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1 単純な ( 単純化した ) 応力状態における弾塑性問題 () 繊維強化複合材の引張り () 三本棒トラスへの負荷 () はりの曲げ (4) 円筒 丸棒のねじりとせん断変形 (5) 熱弾塑性問題 負荷 ( 弾性変形 ) 負荷 ( 弾塑性変形 ) 除荷 残留応力 第 9 章,4 ページ ~ その. 繊維強化複合材料の引張り Rs.: []htt://authrs.library.caltch.du/5456//hrst.it.du/hrs/ atrials/ublic/csits/csits_ovrviw.ht [] htt:// [] htt:// [] [] [] その. 繊維強化複合材料の引張り その. 繊維強化複合材料の引張り 複合材 (csit) 複合材 (ibr) (atrix) () 複合材全体としての平均的な応力 - ひずみ関係 () 除荷後の残留応力 9, ページも参照 弾性変形の場合外力を負荷 : 応力, ひずみが生じる完全除荷 ( 外力をとする ): 応力, ひずみはになる 弾塑性変形の場合外力を負荷 : 応力, ひずみが生じる完全除荷 ( 外力をとする ): ひずみはにならない ( 塑性ひずみ [ 永久ひずみ ] が残る ) 応力もになるとは限らない ( 残留応力 ) 一方向長繊維複合材である () () 微小変形を仮定する 問題設定 複合材 (csit) (ibr) 弾性体, (atrix) 弾完全塑性体,, 繊維とマトリックスは強固に接合している 複合材 (csit) における複合則 (rul ixtur) 力の釣合い P P + P + c 繊維の体積含有率 V /( + ) とおくと, 繊維とマトリックスのひずみは等しいので, 複合材の平均的応力は V + ( V ) c 弾性体, () () 弾完全塑性体,,

2 . 弾性変形挙動 初期状態からマトリックスが降伏開始まで ((O ( < < )) 複合則より V + ( V ) c c V + ( V ) c V +( V ). 降伏開始, 弾塑性挙動 マトリックスが降伏を開始するとき ( 点 ( )),, ( ) V + ( V ) c 降伏後にさらに引張ったとき ( ( < )) V + ( V ) c d d c V V d d ( 接線係数 ) 除荷前の応力状態 C. 完全除荷における残留応力,, V + ( V ) c 弾完全塑性体 相材料の応力ひずみ曲線 除荷における応力とひずみの変化, { V ( V ) } + c c c V + ( V ) 残留応力 (Rsidual strss) ( )( ) * V + > V + ( V ) V ( ) * + < V + ( V ) 高張力鋼板の繰返し弾塑性変形の実験結果 その. 弾完全塑性体の 本棒トラス () 引張り荷重と変位の関係 P u () 残留応力 バウシンガー効果 棒,,の 断面積は R. F. shida and. Uri, Int. J. Plasticity 8 (), 微小変形を仮定する 弾完全塑性体,,, ページも参照

3 力の釣合い式. 初期 ~ 降伏開始 ( 弾性問題の解 ) ( P + P)csα + P Pcsα + P csα + P ひずみ- 変位関係式 λ ucsα u, L L Lcsα 応力 -ひずみ関係式,, ( L + λ) ( Lcs α + u) + ( Lsin α) λ ucsα. 初期 ~ 降伏開始 ( 弾性問題の解 ) 以上より, 荷重 - 変位関係式を導くと, P Ku K K cs α + L csα. 降伏開始 ( 棒 の降伏 ). 降伏開始 ( 降伏開始荷重 変位 ) ひずみ- 変位関係式より, ucsα u < L Lcsα 棒 の伸びが, 棒 より大きい. 荷重を増加させると, まず棒 が降伏する. K 棒 が降伏開始するとき ( 点 ) 棒 のひずみ ひずみ - 変位関係式より, K 棒, 棒 u P Lcsα Ku (cs α + ) 棒,. 弾塑性変形挙動 ( 棒 : 塑性, 棒 : 弾性 ). 弾塑性変形挙動 ( 荷重 変位関係 ) さらに引張り, 棒, は弾性, 棒 が塑性変形するとき ( 点 ) さらに引張り, 棒, は弾性, 棒 が塑性変形するとき ( 点 ) このとき, 力のつり合いから P csα + ( csα + ) dp du, ここで ucsα L を代入すれば, このときの荷重 変位関係は, 棒 棒, ucs P L α +, ds α du L

4 4. 塑性崩壊 ( 棒 : 塑性 ) 棒,, が塑性変形するとき ( 点 C D) P ( csα + ) ult [ 極限荷重, 塑性崩壊荷重 ] 棒, 降伏開始時の変位 u ult は, u ult csα L u ult L csα, 棒 u ult 棒, 5. 残留応力 () 除荷前 ( 点 u < u < uult ) における荷重と各棒に作用する応力 u csα u cs α P +,, L L 除荷における変位および応力の変化 ( 点 R) P P, u P/ K P K cs α + L cs α csα u, L u Lcsα / K, u K u ult 5. 残留応力 () 棒,に作用する残留応力は, * * u csα sα csα P + u L LK L K * * csα u Lcsα/ L cs α + Lcsα ここでu を考慮すれば, ( u u )cs * * α L(cs α + ) > 残留応力についての力のつり合いから, 棒 の残留応力は, * * csα + * * ( + ) csα < u K u ult 母材 P 自然状態 残留応力発生原理の直観的理解 繊維 c c > 自然状態 弾塑性変形弾性変形 弾性変形 引張り 引張り P > 弾塑性変形 塑性変形 < 接合面を分離 除荷した場合 > 塑性変形 トラス接合部を分離 除荷した場合 c 実際の除荷状態 ( 残留応力 ) P > < 実際の除荷状態 ( 残留応力 ) 残留応力について 弾塑性構造体の内部に不均一な大きさの塑性ひずみが生じた後に完全除荷されると, 残留応力は必ず発生する. 仮定 その. 弾完全塑性はりの曲げ 構造体の強度 ( とくに疲労強度 ) に対して残留応力は大きく左右する. とくに引張り残留応力は強度を低下させるので注意が必要である. 熱処理やショットピーニングにより構造体表面に圧縮の残留応力を発生させることで, 疲労強度を高めることができる. ショットピーニングとは : htt:// ベルヌーイ ナヴィアの仮説 y κy ρ. 微小変形 ( 公称応力, 公称ひずみを使用 ) ひずみ分布 応力分布 弾性 降伏開始 弾塑性 全域塑性 4

5 弾性変形 κy 弾完全塑性はりの曲げ 弾性変形から降伏開始まで bh bh I, Z 6 h M ( I) κ Zκ Z 降伏開始 ( 外表面最大応力 降伏応力 ) ax ax h ax κ κ h M Z Z ひずみ分布 応力分布 弾性 降伏開始 弾塑性変形 弾完全塑性はりの曲げ 弾塑性変形から全域塑性まで () ( 弾性域 塑性域境界 y±c/ での応力 降伏応力 ) c κ c κ bc b ( h c ) M κ + 4 bh c 4 h ひずみ分布 応力分布 弾塑性変形 全域塑性 弾完全塑性はりの曲げ 弾塑性変形から全域塑性まで () 弾完全塑性はりの曲げ 弾塑性変形から全域塑性まで () 弾塑性曲げモーメントの続き 全域塑性 ( 全断面塑性 ) bh M 4 hκ κ M κ bh M Z, κ 6 h ひずみ分布 応力分布 弾塑性変形 全域塑性 ( 弾性領域なし c, κ ) M ult bh M 4 極限曲げモーメント ひずみ分布 応力分布 弾塑性変形 全域塑性 曲げモーメントと曲率の関係 曲げモーメントと曲率の関係 弾完全塑性はりの場合 剛硬化塑性はりの場合 I 曲げ剛性 κ h C (κ ) 弾性変形 M (I)κ 降伏開始 M Z bh C 6 弾塑性変形 κ M M κ C (κ ) 全域塑性 M ult 極限曲げモーメント bh M 4 (κ ) n 乗硬化則 塑性変形 h/ n C n M C( κy) ybdy Cb h n + n+ n κ 極限曲げモーメント M ult は存在しない 5

6 弾完全塑性はりの 点曲げ P 曲げモーメント M ( l x) 降伏開始 ( 最大曲げモーメント 降伏曲げモーメント ) Pl M M M ax x 降伏開始荷重 P M l Pl MD bh l 点曲げにおける塑性域の進展 位置 x c における弾塑性境界 P M ( l xc) bh c 4 h c Pl ( xc) h P l 点曲げにおける塑性域の進展 点曲げにおける塑性関節 塑性変形が生じる範囲 x x c Pl ( x) h P l P x l P 全断面降伏 ( 最大曲げモーメント 極限曲げモーメント ) Pl M Max M M ult bh x ult Pult l l 極限荷重 曲げにおけるスプリングバック 曲げ部の曲げモーメントと曲率の関係で示すと 曲げた後, 手を離すと変形が少し元に戻る. M スプリングバックは弾性変形 曲げにおけるスプリングバック 残留変形, 残留曲率 曲げたとき () の曲げモーメント, 中立面曲率 M, κ スプリングバック時の曲げモーメント変化, 中立面曲率変化 ( R) M, κ * M + M, κ + κ κ M M I M κ I κ 残留曲率 スプリングバックは弾性変形 M 6

7 曲げにおけるスプリングバック 曲げたとき () の応力, ひずみ, 残留応力, 残留ひずみ スプリングバック時の応力変化, ひずみ変化 ( R), 残留応力 * * +, + M κy, κ I M M y, y I I 残留ひずみ スプリングバック時の応力 ひずみ - + * * * * スプリングバック後の残留応力分布 曲げ時の応力は中立面位置からの距離 y に比例しない ( 弾完全塑性はりの場合, 塑性域では ± で一定 ) スプリングバック時の応力変化は中立面位置からの距離 y に比例している * * +, + M M y, y I I 以上の結果, スプリングバック後の残留応力は右図の黒線で示すような複雑な分布になる - + 曲げにおけるスプリングバック スプリングバック前 後 ( R) の中立面曲率半径, 曲げ角度 ρ, θ 曲げ角度変化 ρ *, θ * M * ρ I ρ * + κ κ κ ρ θ ρ θ * * ( 中立面長さ不変 ) スプリングバックによる曲げ角度変化率 * * θ θ θ θ ρ M κ ρ * θ θ θ ρ I κ 曲げにおけるスプリングバック 矩形断面の弾完全塑性はりの場合, 塑性変形における除荷前の曲げモーメントは次のように書ける. bh M αm α 6 スプリングバックによる曲げ角度変化率 θ θ M ρ I θ ρ α θ h 降伏開始 ( < α <.5) αbh ρ 6 ρ α bh h 極限 強度 ( 降伏強さ ) が高いほど, 曲げ半径が大きいほど, ヤング率が小さいほど, はり高さ ( 厚み ) が小さいほど, スプリングバックによる曲げ角度変化率は大きい. その 4. ねじりとせん断変形 ( 単純せん断 ) トルク, 比ねじれ角とせん断応力, せん断ひずみ τ γ θr πr t, せん断ひずみの弾塑部分と塑性部分 γ γ + γ ( 単軸引張の場合と同様 ) + 薄肉円筒のねじり 7

8 せん断変形 ( 単純せん断 ) 弾性域応力 - ひずみ関係, τ Gγ G ( + ν) 降伏応力 k~ k せん断降伏応力は垂直降伏応力の約半分 単軸引張との比較 強度設計においてせん断降伏応力が基準強度となることがある せん断変形 ( 単純せん断 ) 各種塑性体における単純せん断 単軸引張の比較 完全塑性体線形硬化塑性体非線形硬化塑性体 引張の応力 - ひずみ曲線とせん断の応力 - ひずみ曲線には定まった関係がある. d dτ H, H k d dγ H H ~ 4H k k 弾完全塑性丸棒のねじり 弾完全塑性丸棒のねじり 弾性変形 降伏開始 仮定 クーロンの仮説 降伏開始 () 弾性変形 ( ) τ Gγ Gθr πr GIθ, I τ r I τ τ r ax r r I 4 GI C (θ ), ( 外表面最大せん断応力 せん断降伏応力 ) θ ki r Z k, k Gr π rk Z I r GI C (θ ) 弾完全塑性丸棒のねじり 弾完全塑性丸棒のねじり 弾塑性変形から全断面降伏まで () 弾塑性変形から全断面降伏まで () 弾塑性変形 ( C) ( 弾性域 塑性域境界 (r c) でのせん断応力 せん断降伏応力 ) π r 4 Gc θ + πr kdr c π 4 Gc θ + πk( r c ) 弾性域 塑性域 k ただし, c Gθ C (θ ) 弾塑性トルクの続き θ πkr 4 θ 全断面降伏 (C, θ ) ( 弾性領域なし c, θ ) ult 4 πkr 極限トルク C (θ ) 8

9 n 乗硬化則 塑性変形 剛硬化塑性丸棒のねじり τ C' γ 極限トルク ult は存在しない n' (, θ ) r n' C'( θr) πr dr π C' θ r n' + トルクと比ねじれ角の関係 n' n' + (θ ) ねじりにおける残留変形 ねじったとき () のトルク, 比ねじれ角, θ 除荷時 ( R) のトルク変化, 比ねじれ角変化 比ねじれ角の変化, θ * +, θ + θ θ GI θ θ GI O 残留比ねじれ角 除荷時の変形は弾性変形 θ * R θ GI θ θ ねじりにおける残留変形 トルク除荷後の残留応力分布 残留応力, 残留ひずみ ねじったとき () の応力, ひずみ τ, γ 除荷時 ( R) の応力変化, ひずみ変化 τ, γ 残留応力残留ひずみ * * τ + τ τ, γ + γ γ τ G γ G θr, θ GI τ r, γ r I GI τ τ (k) O τ * γ * R G γ τ γ γ 弾性変形 + ー 塑性変形 その 5. 熱弾塑性問題 熱弾塑性問題 金属材料の降伏強度は温度上昇とともに急激に低下し, 降伏しやすくなる 温度と降伏強度の関係 両端拘束の弾完全塑性棒の加熱 冷却加熱時 ( 温度上昇 R H ) t α, /, 熱ひずみ, 弾性ひずみ, 塑性ひずみ t + + ( ) 温度上昇によって生じる熱応力のため, 材料が降伏することがある 温度 H における棒の圧縮降伏応力 : - H H α( H R) + H α( H R) + < 9

10 熱弾塑性問題 両端拘束の弾完全塑性棒の加熱 冷却 冷却時 ( 温度低下 H R ) 温度低下により降伏応力は R に増加するため, 再降伏せず弾性的に変形 t 室温なので熱ひずみ * + + ( ) > * α * ( R) H R H 室温での残留応力 初期状態 熱弾塑性変形 残留応力の直観的理解 右壁面を分離 加熱した場合 圧縮降伏応力 H により圧縮弾塑性変形 冷却 除荷と残留応力の発生 加熱 熱膨張 冷却 収縮 L R H H 圧縮負荷 除荷 冷却による収縮量 R δ 除荷による弾性回復量 - H Lα( ) H R 右壁面に結合するための引き伸ばし量 δ δ Lα( H R) LH/ L H / 残留応力 * δ/ L 熱弾塑性変形の応用 ぎょうてつ 厚板の線状加熱 冷却による曲げ加工 ( 撓鉄 ) 熱弾塑性変形の応用 厚板の線状加熱 冷却による曲げ加工 ( 撓鉄 ) 出典 : htt:// ほか 撓鉄における曲げ変形の直観的理解 加熱部 H 非加熱部 まとめ 外力増加 物体内の応力が大きいところから順次降伏が開始 進展 両端拘束棒の加熱 冷却で引張残留応力が発生 加熱部 非加熱部に分けて単純化 R 加熱部 H 非加熱部 弾完全塑性体の構造物弾性変形 降伏開始 弾塑性変形 塑性崩壊弾完全塑性はりの不均等曲げでは塑性関節 垂直降伏応力 とせん断降伏応力 k の関係 冷却後, 壁面は棒により引張られている R k~ k 引張の応力 ひずみ曲線とせん断の応力 ひずみ曲線の間にも定まった関係 ( 加工硬化挙動 ) 冷却後, 残留応力により曲げモーメント発生 外力や熱などにより物体や構造の一部分が塑性変形 除荷後に残留応力が生じる

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