Arl, 6 平成 8 年度学部前期 教科書 : 力学 Ⅱ( 原島鮮著, 裳華房 金用日 :8 限,9 限, 限 (5:35~8: 丸山央峰 htt://www.orootcs.mech.ngo-u.c.j/ Ngo Unverst, Borootcs, Ar L
5. 変分法 (5. 変分法 汎関数 : 関数の関数 (, (, ( =, = では, の値は変えないで, その間の に対する の値をいろいろと変えるとき, の値が極地をとるような関数 ( はどのような関数形であるかという問題を考える. そのような関数が求められたとし, そのからのずれを変分 δ とよぶと, 右図より, ( ( 即ち ( 極値をとる : 曲線の形状を極微小だけ変化させたとき の変化が零であること Ngo Unverst, Borootcs, Ar L
Ngo Unverst, Borootcs, Ar L 5. 変分法 (5. 変分法 よって が極値をとるためのは,δ=,δ は任意なのであるいは, 合成関数の微分公式より与えられた変分法の問題についての Euler の微分方程式 ( ( (, (, ( = 左辺では,,, は独立と考える
5. 変分法 (5. 変分法 例 平面上の 定点の長さが極小となる曲線を求めよ. < 解 > 曲線の長さ B A s B Euler の方程式で よって あるいは const (,, C D として A ( s s ( ( ( ( ( Ngo Unverst, Borootcs, Ar L
Ngo Unverst, Borootcs, Ar L 5. 変分法 (5. 変分法 例 円柱面 ( 半径 R 上の 定点の長さが極小となる曲線を求めよ. < 解 > 曲線の長さ Euler の方程式でとしてよって R R s B A B A B A ( ( R,, ( R const D C
5. 変分法 (5. 変分法 例 3 球面 ( 半径 R 上の 定点の長さが極小となる曲線を求めよ. < 解 > 曲線の長さは, 球座標 (r,θ,φ を用いて Euler の方程式で よって A sn sn 4 (sn B s sn A sn C C C sn B ( R ( R sn (,, sn sn sn ( sn C sn C C sn sn R として A B sn const φ θ r Ngo Unverst, Borootcs, Ar L C m
ここで,cotθ=t とおく 5. 変分法 (5. 変分法 cot cos sn C C t t sn sn sn C C ( t / C t sn( D D D sn( cot D sn( cot / C D sn sn( cos D( sn sn cos sn cos sn cos D( cos sn この式は原点を通る平面を表している. φ θ r m Ngo Unverst, Borootcs, Ar L
Ngo Unverst, Borootcs, Ar L 5. 変分法 (5. 変分法 例 4 最速降下線問題をもとめよ < 解 > 必要な時間 Euler の方程式でとしてよって t g g s s t 3,, ( ( o g P
5. 変分法 (5. 変分法 ( を解く, ( cos ( cos (cos ( sn 初期条件 =(θ= で = ( sn ( cos Ngo Unverst, Borootcs, Ar L
5. 変分法 (5. 変分法 以上より解はサイクロイド曲線を描く ( sn ( cos サイクロイド曲線 : つの曲線に沿って円が転がるとき, 円周上の 点が描く曲線がサイクロイド曲線である. Ngo Unverst, Borootcs, Ar L
5. 変分法 (5. 変分法 つまたはそれ以上の未知関数がある場合 : 汎関数は次式で表され, (, (, (,, (, (, これを極小にするような関数を求めることとなる. Euler の微分方程式は Ngo Unverst, Borootcs, Ar L
5. 変分法 (5. 変分法 未知関数が他の拘束条件を満足しなければならない場合 : 即ち積分 を g(,, (, 与えられた値 が満足される範囲内で極大または極小にするような =( を求める., Lgrnge の未定乗数法 未定乗数 λ は次式から求める. (,, g(,, g(,, Ngo Unverst, Borootcs, Ar L
5. 変分法 (5. 変分法 例 5 重力場でつるされた両端を固定された糸の形を求めよ. < 解 > 糸の長さが一定の元で糸全体の位置エネルギーが最小となる. 汎関数拘束条件 s Lgrnge の未定乗数法より ( U 保存力であり系全体で δu= と考える s g s Q θ T Euler の微分方程式は ( T P θ σgs Ngo Unverst, Borootcs, Ar L
5. 変分法 (5. 変分法, ( ( ( 整理して, 積分して c Ngo Unverst, Borootcs, Ar L
5. 変分法 (5. 変分法 これから ここで, c 積分するとしたがって c u とおくと c u c rccosh( u c cosh c c c u rcsn h c c rccosh c c e snh e cosh e e c Ngo Unverst, Borootcs, Ar L
5. 変分法 (5. 変分法 c 境界条件でより c cosh c この解を拘束条件に導入して よって 上式より c が決まる. snh c c cosh c 懸垂曲線 g また, 解と c より λ が決まる. c cosh c - O Ngo Unverst, Borootcs, Ar L
6. ダランベールの原理 (6. ダランベールの原理 運動の第 法則より ma F F... F n 慣性項を力の項に移項して, F F... Fn ma 質点に働く実際の力と慣性抵抗とを合わせたものはつり合いにある力の系を形作っている. X Y Z Y X Z...... Y... Z 慣性抵抗は 加えられた力 の仲間に入れられる. ( 束縛力でなく n X n n m m m Ngo Unverst, Borootcs, Ar L
6. ダランベールの原理 (6. ダランベールの原理 質点に働く実際の力の法線成分と, 仮想的な力であるの遠心力とはつりあう. 例 : 円錐振り子で周方向の運動が制御されているが制御されていなければ 自由度系である. mv / r mr Ngo Unverst, Borootcs, Ar L
6. ダランベールの原理 (6. ダランベールの原理 ダランベールの原理 ml sn S cos mg S sn θ δθ l g cos S 仮想仕事の原理糸の傾きを θ から θ+δθ に変わる仮想変位を考える. mg mgsnθω ml sn cos l mg sn l l g cos Ngo Unverst, Borootcs, Ar L
Ngo Unverst, Borootcs, Ar L つり合い の必要十分条件を 運動力学 に拡張 Lgrnge の変分方程式 ( ダランベールの原理 移項して, 特に保存力の場合積分して 6. ダランベールの原理 (6. ダランベールの原理 m Z m Y m X Z Y X m ( U m ( t t t m Z m Y m X
宿題 教科書 6 章の問題 3 教科書 6 章の問題 5 Wor 一太郎等での作成 OK 紙で書いたものを写真でとっても OK Ngo Unverst, Borootcs, Ar L