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れれはにうだ
4 years ago
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1 暫定版修正加筆の可能性あり ( 付録 ) コイルと磁場 () coil nd mgnetic field prt. 相互インダクタンス : 変圧器. 磁場のエネルギー : 変圧器 3. 直線近似 4. ローレンツ力とアンペールの力 5. 直線定常が作るベクトルポテンシャル 6. ポテンシャルエネルギー注意. 電磁波を記述するマクスウェル方程式の理解に必要を思われるトピックスに限定. 定常が作る磁場準定常が作る磁場を考慮 3. 準定常 : 時間変化が極めて遅いため定常で成立する法則がそのまま適用可となる 4. 静磁場 (mgnetosttic) と書かない理由については44-5を参照して下さい 5. 磁化 (mgnetiztion) は取り扱いません 47-

2 おことわり電場でお馴染みの E と D 本付録では電場 E 電束密度 D と記す電場 E:electric field 電界 E 電束密度 D:electric flux density 電気変位 D:electric displcement field C: クーロン単位 V m Cm 磁場でお馴染みの H と B 注意 : 英語では H も B も mgnetic field 本付録では磁場 H 磁場 B と記す磁場 H:mgnetic H field 磁場の強さ :mgnetic field intensity 磁場 B:mgnetic B field 磁束密度 :mgnetic flux density T: テスラ Wb: ウェーバー T 単位 Am Wb m 47-

3 相互インダクタンス : 変圧器 () 変圧器の動作 : コイルが無い場合 ( 準備問題 ). コイルのの向きは電源の向きと一致. コイルのの向きは鉄芯内部の磁束の向き ( 赤矢印 ) と対応させる 3. コイルを外す 4. 電源を増加させるとコイル両端に起電力 (V) 発生 5. コイルの起電力の向き ( 高低 ): の増加を妨げる向き 6. を流すため電源はコイルの起電力と大きさが等しい電圧を発生式で書くと : 大きさのみ考慮 V V > 変圧器 :voltge converter trnsformer V: コイルの起電力磁束 φ: 面内一様 V: コイルの起電力ファラデーの電磁誘導の法則負符号は不要 : 大きさのみ dφ V N > V 正極負極高 V 低抵抗 R L 電源自己インダクタンス電源 :46- I 鉄芯 : 透磁率 μ I 47-3

4 相互インダクタンス : 変圧器 () 同じことを電気回路として考えると. コイルのの向きは電源の向きと一致. コイルのの向きは鉄芯内部の磁束の向き ( 赤矢印 ) と対応但しコイルは外す 3. コイルの起電力の向き : 電源正極側とコイルの起電力低側で接続 4. コイルの起電力を電池で置き換えるなら電源正極と起電力負極で直列接続がイメージできる 5. 電源電圧とコイルの起電力の和は零 6. 電源を増加させるとコイルの両端に負の起電力 (V) 発生 7. コイルの起電力の向き ( 高低 ): 図と逆向き式で書くと : 和は零 V + V V < 変圧器 :voltge converter trnsformer V: コイルの起電力磁束 φ: 面内一様 V: コイルの起電力ファラデーの電磁誘導の法則負符号は必要 dφ V N < V 正極負極低 V 高抵抗 R L 電源自己インダクタンス電源 :46- I 鉄芯 : 透磁率 μ I 47-4

5 相互インダクタンス : 変圧器 (3) コイルがある場合 V: コイルの起電力磁束 φ: 面内一様 V: コイルの起電力. コイルのの向きは鉄芯内部の磁束の向き ( 赤矢印 ) と対応. コイルの起電力の向きはコイルを参考にして決める 3. 自己インダクタンス L と相互インダクタンス M を考慮する正極負極 V 低高 V V 高低 R I 電気回路方程式電源 dφ V V N L M dφ IR V N M L I 鉄芯 : 透磁率 μ 磁束 φ: 鉄芯 S: 鉄芯断面積 ( 一定 ) l: ループ長 ( ) Φ BS, Bl µ N I + N I I 枠内 : オームの法則 (Ohm s lw) を適用電圧比自己インダクタンス相互インダクタンス L N S l, µ,, M µ NNS l V V N N 47-5

6 磁場のエネルギー : 変圧器磁場のエネルギー密度 :46-3 鉄芯の透磁率 :μ um B U m B Sl µ µ 磁場のエネルギー : 全体 Um LI + M II + LI 相互作用による磁場のエネルギー :46-8 M I I B B i A µ 磁場 B:47-5 注意 : コイル中の緑矢印密度ベクトルとベクトルポテンシャルは同方向コイル : 真上 ( ) Bl µ N I + N I 磁場 B B A i A 電気回路方程式より : エネルギーの内訳低 B 高 R IV m + IV + IV du du I R + m V 電源 V 高 V 低 I 供給電力ジュール熱 + 磁場のエネルギー増加 I I 47-6

7 単調増加の場合 : 変圧器変圧器 : 電気回路方程式コイル側の : 単調減少比 : 巻き数比 V V L M IR V M L コイル側の : 微分方程式 L I R km k R L I km t < M L I L N I M N 時間経過 : コイル : 負コイル : 単調増加 I km R < 相互作用による磁場のエネルギー相互作用が無いときよりも減少コイルのはコイルの磁場を弱める向きに流れる M II < µ BB < i A < 正極低高 V V V 負極高低電源 I 変圧器 : 密度ベクトルとベクトルポテンシャルは逆向き R I I 47-7

8 交流電圧の場合 : 変圧器交流電圧 : 電気回路方程式は同じ V V L M IR V M L 電圧比 V V N N 位相関係 : 交流 ( 正弦波 ). 電源電圧 Vとコイルの起電力 Vは逆位相. コイルの起電力 Vとコイルの起電力 Vは同相 3. コイルの起電力 Vと Iも同相 4. Iと IはRが小さいほど逆相に近づく R M L 振幅 A B: 角周波数 ω I A L N I B M N I Acos ωt, I Bcosωt 比巻き数比供給電力ジュール熱 + 磁場のエネルギー増加分 ( t) du m I( tv ) ( t) + I( tv ) ( t) + du m ( t) I( tv ) ( t) + I( tv ) ( t) + 電力 : 周期時間平均 (T) コイル供給側コイル消費側 T T T P I( t) V( t) T T P I( t) V( t) T 理想的な変圧器鉄芯内で磁場のエネルギーが無損失電源電力を全部コイル側に trnsfer している du m P P 電気回路方程式の厳密解 : 参考文献前田小林ビジュアルアプローチ電磁気学 p.3 森北出版 47-8

9 直線近似 () 準備 : 一巻きコイルのの向きを決める. は流さない. 鉄芯を外す 3. 真横から見るコイル : の向きコイル : の向き I I 外側内側外側コイルとを変形注意 : 完全導体として内部抵抗を無視 I I 隣接側に注目 Ι I ds ds ds ds 直線近似を流す非常に大きなコイル 47-9

10 直線近似 () 相互作用による磁場のエネルギー : 参照 46-9 J r A r B r B r J r A r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) µ µ Ids Ids Ids A ( r ) M II 4π R 相互インダクタンス : 近似と無関係に成立 M µ d d R 4π s s r r R の方向が同じが上の位置 r に作るベクトルポテンシャル O r Ι ds r I ds µ I A r ds ( ) 4π r r µ I ds 4π R 原点 47-

11 ローレンツ力とアンペールの力ローレンツ力 :Lorentz force 電場 E と磁場 B: 荷電粒子が存在する位置相手が作る磁場 B q ( E+ v B) qv B 電荷電荷の速度電場 E が無視できる場合 I I qnav n: 単位体積当たりの電荷数 I I 導線単位長さ当たりの電荷数アンペールの力 :Ampere s force 単位長さ当たり na A: 導線の表面積 ( ) na qv B I B µ I Η I 引力 I 直線の間に作用する力 ( 単位長さ当たり ): スカラー表示 µ II µ IH,, I π,, 直線が作る磁場 H: スカラー表示 (45-4) H I I π : 間隔斥力 47-

12 直線定常が作るベクトルポテンシャル相互作用による磁場のエネルギー :46- : 密度 : 直線定常のベクトルポテンシャル µ ( ) ( ) ( ) ( ) I d ( ) B r B r J r A r s A r 直線が作るベクトルポテンシャル : 青矢印 :z 軸. はz 軸上を流れる. ベクトルポテンシャルはz 成分のみ 3. 間隔の関数 4. 計算例 : 次頁 µ I A( r) d s A x A y 4π R A I log ( ) z Ι r O ds R r ds I ベクトルポテンシャル A ( r) (,, A z ( ) ) ( ) Id sa log r II 原点 R r r 確認 Ι と Ι は平行なのでの流れる向きは両者で同じ値一定であれば間隔が狭い程相互作用による磁場のエネルギー増加 ( あたりまえ!) アンペールの力は引力として働く 47-

13 計算例 µ I I dz A ds A, Id Idz, I 4π R s e I e R I dz I dz R + z z z z b b lim lim lim I log b b log b b b b b b b ( ) b + b b I log I log b I log Az ( ) I log b b lim I log lim I log lim b b b > + b b > > ( ) A ( ) < A > I log + + b b dz + z log z z C 47-3

14 ポテンシャルエネルギー () 力学の世界 : 力の向きは位置エネルギーが減少する方向 U 例 : 位置エネルギー ( r), U mgz mg z x y 位置エネルギー : 重力は下向き m 静電場の世界 : 力の向きは電場 E のエネルギーが減少する方向相互作用による静電エネルギー q E q V U ( r) ( r) ε E ( r) E ( r) U qv ( ) U r r + V: 静電ポテンシャル相互作用による静電エネルギー例 : 静電ポテンシャル ( 原点に位置する負電荷 q) と正電荷 q q ( ) ( ) qq r r r V r U r 4πε 4πε q <, q > 参照 :

15 ポテンシャルエネルギー () 定常磁場の世界力の向きは磁場 B のエネルギーが増加する方向エネルギーの増加 : 電源 ( 定源 ) が外力としてなす仕事 W W ( r) ( r) J ( r) A ( r) µ ( ) ( ) B r B r 相互作用による磁場のエネルギー W ( ) II log 例 : 二本の直線 ( 間隔 ) :z 軸参照 :47- W ( ) II log Ι I やや強引ではあるが磁場の場合ポテンシャルエネルギー :U U( r), U W アンペールの力. アンペールの力はポテンシャルエネルギーが減少する方向を向く. U をの位置エネルギーと呼ぶ教科書もある O の位置エネルギー参考文献 : 前野昌弘よくわかる電磁気学 p.8 東京図書原点間隔 : 47-5

16 ポテンシャルエネルギー (3) 定常磁場の世界 : 力の向きはの位置エネルギーが減少する方向相互作用による磁場のエネルギー ( 負符号 ) U U ( r) ( r) J ( r) A ( r) µ ( ) ( ) B r B r 括弧 : 相互作用による磁場のエネルギー ( 負符号 ) : の位置エネルギー U ( ) II log 例 : 二本の直線 ( 間隔 ) :z 軸 Ι I 参照 :47- U ( ) II log ポテンシャルエネルギー :U アンペールの力 U ( r). 力学 : 位置エネルギー. 静電場 : 相互作用による静電場エネルギー ( 正符号 ) 3. 磁場 : 相互作用による磁場のエネルギー ( 負符号 ) 原点 O 間隔 : 47-6

17 整理 : ポテンシャルエネルギー定義 : ポテンシャルエネルギー U U ( r) 静電場の世界電場 E: 保存場 4-5 U: ポテンシャルエネルギー. 静電エネルギー. 相互作用による電場のエネルギー 3. 符号 : 正 4. 別名 : 電荷の位置エネルギー定常磁場の世界磁場 B: 保存場 44-5 U: ポテンシャルエネルギー. 相互作用による磁場のエネルギー. 符号 : 負 3. 別名 : の位置エネルギー U ( r) ε E ( r) E ( r) 静電エネルギー : V: 静電ポテンシャル ( 電位 ) 別名 : スカラーポテンシャル U µ ( r) B ( r) B ( r) A: ベクトルポテンシャル ρ qv qq 4πε ( r) V ( r) ( r) r ρ: 電荷密度 M II II ( ) ( ) log 点電荷距離 :r 直線距離 : J r A r J: 密度符号の起源. 電場 E: 異種電荷で引力同種電荷で斥力. 磁場 B: 同方向で引力逆方向で斥力説明省略 : 加速度運動による電磁場放出などは考えていません 47-7

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スライド 1 暫定版修正加筆の可能性あり ( 付録 ) コイルと磁場 () coil and magnetic field part. ソレノイドコイルのエネルギー. エネルギー密度の比較 : 電場と磁場 3. 磁場のエネルギーとベクトルポテンシャル 4. 相互作用エネルギー : 電場と磁場 5. 資料 : 電源について注意. 電磁波を記述するマクスウェル方程式の理解に必要を思われるトピックスに限定. 定常電流が作る磁場