反強磁性三角格子上 XY モデルの二種類の相転移とそのユニバーサリティ - クラス理学研究科宇宙地球科学専攻大阪大学小渕智之 1

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おさむすみい
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1 反強磁性三角格子上 XY モデルの二種類の相転移とそのユニバーサリティ - クラス理学研究科宇宙地球科学専攻大阪大学小渕智之

2 目標次元 XY スピン系に起こる KT 転移を通して繰りこみ群を解説すること情報の問題における繰りこみ群適用の可能性についても考えたいもうちょっと身近なモチベーション身近な人たちのセリフ KT 転移なんて幻想です実際には無いんです平均場と繰りこみって何が違うんですか? これらに ( ある程度 ) 答えることが目標もちろん自分の研究成果も話します

3 モデルハミルトニアン反強磁性三角格子の XY モデル H XY 対称性 J S S = os( θ θ ), ( J = ) = j, j, j グローバル回転 (SO() 対称性 ) 鏡映反転にたいする Z 対称性鏡 j 3

4 フラストレーションとカイラリティフラストレーションイジングとベクトルスピンの違い 4 イジング : フラストレーションをもろにうける大量の縮退相転移無しベクトルスピン : 適当に開いてフラストレーションを逃がせる相転移有り : 秩序変数 =カイラリティ m ( p) = z S S 3 3, j p j

5 カイラル転移とスピン転移系の対称性鏡映反転 :Z 対称性グローバル回転 :SO() 対称性 Mrmn-Wagnr の定理次元では SO() 対称性は破れない = スピンが固まる転移 ( 強磁性など ) はない次元強磁性 XY モデル Kostrltz-Thoulss(KT) 転移という特殊な転移 XY モデルの周期性が生むトポロジカル欠陥による転移次元反強磁性 XY モデル : 回の転移が起き得る 5 カイラル転移 =Z 対称性の破れスピン転移 =KT 的な転移

6 結果手法 : モンテカルロシミュレーション ( 普通のメトロポリス ) ヒストグラム法 + オーバーリラクゼーション相図 Phas dagram: 0 Spn ordr T s Chral ordr T Para phas T ユニバーサリティークラスカイラル転移 =イジング ( 鏡映反転のZ 対称性の破れ ) スピン転移 =KT 的だが臨界指数のずれ (Non-unvrsal KT) 先行研究 6 カイラル転移 =イジング 3-stats ポッツスピン転移 = 準長距離秩序 :KT 転移 Non-unvrsal KT 次転移二つが同時に起きる派 : 次転移 IsngかつKT 転移

7 平均場じゃだめ? 答え : 次元だと全然だめ平均場スピンが凍結する単純な相転移定性的に既にだめ Mrmn-Wagnr の定理近似を上げても ( ベーテとか ) だめ臨界指数とか絶望的平均場 = 期待値近傍の揺らぎを無視間違いの原因次元のように低い次元では揺らぎを適切に取り込んだ解析が必要繰りこみ群 KT 転移を準厳密に導出 7

8 イジング系の表面転移 ( ラフニング転移 ) 3 次元イジングモデル At T = T 境界条件 H 4.5 = 強磁性転移周期境界条件単一の強磁性ドメイン反周期境界逆向き固定境界ドメインウォールの励起ドメインウォール自体の相転移表面の粗さの転移ラフニング転移転移温度 T 0. 5 r T 転移温度以下平坦なドメインウォール, j S S j 8

9 SOS 模型ラフニング転移の記述 Sold on Sold (SOS) モデル分配関数 h h h j Y Z = B j { h = }, j B ( h h, β ) ( ) j h h j = β ( h h ) j β h h j j, : Absolut valu SOS(ASOS) : Dsrt Gaussan(DGSOS) X 9

10 SOS モデルと ( 強磁性 )XY モデルの関係 XYモデルユニバーサリティ Vllanモデル Dualty+ ポアソン和公式 DGSOS ASOS ポアソン和公式 CSW モデル繰りこみ群で解析 0

11 SOS モデルと ( 強磁性 )XY モデルの関係 XY モデル Vllan モデル DGSOS CSW モデル Z Z XY V = = d π dθ π Vllan と XY π の周期性 os θ ( θ ) θ j, j, j p j β os = ( θ θ ) β 力学変数 Θ の並進対称性低温での振る舞い ( スピン波 ) ( θ θ πp ) j j j ( ) θ θ j Vllan と XY は同じ ( と信じられている )

12 SOS モデルと ( 強磁性 )XY モデルの関係 XY モデル Vllan モデル Chargd Spn Wav(CSW) モデルスピン波に電荷 ( 離散自由度 ) が加わっている電荷がなければ可解 DGSOS CSW モデル Z CSW = { q = } 繰りこみ群で解析 ( ϕ ϕ j ) + π β <, j> dϕ Z CSW, q = 0 Z SW q ϕ 可解

13 CSW の繰りこみ群 Z いくつかの方法があるけれどサインゴルドンモデル ( 先に小さいの和を取る ) へ移行波数空間繰りこみ群 ( 一番ありふれた繰り込み群 ) で計算可繰りこみ群 ( の思想 ) とは?. 小さい ( 長さ ) スケールをトレースアウト. 残った自由度が成す系を別パラメータの同じ系と見なす 3. ~ を繰り返す大きいスケールの現象が自然と表出 3 CSW Z ( β ) sn = ( β ) { q = } = dϕ ( ϕ ϕ j ) + π β <, j> dϕ β q q ϕ ( ϕ ϕ j ) + y os( πϕ ) <, j> y = π β βj

14 CSW の繰りこみ群 Z いくつかの方法があるけれどサインゴルドンモデル ( 先に小さいの和を取る ) へ移行波数空間繰りこみ群 ( 一番ありふれた繰り込み群 ) で計算可繰りこみ群 ( の思想 ) とは?. 小さい ( 長さ ) スケールをトレースアウト. 残った自由度が成す系を別パラメータの同じ系と見なす 3. ~ を繰り返す大きいスケールの現象が自然と表出 4 CSW Z ( β ) sn = ( β ) { q = } = dϕ ( ϕ ϕ j ) + π β <, j> dϕ β q q ϕ ( ϕ ϕ j ) + y os( πϕ ) <, j> y = π β ( βj ) '

15 CSW の繰りこみ群 Z いくつかの方法があるけれどサインゴルドンモデル ( 先に小さいの和を取る ) へ移行波数空間繰りこみ群 ( 一番ありふれた繰り込み群 ) で計算可繰りこみ群 ( の思想 ) とは?. 小さい ( 長さ ) スケールをトレースアウト. 残った自由度が成す系を別パラメータの同じ系と見なす 3. ~を繰り返す大きいスケールの現象が自然と表出 5 CSW Z ( β ) sn = ( β ) { q = } = dϕ ( ϕ ϕ j ) + π β <, j> dϕ β q q ϕ ( ϕ ϕ j ) + y os( πϕ ) <, j> y = π β ( βj ) ''

16 サインゴルドンの繰りこみ群手順. 連続化 ( 格子間隔 a 0),. フーリエ変換 ( 波数空間へ移行 ) 3. 波数の大きい部分 Λ dλ < k < Λ を積分 4. 積分の影響をパラメータに押し込める β, y β ', y 5. 3~4を繰り返して行った先を見る β, y β, ポイント物理的意味 : 大きい波数成分の消去小さい長さスケールの消去 4. が可能 : 有意な変数の個数が有限 & それを尽くしている 6 Z sn Z ( β ) sn = ( β ) = dϕ 0< k <Λ k β ( ϕ ϕ j ) + y os( πϕ ) <, j> dϕ k dx ϕ ( ) ( ' ) ( ) ( ) y = π β ( x) = dk ϕ( k) kx { ( ϕ ( x )) + yos( π βϕ ( x ))} ff y ff

17 KT 転移の描像 Z sn β ( ϕ ϕ j ) + y os( πϕ ) <, j> 繰りこみの流れ結論 7 β ff Z V は /π から 0 に飛ぶ ( β ) = Z SW Para ( T > T ) ( β ) T ( β ) ( < T ) ff 低温では y 0 Spn Wav で OK ( 但し温度は離散性の効果でより高温のに繰りこまれる ) β ff x = πβ β ff ( β ) < β

18 スピン波の振る舞い相関関数 ξ ( ) ( ) θ = T > T 0 θr η r ( T < T ) r η = πβ ff T T ( T T ) ξ KT 転移を特徴づける量 Hlty modulus Y: ひねりに対するFの変化率 β ff Vortty modulus V:q =±を導入した時のFの変化率 8 V ( T L) = v ( T ) v ( T ) ln L, 0 + 低温でずっと相関長発散準長距離秩序 v( T ) 0 = > 0 ( T > T ) ( T < T )

19 Hlty Modulus ひねりの導入 Z SW ( β, ) ff = XY モデルにも定義可能 d θ β { ( θ θ+ x ) + ( θ θ y + ) } ff + Hlty Modulus d log Z ( β ) SW ff, βff Y = β d β H XY = 0 ( ) = { os( θ θ ) + os( θ θ + ) } + x + y Y = π T L 9

20 話を戻して 0 反強磁性三角格子上の XY モデルのモンテカルロシミュレーション物理量カイラル磁化複素磁化ビンダー比相関長 (Ornstn-Zrnk form を仮定 ) Hlty modulus, Vortty modulus = all ) ( ) ( p p m N m r p q q s N m S q r q K + = ) ( ) ( = 4 (0) 3 (0) 3 m m g = 4 (0) (0) s s s m m g ) ( (0) ) 3 / sn( mn,,, = q s s s m m L π ξ

21 期待される振る舞いカイラル転移点 ( T ) 近傍次転移比熱の発散ビンダー比相関長のクロスユニバーサリティー : イジング? χ ( T, L) 有限サイズスケーリングスピン転移点 (T s ) 近傍準長距離秩序 ( 無限次相転移 ) ビンダー比相関長 Hlty modulus のジャンプのマージユニバーサリティー :Just KT か? 否か? 転移点で η < 4? v T L η / ν ( L) = T + al Isng valus η = ν = 0.5 Cho-Stroud, Mnnhagn, L-L, Kawamura

22 Pak of Spf Hat around T

23 Cross of Bndr paramtr around T 3

24 Cross of Corrlaton Lngth around T 4

25 Loaton of T May b du to Grown Spn- Corrlaton lngth at T Bhavor Chang around L~ ξ s 00 at T = 0.55 ν = 0.7(5) T = (30) ν = 5 T =0.555(0)

26 Crtal Proprty of Chral Transton Fttng of Chral susptblty χ ( T, L) a( T ) + b( T ) L η η 0.5 Isng unvrsalty 6

27 Bndr paramtr around T s 7

28 Corrlaton Lngth around T s 8 Extrmly hard to dntfy rossng ponts for larg L...

29 Rdud Vortty v ( T ) around T s Salng of Vortty modulus: V ( T, L) a( T ) + v( T ) log L 9

30 Estmat of T s 準長距離秩序 ξ s / x ( T ) T スケーリング形 ( log L) x Ozk/003, 0.508() Non unvrsal KT T s =0.5038(9)(x~.8(7)) Myashta/983, 0.50 S. L/998, 0.50() 普通の KT 解析,T s =0.505(5) (x=) 30

31 Crtal xponnt η 通りの決め方帯磁率から決める χ ( T, L) L s η η ( ) ( att ) 0.0 = η ( ) ( att ) 0.5 = Bndr 比等から決めた転移点とかなりずれる 3

32 Crtal xponnt η 通りの決め方 Hlty modulus から決める Y = T πη η = 0. T=0.505(): Inonsstnt wth KT η = 0.5 T s =0.5037(5),x=0.8(3): Consstnt wth Non unvrsal KT

33 解析のまとめ Salng Bndr のクロス等からの Ts 帯磁率からの T s と η Hlty からの T s と η KT (log L) (5) x=(fx) Non-KT (log L) -x (9) x=.84(70) T s =0.5064() η=0.5(fx) T s =0.5038(fx) η=0.0() T s =0.505() η=0.5(fx) x=(fx) T s =0.5037(5) η=0.0(fx) x=.8(3) KT を仮定すると nonsstnt な転移温度を導く Non-Unvrsal KT 転移 33

34 まとめと比較モンテカルロで反強磁性三角格子上の XY モデルを解析 Author/ Yar T Unvrsalty att Ts Unvrsalty at Ts Sz/ Mthod Myashta t al./983 S. L t al./998 Ozk t al./003 Our rsult / Isng 0.50 KT L=45/ MC 0.53() 3-stat Potts 0.50() Non-unvrsal KT L=0/ MC 0.5() Isng 0.508() KT L=000/ NER 0.555(0) Isng (9) Non-unvrsal KT L=5/ MC カイラル転移 Isngのユニバーサリティと考えて矛盾ないスピン転移 KTと考えると転移点がばらつく 34 KT lk だけど Non-unvrsal な転移

35 SOS モデルと厳密解 Body-Cntrd SOS modl (BCSOS) Z BCSOS = { h = }, j β h BCSOS= ある種のアイスモデル (F modl) (H. V. Bjrn 977) h j h h j = 次元アイスモデル = 多くが Solvabl KT の厳密解 T T ( ) π T ξ T T, = 8 ln / 35 (.g. BCSOS)

36 Colorng と KT 転移 Thr olorng= アイスモデル (A. Lnard, E. H. Lb 967) 3 Thr Colorng は KT 転移を起こす他のColorngだったら? Colorngの問題一般に繰りこみ群は適用可? 情報の繰りこみ群色々な人が妄想してるけど堅実な切り口を見たこと無いそういう人のとはちょっと目標が違うのかもまずは3 色でやって色数増やしていくのがいいかもだれかネタに困ったらやってみてください 36

ハルデン相を特徴付けるストリング秩序の有限サイズスケーリング

ハルデン相を特徴付けるストリング秩序の有限サイズスケーリング -1- 吉田研究室コロキウム 2008/06/09 ハルデン相を特徴付けるストリング秩序の有限サイズスケーリング阪大基礎工上田宏 -2- アウトラインはじめに少しだけ自己紹介相転移に関する予備知識相転移を身近に感じるために秩序変数と自発的対称性の破れモデル計算の流れ ( 一例 ) 量子相転移の相境界を新たな手法で捉える数値解析手法の現状と新手法の提案既知の相図 (S=1XXZ 鎖

反強磁性三角格子上 XY モデルの 二種類の相転移と そのユニバーサリティ - クラス 理学研究科 宇宙地球科学専攻 大阪大学 小渕智之 1

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