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1 7. フェルミ統計とボース統計 Rvs Ju 9, 7- フェルミ粒子とボース粒子スピンと量子統計量子力学的な粒子はスピンを持つ スピン : 粒子の自転の角運動量に相当する物理量 ra 4 定数.4 [ J s] を単位として 整数 or 半整数を取る 余り s という言葉に捕らわれ過ぎず 磁場に入れた時 Str-Gra の実験に従い 分裂する性質 磁気モーメントを有する と思っていれば良い そして スピンが ra 定数を単位として a,,, という整数を取る時 この粒子を os 粒子と呼び os 統計に従う g. oto, - 中間子, oo, 4 H, r, u, t. b /, /, /, という半整数を取る時 この粒子を r 粒子と呼び r 統計に従う g. H, tro, roto, utro 中性子 t. この理由は未解明 そういうものだと思っていれば良い 参考 Str-Gra の実験の概要 空間の量子化を示した初めての実験とされ 9 年頃に行われた y tt://.wa.org/w/str%%8%9gra_rt 真空中で 右側の炉から銀原子の蒸気を コリメーターを介して 軸に沿って飛ばす これが 不均一磁場中を通り抜ける時に 原子の持つスピンに応じて 上下 軸方向 にぶれる その結果 得られるビームの到達分布は下の写真の通り 今 磁石の長さ 方向 が, 電磁石に掛かっている磁束密度 y の関数 を 銀原子の進 行速度を v v v,, 磁気モーメント の 軸からの傾きを θ とすると 磁界中を通過する時 磁気モーメントには 軸方向に

2 os θ 7.A の力が働く Str a Gra: How a a Cgar H Rort Ato Pyss,. rr a. Hrsba, Pyss oay 6,. Watr Gra が9 年 月 8 日付けで s or に送った絵葉書 写真 よって 原子の 軸方向の運動方程式は t osθ 初期条件として t で, t os θ t 7A. を用いると 7A. より 7A. 軸方向の運動は影響を受けず 等速で移動するので 磁石を通り抜けるために要する時間は t 7A.4 v この間に 原子は 軸方向に osθ v 7A. だけずれる事になる 元々この実験は 原子が生来角運動量を持つか否かを確かめるためのもので そのため 予想さ れたのは 状態に対応し,, の 状態に分かれるであろうというものであった

3 結論から言えば os 粒子は f os-st 分布 r 粒子は f r-ra 分布 多粒子の波動関数の対称性粒子の区別 粒子の波動関数 : ψ r つの状態 ψ, ψ 測定される物理量 : ψ r ψ * r 密度行列 r r 粒子の波動関数 : ψ r, r, Lr 粒子の波動関数 : ψ r, r 粒子 の運動量 粒子 の運動量 ψ r, r 粒子 の運動量 粒子 の運動量 これらは別の状態 即ち異なる波動関数 しかし もし粒子が 区別できない 時には 同じ関数となる ψ r, r ψ r, r ところで 区別できる 時も 粒子の入れ替えによって 密度行列等は同じにならなくてはならな a いので 波動関数はに因子 をつけて ψ r r a a, r ψ r, ψ r, r ψ r, r よって a a ± ψ r, r ± ψ r, 7. r 上の 区別できない 粒子の議論と併せて 同種の 粒子の波動関数は粒子座標の置き換えに対し 対称 : os 粒子 または反対称 -: r 粒子 oso: oto, - 中間子 ro: 電子 陽子 中性子 空間座標 r 内部自由度 例えば s ψ, ± ψ, 7. 粒子の波動関数に関しては 任意の 粒子の座標の入れ替えを同様に考え

4 ψ,, L,, L,, L, ± ψ,, L,, L,, L, 7. 理想気体の波動関数 粒子の運動の記述について 各々の粒子が独立に運動しているとすると φ a φ, b ψ 7.4 と表す事ができ 各々の波動関数が φ, φ である a b しかし これは 粒子が異なる種類の時 同種粒子の場合は 7. の制約から A[ φ φ φ φ ], a b b a 7. ψ ± φ a φ b の時 oso: の時 ψ Aφ a φ, a ro: - の時 ψ, つまり r 粒子では 個の粒子が同じ状態を占める事はできない 互いに独立した運動をしている同種粒子の系では os 粒子は同じ 粒子量子状態を何個でも占有できる r 粒子は同じ 粒子量子状態を 個しか占有できない Pau の排他律 複合粒子の性質上の議論を拡張すると 偶数個の r 粒子を含む場合 : os 粒子 oso 奇数個の r 粒子を含む場合 : r 粒子 ro 余り拘らず 取り敢えず認めるのが賢明 7- フェルミ統計とボース統計 量子状態の粒子数表示各粒子が占有する量子状態を考える P.4 図 - 参照 Ε : 粒子数 4

5 粒子状態を と表せば 各々の状態を占める粒子数 は数列表示すると { },, L 7.6, これを 量子数 と考える事ができ r 粒子で, 7.7 os 粒子で,,, L, 7.8 全粒子数は 7.9 量子状態 のエネルギーを とすれば 全エネルギーは 7. この様に 量子状態を 粒子状態で占める粒子数で表す事を 粒子数表示という 粒子分布の粗視化 - 節で行った方法に従い 粒子状態をグループ分けする グループ に属する量子状態の数を, エネルギーを, そこを占める分子の数を とする,, L が粗視化された分子分布 全粒子数 全エネルギー は, 粒子分布 { },, L 7., は 7.6 と異なり 全系のミクロな量子状態を定めるものではなく 粗視化された状態の指定 - 節の復習 - 節の説明 特定の分子分布,, L の下での全系の量子状態の数を求める事を考える,

6 Ε Ν : 粒子数 Ε Μ : 量子準位数 エネルギー値 を有する で代表される 量子状態数を として ここに 個の分子を分配す る事を考える 上図は図 - と等価 : 既に第 章で議論 この様な分配の場合の数は であり 粒子の数が状態数に比べて十分少ない <<.7 とすると 各々の量子状態には粒子は 個若しくは 個しか入っていないと考えられる これらの粒子が区別できないとすると 場合の数は! 通り 全てのグループについて同じ議論が出来 分布,, L W,,, Strg の公式を用い S の下での全系の量子状態の数は, L.8!,, L ogw,,, og og, L og og.9 別の導出 Ν Μ 分子が区別できるとすると! P L 通り! 十分状態数が大きく 占有数が少ないとする 即ち とすると <<.7 P!! 通り 6

7 ここで 分子が区別出来ない場合には 分配の仕方は! 通り 終 粒子系のエントロピー - 節では 十分状態数が大きく 占有数が少ないとする 即ち << 特定の分子分布,, L の下での全系の量子状態の数を求める事を考えた, ここでは.7 を使わずに議論する.7 を仮定し Μ Ν r 粒子の場合 個の量子状態から重複を許さず を選ぶ方法 W! C 通り 7.4!! - 節では P!! W と近似! os 粒子の場合には 個の量子状態から重複を許し! W 通り 7.!! を選ぶ方法 これを 各グループで同様に考えるので r, os 粒子に対し 各々 W W { } { }!!!!!! , 7.7 より Strg の公式を用いてエントロピーを計算 r 粒子については S { } ogw { } og!! [ og og { og } ] { og og og }! 7

8 8 og og og og og og og og { } S og og 7.8 os 粒子については { } { } { } { } [ ] { } W S og og og og og og!!! og og ここに >> >> なので { } { } S og og og og og og og og og og og og , 7.9 をまとめ { } S og og 7. 複号は 上が r 粒子 下が os 粒子 r r r r 分布 分布 分布 分布 os os os os 分布分布分布分布孤立系では 全粒子数 全エネルギー 一定の下で 7. を最大とする状態を求める事で熱平衡における粒子分布が定まる Lagrag の未定係数法を用い { } { } b a S S ~ 7. の最大を求める

9 9 b a b a S S og og ~ ro の場合 og og og og og og og og og og ~ b a b a b a b a b a b a S b a α og とおくと α α oso の場合 b a b a S og og og og ~ b a b a b a og og og og og

10 og b a α ro と oso を併せて表示すると ± α 7. 上が ro 下が oso これは 物理的には グループグループグループグループ に属する一つの 粒子量子状態が占有される平均の粒子数に属する一つの 粒子量子状態が占有される平均の粒子数に属する一つの 粒子量子状態が占有される平均の粒子数に属する一つの 粒子量子状態が占有される平均の粒子数 よって 7., 7. は ± α 7. ± α 7.4 α, を求める S S ± α α og og 7. S S ± α α og og , 7. の両辺を で微分 よって 7., 7.6 は S α α α 7.7

11 S α α 7.8 ところで エントロピーの微分に関しては S.44 S, 6. よって よって α α 7.9 量子状態 がグループ に属していれば そのエネルギー は であり を占有する粒子数の平均値 熱平衡値 は 7. ± 複号の上が r strbuto, 下が os strbuto 高温では 一般に >> となり >> 7. となり r, os に関わらず ota 分布に帰着する なので 注 : >> の意 7- フェルミ統計とボース統計 大分配関数 Ξ を考えると, 6.9 量子数 { },, L 7.6, 全粒子数 全エネルギー

12 なので Ξ 7., この計算をする この式自体はまず となる全ての粒子分布について足し合わせ 次に,,, L, についての和を取るという意味だが 順序を変えても結果は変わらない Ξ, L 7. r 分布の場合に についての和を求めると, なので os 分布の場合に についての和を求めると,,, L, なので よって 大分配関数は Ξ, ± ± 7.4 上が r 粒子 下が os 粒子 粒子分布 粒子量子状態 を占める粒子数 の平均数を求める 全系が { },, L にある確率は, P { } Ξ, 7. なので 平均値 は

13 Ξ Ξ,, よって ± ± os r r 7.6 os 7.7 なので 前節の 7. と一致 APPIX 大正準集団による量子統計導出大正準集団による量子統計導出大正準集団による量子統計導出大正準集団による量子統計導出 別の考え方 別の考え方 別の考え方 別の考え方 7. より大分配関数は Ξ 7. ここに - では,,,,, L - では, すると Π Ξ 7. - では Π Ξ Π K 7. - では Π Ξ 7.4 これらをまとめて書き表すと

14 4 [ ] Ξ Π - は -, は - 7. 全系が量子状態 { } にある確率は { } Ξ P 7.6 粒子量子状態 を占める粒子数 の平均値 は Ξ Ξ 7.7 [ ] [ ] Ξ 7.8 [ ] og og Π Ξ Ξ Ξ 7.9 G Z Ξ Ξ og 7. - では og og og Π 7. - では og og Π 7. 熱力学関数の計算例 : 略

15 少し簡便な大正準集団による -, - 分布の導出 各準位 を占める粒子数とその確率 の比 は 個 個 個 個 大分配関数はこれらを 各 について和を取り 独立な について掛け合わせたもの - では,,,, L, - では, なので Ξ Π 7. - では Ξ Π K Π 7. - では Ξ Π 7.4 これらをまとめて書き表すと Ξ Π[ ] - は -, は - 7. ところで 今 各準位の中で 何個粒子が状態を占有するかは異なる準位の状況とは独立 だからこそ 上式で 掛け合わせをしている 従って 各準位の占有率を求めるには - では K K - では これらに対応して それぞれ -, - の分布関数と云い f で表す os 粒子は f os-st 分布 7.7 r 粒子は f r-ra 分布 7.4

16 >> の極限では いずれの統計も 従って 統計が問題となるのは <, ~ の時である f となり ota 分布一致する f > r-ra f f < os-st - 分布に関しては の時の化学ポテンシャル を r rgy と呼び または と表す - 分布に関しては < では f < となってしまい 物理的に意味をなさない 従って < である 有限温度 の時 << f 大小関係は おおよそ 程度を境 >> of APPIX 粒子状態のグランドカノニカル分布以上 補足の説明まで含め gra-aoa 分布は一見複雑だが 計算して求めた粒子分布等は案外簡単になっていて これは 系が相互作用の弱い部分系の集まり系が相互作用の弱い部分系の集まり と考えた時 ミクロカノニカル分布 エネルギー一定 よりもカノニカル分布 温度一定 の方が計算し易かった事と似ている そこで グランドカノニカル分布の部分系を考えてみる 理想気体において一つの 粒子量子 状態 を占める粒子数 について考えてみると この部分系の大分配関数 ξ Ξ の小文字 は ± ξ ± - は -, は - 7.9, よって 粒子量子状態 を占める粒子数が である確率 7.8 ξ, 7.4 これらより 7.6, 7.7 の導出が可能 平均値 は 6

17 7-4 理想フェルミ気体 r 粒子は 絶対零度のフェルミ分布 f r-ra 分布 7.4 f << >> 理想フェルミ気体の運動エネルギーは 自由電子近似を用いて 体積 の中に入った 電子等スピン / の自由粒子の系を 考える 粒子状態は 球の内部に一様な密度 そして 運動量 の中に 粒子数は 個 4 で分布 y 7.4 球面上のエネルギーは 7.44 絶対零度における化学ポテンシャルは 定義 に等しく 7.4 g g 4 7C. 6 g 7C. v 7C. この をフェルミ波数 v をフェルミ速度と呼ぶ r 波数と r エネルギーの関係は 7C.4 7

18 であり また 7C. で定められる を r 温度という ここで は.6 [ C].[ ].6 [ J ] 9 9 [ J ] [ J / K] 9.6 [ K], 94.8 は, K 強 と憶えておくと便利 K は.9 [ K] 有限温度の r 分布図 7. 参照 f > r-ra f 程度の幅を持つ 化学ポテンシャルの温度変化 f 7.46 より化学ポテンシャルが定まる また エネルギー ~ にある 粒子状態の数を とおくと f 7.47 ± 注 -4 節の空洞放射 - 節の固体の格子振動で 周波数 ω に対し 状態分布 ω を定義した が ここではここではエネルギーに対し定義するエネルギーに対し定義する 結晶内の自由電子について考えると 粒子状態は 次元の運動量空間球の内部に一様な密度 7. 4 で分布するので スピンの縮重を考慮 8

19 9 ここに 7. よって また 電子の様な r 粒子の場合 で ~ で分布関数は それ以外で 7. << の低温の時 ' ' 7.48 とおくと を部分積分して [ ] f f f f I ここに, f なので 第 項は消え 第 項では f 7. この関数は 上のグラフの通り よって を の周りで展開し 次の項まで取ると L 積分はどの範囲でとっても 結局 近くのみしか効かない また f は の偶関数なので 項は消える [ ] f f > f -f

20 なので f I ここに とおくと よって f 巻末積分公式 A., A.9 より 6! ζ ζ よって 6 f また 低温における化学ポテンシャルの変化も小さいので での化学ポテンシャルを として とおき で展開する よって 6 6 f I 7. であるから 7.47 より

21 6 7. 従って 低温における化学ポテンシャルの温度変化は / 以下は参考まで 体積 の容器に入った自由粒子系では 状態密度と微分はスピンを考慮し. より なので Ω. Ω 7.4 よって とおくと 即ち 化学ポテンシャルは温度と共に減少し 高温では 負の大きな数 >> >> が成立ち ota 分布に近づく となり 絶対零度のエネルギー単純に エネルギーは ではないので注意 粒子系の熱平衡におけるエネルギーは 7. より f 7.7 なので 状態密度を用い f 7.8

22 におけるエネルギーは フェルミ粒子の場合 7.4, 7.44 より エネルギーが体積に依存するので 7.6 となり 絶対零度で圧力を持つ 古典力学と異なる エネルギーの温度変化エネルギーの温度変化エネルギーの温度変化エネルギーの温度変化有限温度におけるエネルギーは 7.47 f より ' ' ' G 7.6 とおくと G は から までの準位が埋っている時のエネルギー G G 7.64 なので 低温では 7. に相当するものとして 6 G G G f G f より G G > f f X

23 { } 6 G 7. より G G よって 次元の自由粒子系では Ω 7.4 なので として 7. を用い また 7.6 より 低温における比熱は C 7.67 次元自由粒子系では C 7.68

24 低温における r 粒子系 r 低温 エネルギー : 比熱 : 温度 により 粒子は に比例 に比例 程度のエネルギーを得るが これにより励起されるのは より下 程度にある 粒子のみ r 縮退 その数は およそ ' ~ 個当りの得るエネルギーが 程度なので 系全体で は温度上昇に伴うエネルギーの増加は ~ ' ~ rgy g. 7-4 励起先は空準位でなくてはならない で より 6 ~.64 なので おおよそ一致 この様な現象 熱励起が ' の粒子に限定 が起こるのは << の低温で およそ 7.69 以下の時 これを r 温度という 7.44 より 7.7 金属電子と液体 H 理想フェルミ気体 : 金属中の自由電子 H 金属中の自由電子 : 金属を構成する原子数と同じ程度 ~ 4 ~ よって 7.7 より ~.8 4. 従って 金属の r 温度は [ K] 4. [ J s] [ J K ] 9. g [ ] のオーダーとなり 常温では << [ ] 4

25 ところで こうした温度領域において 金属 の自由電子が 古典統計力学に従うとすれば エネルギー等分配則より より C r 粒子だと C 7.68 実験結果 ここには掲載されていない は ではなく 絶縁体と大差ない この事は比熱の 主たる担い手が格子振動である事を示唆している 一方 低温領域では 図 7- に見られる様に 比熱は に比例する項と に比例する項とからなっている事を示唆している ところで 7.7 より 質量の重く 低密度な r 粒子は が低くなる その様な r 粒子として H が あり H の質量は電子の約, 倍である事から ~ K となり この温度領域でも比熱は に比例する 補足金属自由電子の熱的有効質量金属の比熱は低温領域において 伝導電子からの寄与 C 7.68 格子振動からの寄与 C s は伝播速度.87 s で与えられており C C γ α γ α は低温領域において 比熱が伝導電子 格子振動からの成分で成り立っている事を示す すると γ が電子からの寄与を示すパラメーターだが 図 7- の様に実験結果を解析すると その 自由電子近似との比を熱的有効質量 tra fftv ass と定義する事が可能で * : 電子の熱的有効質量 * :.4 a,.49 A 等となる これは バンドにおける有効質量と分けて考えるのが通常である

26 7-4A 補足 理想量子気体のふるまい r 統計の利用 一般に 状態密度を とおくと 系の粒子数 全エネルギーは f 7. ± f 7. ± 但し 上が -, 下が - 分布 f f > X この状態密度を の関数型は 物質の次元により異なる 次元 : バルク 次元 : 量子井戸 次元 : 量子細線 次元 : δ 量子ドット 7-4A- 金属からの電子の放出 金属の中の伝導電子は 縮退した電子気体と看做す事が出来る こうした電子は 高温 外部からの励起等で放出可能 特に熱によるものを熱電子放射 放出 光 励起によるものを光電子放出と呼ぶ 金属中の自由電子は外界 真空 に対し W の位置エネルギーを持つとし [ K ] における r 準位 は外界より φ だけ低いとする 有限温度 において r 分布に従い 高い エネルギーを有する電子の表面から放射の電子流の大きさを求める y 7 章章末問題 4 参照 6

27 7 表面に垂直 方向 に W よりも大きな運動エネルギーを持った電子が外界に出て行く事が出来るので その様な粒子の数を考える自由電子近似なので 7.4 より g 4 7. g は縮退度で 電子系では g 方向と y 方向は等価だが 方向は別途考える必要があり y 7.4 であるが 表面の単位面積から単位時間に出て行く電子の数は > v W y 7. 但し y 7.6 である ここで ' y とおくと ' ' ' > W v 7.7 t とおけば > > > > > W W t W t W t t W t v v v v ' ' ' ' og 4 og 4 og ' ' ' ' 7.8 であるから φ W ta auu

28 og 7.9 > W 4 であり W φ >> 従って << よって og 7. 電流は なので W φ W φ これは Rarso-usa の熱電子の式として知られる 7-4A- 半導体の電子状態電子軌道の混成とバンド形成 直感的な説明 反結合性軌道 電子軌道 結合性軌道 隣接した原子から電子軌道が延び相互作用をし 結合を形成 この時 結合性 反結合性軌道に分かれる 原子が規則配列したものが結晶 ここでも隣接原子が混成軌道を形成する 伝導帯 Couto a 禁制帯 orb a 禁制帯 orb a g : rgy Ga 価電子帯 a a 無限に原子が続く結晶中では更に 隣接した混成軌道同士も相互作用をする原子の繰り返し 結晶 隣接した原子同士の電子軌道が混成軌道を形成 この結果 結合性 反結合性軌道は相互作用により 空間的に広がると共にエネルギー的にある幅の 間は連続的な準位を持つ様になる これがバンドである そして 結合性の価電子帯と反結合性の 8

29 伝導帯の間には電子準位が無い領域があり これをエネルギーギャップと呼ぶ この値が概ね.~4 の物質を半導体と呼ぶ 低温 室温でも では 価電子帯は電子が満たされていて このため 充満帯 とも呼ぶ 電子は 動く事ができない 一方伝導帯は 電子の占有率が低く 自由に動く事ができる このため 何ら かの方法で伝導帯に電子を入れる事が出来れば導電性が得られる この様にして形成された 価電子帯と伝導帯は 次元の場合 各々 の状態密度を 価電子帯 f 持つ この中での状態の占有率は r 分布 関数で与えられる 右図 伝導帯 低温では 全ての電子は価電子帯にあって 伝導に寄与しない g 型 型半導体 型半導体と呼ばれる物質では ドナーと呼ばれる不純物原子が レベル混入されている この 電子の占有する準位 不純物準位 が伝導帯の下端から 小さい だけ低いところにあるとする と ~ 以上のエネルギーが与えられると この電子は伝導帯に移り 伝導に寄与する A v g v g 型半導体 型半導体 一般には 上の様に定められるが とおいて 下記の様に記述する事もある v A g g 9

30 逆に 型半導体では アクセプターと呼ばれる電子を受け入れる事の出来る不純物準位が価電子帯の上端から A 小さい だけ高いところにあり A ~ 以上のエネルギーが与えられると 価電子帯の電子がこの準位に移り 価電子帯中のホールが伝導に寄与する [ 例 ] エネルギーギャップ g を持つ真性半導体の伝導電子密度を, 空孔密度を とおき この時 伝導電子と空孔を実効質量, の自由粒子と考える時, を また この時の r 準位 化学ポテンシャル を求める 伝導帯の電子のエネルギー準位を 価電子帯の電子のエネルギー準位を とすると単位体積当りの電子の総数 は 7. 真性半導体を考えているので 本来 価電子帯の準位を考えると これは に相当 伝導帯 価電子帯 各々の準位でのエネルギーは g 7.6 従って g f g

31 g >> なので ota 分布で近似すると g g 物理的に真性半導体では である g 7. g 4 7. よって g 7. また g og 参考書 tro a Ototro Prorts of Soutor Struturs, Jasrt Sg, Cabrg Uv. Prss,, IS X or 74- Soutor vs, S.. S, Jo Wy & Sos,, IS 熱学 統計力学 久保亮五 裳華房 等

32 7- 理想ボースボース気体 化学ポテンシャル に対しエネルギーが の 粒子量子状態を占める粒子の平均数は os-st 分布 7.7 g 7- 節 7., 7.7 等を参照 絶対零度のボース分布 g > より 7.7 の時を考える ボース粒子は一つの 粒子状態に何個でも占める事が出来るので 粒子数は > g 7.7 この様な分布となるためには 7.7 が で 7.74 でなくてはならない 有限温度のボース分布 os-st 分布 粒子数が定まっている系では g 7.7 状態密度を用い 積分形に直すと 実は これは 関数 g が連続な範囲でのみ正しい g 7.76 体積 に入った自由粒子の状態密度は スピン の boso なのでスピンの縮重を考えない よって α とおくと で 7.78 を書き直すと

33 ここで を考える α 7.79 α I α 7.8 α ここに 巻末の数学公式より ζ A.8 4 ζ, ζ 4, ζ.6l, ζ. 4L A.9 6 9!ζ A. Γ ζ A. oso については なので α α の時 I Γ ζ.6l 7.8, 8 α < の時 I α < I よって < I すると 逆に > I 7.8 < I 4 < ζ ζ 7.84

34 を満たす低温の時 これを満たす α α 次に この物理的な意味を考える 即ち化学ポテンシャル は存在しない os-st 凝縮 os-st 凝縮時の分布 絶対零度に近い低温を考える 前に述べた通り では全粒子が最もエネルギーが低い 粒子状態 状態 を占める 有限で十分な低温では 粒子の一部はエネルギーの高い状態へ励起されるが 大半は状態 に残っ ており その数は 7.7 より g 7.8 となる この g はマクロな正の数でなければならない よって 即ち 概ね < << < << < << og < << og < << となり ~ と考えられる 一方 全粒子数を与える 7.78 の積分を考えると の時 で 被積分関数 は で 発散する が 実は 7.76 を導いた時の仮定 関数 g が連続 を満たしていない事になり 積分は を除いた値で行っている事に相当 よって 状態 以外のエネルギーの状態を占めている粒子数を ' とおくと これが即ち上の 7.78 の の時のもの ' これは即ち 7.79 において α ' Γ ζ ζ 4

35 7.84 より ζ である事を用いると ' ζ よって 状態 を占める粒子数は ζ 7.86 ' 7.87 以上 で は消失 化学ポテンシャルは < で > で < 現象としては > で粒子は各エネルギー 運動量空間に連続分布 で原点 にマクロな数の粒子が集まり始め で全て原点 に集まる これを os-st osato という os 粒子系の比熱 < における粒子系のエネルギーは 状態 を除いて求めればよいので 積分をそのまま利用 g 7.88 < で よって α 7.89 積分の部分は A. より

36 6 Γ 4 ζ ζ L.4 ζ 7.9 すると < におけるエネルギーは 7.84 より ζ より 4 ζ ζ ζ 7.9 同じく < において比熱は A.9 も用い C ζ ζ ζ ζ ζ ζ 7.9 因みに > は少々複雑なので 略 結果だけ 図 7-8 のグラフに示す 7.78 より を温度の関数として求めた後 計算 R R R C g. 7 g. 7 g. 7 g. 7-8 of 8 of 8 of 8 of 理想フェルミ気体と理想ボース気体の比熱理想フェルミ気体と理想ボース気体の比熱理想フェルミ気体と理想ボース気体の比熱理想フェルミ気体と理想ボース気体の比熱 ro ro ro ro oso oso oso oso

37 液体 4 H の超流動 os 粒子系の実例 理想気体としての 4 H は ~. K であり 実際には. 7 K λ で相転移し 7.84 より < で超流動状態 surfuty stat に λ ζ [ K] 6 補足 以下 4 H 原子を考える 系全体の粒子数 は各エネルギー状態 にある粒子の合計であるから 7. この の分布は f 7. os-st 分布 絶対零度では f であるが 存在している粒子はどこかの準位に納めなくてはならないので の準位に全て 個 の粒子が占有 この事から でも 7. を計算するのに のみ分けて考えると g 7. ここに スピン の粒子は縮退度 g である とおくと なので < で t t t 7.4 7

38 Γ 関数を用いて t σ φ σ t 7. Γ σ t で定義されるアッペル関数 φ σ を用いれば φ 7.6 ところで 7. を変形すると φσ Γ σ Γ σ t t t σ σ t t t t t t L t σ 7.7 σ t Γ σ t t この関数は の時最大であり φσ ς σ σ 7.8 さて の物理的な意味を考えると 下図の様に 温度領域により os 分布関数が変化するた め が大きい時には は他の と同じオーダーになり が小さい時 個全てを含むレ ベルになる f よって : 十分大 の時 ~ とでき : Hg < φ 7.9 : Low f f X 即ち が低温になっていくと 通常の分布の範囲で積分をしても 全ての を抱えきれなくなって 8

39 9 しまう つまり φ 7.6 において と出来る時は十分高温であり > が低温領域 有限温度において 丁度 となるのは なるべく 通常状態 に粒子を詰め込みたい時で の時で ς φ 7..6 ς 7. この は以下に述べる通り 転移温度と呼ぶ < では通常の量子状態で余った粒子が全て を占有 ς 7. ς ς 7. ς ς 7.4 すると < では巨視的な粒子数が に存在する事が説明される これを os-st 凝縮と呼ぶ この時 である H の場合 7. を用いると K. ~ が求まる 実験では.7 とか.9 K

40 < にある 4 H を超流動状態 超流動状態という この時 液体 4 H < 4.K: 実際には < なので もっと低温 は勝手にコップの淵を越えて零れ落ちる 等の奇妙な振る舞いを示す 液体の粘性抵抗 が消失した状態 基底状態に集中した H 原子は零点振動をしているが これ以上小さいエネルギー 状態はないため 散乱によるエネルギー損失がない フォトンとフォノン Poto 光子 も oso の一種であり -4 節で扱った空洞輻射は os 粒子系の振舞いを示す 一般に 振動子系は粒子数が一定でない os 粒子系である 例えば 電磁波のエネルギー密度 ω ω ω.6 の分母を見ると 化学ポテンシャル とした時のos 統計に従っている 電磁場の振動子のエネルギーは 定義より α ω α α,,, L, α であり エネルギーが ω α のoso が α 個ある時の全エネルギーである 4H と異なる点としては 生成消滅が起こるため 化学ポテンシャルが定義されず 温度を下げると oto は消滅し os-st osato C は起きない 理想気体の量子効果 r 縮退, C が起こる温度は 7.7 ζ 7.84 ここに a : 原子間距離なので 臨界温度は何れも a のオーダーである これは 4- 節で古典力学の近似が許される条件として不確定性関係より求めた とも整合するものである >> 4.4 a 4