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1 金属中の電子と超伝導入門 理学部理学研究科物理学教室 池田隆介 講義日程 5/21, 5/28, 6/4 6/11 講義内容 使用するファイル I 量子力学の導入 No.2 ~ 8 II 原子と固体中の電子 7 ~ 14 III 超伝導と Bose-Einstein 凝縮 10 ~ 21 IV 磁場下の超伝導 15 ~ 24

2 I 量子力学の導入 古典論と量子論 ( 古典 ) 荷電粒子の加速度運動 - 電磁波を放出 エネルギーを失う 例 : 原子電磁波原子核 ( 青丸 ) の周りを回る電子 ( 赤丸 ) 古典論では原子は不安定! ( 原子の寿命 : 1 千億分の 1 秒!)

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4 左 : 電子線 ( 電子の位置測定 ) 実験 ( 電子は本来 波 ) 右 : Stern-Gerlach 実験 ( スピン up or down のみ )

5 量子力学 ( ド ブロイの物質波 p = h /λ) ミクロな世界 : 個々の粒子は波でもある 軽いほど拡がり易い 粒子 を識別できない i.e., 波動性 時刻 0 時刻 t

6 波動性 : 量子化 例 : 無限に深い井戸中の 粒子 古典系の例 : 弦の振動 固有状態エネルギーは離散値基準モード n=3 状態の離散化 = 量子化 波動性 n=2 n=1

7 識別できない 粒子 - 同種粒子 2 粒子の交換 (180 回転 ) ψ(1,2) ψ(2,1) = P ψ(1,2) 識別できないので 同じ状態 360 回転 因子 P =1 or -1 ψ(1,2) = ψ(2,1) : ボーズ粒子 - 整数スピン 例光子 ヘリウム4 ψ(1,2) = -ψ(2,1) : フェルミ粒子 - 半整数スピン 例電子 ヘリウム3 フェルミ多粒子系 : ψ(1,1)=0 i.e., 複数の 粒子 が同じ状態を占めることはできない - 1 状態に 1 粒子のみ - パウリの排他原理 ボーズ多粒子系 : 巨視的な数 ( アボガドロ数!) の粒子が同じ状態 ( 運動量ゼロの状態 ) に入ろうとする 粒子間相互作用なしに 低温で実際起こる現象 - BEC (Bose-Einstein condensation)

8 II 原子と金属中の電子 水素原子の量子論 0 基底状態 離散準位 定常状態 E( r ) 0 r 古典極限で原子はつぶれる

9 原子の準位 - 最も低い準位から順番に占有電子スピンのみ 最外殻 ( 電子が存在する最高エネルギーの準位 ) が部分的にのみ占有 - 価電子 固体 原子の周期的配列 ( 結晶構造 ) 原子を一列に並べたら価電子 ( 外殻電子 ) はどうなるか? 古典論のイメージでは価電子は同じ価電子として局在したまま

10 例.2 つの井戸 ( 1 準位 1 つの井戸当たり電子 1 個 ) - 電子は局在しない方を好む ~ 井戸の深さ有限 トンネル効果 ( 波動性 ) 波動関数 エネルギー準位 エネルギーバンド N = 1 (d= ) N = 2 N = : エネルギー値連続 i.e., N=2 では井戸の外に出やすい ( 2 原子分子の結合 - 共有結合 ) N = とみなせる固体では N 個の価電子は系全体を走り回る伝導電子に変貌する E ermi 面がバンド内にある - 金属

11 以下 伝導電子ー自由電子と近似 (k : 波数 ) 自由 ( 相互作用しない ) フェルミ粒子気体 ( 伝導電子の集団 ) ーフェルミ縮退 フェルミ球は最低エネルギー ( 球中心 ) から占有される --- フェルミ面付近の状態にある伝導電子 ( その数 N (T / T) 程度 ) が熱力学量や電気伝導において主役を演じる 励起エネルギー フェルミ面付近にある電子の速さは一定 比熱 : C ~ N kb (T / T) T, T = E/ kb ~ 数万 (K)

12 ε k - 2k τ τ 自由フェルミ気体 状態 τ に占有されるフェルミ粒子数 n = ( exp[ (ε -μ)/ k T ] + 1) τ τ B 十分高温 μ(t) < 0 低温極限 (T 0) μ(t 0)=ε 2 2 ε-μ k - k 2 基底状態 (T=0): 基底状態 (T=0): k > k ( フェルミ球外 ) : 非占有 k < k ( フェルミ球内 ) : 占有 k < k ( フェルミ球内 ) : 占有 -1 k : フェルミ波数 k > k ( フェルミ球外 ) : 非占有 ( n = 0 ) パウリの排他原理 - 必ず 1 以下 正でないと非物理的 k : フェルミ波数 τ (n = 1 ) τ n τ 1 0 k k

13 伝導電子が担う金属の特性 1) 金属光沢 ( 白色 ): 可視光は金属面で全反射 2) 熱伝導 : 金属は冷たい ( 伝導電子が動き回るから ) 3) 電気伝導 : Ohm の法則 V = R I or I =σe (σ: 伝導度 ) I = N (- e) v Drude の古典論結晶構造により電子が散乱 散乱が加速を抑えて v を一定にすると仮定緩和時間 τ は何か? 古典力学 格子間隔 Ohm 則が不成立 量子論フェルミ面付近にある伝導電子の速さ v が一定 ( 常に動き回っている! ) τ= d / v で Ohm 則は理解できる 結晶構造が電子を散乱し その運動を緩和させるのではない 実際 固体になっているから価電子は動き回っている - Bloch state 実際の散乱過程の原因 1) 結晶の不純物 2) 格子ひずみによる電子の散乱 3) 電子どうしの間の散乱

14 周期律表 ( 固体の電子論 ( 丸善斯波弘行著 ) より引用 ) 金属元素のみを表示 (B, C, Si, P, Ge, As, Se, Sb, Te, Bi, Po, At は半金属あるいは半導体 )

15 III 超伝導超伝導現象 1) 抵抗の消失 Kamerlingh Onnes (1911) の実験 2) 完全反磁性 ( マイスナー効果 ) 反磁性 - 磁場が入るとエネルギーが増えること 超伝導体 正常金属 超伝導体内で B=0

16 1) 下向きの重力 マイスナー効果 磁石下の磁束線が密 2) 上向き圧力 つりあって静止

17 BCS(Bardeen,Cooper,Schrieffer) 理論 (1957) ー何故超伝導? 1) 電子間の引力 電子 1が格子 ( イオン ) を歪ませる イオン質量は莫大なので ひずみが復元する前に 別の電子 2がこのひずみに引き寄せられる 格子歪みを介した電子間引力 ( 電子 - 格子相互作用 ) 電子対 2) BEC (Bose-Einstein 凝縮 ) 電子対はボーズ粒子とみなせる 低温で起こる電子対の BEC = 超伝導転移 ( 電子対の重心が動かない - 運動量ゼロのボーズ粒子 ) 巨視的な数の凝縮 ミクロに定義された波動関数 ψ= ψ exp(iφ) の位相 φ が巨視的スケールでそろう - φ の変化 電子対の数の変化 i.e., 電流 - 超伝導電流 マイスナー効果 ゼロ抵抗 励起エネルギー Δ

18 自由ボース気体 状態 τ に占有されるボース粒子数 n = ( exp [(ε-μ)/ k T ] - 1 ) τ τ B 十分高温 : μ(t) < 任意の正数 低温極限 (T 0): ε k - k τ τ ε k > 0 ε ー μ > 0 τ k : フェルミ波数 μ(t 0) -0 基底状態 (T=0): k=0 近傍の占有数無限大 ( 運動量空間での凝縮 ) k > k ( フェルミ球外 ) : 非占有 k < k ( フェルミ球内 ) : 占有 粒子の数は確定値を持たない でないと非物理的 基底状態 (T=0): BEC (Bose-Einstein condensation) T<T 0 T 0 ( 粒子密度 ) 2/3 BEC とはどんな状態か - 巨視的な数のボース粒子が際限なく動き回っている 不確定性関係 ΔN ΔΦ > 1 ( Φ : 多粒子 波動関数 ψ の位相 ) 粒子数不確定 ΔN ΔΦ 0 : 位相がそろった ( コヒーレントな ) 状態 BEC - 巨視的量子状態

19 BCS 電子 ( クーパー ) 対 - 弱い引力 k 空間でのペアリング ξ0 ( 電子対のサイズ ) >> 電子間距離 ~ k -1-1 k 実線 :ermi 面 電子対形成は k 空間での物理が支配 ξ0 k 強い引力 -1 ξ0 実空間でのペアリング (μ << E ξ0 ~ 粒子間距離 ) -- BEC BCS BEC crossover - 近年 冷却原子系で実現 ( 高橋氏の講義にて )

20 磁束の量子化 電流密度 超伝導体表面付近に誘起される電流密度 j が磁場を遮蔽 超伝導体内部で B=0 かつ j = 0 中心部内の磁束は外に逃げられない

21 Josephson 効果と SQUID (superconducting quantum interference device) Josephson 電流 ( B.D.Josephson : 62 に 21 歳の時に予言 ノーベル賞 ) 2つの超伝導体 A, B A,B 間の位相差 δφ j sin(δφ)

22 磁束の量子化 渦の量子化 ある程度強い外部磁場 磁束が超伝導体内に侵入 磁束線周辺では円電流 ( 渦電流 ) を伴う 量子化された磁束を伴った渦糸 磁場下の超伝導体 --- 渦糸状態 (vortex state) 渦の芯が磁束を担う 量子渦 ( quantized vortex) の運動 電気抵抗 i.e., 磁場下にある現実の超伝導体では 物質中の欠陥などにより渦が運動できないようにして電気抵抗をゼロに保つことが必要になる ( 注意 : 超伝導を実用化する際には 通常磁場下に置かれている )

23 電子線ホログラフィーによる渦と量子化された磁束の観測 ( 外村他ー日立基礎研 ) 上図 - 左 : 渦対 右 : 単独の量子渦

24 なぜ 渦の運動 電気抵抗 か? 量子渦を渦流を伴った中空の円筒とみなす 渦度 ω 揚力 銅酸化物高温超伝導体 (1986 発見 ) の磁場中相図