放物運動 解答のポイント 初速度, 水平との角度 θ で 高さ の所から投げあげるとき 秒後の速度 =θ =θ - 秒後の位置 =θ 3 ( 水平飛行距離 ) =θ - + 4 ( 高さ ) ~4 の導出は 基本問題 参照 ( 地上から投げた場合の図 : 教科書参照 ) 最高点の 高さ 最高点では において = 水平到達距離 より 最高点に到達する時刻 を求め 4に代入すると最高点の高さH 地上では 4において = 地上につくときの時刻 を求め 3に代入すると飛行距離 Rがでる ( のときは 4(の 次方程式 ) を解の公式で解く ) 軌道の方程式は 3 4 から時刻 を消去して と の関係式を求める 3 式から を求め それを 4 式に代入する 最高点 飛行距離 ( 最高到達距離 ) 軌道の方程式は基本問題 参照 - -
( 基本問題 ) 質量 mのボールを高さのビルから初速度 水平との角度 θの方向に 投げ上げた このとき 水平方向 鉛直方向の運動方程式をたて 秒後の速度と位置を 求めなさい ただし 水平方向に 軸 鉛直方向に 軸を取り 地上を原点とする ( 解答例 ) 図を書いて 力を書き込み 力の 成分 成分を求める 働く力は F=( -m ) F= ( 力なし 等速 ) F=-m ( 一定の力 ) 次元の直線運動ではないので 方向それぞれについて運動方程式を立てる 方向の加速度をa,aとして < 方向 > < 方向 > () 運動方程式 () 運動方程式 ma= ma=-m () 水平方向の加速度 () 鉛直方向の加速度 a = a=- ( 等加速度 ) 3 初速度 水平との角度 θの方向に投げたときの 秒後の速度を求める () 方向の初速度を求める 図より 方向の初速度 方向の初速度 = θ = θ θ ()= o +aに前問 () および 3() を代入して 秒後の速度を求める 水平方向の速度鉛直方向 ( 上下方向 ) の速度 = +a = +a = θ = θ- 4 秒後の位置を求める 高さの所から投げ上げたとすると = = よって 秒後の水平距離は よって 秒後の高さは ()=+ ()= + + / a = θ =+ θ - / - -
( 基本問題 ) 高さのビルから初速度 角度 θの方向に質量 mの物体を投げ上げた () 運動方程式 ma= a= ma=-m a=- () 物体の 秒後の速度 () () および 秒後の位置 () () ()= θ () ()= θ- () ()= θ (3) ()= + θ - / (4) (3) 物体の最高点の高さHと その時の時刻 最高点では鉛直 方向の速さがなので () より ()= θ-= = θ/ () その時の高さは 秒後の高さを表す (4) に時刻 の () 四季を大入して ()= + θ - / =+ θ/ - / ( θ/) =+ θ/ (4) 物体が地上に落下するときの時刻 水平到達距離 R その時の速度 V V 地面に落ちるときは 高さ= 解の公式 よって (4) 式より この 次方程式を解いて 落下時間を求めるこの時 解の公式を使う a +b+c= b b a 4 ( ) ( ) の解は 4ac 題意より > ( 平方根の前の符号が + のもの ) が解 飛行距離 R は (3) に を代入して ( ) 速度は () () に を代入して V = ( )= θ 方向の力 =なので 加速度 つまり 等速 ( 初速度を保つ ) - 3 -
V ( ) () 軌道の方程式は位置を表す (3) (4) 式より時刻 を消去する (3) より ( ) これを (4) 式に代入して と の方程式にする an これは上に凸の放物線の方程式であり 最高点は an an an よって これは放物線 =- a( - b) +c の形をしているので 最大値は =b のとき =c となる よって 高さ の最高点は のとき () 真上に投げるとき 加速度 - の等加速度直線運動をするので ( ) ( ) () () ただし 鉛直上向きを 軸の正の向きとする - 4 -
(a) 自由落下なので = m/s かつはじめの高さ = を (),() に代入して 秒後の速度および位置 ( 高さ ) は ( ) ( ) (3) (4) 地面に落ちたとき = なので (4) 式より.4( s) その時の速さは (3) 式より (.4).4 3.9( m / s) 着地時は下向きなので - 符号がつく (b) 下向きに m/s で投げるとき =- m/s を代入して ( ) ( ) 地上に落ちたとき = より その速さは 96 4.9 (.). 4.9( m / s).( s) (c) 真上に m/s で投げ上げるので = m/s ( ) ( ) 最高点では = より このときの高さは () に =/ を代入して 地上に落ちたとき = より /.( s) ( / ).8. 3m 96 4.9.3( s) その速さは (.).3 4.9( m / s) m/s で真下に投げる時と真上に投げあげる時とでは 着地時の速度は同じ - -
() 高さ の所から初速度 角度 θ で投げ上げたとき 秒後の速度は 方向 ( ) 方向 ( ) 秒後の位置は 方向 ( ) 3 方向 ( ) 4 () 題意より =,= = m/s θ= 3 よって 秒後の速度は 方向 () 3 3 方向 ( ) 3 9. 8 秒後の位置は 方向 ( ) 3 3 方向 ( ) 4.9 4 最高点では = より 式を使って.( s) 最高点の高さは を 4 式に代入して. 4.9..( m) 6 地上では=なので 4 式を使って 4.9.4( s) 4.9 7 飛行距離は 7 式を 3 に代入して ( ) 3.4 3.3( m) 8 () 同じ速さで角度 6 で投げたとき 秒後の速度は 方向 ( ) 6 ( ) 6 3 9. 8 方向 - 6 -
秒後の位置は 方向 ( ) 3 方向 ( ) 3 4.9 4 最高点では = より 式を使って 最高点の高さは を 4 式に代入して 3.77( s) 3.77 4.9.77.3( m ) 6 地上に着く時間は = より 4 式から ( ) 3 4.9 3 / 4.9 ( 3 3.3( s) 4.9 ) 飛距離はこれを3 に代入して ( ) 3.3 3.3( m) 角度 6 度で投げ上げたときの最高点の高さと飛距離は H=.3(m) R=3.3(m) 地上に着くまでの時間と最高点の高さは角度 3 で投げたときと異なるが 飛距離は角度 3 の場合と 6 の場合は 両方とも同じになる (3) 高さのある場所から投げ上げる問題 () 秒後の速度と位置の基礎式 ( ) ( ) ) ( ( ) に A B C 君の初期条件を入れていく はじめの高さは 3 つとも =. A 君 ( リンゴ ): 真下に落としたので 初速度は o = これを代入して はじめの角度は θ=7 = 3 π/ ( ) ( ) ( 3 ( 3 / ) / ), - 7 -
( ) ( ),. B 君 ( ボール ): 初速度は o =(m/s) これを代入して ( ) ( ) ( ) ( ) 水平に投げたので θ= 故に = =.().(),.., C 君 ( 石 ): 初速度は o =(m/s) 角度はθ=4 これを代入して ( ) ( / 4) 7. ( ) ( / 4) ( ) 7. ( ) / ()(a) はじめの高さを とすると 秒後の高さは ( ) 地面に落ちるときは = より この 次方程式を解いて 落下時間を求める この時 解の公式を使う 解の公式 a +b+c= b b a の解は 4ac (a) 落下時間を求める 地上に落ちた時の時間は = と置いて求めればよい A 君 : よって落下時間は A. - 8 -
B 君 : よって落下時間は B. C 君 : これは に対しての 次方程式であるので 解の公式を使う ( ) 4 ( ) C ( ) C >の解のみが適しているので C =.96(s) よって A,Bが. 秒後に同時に落ち Cは.96 秒後に落下する (b) 落下地点は () で求めたそれぞれの () に落下時間を代入して飛距離を求める 代入して計算すると R R R A B C,..,.96 3.9 よって C 君が一番遠くまで飛ぶ < 参考 最高点までの時間と 落下時間の関係について > C 君の投げた石が最高点に達するのは 4.7 一方 落下するのに要する時間は C この両方を比べると =.96(s) 高さのある点から投げた時 落下時間 最高点までの時間 つまり 落下するまでの時間は 最高点までの時間の 倍とはならない 次の図,はそれぞれ物体を地上から投げたときと 高いところから投げたときの軌道の略図である 図 は地上から投げた場合で 軌道は最高点で左右対称であり 最高点までの時間の 倍が落下時間になる 図 は高いところから投げた場合で 左右非対称であり 最高点までの時間の 倍より落下時間が長くなる - 9 -
図 地上からの投げ上げ (c= ) 図 高所からの投げ上げ (c> ) (4) 弾丸の初速度を とする 秒後の猿と弾丸の位置は 猿 : = - () 弾丸 := α - () = α (3) 弾丸が水平距離 だけ飛んだ時 その時刻は (3) より = (4) α このとき 猿と弾丸の高さの差は ()-() より Δ= - = - α α = - Δ= an α ここで an α= より = となり 弾丸は猿に命中する また その位置は (4) を () に代入して = - α - -