どんな話? 統計力学はマクロ系の平衡状態をある種の状態の集合 ( アンサンブル ) に関する平均として表現する ( つまり混合状態 ) 実は平均化された状態じゃなく平均化される前の個々の状態 ( 純粋状態 ) が平衡状態を表していると思ってもいい ( Thermal Pure State, T

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ちえこねぎたや
5 years ago
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1 Typicality による平衡統計力学の基礎付け杉田歩大阪市立大学工学部神戸大学理学部セミナー 2016 年 5 月 11 日

2 どんな話? 統計力学はマクロ系の平衡状態をある種の状態の集合 ( アンサンブル ) に関する平均として表現する ( つまり混合状態 ) 実は平均化された状態じゃなく平均化される前の個々の状態 ( 純粋状態 ) が平衡状態を表していると思ってもいい ( Thermal Pure State, TPS ) 元々誰が言い出した話かは不明 ( ボルツマン?) von Neumann (1929) Bocchieri and Loinger (1959) 2006 ~ 2007 あたりに幾つかの論文単なる基礎付けの理屈ではなく数値計算にも使えて実用的にも色々便利

3 純粋状態と混合状態の形で分解できる状態は混合状態 ( 純粋状態の確率的混合 ) そうでないものは純粋状態純粋状態はハミルトニアンによる時間発展の元では常に純粋状態一般に純粋状態の部分系は混合状態になっている

4 標準的な平衡統計力学の導出カオスエルゴード性等重率の原理グランドカノニカル平均ミクロカノニカル平均カノニカル平均等重率の原理 : エネルギーの等しい微視的状態は全て等確率で実現する...

5 等重率の原理とエルゴード性時間平均からミクロカノニカル平均を導く議論エルゴード性 ( 時間平均 ) = ( アンサンブル平均 ) 軌道が一様かつ稠密に等エネルギー面を埋め尽くすほぼ全ての状態が実際に出現する

6 エルゴード性による議論の問題点エルゴード性が近似的に成立するまでにどれぐらいの時間がかかるか?( エルゴード時間 ) マクロ系ではとてつもなく長い! 我々が測定している間には実現しそうにないそもそも我々が測定している間にエルゴード性が成立してしまうなら非平衡状態を観察するのは不可能ではないか? エルゴード性が成立するには強いカオスが必要現実的にはあんまりないそもそも量子系にカオスはない!

7 なぜ熱平衡が成立するのか Typicality による描像マクロ系において全ての可観測量を見ることは不可能一部の物理量のみを見るとき圧倒的大多数の状態は同じに見える時間平均は必要ではないダイナミクスに関して強い仮定は不要

8 古典系と量子系の違い複合系の状態空間 V V 1 2 古典系 ( 直和 ) V=V 1 V 2 dimv=dimv 1 dimv 2 量子系 ( テンソル積 ) V=V 1 V 2 dimv=dimv 1 dimv 2 量子系の状態空間の次元は系のサイズに対して指数関数的に増加する

9 マクロ量子系の持つ潜在的な情報量我々に可能な測定回数の上限 ( 宇宙年齢 ) / ( プランク時間 ) 10^61 回宇宙年齢 10^17 s, プランク時間 10^-44 s N スピン系の密度行列の要素数 4^N

10 状態が似ているってどういうこと? よくある考え方 ψ ψ 似ている ψ ψ 似ていない ψ 1 ψ 2 =0 二つの状態を一回の測定で確実に見分ける物理量が存在する

11 例 1 例 2 ψ 1 = マクロ系の場合 ψ 2 = ψ 1 ψ 2 =0 ψ 2 = ϕ ϕ ϕ = ψ 1 ψ 2 =( ) n ( )

12 マクロ系の状態の区別考え方 : 1. あらかじめ決めておいた物理量を測る 2. 状態を知った上で物理量をうまく選ぶランダムに 2 つのマクロ系の状態を選んだ場合 1. の意味では区別不可能 2. の意味では区別可能統計力学では普通は 1. の状況を考えるが 2. を考えないと見えない量もある ( エンタングルメント等 )

13 密度行列とブロッホベクトル量子系において状態が定まる密度行列が定まる全ての物理量の期待値が定まるブロッホベクトル = 全ての物理量の期待値のリストブロッホベクトルの L^2 ノルム = 密度行列のヒルベルトシュミットノルム我々は実際にはブロッホベクトルの一部の成分だけを見る我々が注目する成分が似ていれば二つの状態は似た状態であると考える

14 1 スピン系の場合ブロッホベクトルの例ブロッホベクトル ( σ x, σ y, σ z ) ρ= 1 2 ( σ 0 + σ x σ x + σ y σ y + σ z σ z ) 単位行列トレースレス n スピン系の場合ブロッホベクトル { σ i1 σ i2 σ i n } i k =0, x, y, z

15 基本不等式 (1) 一つ物理量を固定したとき典型的な状態に対するその期待値を考えるマクロ系でエネルギーがほぼ E の状態を考える ( エネルギーの揺らぎは小さいとしてよい ) 係数 c_i をランダムにとってある物理量の典型的な値およびそこからのズレを考える

16 基本不等式 (2) 係数の確率分布多次元の球面からランダムに一点をとるのと同じ ( ユニタリー変換に対する Haar measure) 平均値

17 基本不等式 (3) 物理量の期待値の平均分散ミクロカノニカル平均と同じ : λ の最大固有値

18 基本不等式 (4) チェビシェフの不等式を使って書き換えると左辺 : ランダムに状態を選んだとき物理量 λ の期待値が典型的な値から ε 以上ずれる確率右辺 : 区間 [E, E+ΔE] に含まれる準位の数 d は系のサイズに対して指数関数的に増加右辺は0に収束マクロ系では一つの物理量に対して圧倒的大多数の状態が同じ期待値を与える物理量の性質 ( ミクロマクロ等 ) やハミルトニアンの性質 ( 可積分非可積分等 ) とまったく無関係に成立

19 物理量のクラスの選択 (1) 統計力学の基本的対象はマクロ物理量 ( ミクロ量を考えてもよいが実験との対応をつけるには注意が必要 ) マクロ物理量は力学量 ( 演算子で書ける ) と非力学量 ( 演算子で書けないエントロピー温度等 ) に分かれるまずは力学量のみ考える ( 非力学量については後で ) 示量変数と示強変数のどちらか一方をとればよいここでは示量変数を考える

20 物理量のクラスの選択 (2) n サイトマクロ系示量変数局所的な物理量の和それらの揺らぎ等も考慮して局所物理量の m 次以下の多項式でかける物理量の集合 V_m を考える (m << n)

21 低次の多項式に対する典型性不等式局所的ヒルベルト空間の次元 ( 系のサイズによらない ) 独立な物理量の個数 ( 系のサイズの多項式 ) m 次多項式の空間に射影したブロッホベクトル熱力学極限で右辺は 0 に収束!

22 なぜ典型性は成り立つかミクロカノニカル状態と与えられた純粋状態のブロッホベクトルの差を考える δ λ=λ λ, δ λ =0 λ =( λ 1, λ 2, ) δ λ 一般に自身は小さくないしかし非常に多次元のベクトルなのでそのうちの一つの成分 λ i λ i はほぼ確実に小さい

23 Microcanonical TPQ (Sugiura & Shimizu, PRL (2012)) ψ 0 k c k E k ψ n (L ^H) n ψ 0 = k {c k } : random coefficients 全ヒルベルト空間からランダムに選んだベクトル ( 基底はなんでも良い ) (L E k ) n c k E k L : constant s. t. L - H > 0

24 物理系のエントロピー準位密度 ρ(e)=e S(E) β= 1 T = ds de

25 Canonical TPQ (Sugiura & Shimizu, PRL (2013)) Microcanonical TPQ!

26 Calculation of physical quantities Normalization constant (partition function) β β = j,k Mechanical variable c j c k e β(e j+e k )/2 E j E k 1 d k e βe k = Z d ^A = β ^A β 1 β β Z e βe k Ek ^A E k k Free energy (Nonmechanical variable) F = 1 β lnz 1 β ln d β β

27 TPQ を使った数値計算の利点と欠点統計力学の基本原理しか使っていないので非常に汎用性があるモンテカルロ法が使えない問題 ( カゴメ格子等 ) にも適用可能行列の掛け算しか使わないので並列計算向き状態ベクトルそのものを扱う必要があるのでメモリがたくさん必要現状スピン系だと 20 スピン程度が限界 ( しかし密度行列そのものを扱うよりははるかにマシ )

28 非平衡系も純粋状態で T.Monnai and A. S., J. Phys. Soc. Jpn. (2014) 平衡状態から出発して外力をかけて非平衡状態を作る ρ(t)=u(t)ρ eq U (t) + 物理量の期待値はハイゼンベルク表示の演算子に対する平衡状態の期待値として書ける状態は純粋状態で置き換えてもよい A =Tr {U(t)ρ eq U(t) + A}=Tr {ρ eq U(t) + AU (t)} ハイゼンベルク演算子

29 Black hole fire wall (1) M. Hotta and A. S. PTEP(2015) AMPS(Almheiri, Maralf, Polchinski, Sully,2013) の議論ブラックホール+ 輻射の系が典型的な状態であるとする BH+R1 は温度 (β=0) のカノニカル分布 ( 単位行列 ) I BH +R1 =I BH I R 1 BH と R 1 は無相関なので境界で微分項が発散高エネルギーの壁 (Fire wall)! BH R1 R2

30 Black hall fire wall (2) AMPS の議論の間違いエネルギーを無視して全ヒルベルト空間から状態を選んだことエネルギーが高い状態のほうが数が多いのでランダムに選べば高エネルギー状態が出てくるのは当然 AMPS の議論は horizon の性質を何も使っていない実は horizon だけでなく全空間が高エネルギー状態

31 残された問題 Haar measure を勝手に仮定したのはいいのか? 現実の状態の現れ方はもちろん Haar measure とは異なるたとえば平衡緩和するかどうかという問題は実際にハミルトニアンと初期状態を決めないとなんとも言えない状態の準備と時間の矢の問題我々にとって準備しやすい状態というのは Haar measure で見た大小とはまったく異なる例 : 気体が容器の片方だけに片寄った状態と 5 分後に片寄る状態

32 まとめマクロ系においてほとんど全ての微視的状態は似ている ( typicality ) カオスエルゴード性等はあまり重要ではない大事なのはマクロ系のほとんどの微視的状態は実質的に区別がつかないこと統計力学は純粋状態のみで定式化できる ( エントロピー等の非力学量も計算できる ) ある種の非平衡状態も純粋状態で計算できる Typicality の濫用に注意!

ଗȨɍɫȮĘർǻ 図 : a)3 次元自由粒子の波数空間におけるエネルギー固有値の分布の様子 b) マクロなサイズの系 L ) における W E) と ΩE) の対応として与えられる周期境界条件を満たす波数 kn は kn = πn, L n = 0, ±, ±, 7) となる長さ L の有限

ଗȨɍɫȮĘർǻ 図 : a)3 次元自由粒子の波数空間におけるエネルギー固有値の分布の様子 b) マクロなサイズの系 L ) における W E) と ΩE) の対応として与えられる周期境界条件を満たす波数 kn は kn = πn, L n = 0, ±, ±, 7) となる長さ L の有限 : Email: mizushima@mp.es.osaka-u.ac.jp, D38 0 08 5 S = k B ln W ) W n [] [] 5 N. 6 d h m dx ϕ nx) = E n ϕ n x) ) L 5 ϕ n x = 0) = ϕ n x = L) = 0, N k n ϕ n = N sink n x), E n = h k n m 3) k n = nπ, n =,,