スライド 1

Size: px

Start display at page:

Download "スライド 1"

ああすわくや
5 years ago
Views:

1 暫定版修正加筆の可能性あり ( 付録 ) 電子スピン共鳴 :Electron pin Reonance (ER) 1. 歳差運動 (preceion). スピン角運動量 : 電子 3. ゼーマン効果 : スピン 4. 平行反平行状態 5. ラーモア歳差運動 6. 電子スピン共鳴 7. 緩和過程注意 1. 本付録 : 電子スピン共鳴について原理概略を説明. 但し電子スピン共鳴装置の特徴や使用法の説明はしません 3. 核スピン共鳴 :Nuclear Magnetic Reonance も原理的には同じです 4. 用語使い : 一様磁場直流磁場は同一 5. 以下の用語使いは厳密ではありませんラーモア歳差運動 : Larmor preceion ラーモア角周波数 : Larmor angular frequency ラビ振動 :Rabi ocillation ラビ角周波数 :Rabi flopping frequency ブロッホ方程式 :Bloch equation など 50-1

2 おことわり電場でお馴染みの E と D 本付録では電場 E 電束密度 D と記す電場 E:electric field 電界 E 電束密度 D:electric flu denity 電気変位 D:electric diplacement field C: クーロン単位 V m Cm 磁場でお馴染みの H と B 注意 : 英語では H も B も magnetic field と呼ばれる混同しやすい本付録では磁場 H 磁場 B と記す磁場 H:magnetic H field 磁場の強さ :magnetic field intenity 磁場 B:magnetic B field 磁束密度 :magnetic flu denity T: テスラ Wb: ウェーバー T 単位 Am = Wb m 50-

3 歳差運動 (preceion): 磁場電子の磁気双極子モーメント : v 電子の速度電流は逆向き 1 e m= 1 ( 1) dv1 r J r r v J r v r r ( ) = e δ ( ) 1 1 原点 r 速度 : 大きさ一定電子の軌道角運動量 m0: 電子の質量無視 : スピン角運動量黒線 : 一様な磁場の磁力線 e L= r m0v m= L= γ L m トルク : 回転軸回りの力のモーメント 0 γ: 磁気回転比 gyromagnetic ratio 歳差運動 ( ) N= m B = ω L, B = 0,0, B 運動方程式 : 歳差運動 (preceion) 成分のみ L N = = ω L ω = t ( γ ) 0, 0, B ω L 赤矢印 : 角運動量角速度ベクトル : 大きさ ( 歳差運動の回転角周波数 ) 向き ( 歳差運動の回転軸 ) 注意 : トルクの回転軸は N ベクトルの向き歳差運動の回転軸と垂直 (409-10) 50-3

4 簡単のため : 電子 1 個スピン角運動量 : 電子スピン磁気双極子モーメント :m pin magnetic dipole moment e µ g B m = = γ = m0 スピン角運動量 : pin angular momentum 磁気回転比 :γ 角運動量に対する磁気双極子モーメントの割合 e µ Bg γ = =, g m 0 g 因子 : 電子スピン g α = 1+ + π 説明省略 :Dirac による相対論的量子力学から導出参考文献 : 沼居大学生のためのエッセンス量子力学 p.1 共立出版微細構造係数 α: 自然定数電子と電磁場の相互作用の大きさ参考文献 : 砂川量子力学の考え方 p.5 岩波書店 e 1 α = = 4πε c 磁気双極子モーメント m µ g = µ gm B = m B ( ) 成分 :-component スピン角運動量 : 成分 :-component 1 3 = = + = 4 pin quantum number m, ( 1) m:econdary pin quantum number 50-4

5 ゼーマン効果 : スピン (1) 簡単のため : スピン角運動量のみ ( 孤立電子 :iolated electron) µ Bg m = γ = g m 一様磁場と電子スピンの相互作用エネルギー磁場 B:+ 軸 pin up pin down H = m B H = γ B = γ B int int ( ) 1 =± = 0,0,, m = ( ) B = 0,0, B, = > 0 m B 赤矢印 : スピン角運動量黒線 : 一様な磁場 B の磁束線一様磁場と電子スピンの相互作用エネルギー pin up pin down 歳差運動の回転角周波数 H = γ B int H γ B H = γ B int = int ω = γ B 50-5

6 ゼーマン効果 : スピン () エネルギー差 :pin up/ down 歳差運動の回転角周波数 ω 1 = γ E int int B = H H = γb E = ω =±, m =± g 因子 :g-factor ボーア磁子 :μb 単位 E = γ B = g µ B B 計算例 : 歳差運動の回転周波数 h: プランク定数 Am, [ J] [ Nm] [ T] [ N/Am] µ = B B = f g µ B h B B = 0.1T = GH マイクロ波帯何がいいたいのかな? 量子力学によれば 1. 電子スピン固有状態は pin up と down. 磁場 B(+ 軸 ) を印加するとエネルギー縮退が解ける ( ゼーマン効果 :Zeeman effect) 3. 状態遷移 : エネルギー差 (ΔE) はマイクロ波帯 pin up と down: どちらの電子エネルギーが高い?( 参照 :501-10) 1. 平行 : 磁気双極子モーメントと磁場 B の向きが平行. 反平行 : 磁気双極子モーメントと磁場 B の向きが反平行 3. 電子スピンの場合 : 磁気双極子モーメントとスピン角運動量ベクトルは逆方向 4. 核スピンの場合 : 磁気モーメントとスピン角運動量ベクトルは同方向 50-6

7 平行反平行状態一様磁場と磁気双極子の相互作用エネルギー 1 mb = B r B r = J r A r ( ) ( ) dv ( ) ( ) 1 1 µ 0 dv 相互作用による磁場のエネルギー ( 負符号 ) ポテンシャルエネルギー電流の位置エネルギー負符号を外すと 1 mb = B( r) B ( r) dv 相互作用による磁場のエネルギー 1 µ 0 相当乱暴ではあるが電子スピンによる磁気双極子に対して 1. 磁場 B(+ 軸 ) を印加すると磁場のエネルギーは平行 ( 磁気双極子 ) の方が大きい. 平行状態から反平行状態に遷移するとき磁場はエネルギーを失う電子はエネルギーを獲得する 3. 従って電子のエネルギーは平行時より反平行時の方が大きい ( 磁気双極子に対して ) 電子エネルギー磁場零縮退 B 磁場 B: 印加磁気双極子反平行 pin up 平行 pin down m = 1 m = 1 ゼーマン分裂 Zeeman plitting E = ω = γ B 疑問 : 歳差角周波数に等しい角周波数を持つ交流磁場 ( マイクロ波 ) を印加するとどうなる? 電子スピン共鳴 :Electron pin Reonance(ER) 50-7

8 ラーモア歳差運動 :Larmor preceion 注意 : 直流磁場一様磁場は同じ意味ラーモア歳差運動直流磁場 pin up 電子エネルギー : 大赤点線 : 直流磁場交流磁場印加 : 平面上で回転軸 ( 赤点線 ) を揺らす! 軸 y 軸直流磁場 B0 成分のみ B = ( ) 0,0, B 0 軸 pin down 電子エネルギー : 小軸周りの歳差運動 : 歳差運動 () と略記 N= = m B= γ B t = B γ = ω, ω = 0,0, ( ω ) ω = γ B = γ B ラーモア角周波数 :ω 歳差運動 () の回転角周波数 0 交流磁場 : マイクロ波帯 1. 成分のみ : 振幅は小さい. 変調角周波数 :v 3. 共鳴状態 (on-reonance) ω = B, B= Β + B 直流磁場 : 成分 B γ 交流磁場 : 成分 ( 0,0, B ), B ( B co vt,0,0) = = v= ω, B B 1 0 v = ω

9 電子スピン共鳴 : 大雑把な説明 (1) ラーモア角周波数 :Larmor angular frequency 歳差運動 ( 軸 ) の角周波数直流磁場 1. 成分のみラーモア歳差運動 ( 軸 ). ラーモア角周波数 :ω 交流磁場 : マイクロ波帯 1. 成分のみ : 振幅は小さい. 共鳴状態 : ラーモア角周波数と変調角周波数が一致 B co = B1 vt v = ω 簡単のため : 矩形波近似半周期毎に回転軸 ( 赤点線 ) を揺らす ( 最初の一周期のみ図示 ) 交流磁場成分矩形波近似共鳴状態 :on-reonance v = ω pin up なんとなく言えること共鳴状態であれば 1. 交流磁場 ( 矩形波 ) 印加によりスピンが初期状態 :pin up から変化. 時間経過 : down 状態へ 3. 更に時間経過 : down から up 状態に戻る 4. これを繰り返す 5. 交流磁場振幅が大きいほど updown 繰り返し速度が増すスピン角運動量ベクトル ( 青矢印 ) 歳差運動 : 赤点線を回転軸として半周注意 : 常に右回り ( 反時計 ) pin down 回転軸が変化 : 黒点線から赤点線へ歳差運動 : 赤点線を回転軸として半周注意 : 常に右回り ( 反時計 ) 注意 : 本付録ではラーモア角周波数 : 歳差運動 ( 軸 ) の角周波数 50-9

10 電子スピン共鳴 : 大雑把な説明 () 交流磁場 ( 正弦波 ) にすると pin up から down 状態へ pin down から up 状態へ B co = B1 vt 注意 : ラーモア角周波数と回転の向き ( 反時計回り : 左回り ) は不変軸 pin up B = B 0 直流磁場 pin down これから検討したいこと共鳴状態 : 交流磁場変調角周波数がラーモア角周波数に一致するとき v = ω 1. 交流磁場がなければ : スピンはラーモア歳差運動 () のみ ( 反時計回り : 左回り ). 初期状態が pin up or down 状態であれば歳差運動は無 3. 交流磁場 : 歳差運動 () をしながら up down up と変化 ( ラビ振動 :Rabi ocillation) 4. スピン状態に関する up down 繰り返し角周波数 ( ラビ角周波数 :Rabi flopping angular frequency) について検討 50-10

11 電子スピン共鳴 : 回転座標系 (1) 交流磁場 : マイクロ波帯 -y 面 : 右左回り磁場の重ね合わせ BL: 左回り BR: 右回り ( B vt ) B1 = 1co,0,0 B1 = BL + BR y 軸 y 軸 B B 1 1 軸軸 BLR, = co vt, ± in vt,0 回転座標系の導入 1. 左回り磁場 : 振幅は B1 の半分回転角周波数 v. 右回り磁場の影響は無視 : 回転波近似 (Rotating-wave approimation) 3. 回転座標系の回転角周波数を v として回転方向を左回りにすると回転座標系上の住人にとって BL: 左回り磁場は常に一方向を向くつまり静止座標系上の BL: 左回り磁場は回転座標系上で直流磁場として振舞う 4. 回転座標系上のベクトルをチルダ ~ で区別する 5. 例えば常に一方向を向く磁場ベクトルの方向を回転座標系上の方向とすれば v v 静止座標系 B 回転座標系 B B co, in,0 B1 B L =,0,0 1 1 L = vt vt 軸周りの回転 : 回転角周波数 v B L co vt in vt 0 = in vt co vt 0 B L 50-11

12 電子スピン共鳴 : 回転座標系 () スピン角運動量ベクトルの動き 1. 静止座標系 : 軸周りのラーモア歳差運動左回り ( 反時計回り ) ラーモア角周波数 ω. 共鳴状態 : ラーモア角周波数変調角周波数回転座標系の回転角周波数が一致 (ω=v) するから回転座標系上の住人にとって軸周りのラーモア歳差運動は見かけ上消える 3. ところが回転座標系では BL: 左回り磁場が見かけ上直流磁場となるからこの直流磁場による歳差運動 ( ラビ振動 :Rabi ocillation) について考慮しなければならない 4. 回転座標系上の観測者が観測するラビ振動は直流磁場 : 回転座標系上の成分による歳差運動ラビ角周波数 : 直流磁場 : 回転座標系上の成分による歳差運動の回転角周波数 ( ) γ B1 v = ω ω, ω,0,0, = = ω ω = t ところが離調有の場合 (ω v) ラビ角周波数 1. ω>v の場合 : 回転座標系上の住人は軸周りのラーモア歳差運動左回り ( 反時計回り ) 回転角周波数 ω-v>0 を観測. ω<v 場合 : 逆回りのラーモア歳差運動を観測 3. つまり回転座標系上の住人が観測する歳差運動は直流磁場 : 回転座標系上の成分によるもの ( ラビ振動 ) と軸周りのラーモア歳差運動の合成運動となる 4. 回転座標系上の軸周りの歳差運動 ( ラビ振動 ) は交流磁場振幅軸周りのラーモア歳差運動は交流磁場変調角周波数で調整できる γ ω 1, ω B = =,0, ω v t 50-1

13 電子スピン共鳴 : 静止座標系交流磁場 ( 正弦波 ) にすると pin up から down 状態へ pin down から up 状態へ B co = B1 vt 注意 : 軸周りの回転角周波数 ( ラーモア角周波数 ) と向き ( 反時計回り : 左回り ) は不変軸 pin up B = B 0 直流磁場ラーモア角周波数 ω = γ B 0 pin down 1. 共鳴状態 :ω=v. 回転座標系上の住人が観測する歳差運動は直流磁場 : 回転座標系上の成分によるラビ振動のみ 3. 静止座標系上の観測者が観測する歳差運動はラビ振動と軸周りのラーモア歳差運動 4. pin up down 繰り返し角周波数 ( ラビ角周波数 :Rabi flopping angular frequency) は離調有りの場合 ( 省略 ) 参考文献 :P.Meytre, M. argent III Element of Quantum Optic p.95 pringer ω = γ B

14 緩和 :Relaation ocillation 緩和過程 : 緩和無 (1) 回転座標系 : スピン歳差運動 ( ラビ振動 ) B1: 交流磁場振幅離調 ( γ B1 = ω, ω = ω, ωy, ω) =,0, ω v t チルダ ~ : 回転座標系ラビ角周波数 v: 変調角周波数 ω: ラーモア歳差運動 ( 軸 ) ω = γ B 0 B0: 直流磁場振幅共鳴状態 : 交流磁場変調角周波数がラーモア角周波数に一致するとき ω = v 展開 : スピン歳差運動 ( ラビ振動 ) 一般解 : 回転運動 (y 平面 ) = 0, = ω y, = ω y ( t) = 0 ( ) = ( ) ( ) = ( ) t 0 in ω t, y y t 0 co ω t 50-14

15 緩和過程 : 緩和無 () 運動方程式 : 質量 m m= 1 F = = 0, 求心力 ( 向心力 ):Centripetal force F = = ω, F = = ω y y y ポテンシャル ( 位置 ) エネルギー :φ F = φ φ = + φ F = = 0, F F (, y, ω ) ( y ) φ = = ω y y y φ = = ω, スピン歳差運動 ( ラビ振動 ) 1. ポテンシャル ( 位置 ) エネルギー :φ. 等高線上での粒子の円運動に対応 φ ( y ) = ω ( y + ), 定常解 : 零 y 50-15

16 緩和過程 : 緩和有 y ( ) 共鳴状態 =, = + ω, = ω y y T T T1 共鳴と緩和の現象論 (Bloch equation) 1. T1: 縦緩和 ( スピン- 格子緩和 ) T: 横緩和 ( スピン-スピン緩和 ). 孤立電子であれば緩和は無し一般には周囲の電子や原子核の影響 ( エネルギー散逸 ) を考慮しなければならない 3. この影響を現象論的 (phenomenologically) に扱うために T1: 縦緩和 T: 横緩和を導入緩和有 : 時刻 t0 で交流磁場を witch off エネルギー散逸後の最終状態 pin down 状態 ( 電子エネルギー最低状態 ) とする 0 ( ) ω = t t =, =, = 0 y y T T T1 t T t y, ( ) = y, ( 0 ) y, ( ) = 0 t t e t t T1 T1 t ( t) = ( t0 ) e 1 e ( ) = 緩和無 : 時刻 t0 の状態を保持 ( ) = ( ), ( ) = ( ), ( ) = ( ) t t t 0 y y 0 0 最終状態 : pin down 状態 50-16

17 緩和過程 : ポテンシャルエネルギー緩和有 : 交流磁場を witch on ( ) =, = + ω, = ω y y y T T T1 運動方程式導出 Damping = T y ω ω y = ω y T T1 T1 ω = ω + y T T 1 向心力 : 回転運動緩和が無いときのポテンシャルエネルギーに対応緩和によるポテンシャルエネルギー補正項目緩和過程を力学的に考えると 1. Damping 効果(onlyではない). ポテンシャルエネルギー補正を運動方程式に含むポテンシャルエネルギー :φ 赤部分 : 緩和によるポテンシャルエネルギー補正項目 φ φ ω ω φ ω = 0, = ω, = ω + T y y T1 T 1 y 50-17

18 緩和過程 : 定常状態定常状態交流磁場 witch on 状態で緩和無 : 回転運動定常状態無し =0 は除外ラビ振動が永遠に続くラビ角周波数 ( t) = 0, ω = ( ) = ( ) ω ( ) = ( ) ( ) =, = + ω, = ω y y y T T T1 γ B 1 t 0 in t, t 0 co ω t y y 緩和有の場合定常状態を時間偏微分 = 零の条件から求めると緩和が大 : 定常状態は pin down 状態 ( 電子エネルギー最低状態 ) と一致する緩和が小 : 定常状態は pin down 状態 ( 電子エネルギー最低状態 ) と異なる ωt 1 = 0 ( ) = 0, ( ) =, ( ) = t + TT + TT y 1 ω 1 1 ω 1 緩和有の場合定常状態をポテンシャルエネルギーが最小 ( 極小 ) 条件から求めると φ ω ω = ω = 0 y y T1 T1 φ ω = ω + = 0 y T 定常状態 1. 緩和が無ければ定常状態 ( 0 ) は無. 緩和有の場合定常状態有 3. 時間偏微分 = 零 4. ポテンシャルエネルギーが最小 ( 極小 ) 5. 定常状態 : 両者で同じ結果 6. 定常状態のパラメータ依存性 T1: 縦緩和 ( スピン - 格子緩和 ) T: 横緩和 ( スピン - スピン緩和 ) 交流磁場振幅 ( ラビ角周波数 ) 50-18

スライド 1

スライド 1 暫定版修正加筆の可能性あり ( 付録 ) マクスウェルの方程式 : 真空中 () 1. 電磁波 ( 光波 ) の姿 : 真空中. エネルギー密度 3. ポインティングベクトル 4. 絵解き : ポインティングベクトル 5. ポインティングベクトル : 再確認 6. 両者の関係 7. 付録 : ベクトル解析注意 1. 本付録 : マクスウェルの方程式: 微分型を使用. マクスウェルの方程式を数学的に取扱います