1/81 ページ フィボナッチ数列に現れる平方数 1 と 144 だけであることの証明 フィボナッチ数列と フィボナッチ数列と, 前の 2 つの数を加えると次の数になる という数列です ただし,1 番目と 2 番目の数両方とも 1 です 1, 1, 1 + 1 = 2 ですから,3 番目の数 2 になります 1, 1, 2, 1 + 2 = 3 ですから,4 番目の数 3 です 1, 1, 2, 3, 5 番目の数,2 + 3 = 5 です 1, 1, 2, 3, 5, このようにしてできる数列が, フィボナッチ数列 です 12 番目までのフィボナッチ数列, 次のようになります 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 12 番目までのフィボナッチ数列の中に, 平方数何個現れているでしょう 12 番目までに,1 番目と 2 番目に "1",12 番目に "144" という平方数が現れています "1" と "144" の,2 種類の平方数が現れているわけですね で,13 番目以降に, どんな平方数が現れるでしょうか 実, どんなにフィボナッチ数列を書いていっても,13 番目以降に永遠に平方数現れ ないのです このこと, 西暦 1964 年にコーンさんによって証明されました このページで, そのコーンさんの証明の内容を見ていきます ただし, 初等数学の知識で 理解できるように,( 行間を読み取らなくてよいように,) 証明を少し変えてあります
2/81 ページ 参考文献 次の書籍やウェブサイトを参考にしました フィボナッチ数の小宇宙 ( ミクロコスモス ) フィボナッチ数 リュカ数 黄金分割 フィボナッチ数列の中の平方数に関して完全に解説している, 日本で唯一無二の本かも知れ ません 素数が奏でる物語 2 つの等差数列で語る数論の世界 ( ブルーバックス ) 平方剰余の相互法則の第一補充法則 というカッコいい名前の法則を, この本で理解できま した 素数めぐる循環小数で語る数論の世界 ( ブルーバックス ) です 循環小数についての本いろいろ読みましたが, 素数との関係がわかりやすく書かれた本 世界 2 乗でできている自然にひそむ平方数の不思議 ( ブルーバックス ) フィボナッチ数列の中の平方数に関する証明の概略が書いてあり, 霧が晴れた気持ちにな りました 144: フィボナッチ数と平方数 (http://integers.hatenablog.com/entry/2015/12/18/000000) フィボナッチ数列と平方数に関して, 完全に証明しているサイトです
3/81 ページ 証明の大まかな流れ フィボナッチ数列に現れる平方数 1 と 144 だけであることの証明, 次のような流れ で進んでいきます 第 1 章フィボナッチ数列を, 拡張フィボナッチ数列にします 第 2 章リュカ数列と, 拡張リュカ数列を定義します 第 3 章 18 個の予備の定理を証明します 第 4 章素因数分解に関する定理を証明します 第 5 章リュカ数列に現れる平方数,1 と 4 だけであることを証明します 第 6 章リュカ数列に現れる 2 平方数,18 だけであることを証明します 第 7 章 < 最終定理 > フィボナッチ数列に現れる平方数,1 と 144 だけであることを証明します
4/81 ページ 第 1 章フィボナッチ数列を, 拡張フィボナッチ数列にします フィボナッチ数列の定義 フィボナッチ数列 と,1 番目と 2 番目が 1 で,3 番目から, 前の 2 つの数を加えると 次の数になる という数列です 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, フィボナッチ数列の 1 番目が 1 であることを, と表すことにします 2 番目も 1 ですから, です 3 番目 2 ですから, です 同じように考えると, 次のようになります 前の 2 つの数を加えると次の数になるのですから, を自然数として, < フィボナッチ数列の定義 > となります 拡張フィボナッチ数列と ところで, たし算の逆ひき算ですから, たとえばから, となります 同じように考えれば, を定義することができて, 次のよう になります
5/81 ページ このように, だけでなく, もふくめ た, を, 拡張フィボナッチ数列と名付けることにします 拡張フィボナッチ数列の定理 先ほど名付けた拡張フィボナッチ数列を,Fn と F-n とをくらべやすいように整理すると, 次の ようになります ね が奇数のとき, で, が偶数のとき, となっているようです つまり, < 拡張フィボナッチ数列の定理 > が 0 以上の整数のとき, が成り立つ ( 証明 ) に関する数学的帰納法で証明します のとき, 左辺 =, 右辺 = なので, 成り立っています のとき, 左辺 =, 右辺 = なので, 成り立っています まり, のときと, のときに, 与式が成り立っていると仮定します つ ( 仮定式 1 と名付けます )
6/81 ページ と, が, 成り立っていると仮定するのです ( 仮定式 2 と名付けます ) このときに, のときの式である, が成り立つことを証明すれば, 完成です ( 証明すべき式 と名付けます ) ところで, にを代入すると, です ( フィボナッチ数列の定義 ) 式を整理して, 移項して, 上の式を利用して, 証明すべき式 の右辺 ( 上の式を利用 ) ( 分配法則 ) ( ) ( ) = 証明すべき式 の左辺 ( 仮定式 1, 仮定式 2) ( フィボナッチ数列の定義 ) よって, のときの式と, のときの式を仮定したときに, のときの式が成り立つので, 数学的帰納法により,< 拡張フィボナッチ数列の定理 >が成り立つことがわかりました
7/81 ページ 第 2 章リュカ数列と拡張リュカ数列を定義します フィボナッチ数列 と, 1 番目が 1, 2 番目も 1 で,3 番目から, 前の2つの数を加えると次の数になる という数列でした ( フィボナッチ数列の定義) リュカ数列, 前の2つの数を加えると次の数になる というところフィボナッチ数列と同じで,1 番目の数 1 であることもフィボナッチ数列と同じですが,2 番目が 1 でなく,3 であることが, フィボナッチ数列と違います リュカ数列, 次のように定義されます < リュカ数列の定義 > リュカ数列を 1 番目から 10 番目まで書くと, 次のようになります 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, リュカ数列も, 拡張フィボナッチ数列のように拡張することができます このように, だけでなく, もふくめた, を, 拡張リュカ数列と名付けることにします 拡張リュカ数列の定理 先ほど名付けた拡張リュカ数列を,Ln と L-n とをくらべやすいように整理すると, 次のように なります
8/81 ページ が偶数のとき, で, が奇数のとき, となっているようですね つまり, < 拡張リュカ数列の定理 > が 0 以上の整数のとき, が成り立つ ( 証明 ) 証明の内容,< 拡張フィボナッチ数列の定理 > とほとんど同じです に関する数学的帰納法で証明します のとき, 左辺 =, 右辺 = なので, 成り立っています のとき, 左辺 =, 右辺 = なので, 成り立っています のときと, のときに, 与式が成り立っていると仮定します つまり, ( 仮定式 1 と名付けます) と, ( 仮定式 2 と名付けます) が, 成り立っていると仮定するのです このときに, のときの式である, が成り立つことを証明すれば, 完成です ( 証明すべき式 と名付けます ) ところで, にを代入すると, です ( リュカ数列の定義 ) 式を整理して, 移項して,
9/81 ページ 上の式を利用して, 証明すべき式 の右辺 ( 上の式を利用 ) ( 分配法則 ) ( ) ( ) = 証明すべき式 の左辺 ( 仮定式 1, 仮定式 2) ( リュカ数列の定義 ) よって, のときの式と, のときの式を仮定したときに, のときの式が成り立つので, 数学的帰納法により,< 拡張リュカ数列の定理 >が成り立つことがわかりました リュカ数列, フィボナッチ数列に現れる平方数 1 と 144 だけである証明 に, 大変重要 な働きをします
10/81 ページ 第 3 章 18 個の予備の定理を証明します 第 5 章以降の定理を証明するために,18 個の予備の定理を証明する必要があります 証明に数学的帰納法を使ったものが数多くあります 通常の数学的帰納法, 次のようにして, すべての自然数 証明します に対して定理が成り立つことを のときに定理が成り立つのを証明する のときに定理が成り立つのを証明する のときと, のときに定理が成り立つことを仮定すると, のときに成り立つことが証明できる しかし, 拡張フィボナッチ数列や, 拡張リュカ数列の定理の場合, の場合も証明しなく てならないので, 次の場合にも成り立つことを証明しなければなりません のときと, のときに定理が成り立つことを仮定すると, のときに成り立つことが証明できる また, が自然数でなく, マイナスをふくめたすべての整数を表している場合, の ときとのときに定理が成り立つことを証明しなくても, たとえばのときとの ときのように, 連続していればどんな 2 つの整数を使っても構いません で,18 個の予備の定理を 1 つずつ, 証明していきましょう
11/81 ページ < 定理 3-1> が整数のとき, ( 証明 ) に関する数学的帰納法で証明します のとき, 左辺 =, ( リュカ数列) 右辺 =, ( 拡張 フィボナッチ数列 ) 左辺 = 右辺なので, 成り立っています のとき, 左辺 =, ( リュカ数列) 右辺 =, ( フィボナッチ数列) 左辺 = 右辺なので, 成り立っています のときと, のときに, 与式が成り立っていると仮定します つまり, ( 仮定式 1 と名付けます) と, ( 仮定式 2 と名付けます) が, 成り立っていると仮定するのです このときに, のときの式である, ( 証明すべき式 1 と名付けます) と, のときの式である, ( 証明すべき式 2 と名付けます) が成り立つことを証明すれば, 完成です 証明すべき式 1 の左辺 = 証明すべき式 1 の右辺 ( リュカ数列の定義) ( 仮定式 1, 仮定式 2) ( 交換 ) ( フィボナッチ数列の定義) また, フィボナッチ数列の定義により, 式を変形して,
12/81 ページ 変形した式のにを代入して, 変形した式のにを代入して, ( 途中式 1 と名付けます ) ( 途中式 2 と名付けます ) さらに, リュカ数列の定義により, 式を変形して, この式のにを代入して, ( 途中式 3 と名付けます ) 証明すべき式 2 の左辺 = 証明すべき式 2 の右辺 ( 途中式 3) ( 仮定式 1, 仮定式 2) ( 交換 ) ( 途中式 1, 途中式 2) よって, のときの式と, のときの式を仮定したときに, のときの式と のときの式が成り立つので, 数学的帰 納法により,< 定理 3-1>が成り立つことがわかりました
13/81 ページ < 定理 3-2> が整数のとき, ( 証明 ) に関する数学的帰納法で証明します 右辺 のとき, ( 拡張フィボナッチ 拡張リュカ数列 ) = 左辺なので, 成り立っています 右辺 のとき, ( フィボナッチ リュカ数列) ( 定理 3-1) ( 結合法則 ) ( フィボナッチ数列の定義) = 左辺なので, 成り立っています のときと, のときに, 与式が成り立っていると仮定します つまり, ( 仮定式 1 と名付けます) と, ( 仮定式 2 と名付けます) が, 成り立っていると仮定するのです このときに, のときの式である, ( 証明すべき式 1 と名付けます) と, のときの式である, ( 証明すべき式 2 と名付けます) が成り立つことを証明すれば, 完成です 証明すべき式 1 の右辺 ( フィボナッチ, リュカ数列の定義 ) ( 分配法則 )
14/81 ページ = 証明すべき式 1 の左辺 ( 交換 ) ( 仮定式 1, 仮定式 2) ( 分配法則 ) ( フィボナッチ数列の定義) 証明すべき式 2 の右辺 = 証明すべき式 2 の左辺 ( フィボナッチ, リュカ数列の定義 ) ( 分配法則 ) ( 交換 ) ( 仮定式 2, 仮定式 1) ( 分配法則 ) ( フィボナッチ数列の定義 ) よって, のときの式と, のときの式を仮定したときに, のときの式と のときの式が成り立つので, 数学的帰 納法により,< 定理 3-2>が成り立つことがわかりました
15/81 ページ < 定理 3-3> が整数のとき, ( 証明 ) に関する数学的帰納法で証明します 右辺 のとき, ( 拡張フィボナッチ 拡張リュカ数列 ) = 左辺なので, 成り立っています 右辺 のとき, ( フィボナッチ リュカ数列 ) = 左辺なので, 成り立っています ( 5=4+1, 定理 3-1) ( 結合法則 ) ( フィボナッチ数列の定義 ) ( 1+1=2) ( 4=2+2) ( 分配法則 ) ( フィボナッチ数列の定義 ) ( 分配法則 ) ( 定理 3-1) のときと, のときに, 与式が成り立っていると仮定します つまり, ( 仮定式 1 と名付けます) と, ( 仮定式 2 と名付けます) が, 成り立っていると仮定するのです このときに, のときの式である, ( 証明すべき式 1 と名付けます) と, のときの式である, ( 証明すべき式 2 と名付けます)
16/81 ページ が成り立つことを証明すれば, 完成です 証明すべき式 1 の右辺 = 証明すべき式 1 の左辺 ( フィボナッチ リュカ数列の定義 ) ( 分配法則 ) ( 交換 ) ( 仮定式 1, 仮定式 2) ( 分配法則 ) ( リュカ数列の定義 ) 証明すべき式 2 の右辺 = 証明すべき式 2 の左辺 ( フィボナッチ リュカ数列の定義 ) ( 分配法則 ) ( 交換 ) ( 仮定式 2, 仮定式 1) ( 分配法則 ) ( リュカ数列の定義 ) よって, のときの式と, のときの式を仮定したときに, のときの式と のときの式が成り立つので, 数学的帰 納法により,< 定理 3-3>が成り立つことがわかりました
17/81 ページ < 定理 3-4> が整数のとき, ( 証明 ) が偶数の場合と奇数の場合に分けて証明します < が偶数の場合 > として, ですから, を証明すればよいことになります に関する数学的帰納法で証明します 左辺 のとき, ( フィボナッチ数列 ) = 右辺なので, 成り立ちます のときに, 与式が成り立っていると仮定します つまり, が, 成り立っていると仮定するのです ( 仮定式 と名付けます ) このときに, のときの式である, ( 証明すべき式 1 と名付けます) と, のときの式である, ( 証明すべき式 2 と名付けます) が成り立つことを証明すれば, 完成です 証明すべき式 1 の左辺 ( フィボナッチ数列の定義) ( 分配法則 ) ( 交換 ) ( 分配法則 ) ( フィボナッチ数列の定義) ( フィボナッチ数列の定義) ( 分配法則 ) ( 交換 )
18/81 ページ ( 分配法則 ) = 証明すべき式 1 の右辺 ( フィボナッチ数列の定義 ) ( 仮定式 ) 証明すべき式 2 の左辺 ( フィボナッチ数列の定義) ( 分配法則 ) ( 交換 ) ( 分配法則 ) ( フィボナッチ数列の定義) ( フィボナッチ数列の定義) ( 分配法則 ) ( 交換 ) ( 分配法則 ) = 証明すべき式 2 の右辺 ( フィボナッチ数列の定義 ) ( 仮定式 ) よって, のときの式を仮定したときに, のときの式と のときの式が成り立つので, 数学的帰納法により,< 定理 3-4 > が偶数の場合に成り立つことがわかりました < が奇数の場合 > として, ですから, を証明すればよいことになります に関する数学的帰納法で証明します 左辺 のとき, ( 拡張 フィボナッチ数列 ) = 右辺なので, 成り立ちます のときに, 与式が成り立っていると仮定します つまり, ( 仮定式 と名付けます )
19/81 ページ が, 成り立っていると仮定するのです このときに, のときの式である, ( 証明すべき式 1 と名付けます) と, のときの式である, ( 証明すべき式 2 と名付けます) が成り立つことを証明すれば, 完成です 証明すべき式 1 の左辺 = 証明すべき式 1 の右辺 ( フィボナッチ数列の定義) ( 分配法則 ) ( 交換 ) ( 分配法則 ) ( フィボナッチ数列の定義) ( フィボナッチ数列の定義) ( 分配法則 ) ( 交換 ) ( 分配法則 ) ( フィボナッチの定義) ( 仮定式 ) 証明すべき式 2 の左辺 ( フィボナッチ数列の定義) ( 分配法則 ) ( 交換 ) ( 分配法則 ) ( フィボナッチ数列の定義) ( フィボナッチ数列の定義) ( 分配法則 ) ( 交換 ) ( 分配法則 ) ( フィボナッチの定義) ( 仮定式 )
20/81 ページ = 証明すべき式 2 の右辺 よって, のときの式を仮定したときに, のときの式 とのときの式が成り立つので, 数学的帰納法により,< 定理 3-4> が奇数の場合に成り立つことがわかりました 偶数のときも奇数のときも < 定理 3-4> が成り立つことがわかった ので,< 定理 3-4> 証明されました < 定理 3-5> が整数のとき, ( 証明 ) 左辺 ( 定理 3-1) ( フィボナッチ数列の定義) ( 1 + 1 = 2) ( 式の展開 ) ( 1-5 = -4) ( 分配法則 ) ( 分配法則 ) ( フィボナッチ数列の定義) = 右辺 ( 定理 3-4)
21/81 ページ < 定理 3-6> F 3 の倍数 = 偶数,F 3 の倍数でない = 奇数 ( 証明 ) を整数として, 次の式を証明できれば OK です = 偶数, = 奇数, = 奇数 に関する数学的帰納法で証明します のとき, = 偶数, = 奇数, = 奇数よって与式成り立っています つまり, のとき, 与式が成り立っていると仮定します = 偶数, = 奇数, = 奇数 ( 仮定式 と名付けます ) が成り立っていると, 仮定するのです このときに, のときの式である, と, = 偶数, = 奇数, = 奇数 のときの式である, = 偶数, = 奇数, = 奇数 が成り立つことを証明すれば, 完成です = 奇数 + 奇数 = 偶数, ( 仮定式 ) = 奇数 + 偶数 = 奇数, ( 仮定式と上の式 ) = 偶数 + 奇数 = 奇数, ( 上の式 ) = 奇数 - 偶数 = 奇数, ( 仮定式 ) = 偶数 - 奇数 = 奇数, ( 仮定式と上の式 ) = 奇数 - 奇数 = 偶数, ( 上の式 ) よって, 証明すべき式, すべて証明されました
22/81 ページ < 定理 3-7> L 3 の倍数 = 偶数,L 3 の倍数でない = 奇数 ( 証明 ) 定理 3-6 と, ほとんど同じ内容です を整数として, 次の式を証明できれば OK です = 偶数, = 奇数, = 奇数 に関する数学的帰納法で証明します のとき, = 偶数, = 奇数, = 奇数よって与式成り立っています つまり, のとき, 与式が成り立っていると仮定します = 偶数, = 奇数, = 奇数 ( 仮定式 と名付けます ) が成り立っていると, 仮定するのです このときに, のときの式である, = 偶数, = 奇数, = 奇数 と, のときの式である, = 偶数, = 奇数, = 奇数 が成り立つことを証明すれば, 完成です = 奇数 + 奇数 = 偶数, ( 仮定式 ) = 奇数 + 偶数 = 奇数, ( 仮定式と上の式 ) = 偶数 + 奇数 = 奇数, ( 上の式 ) = 奇数 - 偶数 = 奇数, ( 仮定式 ) = 偶数 - 奇数 = 奇数, ( 仮定式と上の式 ) = 奇数 - 奇数 = 偶数 ( 上の式 ) よって, 証明すべき式, すべて証明されました
23/81 ページ < 定理 3-8> が 3 の倍数でなければ, と互いに素で, が 3 の倍数であれば, との最大公約数 2 になる ( 証明 ) 大変面白い証明内容です 定理 3-5 により, 次のことがわかっています が整数のとき, よって,, かです との最大公約数をとすると, と表すことができます ただし, とと互いに素です の式を, 定理 3-5 の式に代入すると, か になります 式を変形して, か 分配法則を適用して, か よって, かの約数のうち, 平方数であるものなので, か です 最大公約数必ず正なので, かです ところで, 定理 3-6 と定理 3-7 により, F 3 の倍数 = 偶数,F 3 の倍数でない = 奇数 L 3 の倍数 = 偶数,L 3 の倍数でない = 奇数 よって, がの倍数でないならば, もも奇数なので, を約数に 持つことありません したがって, になり, と互いに素に なります
24/81 ページ また, がの倍数ならば, 定理 3-6 と定理 3-7 により, もも偶 数なので, を約数に持ちます したがって, になり, と の最大公約数になります < 定理 3-9> が整数のとき, ( 証明 ) に関する数学的帰納法で証明します 右辺 のとき, ( フィボナッチ数列 ) = 左辺なので, 成り立っています ( リュカ数列の定義 ) 右辺 のとき, = 左辺なので, 成り立っています ( フィボナッチ数列 ) ( 2 = 1 + 1) ( リュカ数列の定義 ) ( リュカ数列の定義 ) のときと, のときに, 与式が成り立っていると仮定します つまり, ( 仮定式 1 と名付けます) と, ( 仮定式 2 と名付けます) が, 成り立っていると仮定するのです このときに, のときの式である, と, のときの式である, ( 証明すべき式 1 と名付けます )
25/81 ページ が成り立つことを証明すれば, 完成です ( 証明すべき式 2 と名付けます ) 証明すべき式 1 の右辺 = 証明すべき式 1 の左辺 ( フィボナッチ数列の定義 ) ( 分配法則 ) ( 交換 ) ( 仮定式 1, 仮定式 2) ( リュカ数列の定義 ) 証明すべき式 2 の右辺 = 証明すべき式 2 の左辺 ( フィボナッチ数列の定義 ) ( 分配法則 ) ( 交換 ) ( 仮定式 2, 仮定式 1) ( リュカ数列の定義 ) よって, のときの式と, のときの式を仮定したときに, のときの式と のときの式が成り立つので, 数学的帰 納法により,< 定理 3-9>が成り立つことがわかりました < 定理 3-10> が整数のとき, ( 証明 ) 定理 3-9 により, 次のことがわかっています この式において, にを代入すると, ( 式ア とします ) また, 定理 3-4 により, 次のことがわかっています
26/81 ページ にを代入して, ( 式イ とします ) 同じく, 定理 3-4 により, において, にを代入して, ( 式ウ とします ) 与式の左辺 - 右辺 ( 式ア ) ( 定理 3-1) ( 分配法則, 式の展開 ) ( 式の整理 ) ( 式ウ, イを利用するための整理 ) ( 式ウ, イ ) よって, 与式の左辺と右辺が等しいので,< 定理 3-10> が成り立つこと がわかりました
27/81 ページ 次の< 定理 3-11> 以降の定理で, が で割り切れる という定理が数多く出て きますが, 割り算ができるために, がでないことが前提です しかし, リュカ数列の定義により, であるし, ですから, 以降も正なので, でありません また, であるし, 拡張リュカ数列の定理により, なので, がで ないなら, もでありません 以上のことから, にならないことがわかり, 安心して割り算できることがわかりまし た < 定理 3-11> が偶数のとき, で割り切れる ( 証明 ) 定理 3-10 により, 次のことがわかっています が整数のとき, が偶数のとき, ですから, 次のような式になります が偶数のとき, 移項して, が よって, がで割り切れる ことを証明するために, で割り切れる ことを証明するだけでよいです ところが, ですから, で割り切れるので,< 定理 3-11> が成り立つことがわかりました < 定理 3-12> が整数のとき, で割り切れる ( 証明 ) 定理 3-2 により, 次のことがわかっています が整数のとき,
28/81 ページ この式のにを代入して, よって, なので, したがって, なので, で割り切れるので, < 定理 3-12> が成り立つことがわかりました < 定理 3-13> が偶数で 3 の倍数でないとき, で割り切れる ( 証明 ) 定理 3-3 により, 次のことがわかっています が整数のとき, この式の, にを, にを代入すると, フィボナッチ数列の定義とリュカ数列の定義により, です から, 両辺に 2 を加えて, 分配法則により, ( 式ア と名付けます )
29/81 ページ 定理 3-12 により, 次のことがわかっています が整数のとき, で割り切れる ( 式イ と名付けます) 定理 3-11 により, 次のこともわかっています が偶数のとき, で割り切れる ( 式ウ と名付けます) 式イ と 式ウ から, が偶数のとき, で割り切れる 式ア から, が偶数のとき, で割り切れる ところで, 定理 3-7 により, 次のことがわかっています L 3 の倍数でない = 奇数 仮定により, 3 の倍数でないのですから, 奇数です よって, 2 をで割り切ることできません したがって, がで割り切れることになります したがって,< 定理 3-13> が成り立つことがわかりました
30/81 ページ < 定理 3-14> が偶数で 3 の倍数でないとき, で割り切れる ( 証明 ) 定理 3-2 により, 次のことがわかっています が整数のとき, この式の, にを, にを代入すると, リュカ数列の定義とフィボナッチ数列の定義により, です から, 両辺に 2 を加えて, 分配法則により, ところで, 定理 3-12 により, 次のことがわかっています ( 式ア と名付けます ) が整数のとき, で割り切れる ( 式イ と名付けます) また, 定理 3-11 により, 次のこともわかっています が偶数のとき, で割り切れる ( 式ウ と名付けます) 式イ と 式ウ から, が偶数のとき, で割り切れる 式ア から, が偶数のとき, で割り切れる
31/81 ページ ところで, 定理 3-7 により, 次のことがわかっています L 3 の倍数でない = 奇数 仮定により, 3 の倍数でないのですから, 奇数です よって, 2 をで割り切ることできません したがって, がで割り切れることになります よって,< 定理 3-14> が成り立つことがわかりました < 定理 3-15> が整数で, が偶数で 3 の倍数でないとき, で割り切れる ( 証明 ) に関する数学的帰納法で証明します のとき, がで割り切れることを示せばよいのですが, 定理 3-13 である, ( リュカ数列 ) が偶数で 3 の倍数でないとき, で割り切れる から, これ成り立ちます のとき, が ( リュカ数列 ) ( リュカ数列の定義 ) ( 3 = 2 + 1 ) で割り切れることを示せばよいのですが, 定理 3-11 により, 次のこと がわかっています が偶数のとき, で割り切れる また, 定理 3-13 により, 次のこともわかっています が偶数で 3 の倍数でないとき, で割り切れる
32/81 ページ よって, が偶数で 3 の倍数でないとき, で割り切れ, もで割り切れることがわかるので, がで割り切れることになり, 成り立ちます 次に, のときと, のときに, 与式が成り立っていると仮定します つまり, がで割り切れる ( 仮定式 1 と名付けます) と, がで割り切れる ( 仮定式 2 と名付けます) が, 成り立っていると仮定するのです このときに, のときの式である, がで割り切れる ( 証明すべき式 1 と名付けます) と, のときの式である, がで割り切れる ( 証明すべき式 2 と名付けます) が成り立つことを証明すれば, 完成です 証明すべき式 1 がで割り切れるがで割り切れる ( リュカ数列の定義) がで割り切れる ( 交換 ) ところが, 仮定式 1と仮定式 2により, これ成り立ちます 証明すべき式 2 がで割り切れるがで割り切れる ( リュカ数列の定義) がで割り切れる ( リュカ数列の定義) ところが, 仮定式 2と仮定式 1により, これも成り立ちます よって, のときの式と, のときの式を仮定したときに, のときの式と のときの式が成り立つので, 数学的帰 納法により,< 定理 3-15>が成り立つことがわかりました
33/81 ページ < 定理 3-16> が整数で, が偶数で 3 の倍数でないとき, で割り切れる ( 証明 ) に関する数学的帰納法で証明します のとき, ( フィボナッチ数列 ) がで割り切れることを示せばよいのですが, 定理 3-14 である, が偶数で 3 の倍数でないとき, で割り切れる から, これ成り立ちます のとき, が ( フィボナッチ数列 ) ( フィボナッチ数列の定義 ) で割り切れることを示せばよいのですが, 定理 3-12 により, 次のこと がわかっています が整数のとき, で割り切れる また, 定理 3-14 により, 次のこともわかっています が偶数で 3 の倍数でないとき, で割り切れる よって, が偶数で 3 の倍数でないとき, で割り切れ, もで割り切れることがわかるので, が で割り切れることになり, 成り立ちます 次に, のときと, のときに, 与式が成り立っていると仮定しま す つまり, が で割り切れる ( 仮定式 1 と名付けます) と, が で割り切れる ( 仮定式 2 と名付けます)
34/81 ページ が, 成り立っていると仮定するのです このときに, のときの式である, がで割り切れる ( 証明すべき式 1 と名付けます) と, のときの式である, がで割り切れる ( 証明すべき式 2 と名付けます) が成り立つことを証明すれば, 完成です 証明すべき式 1 がで割り切れるがで割り切れる ( フィボナッチ数列の定義) がで割り切れる ( 交換 ) ところが, 仮定式 1と仮定式 2により, これ成り立ちます 証明すべき式 2 がで割り切れるがで割り切れる ( フィボナッチ数列の定義) がで割り切れる ( フィボナッチ数列の定義) ところが, 仮定式 2と仮定式 1により, これも成り立ちます よって, のときの式と, のときの式を仮定したときに, のときの式と のときの式が成り立つので, 数学的帰 納法により,< 定理 3-16>が成り立つことがわかりました
35/81 ページ < 定理 3-17> が偶数で 3 の倍数でないとき, で割るとあまる ( 証明 ) すべての整数,6 で割ったときのあまり,0, 1, 2, 3, 4, 5 のいずれかで す このあまりの中で, 偶数で 3 の倍数でないもの,2, 4 のみです よって, を 6 で割ったときのあまりが 2 また 4 のとき, 4 で割る と 3 あまることを証明すれば OK です ところで, リュカ数列,1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, のように, じめの 2 つが 1 と 3 で, そのあと, 直前の 2 個の和を次々と求めていってできる数列ですが, これをちょっと変えて, 直前の 2 個の和 でなく, 直前の 2 個の和を 4 で割ったときのあまり にすると, 次のような数列になります 1, 3, 0, 3, 3, 2, 1, 3, この数列を,6 個ずつ段にして書くと, 次のようになります 1, 3, 0, 3, 3, 2, 1, 3, 0, 3, 3, 2, 1, 3, 0, 3, 3, 2, つまり, を 6 で割ったときのあまりが 2 また 4 のとき,,4 で割っ たときのあまりが 3 になります よって, が偶数で 3 の倍数でないとき, 4 で割ると 3 あまること が証明されました
36/81 ページ < 定理 3-18> が 3 の倍数でなくしかも 4 の倍数であるとき, でもでも割り切れない ( 証明 ) 定理 3-7 により, 次のことがわかっています L 3 の倍数 = 偶数,L 3 の倍数でない = 奇数 よって, が 2 で割り切れないことわかりました あと, が 3 でも割り切れないことがわかれば, 証明終了です ところで, リュカ数列,1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, のように, じめの 2 つが 1 と 3 で, そのあと, 直前の 2 個の和を次々と求めていってできる数列ですが, これをちょっと変えて, 直前の 2 個の和 でなく, 直前の 2 個の和を 3 で割ったときのあまり にすると, 次のような数列になります 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, この数列を,4 個ずつ段にして書くと, 次のようになります 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, つまり, が 4 の倍数のとき,,3 で割ったときのあまりが 1 か 2 になり,3 で割り切れることありません よって, が 3 の倍数でない 4 の倍数のとき, 2 でも 3 でも割り 切れないことが証明されました
37/81 ページ 第 4 章素因数分解に関する定理を証明します この章, 次の 4 個の定理を証明するための章です < 定理 4-1> が整数のとき, を素因数分解したときに, 4 で割ると 3 あまるような素因数 現れない < 定理 4-2> が整数のとき, を素因数分解したときに, 4 で割ると 3 あまるような素因数 現れない < 定理 4-3> が整数のとき, を素因数分解したときに, 4 で割ると 3 あまるような素因数,3 しか現れない < 定理 4-4> ある整数が,4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき, その整数を素因数分解する と, 必ず 4 で割ると 3 あまる素数がふくまれる この 4 個の定理を証明するために, 補題 4-1, 補題 4-2, フェルマの小定理, フェル マの小定理の別の見方, 因数定理の利用 1, 因数定理の利用 2, 因数定理の利用 3, 定理 4-1, 定理 4-2, 定理 4-3, 定理 4-4 の順に証明していきます
38/81 ページ < 補題 4-1> が素数で, がと互いに素な整数のとき, をで割っ たあまりすべて異なる ( 証明 ) もし, と とが, 同じあまりを持っていると仮定します ここで, としても, 一般性を失いません と の, で割ったときのあまりをどちらもとすると, のように表すことができますから, ですから, で割り切れることになります よって, の素因数の中に がふくまれているずですが, と互いに素なので を素因数に持っておらず,, ももから の間にある数なので, との差 ( つまり, のこと ) が, 以上に広がるこ とありえず, 未満の数になるので, を素因数に持っていませ ん したがって, も を素因数に持っていないことになり, 矛盾していま す 矛盾の原因, の中で, で割ったときに, 同じ あまりがあるのが存在すると仮定したからなので, あまりすべて異なること が証明できました
39/81 ページ < 補題 4-2> 整数を整数で割ったときのあまりをとす ると, で割り切れる ( 証明 ) とします 一般的に, です に関する数学的帰納法で証明します のとき, ですから, で割り切れるので, 成 り立っています します のとき, で割り切れると仮定 そこで, とします です ( 式ア と名付けます ) すると, のとき, ( 式ア ) ( ) ( 式の展開 ) ( 式の整理 ) ( 分配法則 ) ですから, で割り切れま す よって,< 補題 4-2> 証明されました
40/81 ページ < フェルマの小定理 > が素数で, がと互いに素な整数のとき, で割り切れる ( 証明 ), と互いに素で, もと互いに素ですから, れることありません も, と互いに素なので, で割ったときに割り切 そこで, とします すると, 0 でなく, しかも補題 4-1 の, が素数で, がと互いに素な整数のとき, を で割ったあまりすべて異なる により, すべて異なっています すると,, 順番変わっているかも知れませんが, 全体として, と同じです ですから, となります ( 式ア と名付けます ) ところで, 補題 4-2 により, 次のことがわかっています 整数を整数で割ったときのあまりを で割り切れる とすると, いま, 整数を整数で割ったときのあまり をとしたのですから, で割り切れる
41/81 ページ 整理して, 切れる で割り 上の式に個ありますから, で割り切れる 式ア により, ですから, で割り切れる 分配法則により, で割り切れる よって, の素因数の中にがふくまれ ていることになりますが, の素因数の中にがふくまれ ることないので, の中にがふくまれている, つまり, で割り切れることになり, フェルマの小定理が証明されました < フェルマの小定理の別の見方 > が素数で, が整数のとき, で割り切れる ( 証明 ) がと互いに素な整数のとき, フェルマの小定理により, で割り切れるので, もで割り切れることになり, < フェルマの小定理の別の見方 > が証明できました がと互いに素でないとき, を素因数に持つので, とすることができ, もで割り切れることになり,<フェルマの小定理の別の見方 >が証明できました
42/81 ページ < 因数定理の利用 1> が 4 で割ると 3 あまる素数のとき, をで割ると, あまりになる ( 証明 ) を 2 次式で割ったときの商をとします あまり 1 次式になるので, とすると, この式恒等式なので, にどんな値を代入しても, 式成り立ちます そこで,( を 0 にしたいために ) に虚数であるを代入すると, ところで, 4 で割ると 3 あまる素数なので, とすると, ところで, なので, また, よって, したがって, 理の利用 1> 証明されました になるので, となり,< 因数定
43/81 ページ < 因数定理の利用 2> が 4 で割ると 3 あまる素数のとき, をで割ると, あまりになる ( 証明 ) を 2 次式で割ったときの商をとします あまり 1 次式になるので, とすると, この式恒等式なので, にどんな値を代入しても, 式成り立ちます そこで,( を 0 にしたいために ) に虚数であるを代入すると, ところで, 4 で割ると 3 あまる素数なので, とすると, ところで, なので, また, よって, したがって, なので, になるので, となり,< 因数定理の利用 2>証明されました
44/81 ページ < 因数定理の利用 3> が 4 で割ると 3 あまる素数のとき, をで割ると, あまりになる ( 証明 ) を 2 次式で割ったときの商をとします あまり 1 次式になるので, とすると, この式恒等式なので, にどんな値を代入しても, 式成り立ちます そこで,( を 0 にしたいために ) に虚数であるを代入すると, ところで, 4 で割ると 3 あまる素数なので, とすると, ところで, なので, また, よって, したがって, になるので, となり,< 因数定理の利用 3> 証明されました
45/81 ページ < 定理 4-1> が整数のとき, を素因数分解したときに, 4 で割ると 3 あまるような素因数 現れない ( 証明 ) 背理法によって証明します が,4 で割ると 3 あまるような素因数 を持っていると仮定します すると, で割り切れます ( 仮定ア と名付けます ) ところで, を で割ったとき, 割り切れる場合と割り切れない場合がありま すが, どちらにしても矛盾することを, これから証明します まず, をで割ったとき, 割り切れる場合を考えます 商をとすると, となりますが, そのとき, となり, をで割ると 1 あまることになります つまり, をで割っても, 割り切れないことがわかり, 仮定ア に矛 盾します 次に, を で割ったとき, 割り切れない場合を考えます このときの証明に,< 因数定理の利用 1> を使います < 因数定理の利用 1> によって, 次のことがわかっています が 4 で割ると 3 あまる素数のとき, をで割ると, あまりになる いま, が,4 で割ると 3 あまるような素因数を持っていると仮定し ているのですから, そのを使って, ( 式イ と名付けます ) という式を作ることができます ただし, 多項式です ところで,< フェルマの小定理の別の見方 > によって, が素数で, が整数のとき, で割り切れます
46/81 ページ また, 仮定ア により, で割り切れるのですから, も で割り切れます 式イ である, において, で割り切れ, もで割り切れるので すから, も, で割り切れることになります つまり, という素因数を持っていなければならないのですが, という素因数を持っているわけがないので, が, という素因数を持っていることになり, で割り切れることになります しかし, いま, が ですから, これ矛盾です で割ったとき, 割り切れない場合を考えているの よって, を で割ったとき, 割り切れる場合と割り切れない場合があり ますが, どちらにしても矛盾することが, 証明できました 矛盾の原因, が,4 で割ると 3 あまるような素因数を持っている と仮定したことにあります 仮定が否定されたので,,4 で割ると 3 あまるような素因数を持っていない, つまり, を素因数分解したときに,4 で割ると 3 あまるような素因数現れないことがわかりました
47/81 ページ < 定理 4-2> が整数のとき, を素因数分解したときに, 4 で割ると 3 あまるような素因数 現れない ( 証明 ) 背理法によって証明します が,4 で割ると 3 あまるような素因数 を持っていると仮定します すると, で割り切れます ( 仮定ア と名付けます ) ところで, を で割ったとき, 割り切れる場合と割り切れない場合がありま すが, どちらにしても矛盾することを, これから証明します まず, を で割ったとき, 割り切れる場合を考えます 商をとすると, となりますが, そのとき, となり, を で割ると 4 あまることになります ( ただし, のとき, ですから,1 あまります ) つまり, をで割っても, 割り切れないことがわかり, 仮定ア に矛 盾します 次に, を で割ったとき, 割り切れない場合を考えます このときの証明に,< 因数定理の利用 2> を使います < 因数定理の利用 2> によって, 次のことがわかっています が 4 で割ると 3 あまる素数のとき, をで割ると, あまりになる いま, が,4 で割ると 3 あまるような素因数を持っていると仮定し ているのですから, そのを使って, ( 式イ と名付けます ) という式を作ることができます ただし, 多項式です ところで,< フェルマの小定理の別の見方 > によって, が素数で, が整数のとき, で割り切れます
48/81 ページ また, 仮定ア により, で割り切れるのですから, も で割り切れます 式イ である, において, で割り切れ, もで割り切れるので すから, も, で割り切れることになります つまり, という素因数を持っていなければなりません しかし,, 整数 2 + 1 という形をしているの で, 定理 4-1 の, が整数のとき, を素因数分解したときに, 4 で割ると 3 あ まるような素因数現れない により, を素因数に持っていません という素因数を持っていなければならないのですが, の方 を素因数に持っていないので, の方が, という素 因数を持っていることになり, で割り切れることになります しかし, いま, が ですから, これ矛盾です で割ったとき, 割り切れない場合を考えているの よって, を で割ったとき, 割り切れる場合と割り切れない場合があり ますが, どちらにしても矛盾することが, 証明できました 矛盾の原因, が,4 で割ると 3 あまるような素因数を持っている と仮定したことにあります 仮定が否定されたので,,4 で割ると 3 あまるような素因数を持っていない, つまり, を素因数分解したときに,4 で割ると 3 あまるような素因数現れないことがわかりました
49/81 ページ < 定理 4-3> が整数のとき, を素因数分解したときに, 4 で割ると 3 あまるような素因数,3 しか現れない ( 証明 ) 背理法によって証明します が, 3 以外の 4 で割ると 3 あまるような素因数 を持っている と仮定します すると, で割り切れます ( 仮定ア と名付けます ) ところで, を で割ったとき, 割り切れる場合と割り切れない場合がありま すが, どちらにしても矛盾することを, これから証明します まず, をで割ったとき, 割り切れる場合を考えます 商をとすると, となりますが, そのとき, となり, をで割ると 36 あまることになります ただし, 3 以外の 4 で割ると 3 あまる素数ですから,7, 11, 19, 23, 31, 43, などが考えられ, が 31 以下のとき,36 あまるわけでありませんが, 割り切れないこと間違いありません つまり, をで割っても, 割り切れないことがわかり, 仮定ア に矛 盾します 次に, を で割ったとき, 割り切れない場合を考えます このときの証明に,< 因数定理の利用 3> を使います < 因数定理の利用 3> によって, 次のことがわかっています が 4 で割ると 3 あまる素数のとき, をで割ると, あまりになる いま, が,4 で割ると 3 あまるような素因数を持っていると仮定し ているのですから, そのを使って, ( 式イ と名付けます ) という式を作ることができます ただし, 多項式です ところで,< フェルマの小定理の別の見方 > によって,
50/81 ページ が素数で, が整数のとき, で割り切れます また, 仮定ア により, で割り切れるのですから, も で割り切れます 式イ である, において, で割り切れ, もで割り切れるの ですから, も, で割り切れることになります つまり, という素因数を持っていなければなりませ ん しかし,, 整数 2 + 1 という形をして いるので, 定理 4-1 の, が整数のとき, を素因数分解したときに, 4 で割ると 3 あ まるような素因数現れない により, を素因数に持っていません という素因数を持っていなければならないのですが, の方を素因数に持っていないので, の方が, という素因数を持っていることになり, で割り切れることになります しかし, いま, が ですから, これ矛盾です で割ったとき, 割り切れない場合を考えているの よって, を で割ったとき, 割り切れる場合と割り切れない場合があり ますが, どちらにしても矛盾することが, 証明できました 矛盾の原因, が,4 で割ると 3 あまるような素因数を持ってい ると仮定したことにあります 仮定が否定されたので,,4 で割ると 3 あまるような素因数を持っていない, つまり, を素因数分解したときに,4 で割ると 3 あまるような素因数,3 しか現れないことがわかりました
51/81 ページ < 定理 4-4> ある整数が,4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき, その整数を素因数分解する と, 必ず 4 で割ると 3 あまる素数がふくまれる ( 証明 ) 背理法で矛盾を導く方法で, 証明していきます ある整数が 4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき, その整数を素因数分解したときに, 4 で割ると 3 あまる素数が 1 個もふくまれていない と仮定します 仮定式 と名付けます 4 で割ると 3 あまる整数というの奇数ですから, 素因数として 2 を持つことありません しかも, 仮定式から, 素因数に 4 で割ると 3 あまる素数 も,1 個もふくまれていないと仮定しました 素因数として 2 も持っておらず, 4 で割ると 3 あまる素数 も持っていないとなると, この整数の素因数, すべて 4 で割ると 1 あまる素数 だけになります つまり, 仮定式 から, 4 で割ると 3 あまる整数 = とすることができます ただし,, すべて 4 で割ると 1 あまる素数です ところが, 補題 4-2 によって, 整数を整数で割ったときのあまりを で割り切れる とすると, この式の, 整数をにして, を 4 にすると, すべて 1 になりますから, 補題 4-2, 素数 を整数で割ったときのあまりを とすると, で割り切れる となります 整理して, 素数 を整数で割ったときのあまりを
52/81 ページ とすると, で割り切れる る つまり,4 で割ると 3 あまる整数 = = 4 で割ると,1 あま となり, 矛盾します 矛盾の原因,"4 で割ると 3 あまる整数を素因数分解したときに, 4 で割ると 3 あまる素数が 1 個もふくまれていない " と仮定したことにありま す よって, 4 で割ると 3 あまる整数を素因数分解すると, 必ず 4 で割ると 3 あまる素数が 1 個ふくまれていることになり,< 定理 4-4> 証明されました
53/81 ページ 第 5 章リュカ数列に現れる平方数,1 と 4 だけであることを証明します リュカ数列,1, 3, 4, 7, 11, 18, と続きます この中で,1 番目である 1 と,3 番目である 4 だけが, 平方数であることを証明していきます <n が偶数の場合 > リュカ数列の偶数番目に, 平方数現れない ( 証明 ) 背理法で証明します リュカ数列の偶数番目に, 平方数が現れると仮定します この章で, リュカ数列 において, が偶数のとき 平方数にな らず, が 4 で割ると 1 あまる整数のとき のときのみ平方数にな り, が 4 で割ると 3 あまる整数のとき のときのみ平方数になるこ とを証明していきます 自然数の平方数, と, いつまでも続いていきますが, 隣同士の平方数と平方数の間, と, どんどん広がっていきます もっとも間がせまいの, のときです ところで, 定理 3-10 により, 次のことがわかっています が整数のとき, つまり, 偶数です 平方数ですから, 偶数も平方数ならば, 平方数と平方数の間が 2 し かなれていないことになり, 矛盾します 矛盾の原因, リュカ数列の偶数番目に, 平方数が現れると仮定したことで した よって, リュカ数列の偶数番目に, 平方数が現れないことが証明できまし た
54/81 ページ <n が 4 で割ると 1 あまる数の場合 > が 4 で割ると 1 あまる数の場合, リュカ数列が平方数になるの, のと きだけである ( 証明 ) のとき,, 確かに平方数です そこで,, つまり, のときに, が平方数になったと仮定 し, 背理法で矛盾を導きます,4 でわると 1 あまる整数ですから, 0 より大きい 4 の倍数です そこで, とすると, 0 より大きい偶数です ここで, を素因数分解してみます を素因数分解したときに,3 が何回現れるかに注目します 回現れたとし, とします ただし,3 が 1 回も現れないこともあるので, 0 であることも考えられます 偶数だったので, 素因数分解すると 2 がふくまれています をで割ったときの商がですが,3 で何回割っても, の中の素因数である 2 そのまま残っているので, の中にも, 素因数 2 残っています つまり, 偶数です また, を 3 で割れるだけ割った残りですから, の中に, もう 3 ふくまれていません つまり, 3 の倍数でありません で, ですから, と表せることになります ただし, 0 以上の整数で, 0 より大きい偶数でしかも 3 の倍数で ない数です ここで, 定理 3-15 により, 次のことがわかっています が整数で, が偶数で 3 の倍数でないとき, で割り切れる この式を, 何回も利用します にを代入して, で割り切れる 1 回目
55/81 ページ にを代入してマイナスにして, で割り切れる 2 回目 にを代入して, で割り切れる 3 回目 このように,i 番目ならばにを代入して, しかも偶数回目のと きマイナスにして, 式をどんどん, 回目まで作っていきます 回目奇数回目ですから ( のときも, なので奇数で す ), マイナスにせず, にを代入することになり, で割り切れる 回目 ところで, でしたから, です よって, 回目の式の中の, になり, になります よって, 回目の式を書き直すと, で割り切れる 回目 もう一度, 式だけ並べると, 次のようになります で割り切れる 1 回目 で割り切れる 2 回目 で割り切れる 3 回目 で割り切れる 回目 これらの,1 回目の式から 回目の式までを足します すると,1 回目の式の と 2 回目の式の が打ち消し合 い,2 回目の式の と 3 回目の式の が打ち消し合い, と いうように, どんどん打ち消し合って, 結局, で割り切れる となります
56/81 ページ ところで, です また, 定理 3-17 により が偶数で 3 の倍数でないとき, で割るとあまる から, 4 で割ると 3 あまる数 で割り切れる となります ところで, 定理 4-4 により, 次のことがわかっています ある整数が,4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき, その整 数を素因数分解すると, 必ず 4 で割ると 3 あまる素数がふくまれ る ということから, に,4 で割ると 3 あまる素数がふくまれる ずです しかし, が平方数なら, 定理 4-1 によって, が整数のとき, を素因数分解したときに,4 で割ると 3 あまるような素因数現れない と矛盾します 矛盾の原因, が 4 で割ると 1 あまる数で, のときに, が 平方数であると仮定したことにあります よって, が 4 で割ると 3 あまる数のとき, リュカ数列が平方数になるの, のときだけであることが証明できました
57/81 ページ <n が 4 で割ると 3 あまる数の場合 > が 4 で割ると 3 あまる数の場合, リュカ数列が平方数になるの, のと きだけである ( 証明 ) 証明,<n が 4 で割ると 1 あまる数の場合 > と非常によく似ています のとき,, 確かに平方数です そこで,, つまり, のときにが平方数になったと仮定し, 背 理法で矛盾を導きます,4 でわると 3 あまる整数ですから, 0 より大きい 4 の倍数です そこで, とすると, 0 より大きい偶数です ここで, を素因数分解してみます を素因数分解したときに,3 が何回現れるかに注目します 回現れたとし, とします ただし,3 が 1 回も現れないこともあるので, 0 であることも考えられます 偶数だったので, 素因数分解すると 2 がふくまれています をで割ったときの商がですが,3 で何回割っても, の中の素因数である 2 そのまま残っているので, の中にも, 素因数 2 残っています つまり, 偶数です また, を 3 で割れるだけ割った残りですから, の中に, もう 3 ふくまれていません つまり, 3 の倍数でありません で, ですから, と表せることになります ただし, 0 以上の整数で, 0 より大きい偶数でしかも 3 の倍数で ない数です ここで, 定理 3-15 により, 次のことがわかっています が整数で, が偶数で 3 の倍数でないとき, で割り切れる この式を, 何回も利用します にを代入して,
58/81 ページ で割り切れる 1 回目 にを代入してマイナスにして, で割り切れる 2 回目 にを代入して, で割り切れる 3 回目 このように,i 番目ならばにを代入して, しかも偶数回目のと きマイナスにして, 式をどんどん, 回目まで作っていきます 回目奇数回目ですから ( のときもなので奇数で す ), マイナスにせず, にを代入することになり, で割り切れる 回目 ところで, でしたから, です よって, 回目の式の中の, になり, になります よって, 回目の式を書き直すと, で割り切れる 回目 もう一度, 式だけ並べると, 次のようになります で割り切れる 1 回目 で割り切れる 2 回目 で割り切れる 3 回目 で割り切れる 回目 これらの,1 回目の式から 回目の式までを足します すると,1 回目の式の と 2 回目の式の が打ち消し合 い,2 回目の式の と 3 回目の式の が打ち消し合い, と いうように, どんどん打ち消し合って, 結局, で割り切れる
59/81 ページ となります ところで, です また, 定理 3-17 により が偶数で 3 の倍数でないとき, で割るとあまる から, 4 で割ると 3 あまる数 で割り切れる となります ところで, 定理 4-4 により, 次のことがわかっています ある整数が,4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき, その整 数を素因数分解すると, 必ず 4 で割ると 3 あまる素数がふくまれ る ということから, に,4 で割ると 3 あまる素数がふくまれる ずです しかし, が平方数なら, 定理 4-2 によって, が整数のとき, を素因数分解したときに,4 で割ると 3 あまるような素因数現れない と矛盾します 矛盾の原因, が 4 で割ると 3 あまる数で, のときにが 平方数であると仮定したことにあります よって, が 4 で割ると 3 あまる数のとき, リュカ数列が平方数になるの, のときだけであることが証明できました 以上のことから, リュカ数列の偶数番目に平方数現れず, が 4 で割ると 1 あまる数の とき,1 番目の 1 のみ, が 4 で割ると 3 あまる数のとき,3 番目の 4 のみが平方数であ ることがわかりました 結局, リュカ数列に現れる平方数,( 1 番目の )1 と,( 3 番目の )4 だけであることが証明 できました
60/81 ページ 第 6 章リュカ数列に現れる 2 平方数,18 だけであることを証明します リュカ数列,1, 3, 4, 7, 11, 18, と続きます この中で,6 番目である 18,2 3 2 ですから, 2 平方数 の形をしています リュカ数列に, の他に 2 平方数 の形をしているものないことを証明して いきます 証明,n を 8 で割ったときのあまりによって, 分けて証明します n を 8 で割ったときのあまり,0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 が考えられますが, まず, あまりが 1, 3, 5, 7 の場合 つまり,n が奇数の場合 次に, あまりが 0, 4 の場合 つまり,n が 4 の倍数の場合 次に, あまりが 6 の場合 最後に, あまりが 2 の場合 このように分けて, 証明していきます < 奇数番目の場合 > リュカ数列が奇数番目の場合, 2 平方数 現れない ( 証明 ) が奇数のときに, が 2 平方数 になったと仮定し, 矛盾を導きま す が 2 平方数 だとすると, 偶数です 定理 3-7 によって, L 3 の倍数 = 偶数,L 3 の倍数でない = 奇数 ですから, 3 の倍数です よって, 奇数で, しかも 3 の倍数です このような,6 で割ると 3 あまる数です ところで, リュカ数列,1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, のように, じめの 2 つが 1 と 3 で, そのあと, 直前の 2 個の和を次々と求めていってできる数列ですが, これをちょっと変えて, 直前の 2 個の和 でなく, 直前の 2 個の和を 8 で割ったときのあまり にすると, 次のような数列になります
61/81 ページ 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, この数列を,6 個ずつ段にして書くと, 次のようになります 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4, 3, 7, 2, 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4, 3, 7, 2, 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4, 3, 7, 2, つまり, L 6 で割ると 3 あまる数,8 で割ると 4 あまるような数です よって, と表すことができますから, 2 平方数 = となり, 平方数 = つまり, 4 で割ると 2 あまる平方数がある ということになります ところが, 偶数の平方数, のようになり,4 で割ると割り切れ, 奇数の平方数, のようになり,4 で割ると 1 だけあまります 結局, 4 で割ると 2 あまる ような平方数ありえず, 矛盾しています 矛盾の原因, が奇数のときに, が 2 平方数 になったと仮 定したことにあります よって, リュカ数列の奇数番目に, 2 平方数 現れないことにな り, 証明が完成しました
62/81 ページ < 4 の倍数番目の場合 > リュカ数列が 4 の倍数番目の場合, 2 平方数 現れない ( 証明 ) 証明, 第 5 章の <n が 4 で割ると 1 あまる数の場合 > と非常によく似 ています が 4 の倍数のとき, が 2 平方数 になったと仮定して, 矛盾を導 きます 4 の倍数です そこで, とすると, 偶数です ここで, を素因数分解してみます を素因数分解したときに,3 が何回現れるかに注目します 回現れたとし, とします ただし,3 が 1 回も現れないこともあるので, 0 であることも考えられます 偶数だったので, 素因数分解すると 2 がふくまれています をで割ったときの商がですが,3 で何回割っても, の中の素因数である 2 そのまま残っているので, の中にも, 素因数 2 残っています つまり, 偶数です また, を 3 で割れるだけ割った残りですから, の中に, もう 3 ふくまれていません つまり, 3 の倍数でありません で, ですから, と表せることになります ただし, 0 以上の整数であり, 偶数でしかも 3 の倍数でない数 です ここで, 定理 3-15 により, 次のことがわかっています が整数で, が偶数で 3 の倍数でないとき, で割り切れる この式を, 何回も利用します にを代入して, で割り切れる 1 回目
63/81 ページ にを代入してマイナスにして, で割り切れる 2 回目 にを代入して, で割り切れる 3 回目 このように,i 番目ならばにを代入して, しかも偶数回目のと きマイナスにして, 式をどんどん, 回目まで作っていきます 回目奇数回目ですから ( のときもなので奇数で す ), マイナスにせず, にを代入することになり, で割り切れる 回目 ところで, でしたから, です よって, 回目の式の中の, になり, になります よって, 回目の式を書き直すと, で割り切れる 回目 もう一度, 式だけ並べると, 次のようになります で割り切れる 1 回目 で割り切れる 2 回目 で割り切れる 3 回目 で割り切れる 回目 これらの,1 回目の式から 回目の式までを足します すると,1 回目の式の と 2 回目の式の が打ち消し合 い,2 回目の式の と 3 回目の式の が打ち消し合い, と いうように, どんどん打ち消し合って, 結局, で割り切れる
64/81 ページ となります ところで, です また, 定理 3-17 により が偶数で 3 の倍数でないとき, で割るとあまる から, となります 4 で割ると 3 あまる数 で割り切れる を 2 倍して, 4 で割ると 3 あまる数 ということも成り立ちます で割り切れる ところで, 定理 4-4 により, 次のことがわかっています ある整数が,4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき, その整 数を素因数分解すると, 必ず 4 で割ると 3 あまる素数がふくまれ る ということから, に,4 で割ると 3 あまる素数がふくまれる ずです しかし, が 2 平方数 なら, となるような整数があり, そのとき, となって, 平方数です つまり, 平方数 +4 に,4 で割ると 3 あまる素数がふくまれるずです ところが, 定理 4-2によって, が整数のとき, を素因数分解したときに,4 で割ると 3 あまるような素因数現れない となり, 矛盾しています 矛盾の原因, リュカ数列の 4 の倍数番目に, 2 平方数 が現れ ると仮定したことにあります よって, リュカ数列の 4 の倍数番目に, 2 平方数 現れないこ とが証明できました
65/81 ページ <n が 8 で割ると 6 あまる数の場合 > が 8 で割ると 6 あまる数の場合, リュカ数列が 2 平方数 になるの, のときのみである ( 証明 ) 証明, 第 5 章の <n が 4 で割ると 1 あまる数の場合 > と非常によく似 ています のとき,, 確かに 2 平方数 になっています そこで,, つまり, のときに, が 2 平方数 になったと 仮定し, 矛盾を導きます,8 でわると 6 あまる整数ですから, 0 より大きい 8 の倍数で す そこで, とすると, 0 より大きい 4 の倍数です ここで, を素因数分解してみます を素因数分解したときに,3 が何回現れるかに注目します 回現れたとし, とします ただし,3 が 1 回も現れないこともあるので, 0 であることも考えられます 4 の倍数だったので, 素因数分解すると 2 が 2 個以上ふくまれています をで割ったときの商がですが,3 で何回割っても, の中の素因数である 2 そのまま残っているので, の中にも, 素因数 2 2 個以上残っています つまり, 4 の倍数です また, を 3 で割れるだけ割った残りですから, の中に, もう 3 ふくまれていません つまり, 3 の倍数でありません で, ですから, と表せることになります ただし, 0 以上の整数で, 0 より大きい 4 の倍数でしかも 3 の倍 数でない数です ここで, 定理 3-15 により, 次のことがわかっています が整数で, が偶数で 3 の倍数でないとき, で割り切れる
66/81 ページ この式を, 何回も利用します にを代入して, で割り切れる 1 回目 にを代入してマイナスにして, で割り切れる 2 回目 にを代入して, で割り切れる 3 回目 このように,i 番目ならばにを代入して, しかも偶数回目のと きマイナスにして, 式をどんどん, 回目まで作っていきます 回目奇数回目ですから ( のときも, なので奇数で す ), マイナスにせず, にを代入することになり, で割り切れる 回目 ところで, でしたから, です よって, 回目の式の中の, になり, になります よって, 回目の式を書き直すと, で割り切れる 回目 もう一度, 式だけ並べると, 次のようになります で割り切れる 1 回目 で割り切れる 2 回目 で割り切れる 3 回目 で割り切れる 回目 これらの,1 回目の式から 回目の式までを足します すると,1 回目の式の と 2 回目の式の が打ち消し合 い,2 回目の式の と 3 回目の式の が打ち消し合い, と
67/81 ページ いうように, どんどん打ち消し合って, 結局, で割り切れる となります ところで, です また, 定理 3-17 により が偶数で 3 の倍数でないとき, で割るとあまる から, 4 で割ると 3 あまる数 で割り切れる となります を 2 倍して, 4 で割ると 3 あまる数 で割り切れる ということも成り立ちます ところで, 定理 4-4 により, 次のことがわかっています ある整数が,4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき, その整 数を素因数分解すると, 必ず 4 で割ると 3 あまる素数がふくまれ る ということから, に,4 で割ると 3 あまる素数がふくまれる ずです ところで, 定理 3-18 によって, が 3 の倍数でなくしかも 4 の倍数であるとき, でも でも割り切れない ということから, に,3 という素数ふくまれません よっ て, ずです に,3 でない 4 で割ると 3 あまる素数 がふくまれる
68/81 ページ しかし, が 2 平方数 なら, となるような整数 があり, そのとき, となって, 平方数で す つまり, 平方数 +36 に,3 でない 4 で割ると 3 あまる素数 が ふくまれるずです ところが, が平方数なら, 定理 4-3によって, が整数のとき, を素因数分解したときに,4 で割る と 3 あまるような素因数, 3 しか現れない と矛盾します 矛盾の原因, が 8 で割ると 6 あまる整数のとき, リュカ数列 ( ただしを除く ) に 2 平方数 が現れると仮定したこと にあります よって, が 8 で割ると 6 あまる整数のとき, リュカ数列 のときのみ 2 平方数 になることが証明できました <n が 8 で割ると 2 あまる数の場合 > が 8 で割ると 2 あまる数の場合, リュカ数列 に 2 平方数 現れない ( 証明 ) が 8 で割ると 2 あまる数のとき, リュカ数列に 2 平方数 が現れ ると仮定し, 矛盾を導きます 8 で割ると 2 あまる数なので, とします 拡張リュカ数列の定理により, 次のことがわかっています が 0 以上の整数のとき, が成り立つ
69/81 ページ のとき, 偶数ですから, となるので, となります よって, に 2 平方数 現れないことを証明する代わりに, に 2 平方数 現れないことを証明しても OK です ところで, が 8 で割ると 2 あまる数のとき, です このとき, となり, たとえばのように,,8 で割ると 6 あまる数です もっときちんと説明すると, なので,,8 で割ると 6 あまる数です したがって, が 8 で割ると 6 あまるマイナスの数の場合, 平方数現れない ということを証明することになります その証明, n が 8 で割ると 6 あまる数の場合 と似ています そこで, で,,8 でわると 6 あまる整数ですから, -8の倍数 +6 とできます そこで, とすると, 0 より大きい偶数 ( 本当 4 の倍数 ) です ここで, を素因数分解してみます を素因数分解したときに,3 が何回現れるかに注目します 回現れたとし, とします ただし,3 が 1 回も現れないこともあるので, 0 であることも考えられます 偶数だったので, 素因数分解すると 2 がふくまれています をで割ったときの商がですが,3 で何回割っても, の中の素因数である 2 そのまま残っているので, の中にも, 素因数 2 残っています つまり, 偶数 ( 本当 4 の倍数 ) です また, を 3 で割れるだけ割った残りですから, の中に, もう 3 ふくまれていません つまり, 3 の倍数でありません で, ですから, と表せることになります ただし, 0 以上の整数で, 0 より大きい偶数 ( 本当 4 の倍 数 ) でしかも 3 の倍数でない数です
70/81 ページ ここで, 定理 3-15 により, 次のことがわかっています が整数で, が偶数で 3 の倍数でないとき, で割り切れる この式を, 何回も利用します 1 回目そのままで, で割り切れる 1 回目 にを代入してマイナスにして, で割り切れる 2 回目 にを代入して, で割り切れる 3 回目 このように,i 番目ならばにを代入して, しかも偶数 回目のときマイナスにして, 式をどんどん, 回目まで作っていきま す 回目奇数回目ですから ( のときも, なので奇数 です ), マイナスにせず, に を代入することにな り, で割り切れる 回目 ところで, でしたから, です よって, 回目の式の中の, になり, になります よって, 回目の式を書き直すと, で割り切れる 回目 もう一度, 式だけ並べると, 次のようになります
71/81 ページ で割り切れる 1 回目 で割り切れる 2 回目 で割り切れる 3 回目 で割り切れる 回目 これらの,1 回目の式から 回目の式までを足します すると,1 回目の式の と 2 回目の式の が打ち 消し合い,2 回目の式の と 3 回目の式の が打ち 消し合い, というように, どんどん打ち消し合って, 結局, で割り切れる となります ところで, です また, 定理 3-17 により る が偶数で 3 の倍数でないとき, で割るとあま から, 4 で割ると 3 あまる数 で割り切れる となります を 2 倍して, 4 で割ると 3 あまる数 で割り切れる ということも成り立ちます ところで, 定理 4-4 により, 次のことがわかっています ある整数が,4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき, その 整数を素因数分解すると, 必ず 4 で割ると 3 あまる素数がふ くまれる ということから, に,4 で割ると 3 あまる素数がふくまれ るずです
72/81 ページ ところで,, 本当 4 の倍数で, しかも 3 の倍数でない ので, 定理 3-18 が利用できます が 3 の倍数でなくしかも 4 の倍数であるとき, でもでも割り切れない このことから, に,3 という素数ふくまれません よって, れるずです に,3 でない 4 で割ると 3 あまる素数 がふくま しかし, が 2 平方数 なら, となるような整数 があり, そのとき, となって, 平方数 です つまり, 平方数 +36 に,3 でない 4 で割ると 3 あまる素 数 がふくまれるずです ところが, が平方数なら, 定理 4-3によって, が整数のとき, を素因数分解したときに,4 で 割ると 3 あまるような素因数, 3 しか現れない と矛盾します 矛盾の原因, が 8 で割ると 2 あまる数のとき, リュカ数列 に 2 平方数 が現れると仮定したことにあります よって, が 8 で割ると 2 あまる数のとき, リュカ数列に 2 平方数 現れないことが証明できました 以上のことから, が奇数であるときと,4 の倍数のときと,8 で割ると 2 あまる数のとき, リュ カ数列に 2 平方数 となる数現れず, が 8 で割ると 6 あまる数のときに, という 2 平方数 が現れることがわかりました 結局, リュカ数列に現れる 2 平方数,6 番目の 18 のみであることが証明できました
73/81 ページ 第 7 章 < 最終定理 > フィボナッチ数列に現れる平方数,1 と 144 だけであることを証明します いよいよ, フィボナッチ数列に, 平方数 1 と 144 しか現れないことを証明するときがやっ てきました まず, が偶数のときを考えます そして, が奇数のとき,4 で割って 1 あまるときと,4 で割って 3 あまるときに分けて考えます < 偶数番目の場合 > が偶数の場合, のときに平方数となる ( 証明 ) なかなか面白い証明内容ですよ 定理 3-2 より, 次のことがわかっています が整数のとき, この式の, にを代入すると, よって, 結局, となるので, が偶数のとき, とすれば, となります ところで, 定理 3-8 により, 次のことがわかっています が 3 の倍数でなければ, と互いに素で, が 3 の倍数であれば, との最大公約数 2 になる そこで, まず が 3 の倍数でないときのことを考えてみます が 3 の倍数でないとき, ですから, も 3 の倍数でありません が平方数であるとすると, 素因数分解すると のようになりますが, たとえば 2 個が, とに 1 個ずつふくまれてし
74/81 ページ まうと, とが互いに素という条件に反してしまうので, 2 個と も, かにふくまれている必要があります このように考えると, も も平方数であることがわかります が平方数となるの, 第 5 章で, のときと のときだけ であることが証明されています すると,, また となりますが,6 3 の倍数なのでダメです のとき, 確かに 平方数なのでOKです これで, が偶数でしかも 3 の倍数でないとき, のみが平方数 であることが証明できました 次に, が 3 の倍数であるときを考えます が 3 の倍数であるとき, ですから, も 3 の倍数です このとき, との最大公約数 2 ですから, とすることができます ただし, と互いに素です このとき, です が平方数ならば, とすれば, となり, も 平方数です そこで, 先ほどの 3 の倍数でないときと同じ考え方により, もも平方数になります よって, 2 平方数, 2 平方数 なので, もも, 2 平方数 であることがわかりました ところで, が 2 平方数 となるの, 第 6 章で, のときだけであることがわかっています したがって, ですから, となり,12 3 の倍数なのでOKで, 確かにも平方数になっているのでOKです これで, が偶数でしかも 3 の倍数のとき, のときの み平方数になることがわかりました 結局, が偶数のとき, のときに平方数にな ることが証明できました
75/81 ページ <n が 4 で割ると 1 あまる数の場合 > が 4 で割ると 1 あまる数の場合, のときに平方数となる ( 証明 ) 証明, 第 5 章の <n が 4 で割ると 1 あまる数の場合 > と非常によく似 ています のとき,, 確かに平方数です そこで,, つまり, のときに, が平方数になったと仮定 し, 矛盾を導きます,4 でわると 1 あまる整数ですから, 0 より大きい 4 の倍数です そこで, とすると, 0 より大きい偶数です ここで, を素因数分解してみます を素因数分解したときに,3 が何回現れるかに注目します 回現れたとし, とします ただし,3 が 1 回も現れないこともあるので, 0 であることも考えられます 偶数だったので, 素因数分解すると 2 がふくまれています をで割ったときの商がですが,3 で何回割っても, の中の素因数である 2 そのまま残っているので, の中にも, 素因数 2 残っています つまり, 偶数です また, を 3 で割れるだけ割った残りですから, の中に, もう 3 ふくまれていません つまり, 3 の倍数でありません で, ですから, と表せることになります ただし, 0 以上の整数で, 0 より大きい偶数でしかも 3 の倍数で ない数です ここで, 定理 3-16 により, 次のことがわかっています が整数で, が偶数で 3 の倍数でないとき, で割り切れる
76/81 ページ この式を, 何回も利用します にを代入して, で割り切れる 1 回目 にを代入してマイナスにして, で割り切れる 2 回目 にを代入して, で割り切れる 3 回目 このように,i 番目ならばにを代入して, しかも偶数回目のと きマイナスにして, 式をどんどん, 回目まで作っていきます 回目奇数回目ですから ( のときも, なので奇数で す ), マイナスにせず, にを代入することになり, で割り切れる 回目 ところで, でしたから, です よって, 回目の式の中の, になり, になります よって, 回目の式を書き直すと, で割り切れる 回目 もう一度, 式だけ並べると, 次のようになります で割り切れる 1 回目 で割り切れる 2 回目 で割り切れる 3 回目 で割り切れる 回目 これらの,1 回目の式から 回目の式までを足します すると,1 回目の式の と 2 回目の式の が打ち消し合 い,2 回目の式の と 3 回目の式の が打ち消し合い, と
77/81 ページ いうように, どんどん打ち消し合って, 結局, で割り切れる となります ところで, です また, 定理 3-17 により が偶数で 3 の倍数でないとき, で割るとあまる から, 4 で割ると 3 あまる数 で割り切れる となります ところで, 定理 4-4 により, 次のことがわかっています ある整数が,4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき, その整 数を素因数分解すると, 必ず 4 で割ると 3 あまる素数がふくまれ る ということから, に,4 で割ると 3 あまる素数がふくまれる ずです しかし, が平方数なら, 定理 4-1 によって, が整数のとき, を素因数分解したときに,4 で割ると 3 あまるような素因数現れない と矛盾します 矛盾の原因, のときにが平方数であると仮定したことに あります よって, が 4 で割ると 1 あまる数の場合, のときのみ平方数 になることが証明できました
78/81 ページ <n が 4 で割ると 3 あまる数の場合 > が 4 で割ると 3 あまる数の場合, に平方数現れない ( 証明 ) 証明, 第 6 章の <n が 8 で割ると 2 あまる数の場合 > と非常によく似 ています が 4 で割ると 3 あまる数のときに, が平方数になったと仮定し, 矛盾 を導きます 拡張フィボナッチ数列の定理により, 次のことがわかっています が 0 以上の整数のとき, が成り立つ のとき, ですから, となります よって, に平方数現れないことを証明する代わりに, に平方数 現れないことを証明しても OK です ところで, が 4 で割ると 3 あまる数のとき, です こ のとき, となり, たとえば のように,,4 で割ると 1 あまる数です もっときちんと説明すると, なので,,4 で 割ると 1 あまる数です したがって, が 4 で割ると 1 あまるマイナスの数の場合, 平方数現れない ということを証明することになります ( この章の n が 4 で割ると 1 あまる数 の場合 と似ています ) そこで, で,,4 でわると 1 あまる整数ですから, -4の倍数 +1 とできます そこで, とすると, 0 より大きい偶数です ここで, を素因数分解してみます を素因数分解したときに,3 が何回現れるかに注目します 回現れたとし, とします ただし,3 が 1 回も現れないこともあるので, 0 であることも考えられます 偶数だったので, 素因数分解すると 2 がふくまれています をで
79/81 ページ 割ったときの商がですが,3 で何回割っても, の中の素因数である 2 そのまま残っているので, の中にも, 素因数 2 残っています つまり, 偶数です また, を 3 で割れるだけ割った残りですから, の中に, もう 3 ふくまれていません つまり, 3 の倍数でありません で, ですから, と表せることになります ただし, 0 以上の整数で, 0 より大きい偶数でしかも 3 の倍数 でない数です ここで, 定理 3-16 により, 次のことがわかっています が整数で, が偶数で 3 の倍数でないとき, で割り切れる この式を, 何回も利用します 1 回目そのままで, で割り切れる 1 回目 にを代入してマイナスにして, で割り切れる 2 回目 にを代入して, で割り切れる 3 回目 このように,i 番目ならばにを代入して, しかも偶数回 目のときマイナスにして, 式をどんどん, 回目まで作っていきます 回目奇数回目ですから ( のときも, なので奇数で す ), マイナスにせず, にを代入することになり, で割り切れる 回目 ところで,
80/81 ページ でしたから, です よって, 回目の式の中の, になり, になります よって, 回目の式を書き直すと, で割り切れる 回目 もう一度, 式だけ並べると, 次のようになります で割り切れる 1 回目 で割り切れる 2 回目 で割り切れる 3 回目 で割り切れる 回目 これらの,1 回目の式から 回目の式までを足します すると,1 回目の式の と 2 回目の式の が打ち消し 合い,2 回目の式の と 3 回目の式の が打ち消し合 い, というように, どんどん打ち消し合って, 結局, で割り切れる となります ところで, です また, 定理 3-17 により が偶数で 3 の倍数でないとき, で割るとあまる から, 4 で割ると 3 あまる数 で割り切れる となります ところで, 定理 4-4 により, 次のことがわかっています ある整数が,4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき, その整 数を素因数分解すると, 必ず 4 で割ると 3 あまる素数がふくまれ る
81/81 ページ ということから, に,4 で割ると 3 あまる素数がふくまれ るずです しかし, が平方数なら, 定理 4-1 によって, が整数のとき, を素因数分解したときに,4 で割ると 3 あまるような素因数現れない と矛盾します 矛盾の原因, が 4 で割ると 3 あまる数のとき, が平方数 であると仮定したことにあります よって, が 4 で割ると 3 あまる数のとき, 平方数現れないこと が証明できました 以上のことから, フィボナッチ数列において, が偶数のときのときに平方数となり, が 4 で割ると 1 あまる数のときのときに平方数となり, が 4 で割ると 3 あまる数のとき平方数が現れないことがわかりました 結局, フィボナッチ数列に現れる平方数,1 と 144 だけであることが証明できました おしまい