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たいちおおふさ
5 years ago
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1 暫定版修正加筆の可能性あり ( 付録 ) マクスウェルの応力テンソル (). ある領域に作用する力 2. 応力テンソル 3. 力の総和と応力テンソル 4. ローレンツ力 5. マクスウェルの方程式 6. 孤立系注意. 本付録 : マクスウェルの応力テンソル(stress tesor) 2. 簡単のため個々の電荷が真空中をバラバラに運動する孤立系を考えます 3. 背景は真空とします真空中の誘電率と透磁率を使用します 4. 参考文献 : 本宮波動光学の風景 O plus E, 29, 3, p.274 (2007) 604

2 おことわり電場でお馴染みの E と D 本付録では電場 E 電束密度 D と記す電場 E:electric field 電束密度 D:electric flux desity 電気変位 D:electric displacemet field C: クーロン単位 V m 2 Cm 磁場でお馴染みの H と B 注意 : 英語では H も B も magetic field と呼ばれる混同しやすい本付録では磁場 H 磁場 B と記す磁場 H:magetic H field 磁場の強さ :magetic field itesity 磁場 B:magetic B field 磁束密度 :magetic flux desity T: テスラ Wb: ウェーバー T 単位 Am = Wb m

3 ある領域に作用する力 () 質点 :poit mass 微小領域 :dv z 軸 y 軸 F 2 F 5 F F 3 F 2 F 3 x 軸 F F 4 力の総和 : ベクトル和 F= F F2 F3 F4 総和が零の場合 : 慣性の法則に従う F 4 力の総和ベクトル和 F 6 F dv = dxdydz = Fi F= F F2 F3 F4 = 0 導入 : 位置依存性 f 単位体積当たりの力 ( r) dv = F( r) 注意 : 外力と内力を問わず成立する話外力 : 力の源 (source) が質点位置の外部に存在内力 : 力の源 (source) が質点内に存在但し質点の内力と言われてもピンときませんが注意 : 外力と内力を問わず成立する話外力 : 力の源 (source) が微小領域外に存在内力 : 力の源 (source) が微小領域内に存在 6043

4 ある領域に作用する力 (2) 領域全体 : 太線内領域全体に作用する力の総和 F ( r ) 2 微小領域 :dv F ( r ) 5 f( r ) F ( r ) 3 F( r) F total ( ) = f r 微小領域での力の総和単位体積当たりの力位置依存性有 dv 位置ベクトル r F = r ( r ) 4 F ( r ) 6 r = r 2 f( r 2 ) 微小領域 :dv ( ) dv = F( r) f r dv = dxdydz 微小領域での力の総和ベクトル和 O 位置ベクトル ( ) F ( r) F r = i 原点 : 領域内でも外でも構わない 6044

5 微小領域に作用する力微小領域での力の総和 : ベクトル和微小領域 :dv z 軸 y 軸 ( ) F ( r) F r = i F 2 F 5 F 3 x 軸微小領域での力の総和単位体積当たりの力位置依存性有 F ( ) = f( r)dxdydz F r F 4 ( F F ) ( F F ) ( F F ) = F 6 力 :yz 面力 :zx 面力 :xy 面応力 (stress): 微小領域各面に作用する単位面積あたりの力注意 : 外力と内力を問わず成立する話 ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) F r f r dxdydz u u dydz u u dzdx u u dxdy 応力 :yz 面応力 :zx 面応力 :xy 面 6045

6 応力テンソル応力テンソル :stress tesor 応力 (stress): 行ベクトル (raw vector) の場合微小領域各面に作用する単位面積あたりの力 T: 応力テンソルの転置行列 (trasposed matrix) 応力は縦ベクトル表示も可 ( 本質的に変わりません ) xx xy = yx yy yz zx zy zz 行ベクトル表示縦ベクトル表示 u u i i = = i T i 具体的な表現 : 行ベクトル表示注意 : 外力と内力を問わず成立する話微小領域各面に対して外向きの単位法線ベクトル u xx xy = =,, zx zy zz i i x y z yx yy yz u 2 u 5 u 3 u u 4 微小領域各面に対して外向きの単位法線ベクトル u 6 微小領域 :dv 6046

7 応力と応力テンソル () 計算例 :yz 面の場合注意 : 位置依存性 xx xy u = = [,0,0 ] yx yy yz = xx ( x x), xy ( x x), ( x x) zx zy zz xx xy u2 = 2 = [,0,0 ] yx yy yz = xx ( x), xy ( x), ( x) zx zy zz 法線ベクトル :ormal vector x z 軸 y 軸 2 = (,0,0) (,0,0) = u 2 u x 軸 x = x x= x x 6047

8 応力と応力テンソル (2) 計算例 :zx 面の場合 xx xy u3 = 3 = [ 0,, 0 ] yx yy yz = yx ( y y), yy ( y y), yz ( y y) zx zy zz ( y), ( y), ( y), [ 0,, 0] u 4 = 4 = yx yy yz 4 = 計算例 :xy 面の場合 xx xy u5 = 5 = [ 0,0, ] yx yy yz = zx ( z z), zy ( z z), zz ( z z) zx zy zz ( z), ( z), ( z), [ 0,0, ] u 6 = 6 = zx zy zz 6 = 6048

9 力の総和と応力テンソル重要な関係式 : 微小領域に作用する力の総和 ( 単位体積当たり ) = ナブラベクトルと応力テンソル ( 行列 ) の積 xx yx zx f( r) = =,,, = xy yy zy x y z yz zz 具体的な表現注意 : ベクトル解析でお馴染みの勾配 (gradiet) や発散 (divergece) ではありません ( ) f r xx xy = =,, yx yy yz x y z zx zy zz 注意 : 外力と内力を問わず成立する話外力のみでも有効内力のみでも有効両者混在でも有効 yx xy yy zy yz f( r) =,, x y z x y z x y z xx zx zz 6049

10 力の総和と応力テンソル : 確認 () 応力 (stress): 参照 6045 ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) F r f r dxdydz u u dydz u u dzdx u u dxdy 計算 : 右辺第一項 u u 2 ( x x), ( x x), ( x x) ( x), ( x), ( x) = xx xy xx xy ( x x) ( x), ( x x) ( x), ( x x) ( x) = xx xx xy xy ( x x) ( x) ( x x) ( x) ( x x) ( x) xx xx xy xy =,, x x x x xx xy,, dx x x x xx xy 2 dydz =,, dxdydz x x x ( u u ) 6040

11 力の総和と応力テンソル : 確認 (2) 計算 : 続き xx xy dydz =,, dxdydz x x x yx yy yz dzdx =,, dxdydz y y y zx zy zz dxdy =,, dxdydz z z z ( u u ) 2 ( u u ) 3 4 ( u u ) 5 6 ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) F r f r dxdydz u u dydz u u dzdx u u dxdy yx xy yy zy yz =,, x y z x y z x y z xx zx zz = x y z x y z x y z ( ),, f r xx yx zx xy yy zy yz zz dxdydz 604

12 ローレンツ力とアンペールの力参照 :407 ローレンツ力 (Loretz force): 単一電荷の場合右辺第一項はクーロン力 (Coulomb fource) F= q ( E v B) F= qe qv B A: 導線の表面積電荷電荷の速度電流 I I = qav : 単位体積当たりの電荷数導線単位長さ当たりの電荷数 A アンペールの力 :Ampere s force: 単位長さ当たり ( ) F= A qv B = I B J: 電流密度アンペールの力 :Ampere s force: 単位体積当たり ( q ) I f = v B = B= J B A ローレンツ力単位体積当たり (, t) = ρ (, t) (, t) (, t) (, t) f r r Er Jr Br 単一電荷の場合 : 位置 r 電荷密度 ρ:charge desity 単位体積当たりの電荷量 ( ) (, ), (, ) ( ) q = ρ r t dv ρ r t = qδ r r t 6042

13 ローレンツ力 : 導線単位体積当たりのローレンツ力 : 導線を流れる定常電流定常電流 : イメージ積分領域 ρ = 0 = ρ = f E J B f J B 長さ :L 電流と電流密度の関係時間平均 = 測定時間 ( ) = J ( r, ) I t L t dv 定常電流 : 測定毎に同一値 I ( t) = cost. 電流密度と電子位置速度 ( ミクロな表現 ) 素電荷 :elemetary charge 電子の場合 ( i ) (, ) ( ) δ ( ) J r t = q v t r r t q= e i= i なにが言いたいのかな?: 導線を流れる定常電流電子は移動中に周囲の電荷 ( 正負 ) との間の引力斥力で散乱される但し集団としてある一定の速度を持って同一方向に移動する ( 定常電流 ) 導線外 : 真空なので電荷密度は零導線内 : 電子は移動正電荷は不動但しいつでもどこでも両者の数は同じとみなしてよいつまり電荷密度は導線内も零導線は正にも負にも帯電しない電荷密度が導線内外で零だからクーロン力 ( ローレンツ力 : 右辺第一項 ) は効かない参考文献 : 太田浩一電磁気学の基礎 Ⅱ p.47 東京大学出版会 6043

14 ローレンツ力 : 電子流単位体積当たりのローレンツ力 : 電子流定常的な電子流 : イメージ速度 : 一定 f = ρe J B v = cost. 電荷密度 :charge desity 電流密度 :curret desity( 一定速度 ) ρ ( i ) ( r, t) = q δ r r ( t) i= ( i ) (, t) = q δ ( t) J r v r r i= 真空中を電荷がバラバラに運動 : 単位体積当たりのローレンツ力イメージ速度変化 (, t) = ρ (, t) (, t) (, t) (, t) f r r Er Jr Br 電荷密度位置 : バラバラ電流密度位置速度 : バラバラ ρ ( i ) ( r, t) = qδ r r ( t) i= i ( ) (, t) = q ( t) δ ( t) J r v r r i= i i i q v ( t ) = e 電子 q 2 v 2 ( t) q i q v i ( t) v t 3 = e 正電荷 : 価 ( )

15 ローレンツ力 : 内力と外力微小領域に作用するローレンツ力添字 : 電荷 (charge) に作用する力ストロボ ( ある瞬間を ) 撮影 : 電荷はバラバラに運動自己場 : 赤色の電荷が微小領域に作る電場磁場外場 : 黒色の電荷が微小領域に作る電場磁場 ( ) = ρ ( ) ( ) ( ) ( ) fcharge r, t dv r, t Er, t dv Jr, t Br, t dv 微小領域が文字通り微小で領域内に電荷が個しかない場合 dv 0 図中の赤色の電荷が受けるローレンツ力赤色の電荷が電場磁場の発生源となる場合 : 赤色の電荷が受けるローレンツ力は自分自身が作る電場磁場 ( 自己場 ) による内力 ( 自己力 ) 微小領域外に存在する電荷が電場磁場の発生源となる場合 : 赤色の電荷が受けるローレンツ力は自分自身を除いた他電荷が作る電場磁場による外力微小領域に作用する全ての力を計算するために以後ローレンツ力を内力外力の両方を含むローレンツ力として扱います電場磁場の発生源は微小領域の内側 ( 自己場 ) にも外側 ( 外場 ) にも存在電荷が感じる電場磁場は自己場と外場の両方を含むローレンツ力は電荷に作用する内力外力の両者を含む微小領域 :dv 質問仮に電荷に対してローレンツ力以外の力 ( 例えば万有引力 ) の作用が無視できるとき微小領域内の電荷に作用する内力外力の両方を含むローレンツ力は微小領域に作用する内力外力の両方を含む全ての力と考えてよい? 6045

16 ローレンツ力 : 領域全体ローレンツ力 : 領域全体に含まれる全ての電荷に作用する力の総和 ( ) = ρ ( ) ( ) ( ) ( ) fcharge r, t dv r, t Er, t dv Jr, t Br, t dv やや仮想的な世界 : 領域全体は完全に孤立外部との交流なし外部から孤立系への影響は皆無孤立系内の電場 E と磁場 B はマクスウェルの方程式に支配される電場 E と磁場 B の発生源は孤立系内の電荷の運動に限られる孤立系は非常に大きく電荷粒子電場 E と磁場 B は孤立系から外に出られない孤立系内の電荷はローレンツ力以外の力を受けない質問 2: 真空中を電荷がバラバラに運動しているような孤立系に対して孤立系全体に作用する力は孤立系内全ての電荷に作用するローレンツ力の総和に等しい? 領域全体 : イメージ十分に大きな孤立系ローレンツ力が有効領域全体の外側は無 : 領域外との交流なし電場 E と磁場 B が存在しても領域外には出られない (, t), Br (, t) Er マクスウェルの方程式が有効 6046

17 マクスウェルの方程式参照 :2054 ファラデーの電磁誘導の法則 Br Er (, t) = t アンペールの法則 ( 変位電流追加 ) (, t) (, t) Dr H( r, t) = J r, t ( t) ガウスの法則 : 電場 E 磁場 B ( t) ρ ( t) ( t) Dr, = r,, Br, = 0 誘電率と透磁率 : 真空中背景 : 真空 Dr (, t) = ε 0Er (, t) Br (, t) = µ Hr (, t) 0 単位体積当たりのローレンツ力 : 真空中を電荷がバラバラに運動イメージ速度変化 (, t) = ρ (, t) (, t) (, t) (, t) f r r Er Jr Br 電荷密度位置 : バラバラ電流密度位置速度 : バラバラ ρ ( i ) ( r, t) = qδ r r ( t) i= i ( ) (, t) = q ( t) δ ( t) J r v r r i= i i i q v ( t ) = e 電子 q 2 v 2 ( t) q i q v i ( t) v t 3 = e 正電荷 : 価 ( )

18 孤立系ローレンツ力 : 微小領域ローレンツ力 : 孤立系全体 f dv = ρe dv J B dv charge ρ charge f dv = EdV J BdV マクスウェルの方程式 (, t) ρ ( r, t) (, t) 0 (, t) Br Er (, t) = t Dr (, t) H( r, t) = J r, t Dr = Br = ( t) 孤立系 : 真空中を電荷がバラバラに運動 ρ (, t) = ε 0Er (, t) (, t) = µ Hr (, t) Dr Br 0 ( i ) ( r, t) = qδ r r ( t) i= ( ) (, t) = q ( t) δ ( t) J r v r r i= i i i i 質問 : 微小領域内の電荷に作用する内力外力の両方を含むローレンツ力は微小領域に作用する内力外力の両方を含む全ての力と考えてよい? 質問 2: 真空中を電荷がバラバラに運動しているような孤立系に対して孤立系全体に作用する力は孤立系内全ての電荷に作用するローレンツ力の総和に等しい? ( 付録 ) マクスウェルの応力テンソル (2) へ続く ( 参照 :605) 6048

スライド 1

スライド 1 暫定版修正加筆の可能性あり ( 付録 ) マクスウェルの応力テンソル () 1. 復習 : 孤立系. マクスウェルの応力テンソル 3. 電磁波 ( 光 ) の運動量密度 4. 運動量の保存則 5. 電磁波 ( 光 ) の運動量 : 進行波 6. 電磁波 ( 光 ) の運動量 : 定在波 7. 電磁波 ( 光 ) の運動量 : 鏡面反射 8. 鏡面反射と定在波 9. マクスウェルの応力テンソル :