数学 EX Ⅰ-Ⅰ 解答解説集 Ⅰ
式の計算 () - a 0,b 0,>0,n>0 のとき, a a a n a n n a a n a n ( a ) a ( ab) a - () 単項式 : と 4 多項式 : と と 5 と 6 () 次 次 8 次 4 次 56 次 6 次 () a について :5 次 b について : 次 基本事項. 定義の確認 参照 5 6 - () a () a () a (4) a 4 (6) (7) a (8) (9) a n 例題.() に対応しています n ( n) ( n) (5) a 7 b 7 (0) xy n b -4 () 6x 5xy 4a 8ab 4ac 4 4y z 4 a 9ab 5 xy y 68x x x () 7x y a b x 8y 6 例題.() に対応しています 5 6x yz 4xy z xyz 7x 0y 4 9-5 () b () xy 6 () (4) x 5 6 y (5) x y (6) 6x y z x ヒント : 各々の問題で (ⅰ) 符号のみ (ⅱ) 係数のみ (ⅲ) 各文字の指数のみ を分けて計算してみるとミスが減るかもしれませんね
-6 () - 7 () 4x y 9x 5y 8 例題.() に対応しています -7 () ( ) 7 ( ) 4 ( ) 7 7 = = = 8 9 ( 5) 4 7 5=0000 85=850000 () 0 =( ) 0 =7 0 4 5 =( ) 5 = 50 =( 5 ) 0 = 0 よって, 小さい順に並べると,5 0, 0,4 5 5 0 =(5 ) 0 =5 0 () ( 与式 )=( 0 + 5 4 ) - 6 =( 9 + 9 ) - 9 =(+) 9 4-9 = 9-9 =0 (4) ( 与式 )= 00 + 00 + 00 + 00 =(+++4) 00 = 00 = 006 よって, =006-8 <n のとき,-n<0 a a n =a -n =a -(n-) = n a よって,a - = a =n のとき,-n=0 a a n =a -n =a 0 =
式の計算 () - () (4) c a () b y x () c a b b S r (5) a b (6) a h 5 b a 例題.() に対応しています - () x bc a () b c xy z () x y y x (4) y a b a 最終的に逆数を取る必要がある問題です ポイントは両辺を通分等して 一つの分数にしてしまうことです y x の形にできれば x y ( 例 ) () 与式 x ab c bc と逆数が取りやすくなりますね ( a のある項とない項に分ける ) ab c x bc ( a のある項ない項を右辺左辺に振り分け (-) をかける ) () 与式 x bc a ( 最後にb c を割る ) b c y x ( 左辺を xyで通分 ) xy xy z x y ( 左辺を一つの分数にして逆数を取る準備 ) xy z xy z ( 逆数をとって右辺と左辺を交換 ) x y 4
() 与式 y x x ( 両辺を x でかけて扱いやすく ) xy y x ( カッコを外して x あるなしを分ける準備 ) xy x y ( x のある項ない項を右辺左辺に振り分け ) y y x ( x のある左辺をくくり 割り算準備 ) y x ( y で割る この解答でも OK) y y x ( 分母のマイナスをくくり出して完成 ) y (4) 与式 a b b ( 両辺に b でかけて扱いやすく ) ab a b ( カッコを外してb あるなしを分ける準備 ) ab b a (b のある項ない項を右辺左辺に振り分け ) ba a (b のある左辺をくくり 割り算準備 ) b ( a a a で割る ) 60S 9z 5x 00 b - () x 6 y () a () y (4) a r 4 0 ヒント : まずは問題文の指示通り 素直に式を立ててみましょう () x y () S r () 5x 4y 9z 60 a (4) 0 a 00 0a b 特に () 平均の問題は ( 男子総得点 )+( 女子総得点 )=( クラス総得点 ) で立式するのが楽です (4) 過不足は会費総額から足すのか引くのかに注意して立式しましょう その後に等式変形を行うのが結果的にも速く解けます -4 (),n を整数とすると, つの奇数は +,n+ と表せるので, ++n+=+n+=(+n+) +n+ は整数なので, 奇数と奇数の和は偶数になる 5
() a,b を 桁の自然数とする =0a+b とすると,=0b+a +=0a+b+0b+a=a+b=(a+b) a+b は整数なので,+ は の倍数である () a,b,c を 桁の整数とすると, 桁の自然数は 00a+0b+c と表せる 各位の和が の倍数より, a+b+c=k(k は整数 ) とすると, 00a+0b+c=99a+9b+a+b+c =99a+9b+k =(a+b+k) a+b+k は整数なので, 各位の和が の倍数ならば, その自然数は の倍数である -5 () ヒント :0x 7 5y 0x 5y 8 5x y () 倍 4 より V :V ヒント : V r h, V r h r h みましょう -6 () : 9 () 5 () 6 5 ヒント () 移項により x 6y から x : y : 4 ですね を出して x y () 通分して から x y xyとなるので 全ての x y xy をxyに置き換えてみましょう x k x y z () k と置くと y k と 全ての文字が k で書き 6 z 6k 直せますよね
-7 () a+b+c=0 より,a+b=-c 4c 4c = =-4 a b c () 4c 4a 4b = = =k とすると, a b b c c a 4c=k(a+b) 4a=k(b+c) 4b=k(c+a) ++ 4(a+b+c)=k(a+b+c) a+b+c 0 より,k= -8 9 a=d より, くり上がりはないので, a=,d=9 9 b=c でくり上がりはないので, b= または 0 a b c d 9 d c b a b c 9 9 9 c b b= のとき,c=9 となるが,99 9=079 99 より不可 b=0 のとき, 一の位から 9 9=8 より 8 がくり上がって, 十の位が 0 になるから, 9c+8=0c 0 c 9 9 9 c 0 c=8 089 9=980 より,a=,b=0,c=8,d=9 7
平面図形 - l 上の点 O を中心に半径 OP の円をひき,l との交点を Q とする P,Q を中心とし, 半径 OP の円をひき,O 以外の交点を R とする P と R を結ぶと直線 PR は l に平行な直線である ( 四角形 OPRQ はひし形である ) P P R P R l O Q l O Q l O Q - () C は を中心する半径 6c の円周上にある () からの距離が 4c の直線上にある () (),() の交点が C になるから,4 通り - () () D C D C 8
-4 () () C () O -5 () D () P C O () ' C D 9
-6 () () l P ' l Q P ' () 点 P の OX,OY に関する対称点 P',P'' をとり,P' と P'' を結んだ直線と OY, OX との交点が PQ+QR+RP が最短となる Q,R となる P'OP''= 0 =60 OP'=OP=OP'' より, OP'P'' は正三角形である PQ+QR+RP=P'P''=OP'=6(c) -7 () () E D C -8 を通り半径 d の円と l との交点を P,Q とする P,Q の垂直二等分線と l との交点が C である l P C C Q 0
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4 次方程式 4- () x () x () 例題 4.()() に対応しています x (4) x (5) x (6) x 5 4- () x 4 () x 4 () x (4) x (5) x 5 (6) x ( カッコ ) を正確に外すことができれば 4- と大差はありません 4- () x () (5) x (6) 4 x () 5 x (7) 0 x (4) x 7 x (8) x 5 5 例題 4.() に対応しています ここを学習すると, 分数式の計算で分母を払ってしまう場合があります 等式の性質から 両辺に同じ数 式をかけてよい ことを確認しましょう 4-4 () x 5 () 7 x () 5 x (4) x 5 (5) x (6) x 6 9 ヒント比の形で与えられた条件の場合は内項と外項の積が等しいことを利用しま しょう :=C:D ならば D= C ということです 4-5 () a () a () a (4) a ヒント難しく考える必要はなく x に具体的な値を代入し a についての方程式 であると考えれば良いです 4-6 () 8, 6, () a 4 () p ヒント () と を具体的な式に置き換えて x を求めます x を求められれば それをもとに と の式の値を求めて完成です () 左の式の答えは出せますね x になるはずです その x 右の式に入れると a についての方程式となりますね () 問題文より x p ですので x を全て p に書き直して p についての方程式となりますね を
4-7 () 行目 行目移項のときに符号を変えていない x-8x=-4-6 -5x=-0 x=4 () 行目 行目 -x は符号が逆 ( 分配していない ) 5x-0-0+x=0 7x=70 x=0 () 行目 行目 が 0 倍されていない 0-8x=6+5x -8x-5x=6-0 6 x= (4) 行目 行目 0 倍と 00 倍がバラバラになっている 50x-400=5x+00 5x=500 x=0 (5) 行目 行目右辺 00, 左辺 0 になっている (x-4)=0 6x-8=0 x= (6) 行目 行目右辺を 4 倍していない x 5 4x 4 4 =4 (x-5)-(x-)=4 4x-0-x+=4 x=4
5 空間図形 5- () 辺 DE 辺 GH 辺 JK () 辺 G 辺 H () 辺 C 辺 EF 辺 HI 辺 KL (4) 辺 H 辺 CI 辺 EK 辺 FL 辺 GH 辺 IJ 辺 JK 辺 LG (5) 面 DJKE 面 GHIJKL (6) 面 CDEF 辺 GHIJKL 例題 5. に対応しています 5-4と7 反例 l P 5 6 8 l P n 5 5- () 倍 () 00c () 700 c 四角形 CDE が長方形なら, C // DE,E // CD 例題 5. に対応しています 5-4 () 辺 辺 D 辺 C () 辺 D 辺 E 辺 FD 辺 C は同一平面上にあるので EF とは延長線上で交わります 注意! 4
5-5 正三角形の 辺を a, 高さを h, 三角柱の高さを とする P( 底面 CNM が台形の四角錐 ) a h 5ah = R( 底面 MEFN が台形の四角錐 ) 7ah a h = Q( DM が底面の三角錐 ) DM= 長方形 DE ah a h = よって, 5ah ah 7ah P:Q:R= : : =5:6:7 5-6 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 頂点の数 4 8 6 0 面の数 4 6 8 0 辺の数 6 0 0 面の形 正三角形 正方形 正三角形 正五角形 正三角形 つの頂点に集まる面の数 4 5 例題 5. に対応しています p.0 の正多面体の図も併せて確認してみましょう 5
5-7 () () ア イ キ 正八面体の展開図は 種類ある 5-8 ()6 c 04 c () 体積 88 c 表面積 44 c (): :: (4) 正八面体 倍 ヒント () 正確に展開図を描いてみましょう 側面のおう形は中心角 0 側面は横 4 c と横 c の つ あるはずです () -5() も参照しましょう () 切った角の切り口は表面積として増えますが 切り落とした部分の表面積は減りますね 5-9 () 横から見た形がわからない問題です 想像力を働かせてみましょう! 6
5-0 () 立体 P は正四面体である 6 6 6 6 4 =7(c ) 立体 Q は正八面体である 6 6 6 =6(c ) () 正四面体 正六面体 ( 立方体 ) 正二十面体 4 正十二面体 この問題も p.0 の正多面体の図も併せて確認してみましょう 7