長柱の座屈 断面寸法に対して非常に長い柱に圧縮荷重を加えると 初期段階においては一様圧縮変形を生ずるが ある荷重に達すると急に横方向にたわむことがある このように長柱が軸圧縮荷重を受けていて突然横方向にたわむ現象を座屈といい この現象を示す荷重を座屈荷重 cr このときの応力を座屈応力 s cr という 図 に示すように一端を鉛直な剛性壁に固定された長柱が自 図 曲げと圧縮を受けるはり + 由端に圧縮力 を受ける場合を考えよう 柱の長手方向に 軸を採り 柱のたわみを とする この柱から図 に示すように左端から距離 にある点から長さ の微小要素 ABCD を取り出し この要素について力のつり合い 力のモーメントのつり合いを考える 面 AB および CD に作用する軸力 せん断力および曲げモーメントは図に示すようであるとする また 面 AB お θ ds A M N B F d E C D M+dM N F+dF 図 微小長さ要素 θ θ N θ θ F F+dF 図 AB 面図 CD 面 N θ よび面 CD のたわみ角を q および q とする 図 および図 を参照しながら この微小要素 の力のつり合い式 力のモーメントのつり合い式を考えると以下のような式が立てられる 方向の力のつり合い N sin i - F cos i - N sin i + ] F + dfg cos i = -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -() 方向の力のつり合い N cos i + F sin i - ] F + dfg sin i - N cos i = -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -() E 点に関する力のモーメントのつり合い M + N cos i d + Fds - ] M + dmg - N sin i = -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -() 変形は微小であり q q (rad) << (rad) ( 約 57. ) であるから _ ds. b cos i., cos i. b d b sin i. i. tan i= ` -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -() b d d b sin i. i. tan i= + b a と考えることが出来る (A) 方向の力のつり合い 式 () は 式 () の関係を用いれば次のように書き直せる d d d N - F + ] F + dfg - N f + p = --
上式を整理すると d df - N = 両辺を で割れば df d - N = -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(5) となる ところで たわみ と曲げモーメント M の関係 d M =- を用いれば はりに生ずるせん断力 F と曲げモーメント M の関係は次のように書き直せる dm d F = =- -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(6) また 軸力 N と圧縮荷重 の関係は = N cos i. N _ or = N cos i. Ni であるから これらの関係を式 (5) に代入すれば d d - - = ここで = a とおけば d d + a = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(7) となる 微小要素 ABCD は静的なつり合いの状態にあるので 式 (7) を満たしているはずである (B) 方向の力のつり合い 式 () は 式 () の関係を利用して書き直せば 次のようになる d d d N + F - ] F + dfgf + p - N = d d d d d N + F - F - F - df - df - N = さらに式 (6) の関係を用いれば 次のように変形される d d d d d d d d d d N - + + + + - N = 上式で 5 次以上の微少量を無視すれば d d d d N - + - N = となり 上式は成立している ( 方向の力のつり合いが成立している ) ことが分かる (C)E 点に関する力のモーメントのつり合い 式 () は 式 () の関係を用いれば d M + Nd + F - ] M + dm g - N = --
さらに整理すれば d dm d N + F - - N = となる 式 (6) の関係に注意すれば 上式は自ら成立していることが分かる 以上の検討から 柱から切り出された微小要素が静的つり合い状態にあるという条件から d d + a = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(7) ただし a = が成立していなければならないことが分かる この条件式 (7) は 階の定数係数線形同次常微分方 程式であり 固有値は ( 重根 ) ia -ia であるから 一般解は次の形である ] g = C sin a + C cos a + C + C -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(8) 条件式 (7) は 柱が軸圧縮荷重を受けて横方向にたわんだ場合に 微小要素が静的つり合い条件を充 足していなければならないということから導かれたものであり 柱の両端の状態 ( 例えば 固定端とか 自由端 ) とは無関係である したがって 柱のたわみ式は 式 (7) を満たし かつ柱の両端の条件式 を満たす必要がある では次に 柱の両端の満たすべき条件について考えてみる 固定端の場合 回転端の場合 たわみおよびたわみ角が共にゼロであるから d =, = (9) 力のモーメントがゼロであるから d M d =- より = たわみもゼロであるから = である したがって d =, = -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - () 自由端の場合 θ θ sinθ 回転端の場合と同様にモーメントがゼロであるから d = 端末におけるはりに生ずるせん断力 F は 外力 と次の関係になる d F = sin i. i. tan i = -- - - - - - - - - - - - - - - - - - () 一方 せん断力 F とたわみ との間に式 (6) の関係があるから --
であるから 式 () は次のように書き直せる ここで d d + = = a と置いたから d d + a = となる したがって 自由端での端末条件は である d d d =, + a = -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - () 以上の結果を表に整理すると 表 に示すようになる 端末の形式 表 端末条件 端末条件 d 固定端 =, = d 回転端 =, = d d d 自由端 =, + a = 具体例 A 両端 A B が回転端の場合の長さ の長柱が圧縮荷重 を 受ける場合について考えてみよう 式 (7) の一般解 ] g = C sin a + C cos a + C + C - -(8) - が = および = で 表 に示す回転端の条件を満足するように定数 C C C C を定めれば良い したがって d =- a C sin C cos a - a a -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(9) d であるから = のとき =, = より C+ C= -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -() - a C = -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -() d = のとき =, = より 図 5 両端が回転端の長柱の圧縮 B --
C sin a + C cos a + C + C= -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -() -a C sin a - a C cos a = -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -() 式 () から () を行列を用いて表わせば J K K K K sin a K -a sin a L -a -a cos a cos a NJC N JN K K KC K K = K KC K KC K L L 定数 C C C C が同時に とならない解が存在するためには 係数行列式が すなわち -a sin a sin a -a -a cos a cos a = でなければならない 上式から次式が得られる a sin a = a! であるから sin a = となる したがって a = F, > であるからa F であることを考慮すれば a = nr ^n =,,,, gh であれば良い a = であるから 上式に代入し辺々 乗すれば = n r となるから 荷重 を求めると n r = ^n =,,, gh となる ただし n= のときは = となるからこれを除いた 上式から得られる最小の荷重はn = の ときであり このときの荷重をオイラーの座屈荷重 cr と呼んでいる r = cr -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -() 柱の軸に垂直な断面積を A とすれば オイラーの座屈応力 s cr は次のようになる cr cr I r Ar r r r = = E = E = E = E A A A m d n r -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(5) ただし r; 断面 次半径 (I = Ar ) -5-
-- : 細長比 ( m = r ) また 定数 C C C C を求めると C= C= C= となり 圧縮荷重がオイラーの座屈荷重と等 しいとき cr r r a = = = となるから たわみ () は となる r ] g = C sin 様々な端末条件を持つ長柱のたわみは 式 (8) の定数 C C C C を表 の条件で決定することであるが それらの場合の最小座屈荷重 cr はオーラーの座屈荷重の式の形に表わすことが出来る cr r r = k = e -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(6) ただし : 長柱長さ E: 縦弾性係数 I: 断面の図心を通る軸に関する断面 次モーメントの最小値 k: 端末条件係数 e : 相当長さ ( 有効長さ ) = e k 各端末条件に対する端末条件係数 k 相当長さ e は 表 に示すようになる 表 端末条件係数相当長さ ( 有効長さ ) 端末条件 k 両端回転端 一端固定端 他端自由端.5 一端固定端 他端回転端... 699.. 7 両端固定端 / また 座屈応力 s cr は 次式で与えられる e cr cr I r E Ar r E r E r E = = k = k = k = k A A A m d n r r E r E = = m me e o k -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(7) ただし A: 軸に垂直な断面積 r: 断面 次半径 (I = Ar )
: 細長比 ( m = r ) e: 相当細長比 ( m = m = e k r e ) 式 (6) (7) から分かるように 座屈荷重 座屈応力は長柱の長さ が短くなるに従い増大する ここでの説明で導かれた座屈荷重 座屈応力は 弾性変形を仮定している したがって 圧縮の比例限度以下の座屈荷重 座屈応力を与える e に対しては有効である オイラーの座屈荷重が有効性を失う短い柱に対しては 幾つかの実験式が与えられている 問題 一端固定端 他端自由端の条件のもとで長さ =.5m 断面が8mm # mmの矩形断面を持つ鋼材の座屈荷重 cr を求めよ ただし 縦弾性係数 E は 6Ga 安全率を として求めよ 解答 式 (6) に表 で与えられる相当長さ e を代入すれば求められる 断面 次モーメント I の値は 幅 b が mm 高さ h が 8mm と考えた方が 幅 b が 8mm 高さ h が mm と考えるよりも小さい したがって 表 から - - bh ^ # mh # ^8 # mh I = = =. 7 # = =. 5m = 5m e # したがって 式 (6) を用いれば m - 6 9 N - 6 r # 6 # #. 7 # m r m 5 cr = =.. 7 # N = 7. kn ] 5mg e 安全率を とすることから 座屈荷重 cr は上で求めた荷重の / となり となる cr = 6kN 問題 縦横寸法がmm # 9mmの矩形断面を持つ長さ が.m の木製の柱がある 両端固定の場合 この柱の座屈荷重を求めよ ただし 縦弾性係数 E を 7.8Ga とする 解答 最小の断面 次モーメント I は 幅 b が mm 厚さ h が 9mm の場合である したがって - - bh ^ # mh # ^9 # mh I = = = 7. 9 # m - 6 座屈荷重 cr は式 (6) に表 から得られる相当長さ e =/ を代入すると -7-
9. N - 6 r r # 7 9 # # 7. 9 # m m 5 cr = = =. 56 # N. 5kN e a. m k となる -8-
長柱の座屈エネルギー法による座屈荷重の推定 柱が圧縮変形しただけで平衡状態にある場合と圧縮変形を受けるとともに曲げ変形を受けて平衡状態 にある場合について考える 例えば 図 に示すように全長 に亙って一様な断面形状を持つ柱が 一端を固定 他端自由の支持状態の場合について考えてみる 軸に垂直な断面積を A 断面 次モーメントを I 縦弾性係数を E 曲げモーメントを M 撓みを とし 座標系は図に示すように採るものとする ( 原点は固定壁と中立軸の交点に取る ) 圧縮荷重および曲げ変形により生ずる 軸方向のひずみ e e は 次式で与えられる My d f=-, f= =- y EA E I 図 y 柱が圧縮変形のみを受けている場合のひずみエネルギー U は 次のようになる E E E U= # fd = # f d = # f d = # d- n d EA = # d = A = EA EA EA y 座標は中立軸 ( 図心を通る軸 ) から測っているから図心の y 座標 y はゼロである それ故 # A yda = ya = となることに注意すれば 圧縮変形および曲げ変形を同時に受けている柱のひずみエネルギー U は 次式で与えられる E E U= # fd = # f d = # _ f+ fi d R E d E S d d W = # f- - yp d = d yd y d + + f p EA S # # # E A EA W T X E A d E d = + # ; # ydae + # f p ; # y dae E A A A A = + EA # d f p したがって 柱が圧縮荷重 を受け圧縮変形と曲げ変形を同時にした場合と 圧縮変形のみをした場合のひずみエネルギーの差 du は d d du = U- U= + f p - = f p EA EA # # - - - - - - - - - -() で与えられる 柱が圧縮変形をのみを受け さらに曲げ変形を受けると 外力のポテンシャルエネルギーは減少する ( 柱の上端に重りを載せたことを想像すれば 圧縮変形により柱の上端は下方へ移動し さらに曲げ変形により下方に移動する したがって重りのポテンシャルエネルギー ( 位置エネルギー ) は減少する ) この減少量がどの程度になるかについて考えてみる 図 (c) において 曲がった柱の軸線の微小長さを ds とし その 軸方向の長さを 横方向の長さを d とすれば --
d () ds = > + d n H- ds d (a) 初期状態 (b) 圧縮変形のみ (c) 圧縮変形と曲げ変形図 柱の変形過程を分解して考える ] dsg = ] dg + ] g であるから d ds = + d n である 小さなたわみの場 合 たわみ角は非常に小さ い すなわち d % であるから 上式は次のよ うに展開される 柱の全長について考えれば したがって d ds = + d n # # # d = + # d n -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -() 柱が圧縮変形から圧縮変形と曲げ変形をした状態に移行すれば 外力 の作用位置が から に下が るから このことによる外力のポテンシャルエネルギーの変化 d は 式 () を用いれば となる d d = _ - i =- # d n -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -() 柱が荷重 の作用のもとで単純圧縮変形の状態からさらに曲げ変形もした状態に移行したときのひ ずみエネルギーの変化 du とその時生ずる外力のポテンシャルエネルギーの変化 d は 物体と外力を 一つの系と考えるときエネルギーは保存されるから du + d = である 式 () と式 () を用いて上式を書き直せば () f ] + hg = f ] g + f ] g h + f m] g h + g!! であるから = とすれば f h f! f h ] g = ] g + ] g +! f m] g h + g -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(A) となる ここでは f ] g = + であるとすれば 式 (A) は f ] hg = + h = + h + g となる h = d とおけば 求めた式が得られる --
# # -- d f p d - d n = となる 上式を部分積分すると 次式が得られる R = R d d = d d d S W S d W - # - - = S S # W = = W T X T X 上式の左辺第 項の積分をさらに部分積分すれば 次のように変形される R = = R d d d d d = S W S d W - + # - - = S S # W = = = W T X T X 上式をさらに整理すれば d d = = = d d d d - f + p + # * + = -- - - - -() = となる 左辺の第 項および第 項は いずれも柱の端末条件で決まる値を持つ 端末が固定端の場合 回転端の場合 自由端の場合の端末条件について考えてみる 固定端の場合 たわみおよびたわみ角が共にゼロであるから d =, = - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(5) 回転端の場合 力のモーメントがゼロであるから d M d =- より = たわみもゼロであるから = である したがって d =, = -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(6) 自由端の場合 θ θ sinθ 回転端の場合と同様にモーメントがゼロであるから d = 端末におけるはりに生ずるせん断力 F は 外力 と次の関係になる d F = sin i. i. tan i = -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(7) 一方 dm d F = =- -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(8) であるから 式 (7) と (8) から
-- d d + = ここで とおけば = a d d + a = となる したがって 自由端での端末条件は である d d d =, + a = -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(9) 以上の結果を表に整理すると 表 に示すようになる 表 端末条件 端末の形式 端末条件 固定端 =, d = d 回転端 =, = d d d 自由端 =, + a = 以上の考察から 式 () の左辺の第 項は 表 に示す端末条件により いずれの端末の形式であっても共にゼロになる したがって 次式が得られる # d d * + = 上式が常に成り立つためには d d = or + = である しかし = の条件は 単純圧縮変形であるからこれを除けば d d + = が成立する = a とおけば 次のようになる d d + a = -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -()