 S 面 m ( < 5
7. 応力の hr 円の表示 と 面が主応力の場合の議論 ' 方向 ' ' 面 ' ( 正 面 面 ( 負 および (, O + ' ' '(, P d (, および Z (, ' ' 方向 図 6 ( 矢印の方向が それぞれ応力成分の正の方向 は左回りが正 O + cs と sn から 次式が求まる + + cs, sn 常識から 面に作用する直応力 とせん断応力 が求まる 一方 面に作用する直応力 とせん断応力 は ' O + cs と ' sn ' から求まる次式から求まる + ' + cs ', ' sn ' 教科書式 (7. 最大応力傾角面 (the mamum angle stress blquty 応力傾角 (the angle stress blquty とは?: 応力傾角 の定義 ; arctan( / a Z (, 4 面 図 7 応力傾角 の最大値 ( 最大応力傾角 ma を その時の動員された内部摩擦角 ϕ mb と呼ぶ ( 図 8 を 6
見よ ( ϕ : 土の重要な物理的性質の一つ mb F (, 4 ma φ mb Z 最大応力傾角面 (, φ mb 図 8 + F (, 最大応力傾角面 : 粘着力が無い場合 せん断滑りが最も生じやすい面である 図 8 での点 F と F の座標は その面の応力状態を表す P (, φ mb および F (, 9 +φ mb 最大主応力面 P (, 最小主応力面 + F (, 45 / +φ mb 面 η η 図 9 面が主応力面の場合の最大応力傾角面 図 9 では 最大応力傾角面 F が の作用する面である ( 水平面 となす角度 η は から FO+ η 8 ; 9 ϕ + η 8 ; η 45 + ϕ / mb mb 7
一般応力状態での最大応力傾角面の方向 ma F (, φ mb 最大応力傾角面の方向 Z 最大応力傾角面 (, 4 図 φ mb + F (, 最大応力傾角面の方向 ma F (, φ mb 最大応力傾角面 ma η η Z 最大応力傾角面 4 図 φ mb + F (, の作用面が水平方向となす角度をとすると 最大応力傾角面 F が ( 水平面 となす角度 η は 図, から FO + η + 8 9 ϕmb + η + 8 η 45 + ϕ / mb 8
[7 章土のせん断強度演習問題 7-] kg/cm 4 kg/cm 面 面 ( 負 図 図 の要素 に対して 図に示すような応力が作用している 上記の応力状態をあらわす hr 円を描け この応力状態で土が破壊したとする この土には粘着力が無い この場合の土の内部摩擦角 φarcsn{( - /( + } ma を求めよ と時計回りで 度をなす 面に作用する直応力 とせん断応力 の大きさを求めよ 4 応力比 /の絶対値が最大になる二つの最大応力傾角面がとなす角度 η η の大きさと [ 答 ] その面に作用するせん断応力 と直応力 の大きさを求め その応力状態を hr 円上に点 F, F として示せ および ( 4, P d および Z (, 4 O + 上記の応力状態をあらわす hr 円 8 4 この応力状態で土が破壊した時の土の内部摩擦角 φarcsn{( - /( + } ma は および ( 4, F 4 φ P d および Z (, 4 O + 8 4 snϕ F + O O 4 : ϕ 度 8 9
と時計回りで 度をなす 面に作用する直応力 とせん断応力 の大きさは および ( 4, F φ 4 6 P d および Z (, (, 4 O + 8 4 + + cs(6 8 + 4 (kg/cm ; sn(6 4.46 (kg/cm 4 応力比 / の絶対値が最大になる二つの最大応力傾角面が となす角度 η η と その面に作 用するせん断応力 と直応力 の大きさと その応力状態を表す点 F, F の hr 円での位置は 4 (, および F η 9 + φ mb P (, φ mb φ mb P (, 4 F (, O + 8 + snϕmb 8 4 6 ( kg / cm ± mb ± ± kg cm csϕ 4.46 ( / η 45 + φ mb / 6 η 45 + φ mb / 6
[7 章土のせん断強度演習問題 7-] 矢印の方向が それぞれ応力成分の正の方向とする 図 の要素 に対して 以下の応力が作用している 面. kg/cm 4. kg/cm 図 7. kg/cm -4. kg/cm 図 図 図 に 上記の応力状態をあらわす hr 円を描け 図 を参照して 最大主応力 の大きさと それが作用する面が 軸となす角度 ( 度 を求めよ 4 この応力状態で土が破壊したとする この土には粘着力が無い場合 この時の土の内部摩擦角 φarcsn{( - /( + } ma を求めよ 5 から時計回りで 6 度をなす 面に作用する直応力 とせん断応力 の大きさを求めよ 6 応力比 / の絶対値が最大になる二つの面がとなす角度 η η の大きさと その面に作用するせん断応力 と直応力 の大きさを求め その応力状態を図 に描いた hr 円上に点 F, F として示せ 7 図 で 点 F,F の応力状態が作用している面 ( 最大応力傾角面 それぞれが 最小主応力 が作用している方向 ( 即ち最大主応力 が作用している面の方向 となす角度 ( 度 を求めよ
[ 答 ] Pp 5 Z (, 4 4 S ( 5, (, S ( 5, この応力状態をあらわす hr 円 ( 7, 4 最大主応力 ; + + + 7 7 + + ( + + ( + 4 + + 4 5 ( kg / cm 最小主応力 ; + + + 7 7 ( + ( + 4 + 4 5 ( kg / cm arctan 4 / 5. 度 6.6 度 sn ma 5 snφmb F (, ma mb + φ 度 この場合 ma φ 度 φ mb ma S ( 5, ( 7, 4 Pp 5 (, Z (, 4 S ( 5, 4 と時計回りで 6 度をなす 面に作用する直応力 とせん断応力 の大きさを求めよ Pp Z (, 4 S ( 5, (, 6 度 S ( 5, ( 7, 4 5 (,
+ + + cs( + [cs cs+ sn sn ] 4 4 + 5 [ + ] + 5 [ + ]. 5 5 5 5 4 sn( (sn cs sn cs 5 ( + 4.6 5 5 5 応力比 /の絶対値が最大になる二つの面がとなす角度 η η の大きさと その面に作用するせん断応力 と直応力 の大きさを求め その応力状態を図 に描いた hr 円上に点 F, F として示すと φ mb ma S ( 5, F (, Pp ( 7, 4 9 ϕ mb F (, η (, 5 Z (, 4 η S ( 5, S ( 5, 9 ϕ + η + 8 mb η 45 + ϕ / mb F (, Pp 5 (, Z (, 4 η ma φ mb 9 ϕ mb η ( 7, 4 F (, S ( 5, 9 ϕ + η 8 mb η 45 + ϕ / + mb η 45 + ϕ / 45 + / 6.6.4 η 45 + ϕ / + 45 + / + 6.6 86.6 mb mb + mb kg cm ± sn(9 ϕmb ± 5 ± 4. ( kg / cm cs(9 ϕ 5 7.5 ( / 6 図 で 点 F,F の応力状態が作用している面 ( 最大応力傾角面 のそれぞれが 最小主応力 が作用している方向 ( 即ち最大主応力 が作用している面の方向 となす角度 ( 度 は η + 45 + ϕ / 6 η 45 + ϕ / 6 mb mb