1 体積 1.1 初めに この中では積分は第一基本量 ( 微分幾何 ) を用いて計算する 基本量の 意味を知らなくても別に気にする必要はなく 計算をたどって行けば理解 できるように書いてある 計算するものは球の体積なので カルテシアン 座標 (x-y 座標の畏まった言い方 ) ではなく 球座標を用いるようになる 球座標も x-y 座標と同様に直交座標であるので 扱うのに便利である 通 常は体積などを計算するために座標変換すると どうしてもヤコビアン の計算が必要になり n 次元だと n n の行列式を計算する必要が出てく る しかし 直交座標の場合は第一基本量を計算して その積の平方根の 絶対値は比較的簡単に計算できる そこで球の積分を第一基本量を用いて 計算するのである これにより計算はかなり簡単になっている 全体を通 して円の半径を a とする すると n 次元の球の式は x 1 +x +x 3 + +x n a で表され その球の体積は V n an π n nγ( n ) となる 計算内容はひどくグダグダと書いてありくどいので わかる人は n 次元の球の体積の部分だけを読んで欲しい ( 実は書いている方はもっとうんざりしながら書いているのである ) 1. 計算のあらすじ球座標を求め その第一基本量を計算し それをもとに積分を実行する 途中にガンマ関数 ベータ関数を用いるが これも付録に計算方法を示した 1
1.3 円の面積 x 1 rcosθ 1,x rsinθ 1 (x 1+x r になっていることに注意 ) dx 1 drcosθ 1 rsinθ 1 dθ 1 dx drsinθ 1 +rcosθ 1 dθ 1 (dx 1 ) +(dx ) (drcosθ 1 rsinθ 1 dθ 1 ) +(drsinθ 1 +rcosθ 1 dθ 1 ) (dr) cos θ 1 (drcosθ 1 )(rsinθ 1 dθ 1 )+(rsinθ 1 dθ 1 ) +(drsinθ 1 ) +(drsinθ 1 )(rcosθ 1 dθ 1 )+(rcosθ 1 dθ 1 ) (dr) +r (dθ 1 ) ここで g 11 (dr) +g 1 (dr)(dθ 1 )+g 1 (dθ 1 )(dr)+g (dθ 1 ) とおくと (dr),(dr)(dθ 1 ),(dθ 1 ) の係数を比較して g 11 1,g r,g 1 g 1 となる gg 11 g r ( 直交系なのでこの式になるが一般には g 11 g g 1 g 1 ) この調子で球の体積の計算をする これより g r r S dr π dθ 1 g π rdr dθ 1 1 ππa (1) これは円の面積である
1.4 球の体積 x 1 rcosθ 1,x (rsinθ 1 )cosθ,x 3 (rsinθ 1 )sinθ (x 1+x +x 3r になっていることに注意 ) dx 1 drcosθ 1 rsinθ 1 dθ 1 dx drsinθ 1 cosθ +rcosθ 1 dθ 1 cosθ rsinθ 1 sinθ dθ dx 3 drsinθ 1 cosθ +rcosθ 1 dθ 1 sinθ +rsinθ 1 cosθ dθ (dx 1 ) +(dx ) +(dx 3 ) 3 (dr) +r (dθ 1 ) +(rsinθ 1 ) (dθ ) g 11 (dr) +g (dθ 1 ) +g 33 (dθ 1 ) gg 11 g g 33 r (rsinθ 1 ) r 4 sinθ 1 V 1 dr π r sinθ 1 dr dθ 1 dθ g π dθ 1 dθ π r dr sinθ 1 dθ 1 dθ 1 4πa3 (4)π 3 3 これは球の体積である もしかしたら θ の範囲が [,π] で変だと思った人がいるかもしれないが よく考えてほしい ( 経度は から π だが緯度は から π,[,π] にすると 重 ( 被覆 ) になってしまう ) 1.4.1 次元を一般化するための準備 全く同じ計算をガンマ関数を用いて計算してみる ( この計算は少しうっ とおしいかもしれないが一般的な場合はガンマ関数なしでの表記は見づらい ) cos p 1 sin q 1 θdθ 1 Γ(p)Γ(q) Γ(p+q) を用いて p 1,nq 1 とおくと p 1,q n+1 sin n θdθ Γ(1 )Γ(n+1 ) Γ( n +1) となる 3
1.5 ガンマ関数を用いた積分の表示 sinn θdθ Γ(1 )Γ(n+1 ) Γ( n +1) (A) これを仮に公式 A と呼ぶ 1.5.1 ガンマ関数を用いて 3 次元の球の体積の計算 V 3 ( ( V 3 ( r dr)( r dr)(4 π r dr π sinθ 1 dθ 1 dθ sinθ 1 dθ 1 )( sinθ 1 dθ 1 )( dθ ) dθ ) ここで sin n θdθ Γ(1 )Γ(n+1 ) Γ( n +1) にn1 を代入して sinθdθ Γ(1 )Γ(1+1 ) Γ( 1 +1) Γ(1 )Γ(1) Γ( 3 ) Γ(1 )Γ(1) 1 Γ(1 ) またn を代入するとsin θ1 であるから θdθ r dr)( sinθ 1 dθ 1 )( θdθ Γ(1 )Γ(+1 ) Γ( +1) (Γ(1 )) Γ(1) π であるから dθ ) a3 4πa3 ()(π) 3 3 となる 4 次元,5 次元の球の体積の計算をするが 一般の場合が分かればここを読 むことは意味がない 4
1.6 4 次元の球の体積 x 1 rcosθ 1,x rsinθ 1 cosθ,x 3 rsinθ 1 sinθ (cosθ 3 ),x 4 rsinθ 1 sinθ (sinθ 3 ) (x 1 +x +x 3 +x 4 r になっていることに注意 ) dx 1 drcosθ 1 rsinθ 1 dθ 1 dx drsinθ 1 cosθ +rcosθ 1 dθ 1 cosθ rsinθ 1 sinθ dθ dx 3 drsinθ 1 sinθ cosθ +rcosθ 1 sinθ cosθ 3 dθ 1 +rsinθ 1 cosθ cosθ 3 dθ rsinθ 1 sinθ sinθ 3 dθ 3 dx 4 drsinθ 1 sinθ sinθ 3 +rcosθ 1 sinθ cosθ 3 dθ 1 +rsinθ 1 cosθ sinθ 3 dθ +rsinθ 1 sinθ cosθ 3 dθ 3 (dx 1 ) +(dx ) +(dx 3 ) 3 +(dx 4 ) 3 (dr) +r (dθ 1 ) +(rsinθ 1 ) (dθ ) +(rsinθ 1 sinθ ) (dθ 3 ) g 11 (dr) +g (dθ 1 ) +g 33 (dθ ) +g 44 (dθ 3 ) gg 11 g g 33 g 44 r (rsinθ 1 ) (rsinθ 1 sinθ ) V 4 π π a4 4 π a4 4 a4 4 π dr r 6 sin 4 θ 1 sin θ π dθ 1 dθ g r 3 sin θ 1 sinθ dθ 1 dθ dθ 3 sin θ 1 sinθ dθ 1 dθ dθ 3 sin θ 1 dθ 1 sinθ dθ dθ 3 1+cosθ 1 dθ 1 ()(π) π a 4 これは4 次元の球の体積である () 同じ計算ではあるがガンマ関数を用いて 4 次元の球の体積を計算する 5
1.7 ガンマ関数を用いて 4 次元の球の体積の計算 ( V 4 π π r 3 dr)( a4 sin θ 1 dθ 1 )( ) r 3 sin θ 1 sinθ dθ 1 dθ dθ 3 r 3 sin θ 1 sinθ dθ 1 dθ dθ 3 sinθ dθ d) ) θ 3 ) 4 Γ(1 )Γ(+1 Γ( 1 )Γ(1+1 Γ( 1 )Γ(+1 Γ( +1) Γ( 1 +1) Γ( +1) a4 4 Γ(1 )Γ(3 ) Γ( 1 )Γ(1) Γ( 1 )Γ(1 ) Γ( +1) Γ( 1 +1) Γ(1) a4 Γ( 1 )41 Γ(1 ) 1 1 πa4 1 Γ(1 ) 6
1.8 5 次元の球の体積 x 1 rcosθ 1,x rsinθ 1 cosθ,x 3 rsinθ 1 sinθ cosθ 3,x 4 rsinθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4,x 5 rsinθ 1 sinθ sinθ 3 sinθ 4 dx 1 drcosθ 1 rsinθ 1 dθ 1 dx drsinθ 1 cosθ +rcosθ 1 dθ 1 cosθ rsinθ 1 sinθ dθ dx 3 drsinθ 1 sinθ cosθ +rcosθ 1 sinθ cosθ 3 dθ 1 +rsinθ 1 cosθ cosθ 3 dθ rsinθ 1 sinθ sinθ 3 dθ 3 dx 4 drsinθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4 +rcosθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4 dθ 1 +rsinθ 1 cosθ sinθ 3 cosθ 4 dθ +rsinθ 1 sinθ cosθ 3 cosθ 4 dθ 3 rsinθ 1 sinθ sinθ 3 sinθ 4 dθ 4 dx 5 drsinθ 1 sinθ sinθ 3 sinθ 4 +rcosθ 1 sinθ sinθ 3 sinθ 4 dθ 1 +rsinθ 1 cosθ sinθ 3 sinθ 4 dθ +rsinθ 1 sinθ cosθ 3 sinθ 4 dθ 3 +rsinθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4 dθ 4 (dx 1 ) +(dx ) +(dx 3 ) +(dx 4 ) 3 +(dx 5 ) (dr) +r (dθ 1 ) +(rsinθ 1 ) (dθ ) +(rsinθ 1 sinθ ) (dθ 3 ) +(rsinθ 1 sinθ sinθ 3 ) (dθ 4 ) g 11 (dr) +g (dθ 1 ) +g 33 (dθ ) +g 44 (dθ 3 ) +g 55 (dθ 3 ) gg 11 g g 33 g 44 g 55 r (rsinθ 1 ) (rsinθ 1 sinθ ) (rsinθ 1 sinθ sinθ 3 ) π sin 3 θ 1 dθ 1 sin θ dθ V r 8 sin 6 θ 1 sin 4 θ sin θ 3 dr π dθ 1 dθ dθ 3 g r 4 sin 3 θ 1 sin θ sinθ 3 dθ 1 dθ dθ 3 sin 3 θ 1 dθ 1 Γ(1 )Γ(3+1 ) Γ( 3 +1) (1) sin θ dθ Γ(1 )Γ(n+1 ) Γ( n +1) () sinθ 3 dθ 3 Γ(1 )Γ(1+1 ) Γ( 1 +1) (3) 7
( 公式 A を用いて θsin n θdθ Γ(1 )Γ(n+1 ) Γ( n +1) であるからθ 1 の範囲は [,π] でなく [,π] に注意して sin 3 θ 1 dθ 1 ) Γ(1 )Γ(3+1 ) Γ(3/+1) Γ(1 )Γ() Γ(5/) Γ(1 )Γ() 31 Γ(1/) 1 8 3 sin θ dθ Γ(1 )Γ(+1 ) Γ(/+1) Γ(1 )1 Γ(1 ) Γ() 3 1 ここで Γ( 1 ) π であるから V ( r 4 dr)(( sin 3 θ 1 dθ 1 ))( π sinθ 3 dθ 3 Γ(1 )Γ(1+1 ) Γ(1/+1) Γ(1 )Γ(1) 1 Γ(1/) と r 4 dr a5 5 と また sin θ dθ )(( sinθ 3 dθ 3 )( 8π dθ 4 π だから dθ 4 ) a5 5 3 π 8π a 5 15 これは5 次元の球の体積である 8
1.9 5 次元の球の体積 : もう一度計算を見てみる x 1 rcosθ 1,x rsinθ 1 cosθ,x 3 rsinθ 1 sinθ cosθ 3,x 4 rsinθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4,x 5 rsinθ 1 sinθ sinθ 3 sinθ 4 dx 1 drcosθ 1 rsinθ 1 dθ 1 dx drsinθ 1 cosθ +rcosθ 1 dθ 1 cosθ rsinθ 1 sinθ dθ dx 3 drsinθ 1 sinθ cosθ +rcosθ 1 sinθ cosθ 3 dθ 1 +rsinθ 1 cosθ cosθ 3 dθ rsinθ 1 sinθ sinθ 3 dθ 3 dx 4 drsinθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4 +rcosθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4 dθ 1 +rsinθ 1 cosθ sinθ 3 cosθ 4 dθ +rsinθ 1 sinθ cosθ 3 cosθ 4 dθ 3 rsinθ 1 sinθ sinθ 3 sinθ 4 dθ 4 dx 5 drsinθ 1 sinθ sinθ 3 sinθ 4 +rcosθ 1 sinθ sinθ 3 sinθ 4 dθ 1 +rsinθ 1 cosθ sinθ 3 sinθ 4 dθ +rsinθ 1 sinθ cosθ 3 sinθ 4 dθ 3 +rsinθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4 dθ 4 (dx 1 ) +(dx ) +(dx 3 ) +(dx 4 ) 3 +(dx 5 ) (dr) +r (dθ 1 ) +(rsinθ 1 ) (dθ ) +(rsinθ 1 sinθ ) (dθ 3 ) +(rsinθ 1 sinθ sinθ 3 ) (dθ 4 ) g 11 (dr) +g (dθ 1 ) +g 33 (dθ ) +g 44 (dθ 3 ) +g 55 (dθ 3 ) の計算を丁寧に見てみる (dθ k ) の係数 この係数で値を持つのは (dx k ) 以上であるので Σ n+1 ik (dx i) を計算すればよい 例えば (dθ ) の係数 ( rsinθ 1 sinθ ) +(rsinθ 1 cosθ cosθ 3 ) +(rsinθ 1 cosθ sinθ 3 cosθ 4 ) +(rsinθ 1 cosθ sinθ 3 sinθ 4 ) ( rsinθ 1 sinθ ) +(rsinθ 1 cosθ cosθ 3 ) +(rsinθ 1 cosθ sinθ 3 ) ( cos θ 4 +sin θ 4 1) ( rsinθ 1 sinθ ) +(rsinθ 1 cosθ ) ( cos θ 3 +sin θ 3 1) ( rsinθ 1 sinθ ) +(rsinθ 1 cosθ ) ( cos θ 3 +sin θ 3 1) r sin θ 1 (dθ 3 ) の係数 (rsinθ 1 sinθ sinθ 3 ) +(rsinθ 1 sinθ cosθ 3 cosθ 4 ) +(rsinθ 1 sinθ cosθ 3 sinθ 4 ) 9 (rsinθ 1 sinθ ) (dθ 4 ) の係数 (rsinθ 1 sinθ sinθ 3 sinθ 4 ) +(rsinθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4 ) (rsinθ 1 sinθ sinθ 3 ) (dθ 1 ) の係数は r で (dr) の係数は 1 となる (3)
これより (dθ i+1 ) の係数 (dθ i ) の係数 sin θ i であることがわかる これは一般に成り立つ dθ i dθ k (k>i) の係数 (i,k4)dθ dθ 4 (k>i) の係数これが現れるのはk4 なのでdx 4 とdx 5 +(rsinθ 1 cosθ sinθ 3 cosθ 4 )( rsinθ 1 sinθ sinθ 3 sinθ 4 ) +rsinθ 1 cosθ sinθ 3 sinθ 4 )(rsinθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4 ) (i1,k)dθ 1 dθ (k>i) の係数 (rcosθ 1 cosθ )( rsinθ 1 sinθ )+ (rcosθ 1 sinθ cosθ 3 )(rsinθ 1 cosθ cosθ 3 )+ (rcosθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4 )(rsinθ 1 cosθ sinθ 3 cosθ 4 )+ (rcosθ 1 sinθ sinθ 3 sinθ 4 )(rsinθ 1 cosθ sinθ 3 sinθ 4 ) r (cosθ 1 cosθ )(sinθ 1 sinθ )( 1+cos θ 3 +sin θ 3 cos θ 4 +sin θ 3 sin θ 4 ) r (cosθ 1 cosθ )(sinθ 1 sinθ )( 1+cos θ 3 +sin θ 3 ) これもcos θ 4 +sin θ 4 1,cos θ 3 +sin θ 1 を繰り返してになる 一般に dθ i dθ k (k>i) の係数 となる dθ i dθ k (k>i): r (cosθ 1 cosθ i )(sinθ 1 sinθ i ) ( 1+cos θ i+1 +sin θ i+1 (cos θ i+ +sin θ i+ ( )) (4) (dθ 1 ) の係数は r で (dr) の係数は 1 となる drdθ k (k>i) の係数 dθ i dθ k (k>i) の係数 これを踏まえてn 次元の球の体積の計算をする だらだらと書いてきたが これよりn 次元の球の体積を計算する 本当は ここだけでよかったのであるが 前置きを書いてしまった ここまでの説明も論理的に書くというよりむしろ考え方が分かるように配慮した 1
つもりである 証明がきちんと書かれていてもわからないということを避 けたのである ここまで述べてきたことを一般化して書くことができるな ら 証明も難しくはないはずである 11
1.1 n 次元の球の体積 x 1 rcosθ 1,x rsinθ 1 cosθ,x 3 rsinθ 1 sinθ (cosθ 3 ),x 4 rsinθ 1 sinθ (sinθ 3 )cosθ 4 x n 1 rsinθ 1 cosθ n 1 x n rsinθ 1 sinθ n 1 dx 1 drcosθ 1 rsinθ 1 dθ 1 dx drsinθ 1 cosθ +rcosθ 1 dθ 1 cosθ rsinθ 1 sinθ dθ dx 3 drsinθ 1 sinθ cosθ +rcosθ 1 sinθ cosθ 3 dθ 1 +rsinθ 1 cosθ cosθ 3 dθ rsinθ 1 sinθ sinθ 3 dθ 3 dx 4 drsinθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4 +rcosθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4 dθ 1 +rsinθ 1 cosθ sinθ 3 cosθ 4 dθ +rsinθ 1 sinθ cosθ 3 cosθ 4 dθ 3 rsinθ 1 cosθ sinθ 3 sinθ 4 dθ dx n 1 drsinθ 1 cosθ n 1 sinθ n +rcosθ 1 cosθ n 1 θ 1 + +rsinθ 1 cosθ n 1 θ rsinθ 1 sinθ n 1 dθ n 1 dx n drsinθ 1 sinθ n 1 +rcosθ 1 sinθ n 1 dθ 1 + + +rsinθ 1 cosθ sinθ n 1 dθ + +rsinθ 1 cosθ n 1 dθ n 1 Σ dx i ) を計算する (dr) :cos θ 1 +sin θ 1 cos θ +sin θ 1 sin θ cos θ 3 + +sin θ 1 sin θ cos θ 3 cos θ n 1 +sin θ 1 sin θ cos θ 3 sin θ n 1 1 (dθ k ) :(r sinθ 1 r cos θ k )sin θ k+1 sin θ n 1 +(r sinθ 1 r cos θ k )sin θ k+1 cos θ n 1 +(r sinθ 1 r cos θ k )sin θ k+1 cos θ n 1 +(r sinθ 1 r cos θ k )sin θ k+1 cos θ n + +(r sinθ 1 r cos θ k )cos θ k+1 r sinθ 1 r cos θ k また 計算を略すが (drθ k ):,(dθ k dθ j ):(j k) gg 11 g nn r (rsinθ 1 ) (rsinθ 1 sinθ sinθ 3 cdots(rsinθ 1 sinθ n 1 ) r n sin n 4 θ 1 sin n 6 θ (sinθ 1 sinθ sinθ 3 sinθ n ) 1 r n Π n i sinn i θ i (5)
確認 V n an n V n sin n 3 θ 1 dθ dθ π r n 1 dr sinθ n dθ n sin n θ 1 dθ 1 dθ n 1 ここで θsin n θdθ Γ(1 )Γ(n+1 ) Γ( n +1) であるので これを用いて計算できる すると Γ( 1 )Γ(n 1 ) Γ( 1 )Γ(n ) Γ( n +1) Γ( n 3 +1) Γ( 1 )Γ(n 3 ) Γ(1 Γ( n 4 +1) an n )Γ(1 ) Γ(1) Γ( 1 )n Γ( n ) ここで, 公式 A を用いて Γ( 1 )π1 であるので an π n nγ( n ) これは n 次元の球の体積である 13
V n an π n nγ( n ) 確認してみる n V a π Γ( ) a π πa n3 V 3 a3 π 3 3Γ( 3 ) a3 π 3 3 1 Γ(1 ) 4πa3 3 n4 V 4 a4 π 4 4Γ( 4 a4 π ) 4Γ() a4 π 1 π a 4 n5 V 5 a5 π 5 5Γ( 5 ) a5 π 5 5 3 1 Γ(1 ) a5 π 5 5 3 1 π1 8a5 π 15 と確認できた 14
付録.1 ガンマ関数 s を有理数とするとき Γ(s) x s 1 exp( x)dx で定義する 部分積分をして Γ(s) x s 1 exp( x) +(s 1) x s exp( x)dx +(s 1) x s exp( x)dx(s 1)Γ(s 1) s 1 の時 Γ( 1 ) x 1 1 exp( x)dx π が成り立つ その理由はここで zx 1 とおくと dzx 1 dx Γ( 1 ) exp( x )dx π この式でピンとこない人はとりあえず Γ( 1 ) π を認めて欲しい 15
. ベータ関数 ベータ関数を B(p,q) 1 xp 1 (1 x) q 1 dx で定義する すると部分積分をして B(p,q) 1 xp 1 (1 x) q 1 dx 1 p xp (1 x) q 1 1 1 1 p xp 1 ( q)(1 x) q dx q 1 p q 1 q p (q 1)(q ) 1 xp (1 x) q dx q 1 p B(p+1,q 1) p+1 B(p+,q ) p(p+1) B(p+,q ) (q 1) 1 xp+q 1 1 (1 x) 1 1 dx (q 1) 1 xp+q 1 1 dx p(p+1) (p+q ) p(p+1) (p+q ) (q 1) p(p+1) (p+q )(p+q 1) (q 1) 1 p(p+1) (p+q )(p+q 1) (p 1)!(q 1)! (p 1)!p(p+1) (p+q )(p+q 1) (q 1) p(p+1) (p+q ) B(p+q 1,1) ここで Γ(p)(p 1)!Γ(q)(q 1)!,Γ(p+q)(p+q 1)! などより B(p,q) Γ(p)Γ(q) Γ(p+q) この式で xsin θ とおくとdxsinθcosθdθ B(p,q) 1 xp 1 (1 x) q 1 dx sinp 1 θcos q 1 θdθ を得る 勿論 sinp 1 θcos q 1 θdθ Γ(p)Γ(q) Γ(p+q) ここでp,q が有理数の場合でも 今までの議論は適用できることをお 断りしておく 16